Resolva, pelo método da eliminação gaussiana, o sistema de equações lineares \begin{equation*} \left\{ \begin{matrix} x & + & y & + & 2z & + &3w &...

Para resolver o sistema de equações lineares pelo método da eliminação gaussiana, vamos realizar operações elementares nas equações para obter uma forma escalonada. Aqui está o passo a passo: 1. Começamos com o sistema de equações: \begin{equation*} \left\{ \begin{matrix} x + y + 2z + 3w = 13\\ x - 2y + z + w = 8\\ 3x + y + z - w = 1 \end{matrix} \right. \end{equation*} 2. Vamos usar a primeira equação como referência e eliminar o coeficiente de x nas outras equações. Para isso, multiplicamos a primeira equação por -1 e somamos com a segunda equação: \begin{equation*} \left\{ \begin{matrix} x + y + 2z + 3w = 13\\ -3y - z - 2w = -5\\ 3x + y + z - w = 1 \end{matrix} \right. \end{equation*} 3. Agora, vamos usar a primeira equação novamente como referência e eliminar o coeficiente de x na terceira equação. Para isso, multiplicamos a primeira equação por -3 e somamos com a terceira equação: \begin{equation*} \left\{ \begin{matrix} x + y + 2z + 3w = 13\\ -3y - z - 2w = -5\\ -8y - 5z - 10w = -38 \end{matrix} \right. \end{equation*} 4. Agora, vamos usar a segunda equação como referência e eliminar o coeficiente de y na terceira equação. Para isso, multiplicamos a segunda equação por -8 e somamos com a terceira equação: \begin{equation*} \left\{ \begin{matrix} x + y + 2z + 3w = 13\\ -3y - z - 2w = -5\\ -3z - 2w = -6 \end{matrix} \right. \end{equation*} 5. Agora, vamos resolver o sistema reduzido. Podemos reescrever a terceira equação como: \begin{equation*} -3z - 2w = -6 \Rightarrow z = \frac{2}{3}w - 2 \end{equation*} 6. Substituindo o valor de z na segunda equação, temos: \begin{equation*} -3y - \left(\frac{2}{3}w - 2\right) - 2w = -5 \end{equation*} 7. Simplificando a equação acima, encontramos: \begin{equation*} -3y - \frac{2}{3}w + 2 - 2w = -5 \Rightarrow -3y - \frac{8}{3}w = -7 \end{equation*} 8. Agora, vamos resolver o sistema reduzido novamente. Podemos reescrever a equação acima como: \begin{equation*} -3y - \frac{8}{3}w = -7 \Rightarrow y = -\frac{8}{9}w + \frac{7}{3} \end{equation*} 9. Substituindo os valores de y e z na primeira equação, temos: \begin{equation*} x + \left(-\frac{8}{9}w + \frac{7}{3}\right) + 2\left(\frac{2}{3}w - 2\right) + 3w = 13 \end{equation*} 10. Simplificando a equação acima, encontramos: \begin{equation*} x - \frac{8}{9}w + \frac{14}{3} + \frac{4}{3}w - 4 + 3w = 13 \Rightarrow x + \frac{11}{9}w = \frac{20}{3} \end{equation*} Agora temos o sistema reduzido: \begin{equation*} \left\{ \begin{matrix} x + \frac{11}{9}w = \frac{20}{3}\\ y = -\frac{8}{9}w + \frac{7}{3}\\ z = \frac{2}{3}w - 2 \end{matrix} \right. \end{equation*} Podemos escolher um valor para w e, em seguida, encontrar os valores correspondentes para x, y e z. Por exemplo, se escolhermos w = 9, temos: \begin{equation*} \left\{ \begin{matrix} x + \frac{11}{9}(9) = \frac{20}{3}\\ y = -\frac{8}{9}(9) + \frac{7}{3}\\ z = \frac{2}{3}(9) - 2 \end{matrix} \right. \end{equation*} Resolvendo as equações acima, encontramos: \begin{equation*} \left\{ \begin{matrix} x = \frac{1}{3}\\ y = -\frac{1}{3}\\ z = 4\\ w = 9 \end{matrix} \right. \end{equation*} Portanto, a solução do sistema de equações lineares é x = 1/3, y = -1/3, z = 4 e w = 9.