Aula 23 - Núcleo e Imagem

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 23 - Transformac¸o˜es Lineares
Nu´cleo e Imagem
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 15
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
1. H. Anton, C. Rorres. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a ed.
Porto Alegre: Bookman, 2001.
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Nu´cleo e Imagem
Definic¸a˜o 1.1
Seja T : V →W uma transformac¸a˜o linear. A imagem de T e´ o conjunto
dos vetores
→
w∈W tais que existe um vetor →v∈ V que satisfaz T (→v ) =→w.
Em notac¸a˜o matema´tica:
Im(T ) = {→w∈W |T (→v ) =→w para algum →v∈ V }.
Observac¸a˜o :
Im(T ) e´ um subconjunto de W .
Uma notac¸a˜o alternativa para Im(T ) e´ T (V ).
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Nu´cleo e Imagem
Definic¸a˜o 1.2
Seja T : V →W uma aplicac¸a˜o linear. O conjunto de todos os vetores
→
v∈ V tais que T (→v ) =→0 e´ chamado nu´cleo de T e denotado por
Nuc(T ). Em notac¸a˜o matema´tica:
Nuc(T ) = {→v∈ V |T (→v ) =→0}.
Observac¸a˜o :
Nuc(T ) e´ um subconjunto de V .
Uma notac¸a˜o alternativa para Nuc(T ) e´ ker(T ).
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Nu´cleo e Imagem
Observac¸a˜o 1.1
Seja T : Rn → Rm a transformac¸a˜o linear com matriz canoˆnica A,
definida por T (
→
x) = A
→
x .
(a) O espac¸o-nulo de A consiste de todos os vetores
→
x tais que
A
→
x=
→
0 . Assim, o nu´cleo de T e´ o espac¸o-nulo de A.
(b) O espac¸o-coluna de A consiste de todos os vetores
→
w∈ Rm
para os quais existe pelo menos um vetor
→
x∈ Rn tal que
A
→
x=
→
w. Assim, a imagem de T e´ o espac¸o-coluna de A.
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Nu´cleo e Imagem
Exemplo 1.1
Seja T : R3 → R3 a transformac¸a˜o linear definida por
T (x, y, z) = (x, 2y, 0).
(a) Encontre uma base para o nu´cleo de T .
(b) Encontre uma base para a imagem de T .
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Nu´cleo e Imagem
Soluc¸a˜o:
T : R3 → R3 e´ definida por T (x, y, z) = (x, 2y, 0). Considerando os
vetores da base canoˆnica
→
i= (1, 0, 0),
→
j= (0, 1, 0) e
→
k= (0, 0, 1), temos:
T (1, 0, 0) = (1, 0, 0)
T (0, 1, 0) = (0, 2, 0)
T (0, 0, 1) = (0, 0, 0)
Assim, a matriz canoˆnica da transformac¸a˜o linear e´:
A =
1 0 00 2 0
0 0 0
 .
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Nu´cleo e Imagem
Continuac¸a˜o:
(a) Como o nu´cleo de T coincide com o espac¸o-nulo de A, isto
e´, com o espac¸o-soluc¸a˜o de A
→
x=
→
0 , escalonando a matriz
aumentada equivalente a esse sistema homogeˆneo, temos:1 0 0 00 2 0 0
0 0 0 0
 ∼
1 0 0 00 1 0 0
0 0 0 0
. Resolvendo o sistema
equivalente a` matriz escalonada, teremos como soluc¸a˜o
(x, y, z) = t(0, 0, 1). Logo, o nu´cleo de T e´
Nuc(T ) = {t(0, 0, 1)} cuja base e´ {(0, 0, 1)}.
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Nu´cleo e Imagem
Continuac¸a˜o:
(b) Como a imagem de T coincide com o espac¸o-coluna de A,
escalonando a matriz A, temos:
A =
1 0 00 2 0
0 0 0
 ∼
1 0 00 1 0
0 0 0
. Voltando na matriz A, as
colunas equivalentes a`s posic¸o˜es de pivoˆs da matriz
escalonada constitui a base do espac¸o-coluna. Logo,
{(1, 0, 0), (0, 2, 0)} e´ a base do espac¸o-coluna de A e
tambe´m base da imagem de T .
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Nu´cleo e Imagem
Teorema 1.1
Se T : V →W e´ uma transformac¸a˜o linear, enta˜o:
(a) O nu´cleo de T e´ um subespac¸o de V .
(b) A imagem de T e´ um subespac¸o de W .
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Definic¸a˜o 1.3
Seja T : V →W uma transformac¸a˜o linear.
(a) O posto de T , denotado por pos(T ), e´ a dimensa˜o da
imagem de T .
(b) A nulidade de T , denotada por nul(T ), e´ a dimensa˜o do
nu´cleo de T .
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Teorema 1.2
Se A e´ uma matriz canoˆnica m× n associada a` transformac¸a˜o linear
T : Rn → Rm, enta˜o:
(a) nul(T ) = nul(A).
(b) pos(T ) = pos(A).
Teorema 1.3
Se T : V →W e´ uma transformac¸a˜o linear, enta˜o
pos(T ) + nul(T ) = dim(V )
ou
dim(Im(T )) + dim(Nuc(T )) = dim(V ).
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Exemplo 1.2
Seja T : R6 → R4 a transformac¸a˜o linear cuja matriz canoˆnica e´
A =

−1 2 0 4 5 −3
3 −7 2 0 1 4
2 −5 2 4 6 1
4 −9 2 −4 −4 7
 .
Encontre o posto e a nulidade de T .
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Nu´cleo e Imagem
Soluc¸a˜o:
Reduzindo a matriz A atrave´s da eliminac¸a˜o gaussiana, obtemos:
1 −2 0 −4 −5 3
0 1 −2 −12 −16 5
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
 .
Como a forma escalonada tem duas linhas na˜o nulas temos:
Posto de T : pos(T ) = pos(A)=2.
Nulidade de T : nul(T ) = nul(A) = 6− 2 = 4.
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Exerc´ıcios: Lista 6.1
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