Aula 2 - Eliminação Gaussiana

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 2 - Sistemas de Equac¸o˜es Lineares e Matrizes:
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 27
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Uma matriz esta´ em forma escalonada por linhas se tiver as seguintes
propriedades:
1. Se uma linha na˜o consistir inteiramente em zeros, enta˜o o primeiro
nu´mero na˜o nulo da linha e´ 1. Nesse caso, o nu´mero 1 e´ denominado
pivoˆ.
2. Se existirem linhas constitu´ıdas inteiramente de zeros, enta˜o elas
esta˜o agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz.
3. Em quaisquer duas linhas sucessivas que na˜o consistem so´ em zeros, o
pivoˆ da linha inferior ocorre mais a` direita do que o pivoˆ da linha
superior.
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Uma matriz esta´ em forma escalonada reduzida por linhas se, ale´m das
propriedades 1, 2 e 3 listadas anteriormente, tiver a seguinte propriedade:
4. Cada coluna que conte´m um pivoˆ tem zeros nas demais entradas.
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Exemplo 1
Exemplo de matrizes na forma escalonada reduzida por linhas.
(a)

1 0 0 4
0 1 0 7
0 0 1 −1
 (b)

1 0 0
0 1 0
0 0 1

(c)

0 1 −2 0 1
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 (d)
0 0
0 0

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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Exemplo 2
Exemplo de matrizes na forma escalonada por linhas.
(a)

1 4 −3 7
0 1 6 2
0 0 1 5
 (b)

1 1 0
0 1 0
0 0 0

(c)

0 1 2 6 0
0 0 1 −1 0
0 0 0 0 1

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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Exemplo 3
Suponha que a matriz aumentada de um sistema linear nas inco´gnitas
x1, x2, x3 e x4 tenha sido reduzida por operac¸o˜es elementares a` seguinte
matriz: 
1 0 0 0 3
0 1 0 0 −1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 5

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Eliminac¸a˜o Gaussiana
A matriz acima corresponte ao seguinte sistema linear:

x1 = 3
x2 = −1
x3 = 0
x4 = 5
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Exemplo 4
Encontre a soluc¸a˜o dos sistemas lineares que foram reduzidas por operac¸o˜es
elementares a`s seguintes matrizes:
(a)

1 0 0 0
0 1 2 0
0 0 0 1
 (b)

1 0 3 −1
0 1 −4 2
0 0 0 0

(c)

1 −5 1 4
0 0 0 0
0 0 0 0

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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Operac¸o˜es Elementares
(a) Multiplicar uma linha por um escalar na˜o nulo.
(b) Permutar duas linhas.
(c) Somar a uma linha um mu´ltiplo de outra linha.
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan: Procedimento usado para reduzir uma
matriz, por operac¸o˜es elementares, a` forma escalonada reduzida por
linhas.
Eliminac¸a˜o Gaussiana: Procedimento usado para reduzir uma matriz, por
operac¸o˜es elementares, a` forma escalonada por linhas.
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Exemplo 5
Use a eliminac¸a˜o gaussiana para reduzir a matriz abaixo a` forma
escalonada por linhas:

0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1

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Passo 1. Localizar a coluna mais a` esquerda que na˜o seja constitu´ıda
inteiramente de zeros. 
0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1

A primeira coluna conte´m elementos na˜o nulos.
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 2. Permutar a primeira linha com uma outra linha, se necessa´rio,
para obter uma entrada na˜o nula ao topo da coluna encontrada no Passo
1.

0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1

︸ ︷︷ ︸
L1↔L2
∼

2 4 −10 6 12 28
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1

Foram permutadas a primeira e a segunda linhas.
Notac¸a˜o: L1 ↔ L2.
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Passo 3. Se a entrada que agora esta´ no topo da matriz for a, enta˜o
multiplica-se a linha 1 por 1a para introduzir um pivoˆ.
2 4 −10 6 12 28
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1

︸ ︷︷ ︸
L1→ 12L1
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1

A primeira linha foi multiplicada por 12 .
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 4. Soma-se mu´ltiplos convenientes da primeira linha a`s linhas
inferiores para obter zeros em todas as entradas abaixo do pivoˆ.

1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1

︸ ︷︷ ︸
L3→L3−2L1
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
0 0 5 0 −17 −29

Menos duas vezes a linha 1 foi somada a linha 3. Notac¸a˜o: L3 → L3 − 2L1
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Passo 5. Desconsiderar a linha 1 e recomec¸ar aplicando o passo 1 ao
restante da matriz.

1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
0 0 5 0 −17 −29

A terceira coluna abaixo da linha 1 conte´m elementos na˜o nulos e o primeiro
deles e´ diferente de zero.
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Passo 5.1 Encontrar o pivoˆ.

1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
0 0 5 0 −17 −29

︸ ︷︷ ︸
L2→− 12L2
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 5 0 −17 −29

Menos 12 foi multiplicado a linha 2. Notac¸a˜o: L2 → − 12L2
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 5.2 Obter zeros nas entradas abaixo do pivoˆ.

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 5 0 −17 −29

︸ ︷︷ ︸
L3→L3−5L2
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1/2 1

Menos 5 vezes a linha 2 foi somado a linha 3. Notac¸a˜o: L3 → L3 − 5L2
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 5.3 Desconsiderar a primeira e segunda linha e procurar uma coluna
com elementos na˜o nulos no restante da matriz.

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1/2 1

A quinta coluna abaixo da primeira e segunda linhas tem um elemento na˜o nulo.
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 5.4 Encontrar o pivoˆ.
1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1/2 1

︸ ︷︷ ︸
L3→2L3
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1 2

A terceira linha foi multiplicada por 2. Notac¸a˜o: L3 → 2L3
A matriz resultante esta´ na forma escalonada por linhas.
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Exemplo 6
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas da matriz do exemplo
anterior.
Dando continuac¸a˜o nos passos trabalhos no exemplo anterior temos:
Passo 6. A partir da forma escalonada por linhas, cada coluna que
conte´m pivoˆ deve ter zeros nas demais entradas.
1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1 2

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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 6.1 Cada coluna que conte´m pivoˆ deve ter zero nas demais
entradas. 
1 2 0 3 0 7
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 2

L1 → L1 + 5L2
L1 → L1− 232 L3
L2 → L2 + 72L3
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Exemplo 7
Use a eliminac¸a˜o gaussiana para encontrar a soluc¸a˜o do sistema abaixo:
x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0
2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = −1
5x3 + 10x4 + 15x6 = 5
2x1 + 6x2+ 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Exemplo 8
Use a eliminac¸a˜o gaussiana para encontrar a soluc¸a˜o do sistema abaixo:
x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0
2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = 0
5x3 + 10x4 + 15x6 = 0
2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 0
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Teorema 1 (Teorema das varia´veis livres de sistemas homogeˆneos)
Se um sistema linear homogeˆneo tiver n inco´gnitas e se a forma
escalonada reduzida de sua matriz aumentada tiver r linhas na˜o nulas,
enta˜o o sistema tem n − r varia´veis livres.
Teorema 2
Um sistema linear homogeˆneo com mais inco´gnitas que equac¸o˜es tem uma
infinidade de soluc¸o˜es.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 25 / 27
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Exemplo 9
Suponha que as matrizes abaixo, que esta˜o na forma escalonada por linha, sa˜o
matrizes aumentadas de sistemas lineares nas varia´veis x1, x2, x3 e x4. Discuta a
existeˆncia e unicidade de soluc¸o˜es dos sistemas correspondentes.
(a)

1 −3 7 2 5
0 1 2 −4 1
0 0 1 6 9
0 0 0 0 1
 (b)

1 −3 7 2 5
0 1 2 −4 1
0 0 1 6 9
0 0 0 0 0

(c)

1 −3 7 2 5
0 1 2 −4 1
0 0 1 6 9
0 0 0 1 0

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 26 / 27
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Exerc´ıcios: Lista 1.1
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