Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Probabilidade - Conceitos básicos Sandro Bruno do Nascimento Lopes Universidade Federal do Rio Grande do Norte 20 de março de 2015 Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 1 / 132 Sumário 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 2 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 3 / 132 Introdução Arcabouço para estudos de diversas situações em que lida-se com incerteza; Formaliza a ideia da chance relativa de ocorrência dos diferentes resultados esperados para um fenômeno incerto; Exemplos de aplicações: Tempo de espera em filas: “Existe uma probabilidade alta de que o tempo de espera seja maior do que 5 minutos“; Vida útil de equipamentos: “É provável que a máquina dure pelo menos 5 anos“; Resultado de um procedimento médico: “O procedimento tem taxa de sucesso de 60%“. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 4 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 5 / 132 Experimento aleatório Definição Um experimento aleatório é um experimento que ao ser repetido nas mesmas condições, pode fornecer diferentes resultados. Exemplos de aplicação: Jogar um dado e observar a face superior; Selecionar ao acaso um habitante de Natal e medir sua altura em metros; Contar o número de carros que passam em uma rua da cidade em um intervalo de tempo pré-definido; Retirar um lote de peças em um processo de produção e determinar o número de peças defeituosas. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 6 / 132 Experimento aleatório Objetivo da teoria de probabilidade é construir um modelo matemático para representar eventos incertos (experimentos aleatórios) e a chance de ocorrência de possíveis resultados; O modelo é construído em duas etapas: 1 Descrição do conjunto de resultados possíveis do experimento aleatório; 2 Atribuição de pesos que refletem a maior ou menor chance de um resultado acontecer. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 7 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 8 / 132 Espaço amostral e eventos Espaço amostral O espaço amostral, denotado por S, é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado espaço amostral do experimento. Requisitos para a construção do espaço amostral de um experimento: Apenas um resultado possível para cada rodada do experimento; Nenhum resultado possível fique fora do espaço amostral. Tipos de espaço amostral: Finito: Numero limitado de resultados; Infinito enumerável: Número ilimitado de resultados, mas que podem ser listados; Infinito não-enumerável: Número ilimitado de resultados que não podem ser listados. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 9 / 132 Espaço amostral e eventos Exemplos de espaço amostral: Lançamento de um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Enumerável e finito); Lançamento de uma moeda até que apareça a primeira cara (onde C indica cara e K indica coroa): S = {C ,KC ,KKC ,KKKC , · · · } (Enumerável e infinito); Lançamento de dardo em alvo com raio 1 (ou ponto em círculo de raio 1): S = {(x , y) : x2 + y2 ≤ 1} (Não-enumerável). Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 10 / 132 Espaço amostral e eventos Evento Um evento é um subconjunto do espaço amostral, S, de um experimento aleatório. Os subconjuntos de S são representados por letras maiúsculas (A, B, · · · ); Tipos de evento: Simples: consiste em um único resultado do espaço amostral; Composto: consiste em mais de um resultado do espaço amostral; Certo: consiste em todos os resultados disponíveis no espaço amostral; Vazio ou Impossível: não possui resultados do espaço amostral. É indicado por ∅ ou {}; Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 11 / 132 Espaço amostral e eventos Exemplo de eventos: Lançamento de um dado. Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; Eventos simples: A = {6}, B = {1}; Eventos compostos: C = {faces pares}, D = {faces menor ou igual a 3}. Uma rede de computadores está em operação contínua, mas sabe-se falhas podem acontecer a qualquer momento, e deseja-se verificar o número de falhas por dia no sistema. Espaço amostral: S = {0, 1, 2, 3, · · · }; Eventos simples: A = {3 falhas em um dia}; Eventos compostos: C = {menos de 2 falhas em um dia}. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 12 / 132 Espaço amostral e eventos Descrição de eventos: Os eventos podem ser descritos de duas formas: Através da listagem dos seus resultados; Exemplo: A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, · · · } Através de uma propriedade comum aos seus resultados; Exemplo: A = {Conjunto dos números naturais pares.} A listagem dos resultados possíveis para um evento pode ser aplicada a eventos finitos ou infinitos enumeráveis; A descrição de suas propriedades pode ser feita de forma textual oumatemática (fórmula proposicional). Exemplo: A = {x , x/2 = 0} Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 13 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 14 / 132 Visualização de eventos É possível descrever eventos e suas inter-relações através das seguintes representações: Diagrama de Venn-Euler; Diagrama de árvore; Matriz; Tabela de contingência ou tabela cruzada. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 15 / 132 Visualização de eventos Diagrama de Venn ou Venn-Euler: São largamente utilizados na teoria dos conjuntos; Consistem de curvas fechadas simples, associadas a letras ou textos que descrevem os conjuntos, sobre um plano; Permitem verificar questões de pertinência (se um elemento está dentro de um conjunto), quando os elementos são listados no diagrama; Permitem verificar questões de continência (se um conjunto esta contido em outro); No caso da teoria da probabilidade, as curvas indicam os eventos de interesse, e o plano está associado ao espaço amostral. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 16 / 132 Visualização de eventos Diagrama de Venn ou Venn-Euler (modelo com elementos): Diagrama de Venn-Euler onde se mostra a interseção das letras dos alfabetos Grego, Latino e Russo. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 17 / 132 Visualização de eventos Diagrama de Venn ou Venn-Euler (modelo sem elementos): Diagrama de Venn para os seguinte eventos: a) A ∩ B; b) A ∪ B; c) A ∩ BC ; d) AC ; e) A, B e C são disjuntos; f) A, B e C são partição de S. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 18 / 132 Visualização de eventos Diagrama de árvore: São largamente utilizados para a descrição de eventos com mais de uma etapa; Constitui-se apenas pela ramificação dos resultados de cara etapa: a partir de um nó raiz, são litados todos os resultados da primeira etapa; para cada etapa, associa-se os resultados da etapa posterior, até se esgotar as etapas; Permite descrever os possíveis resultados de um arranjo, permutação ou combinação - neste caso, é conhecida como árvore de possibilidades; Cada ramo da árvore pode ter associado a um evento específico, com o valor de probabilidade associado a sua ocorrência - neste caso, é conhecida como árvore de probabilidades; Especialmente úteis para a descrição eventos condicionais. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 19 / 132 Visualização de eventos Diagrama de árvore (árvore de possibilidades): Diagrama de árvore para o lançamento de dois dados de quatro lados (tetragonais). Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 20 / 132 Visualização de eventos Diagrama de árvore (árvore de probabilidades): Diagrama de árvore para o lançamento de duas moedas. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 21 / 132 Visualização de eventos Matriz: As matriz são utilizadas para descrever espaços amostrais de experimentos com duas etapas; Constitui-se de um par de eixos, cada um associado a uma etapa do experimento, de forma que cada resultado é listado e associado com todos os resultados do outro eixo; Os pontos indicam os possíveis resultados após as duas etapas do experimento; Os eventos são subconjuntos de pontos desta matriz (indicados por curvas fechadas); Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 22 / 132 Visualização de eventos Matriz: Matriz para o lançamento de dois dados de quatro lados (tetragonais). Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 23 / 132 Visualização de eventos Tabela de contingência ou tabela cruzada: São utilizadas na quantificação dos resultados entre eventos definidos entre duas propriedades diferentes, ou entre eventos que ocorram entre duas etapas; Basicamente, cada etapa ou propriedade é atribuída a uma seção de linhas ou colunas, sendo cada linha ou coluna de uma seção constituído por um evento associado a etapa ou propriedade em questão; Os valores numéricos informam o número de resultados que satisfazem a um determinado evento das linhas e a outro evento das colunas. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 24 / 132 Visualização de eventos Tabela de contingência ou tabela cruzada: Tabela de contingência para a retirada de uma carta de um baralho, classificada por cor e por valor (Ás ou Não-Ás). Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 25 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 26 / 132 Teoria dos conjuntos Espaços amostrais e eventos são definidos sob a forma de conjuntos; Eventos são subconjuntos dos espaços amostrais; Para lidar com eventos, algumas definições oriundas da teoria dos conjuntos pode ser aplicadas: União de conjuntos; Intersecção de conjuntos; Conjunto complementar; Conjuntos disjuntos; Conjuntos coletivamente exaustivos; Partição. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 27 / 132 Teoria dos conjuntos à eventos União de eventos A união de dois eventos A e B é o evento que consiste de todos os resultados que estão presentes no evento A ou no evento B ou em ambos. A operação de união é indicada como A ∪ B. A ∪ B = {x ∈ S : x ∈ A ou x ∈ B} Intersecção de eventos A intersecção de dois eventos A e B é o evento que consiste de todos os resultados que estão presentes estão simultaneamente no evento A e em B. A operação de intersecção é indicada como A ∩ B. A ∩ B = {x ∈ S : x ∈ A e x ∈ B} Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 28 / 132 Teoria dos conjuntos à eventos Evento complementar O complemento de um evento A, é o conjunto de todos os resultados do espaço amostral que não estão contidos em A. O evento complementar de A é indicada como A, AC ou A′. AC = {x ∈ S : x ∈/ A} Eventos disjuntos Dois eventos são disjuntos ou mutuamente excludentes que não puderem acontecer simultaneamente. Isto implica dizer também que estes conjuntos possuem intersecção vazia. A e B disjuntos : A ∩ B = ∅ Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 29 / 132 Teoria dos conjuntos à eventos Eventos coletivamenteexaustivos Dois eventos eventos são coletivamente exaustivos se a união dos eventos cobre todo o espaço amostral. A e B coletivamente exaustivos : A ∪ B = S Partição de eventos Dois eventos forma uma partição se forem disjuntos e coletivamente exaustivos. Uma partição pode ser vista também como um conjuntos de eventos com estas características entre si. A e B forma uma partição : A ∩ B = ∅ e A ∪ B = S Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 30 / 132 Teoria dos conjuntos à eventos Propriedades das operações com eventos: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ; A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ; A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); A ∩ (A ∪ B) = A; A ∪ (A ∩ B) = A; (AC )C = A; A ∪ S = S, A ∩ S = A; A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅; (A ∩ B)C = AC ∪ BC ; (A ∪ B)C = AC ∩ BC . Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 31 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 32 / 132 Definições de probabilidade Atribuir um peso relativo a chance de um evento ocorrer em um experimento; Três definições: Definição clássica; Definição experimental ou frequentista; Definição axiomática (Kolmogorov). Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 33 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 34 / 132 Definição clássica Refere-se a subconjuntos unitários e equiprováveis, isto é, conjuntos de resultados que têm a mesma chance; Definição Dado um experimento com espaço amostral S, onde ocorre um evento A, a probabilidade de ocorrer este evento é dada por: P(A) = n(A)n(S) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 35 / 132 Definição clássica Para conjuntos enumeráveis e finitos, n(S) é o número de resultados no espaço amostral, e n(A) é o número de resultados possíveis o evento em questão (contagem de resultados). Para conjuntos não-enumeráveis, n(S) é o valor de medida geométrica (intervalo, área ou volume, por exemplo) do espaço amostral, e n(A) é o valor de medida geométrica para o evento em questão; Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 36 / 132 Definição clássica Realização prática: Determinar o número nS total de resultados possíveis; Determinar o número de resultados nA que satisfazem o evento em questão; Calcular a razão entre os dois valores como probabilidade: P(A) = nAnS Limitações: Definição válida para experimentos cujos resultados são equiprováveis (possuem chances iguais de acontecerem): Boa parte dos experimentos não enumeráveis não possuem esta propriedade; Em alguns experimentos, definir se os eventos são equiprováveis pode ser muito difícil ou inviável. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 37 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 38 / 132 Definição empírica A probabilidade é definida como o limite das frequências relativas; Serve como modelo de interpretação da probabilidade; Definição Dado um experimento repetido n vezes de forma independente, onde o evento A ocorre em nA vezes, a probabilidade P(A) do evento A ocorrer é dada pela equação: P(A) = lim n→∞ nA n Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 39 / 132 Definição empírica Realização prática: Repetir o experimento aleatório um número muito grande de vezes, n. Contar o número de vezes que o evento A de interesse aconteceu, nA . Estabelecer a probabilidade P(A) através da fórmula: P(A) = nAn Limitações: Válida apenas para eventos que podem ser reproduzidos um número muito grande de vezes: Alguns experimentos não são praticáveis ou possuem pouca capacidade de reprodução; A definição de "muito grande"irá depender do tipo de experimento (ou do bom-senso do pesquisador). Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 40 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 41 / 132 Definição axiomática Definição formal de probabilidade, de acordo com o que se estabelece como tal; Assume os outros dois casos como particulares; Definição Definido o espaço amostral S de um experimento, uma função P(.) sobre um subconjunto de S (eventos) dentro do intervalo [0, 1] pode ser considerada como uma probabilidade se satisfizer as seguintes propriedades: Não-negatividade: Para qualquer evento A pertencente ao espaço amostral S, vale: P(A) ≥ 0 Normalização: Para o espaço amostral S, vale: P(S) = 1 Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 42 / 132 Definição axiomática Definição Aditividade: Para dois eventos A e B pertencente ao espaço amostral S, tais que sejam disjuntos, vale: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Infinita aditividade: Para um conjunto infinito de eventos A1, A2, A3, · · · pertencente ao espaço amostral S, tais que sejam disjuntos dois a dois,vale: P(A1 ∪ A2 ∪ A3 · · · ) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + · · · Ou: P (∞⋃ i=1 Ai ) = ∞∑ i=1 P(Ai) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 43 / 132 Definição axiomática Limitações: As definições permitem dizer se os valores atribuídos a probabilidade são válidos, mas não especifica quais valores devem ser aplicados para descrever o peso dos eventos (a quantificação pode ser feita pelas outras definições, ou pelo próprio pesquisador). Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 44 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 45 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 46 / 132 Propriedades da probabilidade Através dos axiomas definidos por Kolmogorov, algumas propriedades podem ser estabelecidas para os valores de probabilidade. Desta forma, as definições de probabilidade devem satisfazê-las também. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 47 / 132 Propriedades da probabilidade Propriedade 1 Dado um evento A pertencente ao espaço amostral S, é possível afirmar que: P(AC ) = 1− P(A) Prova: Basta imaginar que, pela definição de conjunto complementar, A e AC obrigatoriamente são disjuntos (A ∩ AC = ∅) e coletivamente exaustivos (A ∪ AC = S). Pelo terceiro axioma de Kolmogorov, tem-se que: P(A ∪ AC ) = P(S)→ P(A) + P(AC ) = P(S) De acordo com o segundo axioma de Kolmogorov, P(S) = 1. Portanto: P(A) + P(AC ) = P(S)→ P(A) + P(AC ) = 1 → P(AC ) = 1− P(A) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 48 / 132 Propriedades da probabilidade Propriedade 2 Definindo φ como o conjunto vazio, é possível afirmar que: P(φ) = 0 Prova: Sabendo que ∅ é o conjunto complementar de S, a propriedade 1 afirma que: P(∅) = 1− P(S) De acordo com o segundo axioma de Kolmogorov, P(S) = 1. Portanto: P(∅) = 1− P(S)→ P(∅) = 1− 1 → P(∅) = 0 Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 49 / 132 Propriedades da probabilidade Propriedade 3 Dado dois eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S, tais que A ⊆ B, é possível afirmar que: P(A) 6 P(B) Prova: Se A ⊆ B, então B = A ∪ (B ∩ AC ), onde A e (B ∩ AC ) são conjuntos disjuntos. Pela terceiro axioma, tem-se: P(A ∪ (B ∩ AC )) = P(B)→ P(A) + P(B ∩ AC ) = P(B) → P(A) = P(B)− P(B ∩ AC ) De acordo com o primeiro axioma de Kolmogorov, P(B ∩ AC ) ≥ 0. Portanto, P(B)− P(B ∩ AC ) ≤ P(B) e, consequentemente, P(A) ≤ P(B). Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 50 / 132 Propriedades da probabilidade Propriedade 4 Dado um evento A pertencente ao espaço amostral S, é possível afirmar que: P(A) ≤ 1 Prova: Sabendo que , qualquer que seja o conjunto A, A ⊆ S, então a propriedade 3 garante que: P(A) ≤ P(S) Como, pelo segundo axioma de Kolmogorov, P(S) = 1, então P(A) ≤ 1. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 51 / 132 Propriedade 5 Para um conjunto finito de eventos A1, A2, · · · , An pertencente ao espaço amostral S, tais que sejam disjuntos dois a dois, vale: P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An) Ou: P ( n⋃ i=1 Ai ) = n∑ i=1 P(Ai) Prova: A demonstração desta propriedade não é trivial. Mas a ideia é estender a terceira propriedade, que vale para dois conjuntos, para mais de dois conjuntos. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 52 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 53 / 132 Regra geral da união de dois eventos A definição da aditividade permitiu estabelecer a união de dois conjuntos disjuntos; A seguinte propriedade permite definir a propriedade da união de dois eventos que não sejam disjuntos: Propriedade Dado dois eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S, é possível afirmar que: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 54 / 132 Regra geral da união de dois eventos Prova: Sabendo que A ∪ B = A ∪ (B ∩ AC ), onde A e (B ∩ AC ) são conjuntos disjuntos, e B = (A ∩ B) ∪ (B ∩ AC ), onde (A ∩ B) e (B ∩ AC ) são conjuntos disjuntos. Pela terceiro axioma, tem-se: P(A ∪ B) = P(A ∪ (B ∩ AC )) = P(A) + P(B ∩ AC ); P(B) = P((A ∩ B) ∪ (B ∩ AC )) = P(A ∩ B) + P(B ∩ AC ). Desta forma, tem-se que: P(B ∩ AC ) = P(A ∪ B)− P(A); P(B ∩ AC ) = P(B)− P(A ∩ B). Unindo as duas igualdades, tem-se que: P(A ∪ B)− P(A) = P(B)− P(A ∩ B)→ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 55 / 132 Regra geral da união de dois eventos A regra geral da união pode ser estendida para mais de dois conjuntos. Para tanto, procede-se a seguinte operação: Somar as probabilidades de ocorrência de cada um dos evento envolvidos; Subtrair as probabilidades de ocorrência de cada uma das intersecções de dois dos eventos envolvidos; Somar as probabilidades de ocorrência de cada uma das intersecções de três dos eventos envolvidos; Subtrair as probabilidades de ocorrência de cada uma das intersecções de quatro dos eventos envolvidos; Prosseguir até a probabilidade das intersecções de todos os eventos tiver sido somada (se o número de eventos for ímpar) ou subtraída (se o número de eventos for par); Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 56 / 132 Regra geral da união de dois eventos Aplicando para a união de três eventos, A, B e C , tem-se: P1 = P(A) + P(B) + P(C); P2 = P(A ∩ B) + P(A ∩ C) + P(B ∩ C); P3 = P(A ∩ B ∩ C); P(A ∪ B ∪ C) = P1− P2+ P3. De forma que chega-se aseguinte propriedade: Propriedade Dado dois eventos A, B e C pertencentes ao espaço amostral S, é possível afirmar que: P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 57 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 58 / 132 Resumo de probabilidade Probabilidade é uma medida numérica que informa a chance de um resultado ocorrer; A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1, incluindo os extremos; A soma da probabilidade de uma partição do espaço amostral é igual a 1. Vocabulário geral: Pelo menos 1 dos eventos: A, B ou ambos: equivale a A ∪ B; Nenhum dos eventos: nem A, nem B: equivale a (A ∪ B)C ; Apenas um dos eventos: ocorre A, mas não ocorre B: equivale a A ∩ BC ; Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 59 / 132 Exemplo Na descrição de uma fazenda de 1500 hectares, verificou-se que 750 hectares das terras eram plantação de milho, 500 hectares eram plantação de feijão, e o restante era área não explorada. Sabendo que 250 hectares das terras exploradas é ocupada pelas duas culturas para pesquisas sobre recuperação dos nutrientes, determine a probabilidade de, escolhido aleatoriamente um hectare para análise de solo, este solo ser: 1 De uma área explorada por pelo menos uma das culturas; 2 De uma área que não tenha sido explorada. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 60 / 132 Exemplo Primeira questão: Assumindo que f represente o evento “hectare de uma área de plantação de feijão” e m, o evento “hectare de área de plantação de milho”, tem-se que a probabilidade P procurada é dada por: P = P(f ∪m) = P(f ) + P(m)− P(f ∩m) = 750 1500 + 500 1500 − 250 1500 = 1250 1500 − 250 1500 = 1000 1500 = 2 3 = 0, 667 Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 61 / 132 Exemplo Segunda questão: Assumindo que ne represente o evento “hectare não explorada” e e, o evento “hectare de área explorada”, tem-se que a probabilidade P procurada é dada por: P = P(ne) = 1− P(e) = 1− P(e) = 1− P(f ∪m) = 1− 23 = 1 3 = 0, 333 Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 62 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 63 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 64 / 132 Introdução Para eventos finitos e enumeráveis, a definição de probabilidade é definida através da contagem dos resultados; Para espaços amostrais e eventos pequenos, a contagem pode ser feita diretamente, listando todos os resultados possíveis; Para espaços amostrais e eventos maiores, enumerar os resultados se torna inviável; Uso de técnicas de contagem para quantificar as opções possíveis. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 65 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 66 / 132 Princípio fundamental da contagem Baseado na ideia de “dividir para conquistar”: O processo de contagem de todos os resultados possíveis é quebrado em processos de contagem menores, que são agregados posteriormente (diagrama de árvore). Propriedade Considere um evento A que ocorre em k etapas, da seguinte forma: Na primeira etapa, existem a1 possibilidades de resultados; Na segunda etapa, existem a2 possibilidades de resultados; Na terceira etapa, existem a3 possibilidades de resultados; ... Na k-ésima etapa, existem ak possibilidades de resultados. O número de nA possíveis resultados para o evento A é dado pelo produto do número de possibilidades em cada etapa, ou seja: nA = a1 ∗ a2 ∗ a3 ∗ · · · ∗ ak Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 67 / 132 Exemplo Para a reforma do prédio da câmara dos vereadores de uma cidade foram solicitados serviços de acabamento das paredes, hidráulica, elétrica e paisagismo. Sabendo que na cidade há 4 empresas prestadoras de serviços de acabamento, 4 empresas prestadoras de serviços hidráulicos, 5 empresas prestadoras de serviços elétricos e 2 empresas prestadoras de serviços paisagísticos, e supondo que nenhuma delas presta outro serviço além do informado, calcule a quantidade de opções que estas empresas podem ser contratadas. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 68 / 132 Exemplo Assume-se que a escolha de uma empresa do grupo de prestadoras de serviço para um determinado serviço seja a etapa de uma escolha, como, por exemplo: 1 Escolha da prestadora de serviços de acabamento (n1 opções); 2 Escolha da prestadora de serviços hidráulicos (n2 opções); 3 Escolha da prestadora de serviços elétricos (n3 opções); 4 Escolha da prestadora de serviços de paisagismo (n4 opções). Cada etapa possui um número definido de escolhas, a saber: n1 = 4, n2 = 4, n3 = 5, n4 = 2; O número N de possíveis opções para a escolha das prestadoras será dado por: N = n1 ∗n2 ∗ n3 ∗ n4 = 4 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 2 = 160 Logo, há 160 maneiras diferentes de de escolher as empresas. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 69 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 70 / 132 Análise combinatória Apresenta técnica para o cálculo do número de resultados em eventos do tipo “selecione k objetos de n disponíveis”; Métodos variam de acordo com a necessidade de ordenação dos elementos; Ordenação distinta gera opções distintas: arranjo; Ordenação distinta NÃO gera opções distintas: combinação. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 71 / 132 Análise combinatória O conceito de fatorial será largamente empregado para as técnicas de análise combinacional. Definição Para qualquer número inteiro positivo m, o fatorial de m, indicado por m!, é definido por: 0! = 1; 1! = 1; m! = m ∗ (m − 1) ∗ (m − 2) ∗ · · · ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = m ∗ (m − 1)! Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 72 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 73 / 132 Arranjo Definição Em um conjunto de n objetos distintos, a seleção de k objetos distintos (sem repetição) de forma ordenada constitui-se um arranjo de tamanho k. O número de arranjos possíveis com k dos n elementos é identificado por An,k e dado por: An,k = n! (n − k)! (1) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 74 / 132 Exemplo Na disciplina de Estatística de uma determinada universidade, existem 7 assistentes de professores e o professor titular da disciplina precisa escolher quatro deles para corrigir a segunda avaliação. A prova terá quatro questões e, sabendo que ele irá disponibilizar uma questão por assistente e que cada questão será corrigida por um assistente distinto, calcule quantos maneiras diferentes os assistentes podem ser escolhidos. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 75 / 132 Exemplo Neste caso, ele irá selecionar um assistente por questão. Como a ordem de escolha altera o formato da correção (a sequência de assistentes ABCD, por exemplo, é distinta da sequencia DBCA, pois pode gerar resultados diferentes de correção), o conceito de arranjo deve ser utilizado; Como são 7 assistentes e 4 questões, trata-se de arranjo de 4 objetos dentre 7 possíveis, ou matematicamente, A7,4; O número N de possíveis opções para a escolha dos assistentes será dado por: N = A7,4 = 7! (7− 4)! = 7! 3! = 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3! 3! = 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 = 840 Logo, há 840 maneiras diferentes de de escolher os assistentes. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 76 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 77 / 132 Permutação A permutação pode ser considerada como um caso especial de arranjo, onde ocorre a seleção de todos os elementos disponíveis no conjunto. Definição Em um conjunto de n objetos distintos, a seleção de todos os objetos de forma distinta (sem repetição) e ordenada constitui-se uma permutação. O número de permutações possíveis com é identificado por Pn e dado por: Pn = n! De fato: Pn = An,n = n! (n − n)! = n! 0! = n! 1 = n! Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 78 / 132 Exemplo Para fazer a combinação da senha de um computador, um técnico resolveu utilizar seis símbolos distintos. Sabendo que não haverá repetição de símbolos na montagem da senha, calcule quantas maneiras ele podem montar esta senha. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 79 / 132 Exemplo Neste caso, ele irá selecionar apenas uma ordem com os seis símbolos disponíveis. Como, em uma senha, a ordem é importante (se a sequência escolhida for mfx473, por exemplo, o computador não poderá permitir o acesso caso insira como senha a sequência x37fm4), o conceito de permutação deve ser utilizado; Como são 6 símbolos, trata-se de uma permutação de 6 objetos, ou matematicamente, P6; O número N de possíveis opções para a escolha da senha será dado por: N = P6 = 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 720 Logo, há 720 maneiras diferentes de montar a senha. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 80 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 81 / 132 Combinação Definição Em um conjunto de n objetos distintos, a tão-somente seleção de k objetos distintos (sem repetição) constitui-se uma combinação de tamanho k. O número de combinações possíveis com k dos n elementos é identificado por Cn,k ou ( n k ) e dado por: Cn,k = ( n k ) = n! k! ∗ (n − k)! Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 82 / 132 Exemplo No almoxarifado de um hospital há disponíveis 6 caixas de gaze e 7 caixas de esparadrapo. Sabendo que, para a UTI, foi solicitado 3 caixas de gaze e 4 caixas de esparadrapo,calcule a quantidade de opções que esta solicitação pode ser realizada. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 83 / 132 Exemplo Assume-se, neste caso, que a escolha da solicitação pode ser feita em duas etapas: 1 Escolha das caixas de gaze (6 opções); 2 Escolha das caixas de esparadrapo (7 opções); Tanto na primeiro quanto na segunda etapa da escolha, a ordem da escolha das caixas não é importante (sendo escolhidas as caixas A, B e C , as sequências ABC e CBA equivalem a mesma opção).Logo nas duas etapas, o conceito de combinação deve ser empregado; Na primeira etapa, devem ser escolhidas 3 de 6 caixas disponíveis. Trata-se de uma combinação de 3 objetos dentre os 6 possíveis, ou matematicamente,( 6 3 ) . Na segunda etapa, devem ser escolhidas 4 de 7 caixas disponíveis. Trata-se de uma combinação de 4 objetos dentre os 7 possíveis, ou matematicamente, ( 7 4 ) ; Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 84 / 132 Exemplo O número N1 de possíveis seleções para a primeira etapa será dado por: N1 = ( 6 3 ) = 6! 3!(6− 3)! = 6! 3!3! = 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3! 3 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 3! = 6 ∗ 5 ∗ 4 3 ∗ 2 ∗ 1 = 20 Logo, há 20 maneiras diferentes de de escolher as caixas de gaze. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 85 / 132 Exemplo O número N2 de possíveis seleções para a segunda etapa será dado por: N1 = ( 7 4 ) = 6! 4!(7− 4)! = 7! 4!3! = 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4! 3 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 4! = 7 ∗ 6 ∗ 5 3 ∗ 2 ∗ 1 = 35 Logo, há 35 maneiras diferentes de de escolher as caixas de esparadrapo. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 86 / 132 Exemplo O número N de possíveis opções para a escolha das caixas será dado por: N = N1 ∗ N2 = 20 ∗ 35 = 700 Logo, há 700 maneiras diferentes de realizar a solicitação. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 87 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 88 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 89 / 132 Probabilidade condicional Permite introduzir novas informações ao cálculo da probabilidade de um evento, sem necessidade de recorrer a intuição; Definição Seja dois eventos A e B, com P(B) > 0, pertencentes ao espaço amostral S de um experimento com duas etapas. Supondo que, na primeira etapa, o evento B ocorra, a probabilidade de A ocorrer na segunda etapa é denominada de probabilidade condicional de A dado que B ocorreu, identificada por P(A|B) e dada por: P(A|B) = P(A ∩ B)P(B) Quando P(B) = 0, P(A|B) = 0. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 90 / 132 Probabilidade condicional Interpretação: Renormalização do espaço amostral. O espaço amostral do evento se limita as opções do evento B; Os resultados possíveis de A se limitam as possibilidades comuns também ao evento B. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 91 / 132 Exemplo Supondo que, de todos os indivíduos que compram um determinado smartphone, 70% compram um cartão de memória, 50% compram uma película para proteção da tela e 25% compram os dois itens. Considerando a seleção aleatória de um comprador, calcule: 1 A probabilidade deste comprador adquirir um cartão de memória sabendo que ele já comprou uma película. 2 A probabilidade deste comprador adquirir uma película sabendo que ele já comprou um cartão de memória. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 92 / 132 Exemplo Denominando os eventos por A = compra de cartão de memória e B = compra da película, tem-se que: P(A) = 0, 7; P(B) = 0, 5; P(A ∩ B) = 0, 25. Para a primeira questão, deseja-se obter P(A|B). Portanto: P(A|B) = P(A ∩ B)P(B) = 0, 25 0, 5 = 0, 5 Portanto, a probabilidade de um comprador do smartphone adquirir a cartão de memória dado que ele já adquiriu a película é de 50%. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 93 / 132 Exemplo Para a segunda questão, deseja-se obter P(B|A). Portanto: P(B|A) = P(A ∩ B)P(A) = 0, 25 0, 7 ' 0, 357 Portanto, a probabilidade de um comprador do smartphone adquirir a película dado que ele já adquiriu o cartão de memória é de 35, 7%. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 94 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 95 / 132 Regra do produto De acordo com a definição de probabilidade condicional, é possível estabelecer uma forma de calcular a probabilidade da intersecção de dois eventos. Definição Dado dois eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S, a probabilidade da intersecção dos dois eventos dados pode ser expressa por: P(A ∩ B) = P(A|B) ∗ P(B) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 96 / 132 Regra do produto A regra do produto pode ser estendida para experimento com mais de duas etapas. Definição Dado um conjunto de eventos A1, A2, · · · , An, pertencentes ao espaço amostral S e que ocorrem na respectiva sequência, a probabilidade da intersecção dos três eventos dados pode ser expressa por: P(A1 ∩ A2 ∩ A3 · · · ∩ An) = P(A1) ∗ P(A2|A1) ∗ P(A3|A2) ∗ · · · ∗ P(An|An−1) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 97 / 132 Exemplo Uma concessionária de motos disponibiliza dois modelos para venda. Das vendas da loja, 75% são do modelo A (que é mais barato) e 25% são do modelo B. A fabricante oferece a cada um dos modelos 2 anos de garantia para peças e mão-de-obra. Sabe-se que 15% dos veículos do modeloA precisam de reparos durante a garantia, enquanto que o percentual correspondente para o modelo B é de 3%. Supondo que cada comprador realize a compra de apenas uma motocicleta, calcule a probabilidade: 1 De um comprador adquirir o modelo B e necessitar de reparos durante a garantia; 2 De um comprador adquirir o modelo A e necessitar de reparos durante a garantia; 3 De um comprador adquirir um modelo que irá precisar de reparos durante a garantia; 4 Sabendo que a probabilidade de uma moto não ser recuperada dado que ela necessitou de reparos durante a garantia é de 30%, calcule a probabilidade de um comprador adquirir uma moto do modelo B, precisar de reparos durante a garantia e o veículo não ser recuperado. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 98 / 132 Exemplo Definindo os eventos A = compra de uma moto do modelo A, B = compra de uma moto do modelo B, E = veiculo precisa de reparo durante a garantia, tem-se que: P(A) = 0, 75; P(B) = 0, 25; P(E |A) = 0, 15; P(E |B) = 0, 03; Para a primeira questão, deseja-se obter P(B ∩ E ). Portanto: P(B ∩ E ) = P(E |B) ∗ P(B) = 0, 03 ∗ 0, 25 = 0, 0075 Portanto, a probabilidade de um comprador adquirir um veículo da marca B e necessitar realizar um reparo durante a garantia é de 0, 75% Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 99 / 132 Exemplo Para a segunda questão, deseja-se obter P(A ∩ E ). Portanto: P(A ∩ E ) = P(A|B) ∗ P(B) = 0, 15 ∗ 0, 75 = 0, 1125 Portanto, a probabilidade de um comprador adquirir um veículo da marca A e necessitar realizar um reparo durante a garantia é de 11, 25% Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 100 / 132 Exemplo Para a terceira questão, deseja-se obter P(E ). Esta probabilidade pode ser descrita como a probabilidade de se comprar um veiculo da marca A e ele necessitar de reparo ou de se comprar um veiculo da marca B e ele necessitar de reparo. Portanto, P(E ) = P((A ∩ E ) ∪ (B ∩ E )); Como os eventos (A ∩ E ) e (B ∩ E ) são disjuntos (já que os veículos comprados pertencem a apenas um dos modelos disponíveis), então: P(E ) = P((A ∩ E ) ∪ (B ∩ E )) = P(A ∩ E ) + P(B ∩ E ) Como os valores de P(A ∩ E ) e P(B ∩ E ) são conhecidos, tem-se que P(E ) = P(A ∩ E ) + P(B ∩ E ) = 0, 1125+ 0, 0075 = 0, 12 Portanto, a probabilidade de um comprador adquirir um veículo que irá realizar um reparo durante a garantia é de 12% Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 101 / 132 Exemplo Para a quarta questão, define-se o evento F = moto não ser recuperada e sabe-se que P(F |E ) = 0, 3. A questão pede para calcular o valor de P(B ∩ E ∩ F ). Pela regra do produto para três eventos, tem-se que: P(B ∩ E ∩ F ) = P(F |E ) ∗ P(E |B) ∗ P(B) = 0, 3 ∗ 0, 03 ∗ 0, 25 = 0, 00225 Portanto, a probabilidade de um comprador adquirir um veículo da marca B, necessitar realizar um reparo durante a garantia e a moto não ser recuperada de 0, 225% Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 102 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 103 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 104 / 132 Probabilidade total Permite descrever um evento a partir de uma partição (conjunto de eventos disjuntos e coletivamente exaustivos) existente ou conhecida do espaço amostral. Definição Seja um evento B e uma partição composta pelo conjunto de eventos A1,A2, · · · ,Aj pertencentes ao espaço amostral S. De acordo com o teorema da probabilidade total, é possível afirmar que: P(B) = P(B|A1) ∗ P(A1) + P(B|A2) ∗ P(A2) + · · ·+ P(B|Aj) ∗ P(Aj) Ou: P(B) = k∑ i=1 P(B|Ai) ∗ P(Ai) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 105 / 132 Teorema da probabilidade total Interpretação: Para um evento B desconhecido, tem-se: Definir (ou encontrar) uma partição pelo conjunto de eventos A1, A2, · · · , An; O evento B pode ser descrito pelos eventos desta partição, através da seguinte equação: B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ · · · ∪ (B ∩ An) Figura : Descrição do evento B por uma partição com quatro eventos. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 106 / 132 Teorema da probabilidade total Como os eventos de uma partição são, necessariamente disjuntos e coletivamente exaustivos, então é possível afirmar que: P(B) = P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + · · ·+ P(B ∩ An) Utilizando a regra do produto para cada partição, tem-se que: P(B) = P(B|A1) ∗ P(A1) + P(B|A2) ∗ P(A2) + · · ·+ P(B|An) ∗ P(An) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 107 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 108 / 132 Teorema de Bayes Utilizado para rever probabilidades previamente calculadas (probabilidade a priori) quando novas informações aparecem; Utilizado para inferência: há o interesse em avaliar a causa ou uma das causas de um evento (efeito observado) acontecer. Então, observa-se o evento (efeito) e verifica-se a probabilidade de o efeito ter sido ocasionado pela causa em questão. Quando se trata apenas de uma causa (evento A) e um efeito observado (evento B), tem-se que: Definição Sejam dois eventos A e B, pertencentes ao espaço amostral S. De acordo com o teorema de Bayes, é possível afirmar que: P(A|B) = P(B|A) ∗ P(A)P(B) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 109 / 132 Teorema de Bayes Quando se trata de um efeito observado (evento B) e apenas uma causa (evento Ai) entre várias possíveis de uma partição (ou seja, estas causas ocorrem para todos os resultados do espaço amostral,mas nunca ocorrem simultaneamente a um resultado), tem-se que: Definição Seja um evento B e uma partição composta pelo conjunto de eventos A1,A2, · · · ,Aj pertencentes ao espaço amostral S. De acordo com o teorema de Bayes, é possível afirmar que, para um determinado evento Ai da partição: P(Ai |B) = P(B|Ai) ∗ P(Ai)P(B|A1) ∗ P(A1) + P(B|A2) ∗ P(A2) + · · ·+ P(B|Aj) ∗ P(Aj) Ou: P(Ai |B) = P(B|Ai) ∗ P(Ai)∑k i=1 P(B|Ai) ∗ P(Ai) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 110 / 132 Teorema de Bayes Interpretação: Reavaliação de um evento Ai da partição a partir da realização do evento B. Conhece-se a probabilidade “a priori” para os eventos eventos A1 , A2, · · · , An do espaço amostral (ou seja, a probabilidade das causas ocorrerem); E, para cada Ai da partição, sabe-se P(B|Ai) (ou seja, para cada causa, conhece-se a probabilidade do efeito ser observado); Deseja-se encontrar P(Ai |B), a probabilidade do efeito ocorrido ter sido ocasionado pela causa de interesse. Pela definição da probabilidade condicional, tem-se que: P(Ai |B) = P(Ai ∩ B)P(B) O valor de P(Ai ∩ B) pode ser definido pela regra do produto: P(Ai ∩ B) = P(B|Ai) ∗ P(Ai) O valor de P(B) pode ser definido pelo teorema da probabilidade total: P(B) = P(B|A1) ∗ P(A1) + P(B|A2) ∗ P(A2) + · · ·+ P(B|An) ∗ P(An) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 111 / 132 Exemplo Estudos sobre uma determinada doença mostraram que ela acomete 1 em cada 500 pessoas e, devido aos efeitos danosos que esta doença apresenta aos pacientes, um teste de diagnóstico foi desenvolvido. O teste funciona de tal forma que, se o indivíduo tiver a doença, o resultado do teste será positivo em 95% dos casos e, se não a tiver, será positivo em apenas 5% das vezes. Se um indivíduo selecionado aleatoriamente fizer o teste e este der positivo, qual a probabilidade dele ter a doença. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 112 / 132 Exemplo Definindo os eventos A = indivíduo tem a doença, B = indivíduo não tem a doença, E = resultado do teste positivo, tem-se que: P(A) = 1500 = 0, 002; P(B) = 499500 = 0, 998; P(E |A) = 0, 95; P(E |B) = 0, 05; Deseja-se calcular o valor de P(A|E ). De acordo com a definição de probabilidade condicional, tem-se que: P(A|E ) = P(A ∩ E )P(E ) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 113 / 132 Exemplo O valor de P(A ∩ E ) pode ser determinada através da regra do produto: P(A ∩ E ) = P(E |A) ∗ P(A) De forma que: P(A ∩ E ) = P(E |A) ∗ P(A) = 0, 95 ∗ 0, 002 = 0, 0019 Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 114 / 132 Exemplo Para fazer o cálculo de P(E ), é preciso observar que A e B formam uma partição do espaço amostral em questão (que envolve selecionar uma pessoa ao acaso). Com isto, é possível determinar o valor de P(E ) através da lei da probabilidade total: P(E ) = P(E |A) ∗ P(A) + P(E |B) ∗ P(B) De forma que: P(E ) = P(E |A) ∗ P(A) + P(E |B) ∗ P(B) = 0, 95 ∗ 0, 002+ 0, 05 ∗ 0, 998 = 0, 0019+ 0, 0499 = 0, 0518 Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 115 / 132 Exemplo Com os valores de P(A ∩ E ) e P(E ), pode-se, enfim, determinar o valor de P(A|E ): P(A|E ) = P(A ∩ E )P(E ) De forma que: P(A|E ) = P(A ∩ E )P(E ) = 0, 0019 0, 0518 ' 0, 0367 Logo, a probabilidade do indivíduo ter a doença sabendo que o teste deu positivo é de 3, 67%. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 116 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 117 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 118 / 132 Independência de eventos Ocorre quando, disponibilizados dois eventos A e B, a realização de um deles em uma etapa anterior do experimento não interfere na chance de realização do outro; Neste caso, P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B); A regra do produto, neste caso, pode ser reescrita, da seguinte forma: Propriedade Para dois eventos independentes A e B pertencentes ao espaço amostral S vale a seguinte afirmação: P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) Importante: Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos OBRIGATORIAMENTE NÃO SÃO INDEPENDENTES ENTRE SI! Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 119 / 132 Independência de eventos A propriedade da independência de eventos pode ser estendida para mais de dois eventos. Propriedade Para um conjunto de n eventos independentes A1, A2, A3, · · · , An pertencentes ao espaço amostral S vale a seguinte afirmação: P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ · · ·An) = P(A1) ∗ P(A2) ∗ P(A3) ∗ · · · ∗ P(An) Ou P ( n⋂ i=1 Ai ) = n∏ i=1 P(Ai) Importante: Neste caso, é preciso verificar TODAS AS COMBINAÇÕES POSSÍVEIS DE INTERSECÇÃO. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 120 / 132 Independência de eventos Verificando se dois eventos, A e B, são independentes entre si: Basta verificar se P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B). Verificando de três eventos, A, B e C , são independentes entre si - É preciso verificar: se P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B); se P(A ∩ C) = P(A) ∗ P(C); se P(B ∩ C) = P(B) ∗ P(C); se P(A ∩ B ∩ C) = P(A) ∗ P(B) ∗ P(C); Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 121 / 132 Exemplo Um fabricante de placas de circuito impresso produz dois lotes de chips para sistemas embarcados em sensores, cada lote fabricado por máquinas diferentes e com funcionamento independente. Sabendo que, em média, 10% dos chips do primeiro lote e 15% dos chips do segundo lote possuem algum defeito, determine a probabilidade de que avaliando duas placas, uma de cada lote, elas estejam com defeito. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 122 / 132 Exemplo Definindo os eventos A = placa de circuito do primeiro lote apresenta defeito e B = placa de circuito do primeiro lote apresenta defeito, tem-se que. P(A) = 0, 1; P(B) = 0, 15. O que se pede é a determinação de P(A ∩ B). O fato dos componentes de cada lote serem produzidos por máquinas diferentes e com funcionamento independente torna os componentes de cada lote independentes um do outro. Portanto os eventos A e B podem ser considerados independentes, e cálculo de P(A ∩ B) passa a ser: P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) Portanto:P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) = 0, 1 ∗ 0, 15 = 0, 015 A probabilidade de ambas as placas selecionadas apresentarem defeito é de 1, 5%. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 123 / 132 Sumario 1 Introdução 2 Experimento aleatório 3 Espaço amostral e eventos Visualização de eventos 4 Teoria dos conjuntos à eventos 5 Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov 6 Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade 7 Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações 8 Probabilidade condicional Definição Regra do produto 9 Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes 10 Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 124 / 132 Independência de eventos Caso de uso: Confiabilidade de um sistema conectando o ponto A ao ponto B: Assume-se que as falhas nos links são independentes; Cada link possui um número indicando a probabilidade dele funcionar. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 125 / 132 Independência de eventos Configuração em série: P(subsistema funcione) = P(AR1 funcione ∩AR2 funcione ∩ ··· ∩ ARn funcione) = P(AR1 funcione)∗P(AR2 funcione)∗···∗P(ARn funcione) = p1 ∗ p2 ∗ · · · ∗ pn−1 ∗ pn Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 126 / 132 Independência de eventos Configuração em paralelo: P(subsistema funcione) = 1− P(subsistema falhe) = 1−P(AR1 falhe ∩ AR2 falhe ∩ ···∩ ARn falhe) = 1−P(AR1 falhe)∗P(AR2 falhe)∗···∗P(ARn falhe) = 1− (1− p1) ∗ (1− p2) ∗ · · · ∗ (1− pn) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 127 / 132 Independência de eventos Para as duas disposições, então, tem-se que: Configuração em série P(subsistema funcione) = p1 ∗ p2 ∗ · · · ∗ pn−1 ∗ pn Configuração em paralelo P(subsistema funcione) = 1− (1− p1) ∗ (1− p2) ∗ · · · ∗ (1− pn−1) ∗ (1− pn) Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 128 / 132 Exemplo Calcule a probabilidade do sistema dado, entre A e B, funcione. (Lembrar que as probabilidades dadas são de cada link funcionar). Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 129 / 132 Exemplo Ideia: quebrar o sistema em subsistemas mais simples (um par de traços irá indicar subsistemas em série, e as barras duplas, subsistemas em paralelo): subsistema S1 : AR4 −−R4B; subsistema S2 : AR1 −−S3; subsistema S3 : S1||S2; subsistema S4 : R1R2 −−R2B; subsistema S5 : R1R3 −−R3B; subsistema AB : S1||S2. Deseja-se calcular P(AB). Então, define-se as probabilidades com segue: Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 130 / 132 Exemplo Subsistema S1: P(S5) = P(R1R4 −−R4B) = P(R1R4) ∗ P(R4B) = 0, 75 ∗ 0, 95 = 0, 7125 Subsistema S4: P(S1) = P(R1R2 −−R2B) = P(R1R2) ∗ P(R2B) = 0, 8 ∗ 0, 9 = 0, 72 Subsistema S5: P(S2) = P(R1R3 −−R3B) = P(R1R3) ∗ P(R3B) = 0, 75 ∗ 0, 85 = 0, 6375 Subsistema S3: P(S3) = P(S1||S2) = 1− (1− P(S1)) ∗ (1− P(S2)) = 1− (1− 0, 72) ∗ (1− 0, 6375) = 1− 0, 28 ∗ 0, 3625 = 1− 0, 1015 = 0, 8985 Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 131 / 132 Exemplo Subsistema S2: P(S4) = P(AR1 −−S3) = P(AR1) ∗ P(S3) = 0, 9 ∗ 0, 8985 = 0, 80865 Subsistema AB: P(S3) = P(S4||S5) = 1− (1− P(S4)) ∗ (1− P(S5)) = 1− (1− 0, 80865) ∗ (1− 0, 7125) = 1− 0, 19135 ∗ 0, 2875 ' 1− 0, 0055 ' 0, 945 Portanto, a probabilidade do sistema funcionar é de, aproximadamente, 94, 5%. Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 132 / 132 Introdução Experimento aleatório Espaço amostral e eventos Visualização de eventos Teoria dos conjuntos à eventos Definições de probabilidade Definição clássica Definição empírica (ou frequentista) Axiomas de Kolmogorov Propriedades elementares da probabilidade Primeiras propriedades Regra geral da união de dois eventos Resumo de probabilidade Métodos de Contagem Introdução Princípio fundamental da contagem Análise combinatória Arranjos Permutações Combinações Probabilidade condicional Definição Regra do produto Teorema de Bayes Probabilidade total Teorema de Bayes Independência de eventos Definição Confiabilidade de sistemas
Compartilhar