Aula 1 - Int. Sist. Eq. Lineares

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 1 - Sistemas de Equac¸o˜es Lineares e Matrizes:
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 26
Motivac¸a˜o
(1) Encontrar a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos (x1, y1) e
(x2, y2), onde (x1, y1) = (2, 1) e (x2, y2) = (3, 7).
Substituindo os pontos dados na equac¸a˜o y = ax + b, temos: 2a + b = 13a + b = 7
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 2 / 26
Motivac¸a˜o
(2) Sabendo-se, pela lei de Kepler, que a o´rbita de um astero´ide em torno
do Sol e´ uma elipse, determine a partir de cinco observac¸o˜es, em
cinco tempos distintos, a o´rbita de um astero´ide espec´ıfico.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 3 / 26
Motivac¸a˜o
Equac¸a˜o da elipse: c1x
2 + c2xy + c3y
2 + c4x + c5y + c6 = 0
Dividindo todos os termos por c6, temos:
d1x
2 + d2xy + d3y
2 + d4x + d5y + 1 = 0.
Substituindo os pontos observados, temos:
d1(8.025)
2 + d2(8.025).(8.310) + d3(8.310)
2 + d4(8.025) + d5(8.310) + 1 = 0
d1(10.170)
2 + d2(10.170).(6.355) + d3(6.355)
2 + d4(10.170) + d5(6.355) + 1 = 0
d1(11.202)
2 + d2(3.212).(11.202) + d3(3.212)
2 + d4(11.202) + d5(3.212) + 1 = 0
d1(10.736)
2 + d2(0.375).(10.736) + d3(0.375)
2 + d4(10.736) + d5(0.375) + 1 = 0
d1(9.092)
2 + d2(−2.267).(9.092) + d3(−2.267)2 + d4(9.092) + d5(−2.267) + 1 = 0
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 4 / 26
Introduc¸a˜o
Muitas vezes na Cieˆncia, na Administrac¸a˜o e na Matema´tica, a informac¸a˜o e´
organizada em linhas e colunas, formando agrupamentos retangulares
denominados matrizes.
Essas matrizes aparecem como tabelas de dados nume´ricos que surgem em
observac¸o˜es f´ısicas, mas tambe´m ocorrem em va´rios contextos matema´ticos.
Veremos que toda a informac¸a˜o necessa´ria para resolver um sistema de
equac¸o˜es como
 5x + y = 32x − y = 4 esta´ encorpada na matriz
5 1 3
2 −1 4
 e
que a soluc¸a˜o do sistema e´ obtida aplicando operac¸o˜es apropriadas nessa
matriz.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 5 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 1
Define-se equac¸a˜o linear nas varia´veis x1, x2, . . . , xn como uma equac¸a˜o
que pode ser expressa na forma
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b (1)
onde a1, a2, . . . , an e b sa˜o constantes e a1, a2, . . . , an na˜o sa˜o todos nulos.
Exemplo 1
(a) A reta no sistema bidimensional ax + by = c e´ uma equac¸a˜o
linear.
(b) O plano no sistema tridimensional ax + by + cz = d e´ uma
equac¸a˜o linear.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 6 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 2
No caso especial em que b = 0, a Equac¸a˜o 1 tem a forma
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = 0 (2)
e e´ denominada equac¸a˜o linear homogeˆnea.
Observac¸a˜o 1
(a) Uma equac¸a˜o linear na˜o envolve produtos ou raizes de varia´veis.
(b) Em uma equac¸a˜o linear todas as varia´veis ocorrem na primeira
poteˆncia e na˜o aparecem como argumentos de func¸o˜es
trigonome´tricas, logar´ıtmicas ou exponenciais.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 7 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Exemplo 2
As seguintes equac¸o˜es sa˜o lineares:
(a) x + 3y = 7
(b) 12x − y + 3z = −1
(c) x1 − 2x2 − 3x3 + x4 = 0
Exemplo 3
As seguintes equac¸o˜es na˜o sa˜o lineares:
(a) x + 3y2 = 7
(b) senx + y = 0
(c)
√
x1 + 2x2 + x3 = 1
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 8 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 3
Um sistema linear de m equac¸o˜es nas n inco´gnitas x1, x2, . . . , xn pode ser
escrito como:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 9 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 4
Uma soluc¸a˜o de um sistema nas n inco´gnitas x1, x2, . . . , xn e´ uma
sequeˆncia de n nu´meros s1, s2, . . . , sn para os quais a substituic¸a˜o
x1 = s1, x2 = s2, . . . . . . , xn = sn
faz com que cada equac¸a˜o seja verdadeira.
Exemplo 4
x = 1 e y = −2 e´ soluc¸a˜o do sistema
 5x + y = 32x − y = 4 .
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 10 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 5
Uma soluc¸a˜o x1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn de um sistema linear em n
inco´gnitas pode ser escrita como
(s1, s2, . . . , sn)
que e´ denominada uma eˆnupla ordenada.
Observac¸a˜o 1
Se n = 2, enta˜o a eˆnupla e´ denomina par ordenado e, se n = 3, a eˆnupla
e´ denominada terno ordenado.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 11 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 6
Um sistema linear e´ consistente se possuir pelo menos uma soluc¸a˜o e
inconsistente se na˜o tiver soluc¸a˜o.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 12 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Os sistemas lineares em duas inco´gnitas aparecem relacionados com
intersec¸a˜o de retas. Por exemplo, considere o sistema a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2
em que os gra´ficos sa˜o retas no plano xy . Cada soluc¸a˜o (x , y) desse
sistema corresponde a um ponto de intersec¸a˜o das retas. Desse modo, ha´
treˆs possibilidades:
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 13 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
(a) Se as retas sa˜o paralelas, enta˜o o sistema na˜o tem soluc¸a˜o e
e´ inconsistente;
(b) Se as retas se intersectam em um u´nico ponto, enta˜o o
sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o;
(c) Se as retas sa˜o coincidentes, enta˜o o sistema possui infinitas
soluc¸o˜es.
Todo sistema de equac¸o˜es lineares tem zero, uma ou infinitas soluc¸o˜es.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 14 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Exemplo 5 (Sistema linear com uma soluc¸a˜o) x − y = 12x + y = 6
Soluc¸a˜o:
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 15 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Exemplo 6 (Sistema linear sem soluc¸a˜o) x + y = 43x + 3y = 6
Soluc¸a˜o:
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 16 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Exemplo 7 (Sistema linear com infinitas soluc¸o˜es) 4x − 2y = 116x − 8y = 4
Soluc¸a˜o:
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 17 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Exemplo 8 (Sistema linear com infinitas soluc¸o˜es)
x − y + 2z = 5
2x − 2y + 4z = 10
3x − 3y + 6z = 15
Soluc¸a˜o:
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 18 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Matrizes aumentadas e operac¸o˜es elementares com linhas
Para facilitar a resoluc¸a˜o de sistemas lineares, associamos ao sistema
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
a matriz

a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
... . . .
...
...
am1 am2 . . . amn bm
, denominada matriz aumentada do
sistema.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 19 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
As operac¸o˜es usadas na resoluc¸a˜o de um sistema linear sa˜o:
1 Multiplicar uma equac¸a˜o inteira por uma constante na˜o nula.
2 Trocar duas equac¸o˜es entre si.
3 Somar uma constante vezes uma equac¸a˜o a uma outra equac¸a˜o.
Essas operac¸o˜es correspondem a`s seguintes operac¸o˜es (operac¸o˜es
elementares com linhas) na matriz aumentada associada ao sistema:
1 Multiplicar uma linha inteira por uma constante na˜o nula.
2 Trocarduas linhas entre si.
3 Somar uma constante vezes uma linha a uma outra linha.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 20 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Exemplo 9 (Usando operac¸o˜es elementares com linhas)
Resolva o sistema abaixo operando nas equac¸o˜es do sistema e nas linhas da
matriz aumentada associada a ele:

x + y + 2z = 9
2x + 4y − 3z = 1
3x + 6y − 5z = 0
Soluc¸a˜o: Vamos denotar as equac¸o˜es por eq1, eq2 e eq3. Da mesma forma,
denotaremos as linhas da matriz por L1, L2 e L3. Abaixo temos o sistema dado e
a matriz aumentada associada a ele:
x + y + 2z = 9
2x + 4y − 3z = 1
3x + 6y − 5z = 0

1 1 2 9
2 4 −3 1
3 6 −5 0

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 21 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Continuac¸a˜o (Soluc¸a˜o)
eq2 = eq2 − 2eq1 e L2 = L2 − 2L1
x + y + 2z = 9
0 + 2y − 7z = −17
3x + 6y − 5z = 0

1 1 2 9
0 2 −7 −17
3 6 −5 0

eq3 = eq3 − 3eq1 e L3 = L3 − 3L1
x + y + 2z = 9
0 + 2y − 7z = −17
0 + 3y − 11z = −27

1 1 2 9
0 2 −7 −17
0 3 −11 −27

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 22 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Continuac¸a˜o (Soluc¸a˜o)
eq2 =
1
2eq2 e L2 =
1
2L2
x + y + 2z = 9
0 + y − 72z = −172
0 + 3y − 11z = −27

1 1 2 9
0 1 −72 −172
0 3 −11 −27

eq3 = eq3 − 3eq2 e L3 = L3 − 3L2
x + y + 2z = 9
0 + y − 72z = −172
0 + 0− 12z = −32

1 1 2 9
0 1 −72 −172
0 0 −12 −32

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 23 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Continuac¸a˜o (Soluc¸a˜o)
eq3 = −2eq3 e L3 = −2L3
x + y + 2z = 9
0 + y − 72z = −172
0 + 0 + z = 3

1 1 2 9
0 1 −72 −172
0 0 1 3

eq1 = eq1 − eq2 e L1 = L1 − L2
x + 0 + 112 z =
35
2
0 + y − 72z = −172
0 + 0 + z = 3

1 0 112
35
2
0 1 −72 −172
0 0 1 3

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 24 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Continuac¸a˜o (Soluc¸a˜o)
eq1 = eq1 − 112 eq3 e L1 = L1 − 112 L3
x + 0 + 0 = 1
0 + y − 72z = −172
0 + 0 + z = 3

1 0 0 1
0 1 −72 −172
0 0 1 3

eq2 = eq2 +
7
2eq3 e L2 = L2 +
7
2L3
x + 0 + 0 = 1
0 + y + 0 = 2
0 + 0 + z = 3

1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
 ⇒ x = 1, y = 2, z = 3
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 25 / 26
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Exerc´ıcios: Lista 1.1
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 26 / 26