Aula 21 - Diagonalização Ortogonal

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 21 - Autovalores e Autovetores
Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 16
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
1. H. Anton, C. Rorres. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a ed.
Porto Alegre: Bookman, 2001.
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Aula 21 - Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Objetivo
Encontrar uma base ortonormal de Rn com o produto interno euclidiano
que consista de autovetores de uma matriz A de tamanho n× n.
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Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Para encontrar a base do Rn formada por autovetores de uma matriz A
iremos utilizar a definic¸a˜o abaixo e o pro´ximo teorema.
Definic¸a˜o 1.1
Uma matriz quadrada P e´ ortogonal se P−1 = P T .
Observac¸a˜o 1.1
Se P e´ matriz ortogonal, enta˜o PP T = I e P TP = I. Esta propriedade
pode ser usada como um crite´rio para verificar se uma matriz quadrada P
e´ ortogonal.
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Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Teorema 1.1
Se P e´ uma matriz n× n as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) P e´ ortogonal.
(b) Os vetores-linha de P formam um conjunto ortonormal de
Rn em relac¸a˜o ao produto interno euclidiano.
(c) Os vetores-coluna de P formam um conjunto ortonormal de
Rn em relac¸a˜o ao produto interno euclidiano.
Isto e´, se conseguirmos encontrar uma matriz P (ortogonal) formada por
autovetores, o problema de encontrar uma base de Rn esta´ resolvido.
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Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Uma matriz A de tamanho n× n e´ ortogonalmente diagonaliza´vel se
existir uma matriz ortogonal P tal que P−1AP = D, isto e´, P TAP = D,
onde D e´ uma matriz diagonal.
Problema´tica:
Quais matrizes A sa˜o ortogonalmente diagonaliza´veis?
Como encontrar uma matriz ortogonal P que diagonaliza A?
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Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Respostas a`s perguntas anteriores:
Suponha que A e´ ortogonalmente diagonaliza´vel. Logo,
P TAP = D (1)
Como P e´ ortogonal, temos que
PP T = P TP = I (2)
Multiplicando (1) por P a esquerda e por P T a direita, temos que
A = PDP T (3)
Transpondo ambos os lados de (3) e usando DT = D, temos
AT = (PDP T )T = (P T )TDTP T = PDP T = A (4)
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Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Conclusa˜o :
Para A ser ortogonalmente diagonaliza´vel a matriz A tem que ser
sime´trica, isto e´
A = AT
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Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Teorema 1.2
Se A e´ uma matriz n× n, enta˜o as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) A e´ ortogonalmente diagonaliza´vel.
(b) A tem um conjunto ortonormal de n autovetores.
(c) A e´ sime´trica.
Teorema 1.3
Se A e´ uma matriz sime´trica, enta˜o:
(a) Os autovalores de A sa˜o reais.
(b) Autovalores de auto-espac¸os diferentes sa˜o ortogonais.
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Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Procedimento para diagonalizar ortogonalmente uma matriz
sime´trica A
Passo 1: Encontre uma base para cada auto-espac¸o de A.
Passo 2: Aplique o processo de Gram-Schmidt a cada uma destas
bases para obter uma base ortonormal de cada auto-espac¸o.
Passo 3: Forme a matriz P cujas colunas sa˜o os vetores de base
constru´ıdos no Passo 2; esta matriz diagonaliza A ortogonalmente.
As colunas de P constituem uma base ortonormal de Rn.
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Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Exemplo 1.1
Encontre uma matriz ortogonal P que diagonaliza
A =
4 2 22 4 2
2 2 4
 .
(Esse problema e´ equivalente a`: Encontre uma base ortonormal de R3 a
partir da matriz A)
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Soluc¸a˜o:
A equac¸a˜o caracter´ıstica de A e´:
det(λI −A) = 0 ⇒ det
λ− 4 −2 −2−2 λ− 4 −2
−2 −2 λ− 4
 = 0
⇒ (λ− 2)2(λ− 8) = 0 (5)
Da equac¸a˜o (5), segue que os autovalores de A sa˜o λ = 2 e λ = 8
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Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Continuac¸a˜o:
Para λ = 2, pode ser mostrado que
→
u1=
−11
0
 , →u2=
−10
1

formam uma base para o auto-espac¸o. Aplicando o processo de
Gram-Schimidt a {→u1, →u2} e normalizando os vetores encontrados,
obtemos os seguintes vetores ortonormais:
→
v1=
−1/√21/√2
0
 , →v2=
−1/
√
6
−1/√6
2/
√
6

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Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Continuac¸a˜o:
Para λ = 8, pode ser mostrado que
→
u3=
11
1

forma uma base para o auto-espac¸o. Aplicando o processo de
Gram-Schimidt a {→u3} e normalizando o vetor encontrado, obtemos os
seguintes vetores ortonormais:
→
v3=
1/
√
3
1/
√
3
1/
√
3

Observe que quando a base de autovetores possue apenas um vetor o processo de
Gram-Schimidt resultara´ no pro´prio vetor. Enta˜o, basta normalizar.
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Diagonalizac¸a˜o Ortogonal
Continuac¸a˜o:
Os vetores
→
v1,
→
v2 e
→
v3 sa˜o as colunas da matriz ortogonal P que
diagonaliza A ortogonalmente.
P =
−1/
√
2 −1/√6 1/√3
1/
√
2 −1/√6 1/√3
0 2/
√
6 1/
√
3

O conjunto {→v1, →v2,→v3} e´ uma base ortonormal de R3 associada a` matriz A.
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Exerc´ıcios: Lista 5.1
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