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Slide da Aula de Sistemas Lineares e Regra de Cramer
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Disciplina de Álgebra Linear Aula de Sistemas Lineares e Regra de Cramer Paulo Ricardo Pinheiro Sampaio Universidade de Fortaleza - UNIFOR ppinheirosampaio@unifor.br 2020 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Definição de equação linear Seja n um inteiro positivo. Chama - se equação linear a n incógnitas toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b em que a1, a2, · · · , an, b são números reais geralmente conhecidos, x1, · · · , xn são as n variáveis reais da equação. Observação Chamamos cada ai de coeficiente de xi e b de termo independente da equação. Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Exemplo 1 2x+ 2y = 0 2 3x+ y + z = −1 3 5x1 + 6x2 + x3 − x4 = 8 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Definição de sistema linear Sejam m e n inteiros positivos. Chama - se sistemas linear a m equações lineares e n incógnitas (variáveis) todo sistema com m equações lineares, todas às mesmas n incógnitas, ou seja, um sistema do tipo a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ... ... . . . ... ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm em que a11, a12, · · · , amn, b1, b2, · · · , bm são números reais geralmente conhecidos, x1, · · · , xn são as n variáveis reais do sistema. Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Exemplo 1 x + y + z = 1 2x + 3y + z = 2 5x + 2y + 4z = 3 2 x1 + x2 + 5x3 − 8x4 = 1 x1 + 4x2 + 13x3 − 3x4 = 1 − 2x1 + x2 − 2x3 + 21x4 = −2 3x2 + 8x3 + 5x4 = 0 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Observações a11, a12, · · · , amn são chamados de coeficientes do sistema e b1, b2, · · · , bm são chamados de termos livres ou independentes Note que em um sistema linear as variáveis xi possuem potência 1 e não temos o produto de uma variável xi por outra variável xj. Chama - se solução do sistema linear, toda lista ordenada (x1, x2, . . . , xn) de números reais que satisfaz a todas as equações do sistema. Chama - se conjunto solução do sistema linear, o conjunto constitúıdo de todas as soluções. Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, imposśıvel, posśıvel determinado ou posśıvel indeterminado conforme seu conjunto solução seja vazio, unitário ou tenha pelo menos dois elementos. Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Observações a11, a12, · · · , amn são chamados de coeficientes do sistema e b1, b2, · · · , bm são chamados de termos livres ou independentes Note que em um sistema linear as variáveis xi possuem potência 1 e não temos o produto de uma variável xi por outra variável xj. Chama - se solução do sistema linear, toda lista ordenada (x1, x2, . . . , xn) de números reais que satisfaz a todas as equações do sistema. Chama - se conjunto solução do sistema linear, o conjunto constitúıdo de todas as soluções. Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, imposśıvel, posśıvel determinado ou posśıvel indeterminado conforme seu conjunto solução seja vazio, unitário ou tenha pelo menos dois elementos. Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Observações a11, a12, · · · , amn são chamados de coeficientes do sistema e b1, b2, · · · , bm são chamados de termos livres ou independentes Note que em um sistema linear as variáveis xi possuem potência 1 e não temos o produto de uma variável xi por outra variável xj. Chama - se solução do sistema linear, toda lista ordenada (x1, x2, . . . , xn) de números reais que satisfaz a todas as equações do sistema. Chama - se conjunto solução do sistema linear, o conjunto constitúıdo de todas as soluções. Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, imposśıvel, posśıvel determinado ou posśıvel indeterminado conforme seu conjunto solução seja vazio, unitário ou tenha pelo menos dois elementos. Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Observações a11, a12, · · · , amn são chamados de coeficientes do sistema e b1, b2, · · · , bm são chamados de termos livres ou independentes Note que em um sistema linear as variáveis xi possuem potência 1 e não temos o produto de uma variável xi por outra variável xj. Chama - se solução do sistema linear, toda lista ordenada (x1, x2, . . . , xn) de números reais que satisfaz a todas as equações do sistema. Chama - se conjunto solução do sistema linear, o conjunto constitúıdo de todas as soluções. Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, imposśıvel, posśıvel determinado ou posśıvel indeterminado conforme seu conjunto solução seja vazio, unitário ou tenha pelo menos dois elementos. Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Observações a11, a12, · · · , amn são chamados de coeficientes do sistema e b1, b2, · · · , bm são chamados de termos livres ou independentes Note que em um sistema linear as variáveis xi possuem potência 1 e não temos o produto de uma variável xi por outra variável xj. Chama - se solução do sistema linear, toda lista ordenada (x1, x2, . . . , xn) de números reais que satisfaz a todas as equações do sistema. Chama - se conjunto solução do sistema linear, o conjunto constitúıdo de todas as soluções. Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, imposśıvel, posśıvel determinado ou posśıvel indeterminado conforme seu conjunto solução seja vazio, unitário ou tenha pelo menos dois elementos. Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Representação matricial de um sistema linear A representação matricial do sistema linear a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ... ... . . . ... ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm é dada por a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn m×n x1 x2 ... xn n×1 = b1 b2 ... bm m×1 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Observação A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn m×n é a matriz dos coeficientes X = x1 x2 ... xn n×1 é a matriz das variáveis Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Observação A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn m×n é a matriz dos coeficientes X = x1 x2 ... xn n×1 é a matriz das variáveis Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer B = b1 b2 ... bm m×1 é a matriz dos termos independentes Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Exemplo x + y + z = 1 2x + 3y + z = 2 5x + 2y + 4z = 3 Representação matricial 1 1 12 3 1 5 2 4 3×3 xy z 3×1 = 12 3 3×1 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Exemplo x + y + z = 1 2x + 3y + z = 2 5x + 2y + 4z = 3 Representação matricial 1 1 12 3 1 5 2 4 3×3 xy z 3×1 = 12 3 3×1 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Regra de Cramer Seja AX = B a representação matricial de um sistema linear de n equações e n incógnitas. Se det (A) 6= 0, então o sistema linear possui uma única solução (x1, x2, · · · , xj, · · · , xn) , onde xj = det (A1, A2, · · · .B, · · · , An) det (A) Observação A j-ésima coluna da matriz A, ou seja, Aj, é substitúıda pela matriz B dos termos independente. Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Regra de Cramer Seja AX = B a representação matricial de um sistema linear de n equações e n incógnitas. Se det (A) 6= 0, então o sistema linear possui uma única solução (x1, x2, · · · , xj, · · · , xn) , onde xj = det (A1, A2, · · · .B, · · · , An) det (A) Observação Aj-ésima coluna da matriz A, ou seja, Aj, é substitúıda pela matriz B dos termos independente. Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Exemplo x + y + z = 1 2x + 3y + z = 2 5x + 2y + 4z = 3 Representação matricial 1 1 12 3 1 5 2 4 3×3 xy z 3×1 = 12 3 3×1 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Exemplo x + y + z = 1 2x + 3y + z = 2 5x + 2y + 4z = 3 Representação matricial 1 1 12 3 1 5 2 4 3×3 xy z 3×1 = 12 3 3×1 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · ∣∣∣∣ 3 12 4 ∣∣∣∣ − 1 · ∣∣∣∣ 2 15 4 ∣∣∣∣ + 1 · ∣∣∣∣ 2 35 2 ∣∣∣∣ = −4 x = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 3 2 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 0; y = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 2 1 5 3 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 ; z = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 2 5 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · ∣∣∣∣ 3 12 4 ∣∣∣∣ − 1 · ∣∣∣∣ 2 15 4 ∣∣∣∣ + 1 · ∣∣∣∣ 2 35 2 ∣∣∣∣ = −4 x = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 3 2 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 0; y = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 2 1 5 3 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 ; z = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 2 5 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · ∣∣∣∣ 3 12 4 ∣∣∣∣ − 1 · ∣∣∣∣ 2 15 4 ∣∣∣∣ + 1 · ∣∣∣∣ 2 35 2 ∣∣∣∣ = −4 x = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 3 2 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 0; y = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 2 1 5 3 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 ; z = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 2 5 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · ∣∣∣∣ 3 12 4 ∣∣∣∣ − 1 · ∣∣∣∣ 2 15 4 ∣∣∣∣ + 1 · ∣∣∣∣ 2 35 2 ∣∣∣∣ = −4 x = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 3 2 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 0; y = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 2 1 5 3 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 ; z = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 2 5 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · ∣∣∣∣ 3 12 4 ∣∣∣∣ − 1 · ∣∣∣∣ 2 15 4 ∣∣∣∣ + 1 · ∣∣∣∣ 2 35 2 ∣∣∣∣ = −4 x = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 3 2 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 0; y = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 2 1 5 3 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 ; z = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 2 5 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · ∣∣∣∣ 3 12 4 ∣∣∣∣ − 1 · ∣∣∣∣ 2 15 4 ∣∣∣∣ + 1 · ∣∣∣∣ 2 35 2 ∣∣∣∣ = −4 x = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 3 2 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 0; y = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 2 1 5 3 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 ; z = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 2 5 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · ∣∣∣∣ 3 12 4 ∣∣∣∣ − 1 · ∣∣∣∣ 2 15 4 ∣∣∣∣ + 1 · ∣∣∣∣ 2 35 2 ∣∣∣∣ = −4 x = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 3 2 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 0; y = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 2 1 5 3 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 ; z = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 2 5 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · ∣∣∣∣ 3 12 4 ∣∣∣∣ − 1 · ∣∣∣∣ 2 15 4 ∣∣∣∣ + 1 · ∣∣∣∣ 2 35 2 ∣∣∣∣ = −4 x = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 3 2 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 0; y = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 2 1 5 3 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 ; z = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 2 5 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · ∣∣∣∣ 3 12 4 ∣∣∣∣ − 1 · ∣∣∣∣ 2 15 4 ∣∣∣∣ + 1 · ∣∣∣∣ 2 35 2 ∣∣∣∣ = −4 x = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 3 2 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 0; y = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 2 1 5 3 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 ; z = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 2 5 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · ∣∣∣∣ 3 12 4 ∣∣∣∣ − 1 · ∣∣∣∣ 2 15 4 ∣∣∣∣ + 1 · ∣∣∣∣ 2 35 2 ∣∣∣∣ = −4 x = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 3 2 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 0; y = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 2 1 5 3 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 ; z = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 2 5 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · ∣∣∣∣ 3 12 4 ∣∣∣∣ − 1 · ∣∣∣∣ 2 15 4 ∣∣∣∣ + 1 · ∣∣∣∣ 2 35 2 ∣∣∣∣ = −4 x = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 3 2 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 0; y = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 2 1 5 3 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 ; z = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 2 5 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 3 1 5 2 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 2 Paulo Ricardo Álgebra Linear Sistemas Lineares e Regra de Cramer Exerćıcio Resolva os sistemas lineares abaixo usando a regra de Cramer 1. x + y + 2z = 1 2x + 3y + 3z = 2 4x + 4y + 5z = 5 2. x − 2y + z = 0 2y − 8z = 8 −4x + 5y + 9z = −9 Paulo Ricardo Álgebra Linear
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