Apostila de AV - Francisco Edson

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Introduc¸a˜o a` A´lgebra Vetorial
Francisco Edson da Silva
Simone Batista
Conteu´do
1 As Grandezas Vetoriais 1
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Grandezas Escalares versus Grandezas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Segmentos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Sistema de Coordenadas Cartesianas 18
2.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Localizando pontos no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Divisa˜o do plano em quadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4 Distaˆncia entre dois pontos do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Localizando pontos no espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3 Divisa˜o do espac¸o em octantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.4 Distaˆncia entre Dois Pontos do Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Vetores no Plano e no Espac¸o 51
3.1 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Vetores no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Determinando as Coordenadas de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.1 Determinando as coordenadas de um vetor no plano . . . . . . . . . 58
3.3.2 Determinando as coordenadas de um vetor no espac¸o . . . . . . . . 60
3.4 Vetor Nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Igualdade de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Norma de Vetor: Versa˜o Alge´brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
ii
3.7 Coplanariedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Multiplicac¸a˜o de Nu´mero Real por Vetor 75
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Definic¸a˜o e Interpretac¸a˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Propriedades da Multiplicac¸a˜o de Nu´mero Real por Vetor . . . . . . . . . . 78
4.4 Versa˜o Alge´brica da Multiplicac¸a˜o de Nu´mero Real por Vetor . . . . . . . 79
4.5 Paralelismo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Adic¸a˜o de Vetores 92
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2 Adic¸a˜o de Vetores: Versa˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.1 Regra do Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.2 Regra do Pol´ıgono ou Regra do “Fim de um no comec¸o do outro” . 95
5.3 Propriedades da Adic¸a˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4 Adic¸a˜o de Vetores: Versa˜o Alge´brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5 Aplicac¸o˜es da Adic¸a˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.6 Resumo das Propriedades da Multiplicac¸a˜o de Nu´mero Real por Vetor e
da Adic¸a˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Adic¸a˜o de Ponto com Vetor 112
6.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2 Propriedades da Adic¸a˜o de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.3 Versa˜o Alge´brica de Adic¸a˜o de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4 Coordenadas do Ponto Me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7 Produto Escalar 122
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.2 Produto Escalar: versa˜o geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3 Propriedades do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4 Produto Escalar e Aˆngulo entre Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.5 Produto Escalar: Versa˜o Alge´brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.6 Trabalho de uma Forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.7 Projec¸a˜o Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.8 Decompondo Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
iii
7.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8 Produto Vetorial 148
8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.2 Produto Vetorial: Versa˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.3 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.4 Produto Vetorial e A´rea de Pol´ıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.5 Produto Vetorial: Versa˜o Alge´brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.6 Torque de uma Forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9 Retas e Planos 167
9.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.2 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.2.2 Retas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.2.3 Retas no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.3 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.3.2 Equac¸o˜es do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.3.3 Justificativa da Equac¸a˜o Geral do Plano . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10 Posic¸a˜o Relativa: Disposic¸a˜o, Aˆngulos e Distaˆncias 189
10.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.2 Distaˆncia de Ponto a Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.3 Distaˆncia de Ponto a Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.4 Distaˆncia de Ponto a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.5 Posic¸a˜o Relativa entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.5.1 Posic¸a˜o Relativa entre Retas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.5.2 Posic¸a˜o Relativa entre Retas no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . 201
10.6 Posic¸a˜o Relativa entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.6.1 Disposic¸a˜o entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.6.2 Aˆngulo entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.6.3 Distaˆncia entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 212
10.7 Posic¸a˜o Relativa entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.7.1 Disposic¸a˜o entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.7.2 Aˆngulo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
iv
10.7.3 Distaˆncia entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
v
Cap´ıtulo 1
As Grandezas Vetoriais
1.1 Introduc¸a˜o
Ao estudarmos a A´lgebra Vetorial queremos entender, definir e aprender o que sa˜o
segmentos orientados, pontos e vetores e como representa´-los geome´trica e algebricamente,
bem como queremos aprender a trabalhar e realizar as diversas operac¸o˜es matema´ticas
com estes elementos matema´ticos e estudar as principais aplicac¸o˜es destas operac¸o˜es.
Em nosso livro, a comec¸ar por este cap´ıtulo, vamos estudar, definir e discutir as
grandezas vetoriais, entender as diferenc¸as entre elas e as grandezas escalares e aprender
a realizar as principais operac¸o˜es aritme´ticas com essas grandezas vetoriais. Assim, neste
cap´ıtulo inicial, aprenderemos a classificar e deferenciar dois tipos de grandezas vetoriais,
os segmentos orientados e os vetores, e, nos cap´ıtulos seguintes, aprendermos a trabalhar
e operar com os vetores.
1.2 Grandezas Escalares versus Grandezas Vetoriais
Antes de comec¸armos a classificar os tipos de grandezas vetorias, representa´-las e a
operar com elas, precisamos saber o que sa˜o essas grandezas vetoriais e perceber a diferenc¸a
entre grandezas vetoriais e grandezas escalares.
Algumas grandezas podem ser totalmente caracterizadas por sua intensidade ou mag-
nitude associada a uma unidade. Estas grandezas sa˜o chamadas grandezas escalares.
1
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Realce
Como exemplos deste tipo de grandeza podemos citar:
1. o comprimento de um terreno. 20m;
2. a temperatura da sala: 21oC;
3. a durac¸a˜o de uma aula: 50min;
4. a altura de uma pessoa;
5. a massa de um objeto;
6. a diferenc¸a de potencial ele´trico.
Assim temos que, por definic¸a˜o, as grandezas que podem ser completamente definidas
por sua magnitude sa˜o chamadas de grandezas escalares.
As grandezas escalares, como vimos pelos exemplos, sa˜o onipresentes em nosso dia-
a-dia. Trabalhar com grandezas escalares e´ simples e ja´ estamos bastante acostumados
a trabalhar com elas. Realizar operac¸o˜es aritme´ticas envolvendo este tipo de grandeza e´
realizar operac¸o˜es aritme´ticas envolvendo nu´meros reais.
Exemplo:
1. Joa˜o comprou um terreno retangular para contruir a casa de seu sonhos. Sabendo
que o comprimento do terreno e´ de 20,0 m e que a largura do terreno e´ de 18,0 m,
calcule a a´rea do terrreno.
Resoluc¸a˜o: Sabemos que a a´rea de um retaˆngulo e´ o produto de sua largura por
seu comprimento:
A = h · l
Portanto:
A = h · l = 20, 0× 18, 0 = 360m2
Portanto, a a´rea do terreno comprado por Joa˜o para fazer a casa de seus sonhos e´
de 360 m2.
2
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2. O recorde mundial da maratona e´ de 2 horas 3 minutos e 28 segundos obtido por
Patrick Makau na maratona de Berlin em 2011. Sabendo que o percurso total da
maratorna e´ de 42.195 metros, determine a velocidade me´dia de Patrick na prova
em que ele obteve este recorde.
Resoluc¸a˜o: Sabemos que a velocidade me´dia de um mo´vel e´ dada por:
vm =
∆s
∆t
onde ∆s e´ a distaˆncia percorrida e ∆t e´ o tempo gasto para percorrer essa distaˆncia.
Assim, como ∆s = 42195 m e ∆t = 7408 s, temos que a velocidade me´dia de Patrick
na maratona em bateu o recorde mundial foi de:
vm =
∆s
∆t
=
42195
7408
∼= 5, 70 m/s
Portanto, a velocidade me´dia de Patrick na prova em que conseguiu o recorde
mundial da maratona foi vm ∼= 5, 70 m/s
Diversos outros problemas e exemplos envolvendo apenas grandezas escalares aparecem
em nosso cotidiano e ja´ estamos acostumados a trabalhar com esse tipo de grandeza
matema´tica.
Por outro lado, na maioria dos problemas de F´ısica, Matema´tica e Engenharia, ale´m
das grandezas escalares, temos que trabalhar com as grandezas vetoriais. Por isto pre-
cisamos entender o que sa˜o esse tipo de grandeza matema´tica e aprender a trabalhar com
elas.
Diferente das grandezas escalares, ha´ grandezas que precisam de mais que uma inten-
sidade ou magnitude para serem descritas. Estas precisam de uma intensidade (associada
a uma unidade), de uma direc¸a˜o e de um sentido para serem totalmente caracterizadas.
Estas grandezas sa˜o chamadas grandezas vetoriais.
Para comec¸armos a entender estas grandezas, vamos a um exemplo.
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Realce
Exemplo:
Os irma˜os Pedro e Paulo estavam passeando de carro quando este enguic¸ou. Os
irma˜os combinaram de empurrar o carro, cada um, com uma forc¸a de 200N para
leva´-lo ate´ o acostamento e, ao descerem do carro, empurraram-no conforme figura
abaixo.
O problema dos irma˜os na˜o foi resolvido!
Pois forc¸a e´ uma grandeza vetorial, precisamos especificar: intensidade, direc¸a˜o e
sentido. Especicificar somente a intensidade, como fizeram os irma˜os, na˜o e´ sufi-
ciente.
A seguir, os irma˜os combinaram de cada um aplicar a forc¸a de 200N na direc¸a˜o hori-
zontal no sentido da esquerda para direita. Assim seus esforc¸os ficaram organizados
como mostra a figura abaixo:
O problema foi resolvido!
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Como pudemos perceber pelo exemplo acima, para especificar completamente uma
grandeza vetorial precisamos explicitar:
� a intensidade ou o tamanho ou o comprimento ou a magnitude ou a norma;
� a direc¸a˜o; e
� o sentido.
Neste livro usamos, indiferentemente, as palavras intensidade, tamanho, comprimento,
magnitude e norma para nos referirmos a` mesma grandeza: o tamanho de um vetor.
Podemos citar va´rias grandezas vetorias presentes em nosso dia-a-dia. Vejamos alguns
exemplos simples.
Exemplos:
1. A forc¸a exercida sobre um corpo e´ uma grandeza vetorial.
Sobre uma bola pendurada no teto atua uma forc¸a de 2N , na direc¸a˜o vertical, de
baixo para cima.
2. O deslocamento de um corpo e´ uma grandeza vetorial.
O livro da figura foi deslocado 75 cm sobre a mesa, na direc¸a˜o horizontal e no sentido
da esquerda para direita.
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Realce
3. A velocidade de um carro e´ uma grandeza vetorial.
O carro da figura esta´ a 50 quiloˆmetros por hora, na direc¸a˜o que forma 30◦ com a
horizontal no sentido de baixo para cima.
Apo´s entendermos, nesta sec¸a˜o, o que sa˜o grandezas vetoriais e observarmos a sua
onipresenc¸a em nosso cotidiano, precisamos classificar e estudar os tipos de grandezas
vetoriais. Na verdade, vamos estudar e trabalhar com dois tipos de grandezas vetoriais:
segmentos orientados; e vetores.
Nosso objetivo principal neste livro e´ aprender a trabalhar com os vetores, mas na˜o
vemos sentido em atingir este objetivo sem entendermos, tambe´m, o que sa˜o segmentos
orientados e quais as diferenc¸as entre vetores e segmentos orientados.
Assim, nas pro´ximas sec¸o˜es deste cap´ıtulos vamos estudar os conceitos de segmentos
orientados e de vetores. Explicitamente, vamos definir segmento orientado para, a partir
deste conceito, definir vetor.
1.3 Segmentos Orientados
Segmento orientado e´ um segmento de reta ou um pedac¸o de reta com um sentido
fixado. Um segmento de reta liga dois pontos do plano ou do espac¸o tridimensional.
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Realce
Um segmento orientado pode ser definido e define dois pontos: o ponto de in´ıcio
do segmento que chameremos de ponto inicial e o ponto de te´rmino do segmento que
chamaremos de ponto final.
O segmento orientado que tem o ponto A como ponto inicial e o ponto B como ponto
final sera´ denotado por:
−→
AB.
Um segmento orientadotem direc¸a˜o, sentido e magnitude, mas ele na˜o e´ totalmente
determinado por estas suas caracterist´ıcas pois dois segmentos orientados com mesma
direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo comprimento que tem, por exemplo, pontos iniciais
diferentes sa˜o segmentos orientados diferentes.
Um segmento orientado e´ totalmente determinado por seu ponto inicial e seu ponto
final. Dois segmentos orientados com mesmo ponto inicial e ponto final sa˜o o mesmo
segmento orientado.
O ponto inicial e o ponto final de um segmento orientado determinam a direc¸a˜o,
o sentido e o comprimento deste segmento orientado. Tome por exemplo o segmento
orientado
−→
AB mostrado na figura abaixo.
Este segmento orientado tem:
� Direc¸a˜o: a direc¸a˜o da reta que passa pelos pontos A e B;
� Sentido: do ponto A para o ponto B;
� Norma: o comprimento do segmento de reta AB (medido em cm, mm, m ou outra
unidade qualquer de comprimento).
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Realce
sandraoliveira
Realce
Observac¸o˜es:
1. O segmento orientado
−→
AB e´ diferente do segmento orientado
−→
BA. Eles tem a
mesma direc¸a˜o, e o mesmo comprimento, mas tem sentidos diferentes. Dizemos que−→
AB e
−→
BA tem sentidos opostos ou que sa˜o vetores opostos.
2. Sera´ u´til considerarmos segmentos que tem ponto inicial igual ao ponto final. Dize-
mos que estes segmentos orientados sa˜o ‘degenerados’, pois, na verdade eles na˜o
sa˜o segmentos orientados. Os segmentos orientados que tem ponto inicial igual
ao ponto final sera˜o denominados de segmentos orientados nulos. Exemplos:−→
AA,
−→
OO,
−−→
BB.
No conjunto dos segmentos orientados vamos definir uma relac¸a˜o. Dizemos que dois
segmentos orientados se relacionam se eles tem a mesma direc¸a˜o, o mesmo sentido e o
mesmo comprimento. Se o segmento orientado
−→
AB se relaciona com o segmento orientado−−→
GH escrevemos
−→
AB ∼ −−→GH.
Esta relac¸a˜o tem propriedades bastante interessantes.
Dados os segmentos orientados
−→
AB,
−−→
CD e
−→
EF , temos as seguintes propriedades:
1.
−→
AB ∼ −→AB.
Propriedade Reflexiva.
2. Se
−→
AB ∼ −−→CD enta˜o −−→CD ∼ −→AB
Propriedade Sime´trica.
3. Se
−→
AB ∼ −−→CD e −−→CD ∼ −→EF , enta˜o −→AB ∼ −→EF .
Propriedade Transitiva.
Quando uma relac¸a˜o tem as propriedades reflexiva, sime´trica e transitiva dizemos
que esta relac¸a˜o e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. A relac¸a˜o entre segmentos orientados,
definida acima e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. Esta relac¸a˜o de equivaleˆncia ‘divide’ ou par-
ticiona o conjunto dos segmentos orientados em subconjuntos que sa˜o chamados classes
de equivaleˆncia ou classes de equipoleˆncia. Esta ‘divisa˜o’ e´ uma ‘boa’ divisa˜o pois,
cada segmento orientado pertence a uma, e somente uma, classe de equivaleˆncia.
As relac¸o˜es de equivaleˆncia foram apresentadas aqui apenas como uma curiosidade
para maiores detalhes voceˆ pode consultar um livro de mais avanc¸ado de A´lgebra.
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1.4 Vetores
Um vetor e´ o conjunto de todos os segmentos orientados do espac¸o que tem mesma
direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo comprimento. Neste caso, cada segmento orientado e´
chamado de representante do vetor.
Chamamos de espac¸o vetorial e denotamos por V o conjunto de todos os vetores no
plano ou no espac¸o tridimensional.
Em geral, usaremos letras minu´sculas, do nosso alfabeto, com uma seta em cima para
designar um vetor.
Por exemplo, as grandezas a seguir sa˜o vetores: −→v , −→u e −→w .
Alguns autores usam letras minu´sculas, do nosso alfabeto, em negrito para designar
vetores. Nesse caso ter´ıamos como exemplo de representac¸a˜o de vetores v, u e w.
Em nosso livro, na˜o vamos usar notac¸a˜o de vetores em negrito por entendermos que
causa causa confusa˜o e problemas ao estudante tentar representar vetores usando essa
notac¸a˜o ao escrever ‘a` ma˜o’ em cadernos de anotac¸o˜es, testes e provas.
O conceito de vetor e´, em algum sentido, parecido e algumas vezes ate´ confundido com
o conceito de segmento orientado. Mas, existem diferenc¸as.
As principais diferenc¸as entre segmentos orientados e vetores esta˜o listadas a seguir:
i. Um segmento orientado tem lugar fixo no plano ou no espac¸o. Enquanto um vetor
na˜o tem lugar fixo no plano ou no espac¸o.
ii. Um segmento orientado na˜o e´ totalmente caracterizado por sua direc¸a˜o, seu sentido
e seu comprimento. Ja´ um vetor e´ totalmente caracterizado por sua direc¸a˜o, seu
sentido e seu comprimento.
iii. Um segmento orientado esta´ totalmente caracterizado por seu ponto inicial e por
seu ponto final. E um vetor na˜o tem ponto inicial fixo ou ponto final fixo no espac¸o.
iv. Um segmento orientado na˜o ‘anda’ no espac¸o, o segmento orientado esta´ fixado no
espac¸o, tem um ponto inicial A e um ponto final B fixos no plano ou no espac¸o. E
um vetor ‘anda’ no espac¸o, ou seja, fixado um vetor e dado um ponto A existe um
representante deste vetor que tem ponto inicial em A, e dado um ponto B existe
um representante deste vetor que tem ponto inicial em B .
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Realce
sandraoliveira
Realce
Exemplos
1. Um segmento orientado com:
• Direc¸a˜o: horizontal,
• Sentido: orientado da esquerda para direita
• Comprimento: 1 cm,
• Pontos inicial e final: in´ıcio no ponto A e te´rmino no ponto B.
NA˜O E´ IGUAL
A um segmento orientado com:
• Direc¸a˜o: horizontal,
• Sentido: orientado da esquerda para direita
• Comprimento: 1 cm,
• Pontos inicial e final: in´ıcio no ponto C e te´rmino no ponto D (A 6= C e
B 6= D).
Assim:
10
2. Um segmento orientado com:
• Direc¸a˜o: horizontal,
• Sentido: orientado da esquerda para direita
• Comprimento: 1cm,
• Pontos inicial e final: in´ıcio no ponto A e te´rmino no ponto B.
REPRESENTA O MESMO VETOR
Que um segmento orientado com:
• Direc¸a˜o: horizontal,
• Sentido: orientado da esquerda para direita
• Comprimento: 1cm,
• Pontos inicial e final: in´ıcio no ponto C e te´rmino no ponto D (A 6= C e
B 6= D).
Assim:
11
Do exposto ate´ o momento, podemos apresentar o seguinte conceito para vetor.
Vetor: e´ o conjunto de todos segmentos orientados de mesma direc¸a˜o, mesmo sentido
e mesmo comprimento.
E com a relac¸a˜o de equivaleˆncia que definimos no conjunto dos segmentos orientados,
na sec¸a˜o anterior, podemos completar a definic¸a˜o de vetor definindo um vetor como uma
classe de equivaleˆncia ou classe de equipoleˆncia.
Esta e´ uma definic¸a˜o, matematicamente, mais precisa. Com esta definic¸a˜o, vetor,
por ser uma classe de equivaleˆncia, ja´ tem va´rias propriedades. Mas, para um primeiro
curso de graduac¸a˜o podemos ficar com a definic¸a˜o de vetor como conjunto de segmentos
orientados com mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo comprimento.
Exemplos
1. Na figura abaixo contida no plano (IR2) temos 30 segmentos orientados. Quantos
vetores temos na figura?
Resposta: Destacando com cores diferentes os diferentes vetores (ver figura a
seguir) vemos que ha´ 5 vetores na figura.
12
2. Na figura abaixo contida no espac¸o tridimensional (IR3) temos 20 segmentos orienta-
dos. Quantos vetores temos na figura? (Obs.: Apesar de ser uma figura no espac¸o,
para facilitar a visualizac¸a˜o, os vetores na˜o foram desenhados em profundidade.)
Resposta: Novamente, marcamos os vetores diferentes com cores diferentes (ver
figura a seguir). Desta forma percebemos que ha´ 4 vetores na figura.
13
3. Na figura abaixo temos um cubo, onde marcamos 12 segmentos orientados. Quantos
vetores temos?
Resposta: Marcando os vetores diferentes com cores diferentes (ver figura a seguir),
percebemos que ha´ 7 vetores na figura.
14
Vamos querer fazer operac¸o˜es com vetores, assim vamos estudar e estruturar melhor
o conjunto V de todos os vetores no espac¸o.
1. Se −→v e´ um vetor, ou seja, −→v ∈ V enta˜o −→ve´ um conjunto de segmentos orientados.
Cada elemento de V e´ um conjunto. V e´ um conjunto de conjuntos.
2. Se−→v e´ um vetor, enta˜o−→v e´ um conjunto de segmentos orientados, todos com mesma
direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo tamanho. Cada elemento de −→v e´ denominado
representante de −→v .
Muitas vezes, inclusive nas operac¸o˜es entre vetores, usaremos representantes dos ve-
tores.
Dado um vetor −→v e fixado um ponto A no espac¸o, existe um representante de −→v que
tem in´ıcio em A. Fixado outro ponto B, temos outro representante de −→v que tem in´ıcio
em B. Por isso, algumas vezes dizemos que vetor ‘anda’ no espac¸o.
Dado um vetor, −→v ∈ V definimos:
� Direc¸a˜o: A direc¸a˜o do vetor−→v e´ a direc¸a˜o de um, ou seja, de qualquer representante
deste vetor.
� Sentido: O sentido do vetor −→v e´ o sentido de um dos representantes deste vetor.
� Norma: A norma ou mo´dulo de −→v e´ o comprimento ou tamanho de um dos
representantes deste vetor. A notac¸a˜o que vamos usar para norma do vetor −→v e´
|−→v |.
Exemplo: Considere o cubo da figura abaixo com ve´rtices ABCDEFGH.
i) Os segmentos orientados
−→
AB,
−−→
DC,
−→
EF,
−−→
HG sa˜o alguns dos representantes de um
vetor que denotaremos por −→u .
ii) Os segmentos orientados
−→
BA,
−−→
CD,
−→
FE,
−−→
GH sa˜o alguns dos representantes de um
vetor que denotaremos por −→w .
iii) Os segmentos orientados
−→
AE,
−→
CG,
−−→
DH,
−−→
BF sa˜o alguns dos representantes de um
vetor que denotaremos por
−→
t .
iv) Os segmentos orientados
−−→
EC,
−→
GA na˜o sa˜o representantes de um u´nico vetor, eles
representam vetores distintos. Tambe´m na˜o confundir os segmentos orientados
−−→
HB
e
−−→
FD.
Estes vetores sa˜o destacados nos cubos da figura abaixo.
15
1.5 Exerc´ıcios
1. Com sua palavras, diga quais as principais diferenc¸as entre:
a) grandezas escalares e grandezas vetoriais;
b) segmentos orientados e vetores.
16
2. Considere o segmento orientado
−→
AB. Como voceˆ definiria sua:
a) magnitude;
b) direc¸a˜o;
c) sentido.
3. Considere o cubo da figura a seguir.
a) Se
−−→
GH representa o vetor −→v , que outros segmentos orientados podem ser
marcados no cubo e representam o vetor −→v ?
b) Se
−−→
DA representa o vetor −→w , que outros segmentos orientados podem ser mar-
cados no cubo e representam o vetor −→w ?
c) Se
−−→
EG representa o vetor −→u , que outros segmentos orientados podem ser mar-
cados no cubo e representam o vetor −→u ?
d) Se
−−→
ED representa o vetor −→r , que outros segmentos orientados podem ser mar-
cados no cubo e representam o vetor −→r ?
e) Se
−−→
BH representa o vetor −→s , que outros segmentos orientados podem ser
marcados no cubo e representam o vetor −→s ?
∗ ∗ ∗
17
Cap´ıtulo 2
Sistema de Coordenadas Cartesianas
No cap´ıtulo anterior comec¸amos a estudar os vetores e a entender sua definic¸a˜o
matema´tica, bem como aprendemos as diferenc¸as entre vetores e segmentos orientados
e o que e´ espac¸o vetorial. Pore´m, para que nos pro´ximos cap´ıtulos possamos realizar
operac¸o˜es aritme´ticas envolvendo vetores, precisamos aprender a localizar e representar
os vetores e outros elementos da A´lgebra Vetorial no plano e no espac¸o. Por isto, neste
cap´ıtulo, vamos apresentar aos estudantes a noc¸a˜o de sistemas de coordenadas cartesianas
no plano e no espac¸o e veremos como localizar pontos e a calcular a distaˆncia entre eles,
tanto no plano quanto no espac¸o.
Devemos lembrar que existem va´rios outros sistemas de coordenadas, mas o sistema
cartesiano e´ o mais usado e neste livro vamos nos ater exclusivamente a este tipo de
sistema de coordenadas.
2.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano
Para localizar pontos, vetores, retas e outros elementos no plano usaremos a noc¸a˜o
de Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano. Este sistema de coordenadas
tambe´m e´ chamado de Sistema de Coordenadas Retangulares, pois os eixos formam
aˆngulos de 90◦ entre si.
18
2.1.1 Definic¸a˜o
Para definir o sistema de coordenadas cartesianas no plano:
1. Fixamos um ponto no plano que sera´ chamado de origem e sera´ denotado por O.
2. Escolhemos duas retas do plano (que denotaremos por x e y) perpendiculares, que
passem pela origem O. Chamaremos estas retas de eixos: eixo x e eixo y. Em geral,
escolhemos uma reta horizontal, que chamamos de eixo x e uma reta vertical que
chamamos de eixo y.
3. Para cada um dos eixos fixamos um sentido que sera´ considerado positivo. Em geral,
da esquerda para a direita para o eixo x e de baixo para cima, para o eixo y.
4. Para cada um dos eixos definimos uma escala, associando assim cada ponto do eixo
a um nu´mero real. Associamos a origem O ao nu´mero zero 0. A partir da origem, no
sentido positivo do eixo associamos, de forma crescente, os nu´meros reais positivos.
E a partir da origem no sentido negativo (sentido oposto ao positivo) associamos,
de forma decrescente, os nu´meros reais negativos.
Os procedimentos descritos acima nos da˜o o sistema de eixos coordenados onde a
origem e´ a intersecc¸a˜o dos eixos. Este sistema de coordenadas esta´ esquematizado na
figura a seguir.
Neste texto escolhemos sempre escalas iguais para o eixo x e y. As escalas dos eixos
podem ser diferentes. Quando escolhemos escalas diferentes para os eixos muitas das
fo´rmulas usadas tambe´m sera˜o diferentes.
19
2.1.2 Localizando pontos no plano
Definido o sistema de coordenadas que vamos utilizar precisamos aprender a localizar
objetos e elementos da A´lgebra Vetorial neste sistema de coordenadas e definir o que sera˜o
as coordenadas desses elementos.
Vamos considerar, inicialmente, um ponto e aprender a localiza´-lo e a determinar suas
coordenadas em nosso sistemas de coordenadas cartesianas no plano.
Fixado um ponto A do plano, chamaremos de:
� y′ a reta paralela ao eixo y que passa por A,
� Ax o ponto de intersecc¸a˜o entre esta reta e o eixo x.
A coordenada xA (componente do ponto A em relac¸a˜o ao eixo x) e´ o nu´mero associado
ao ponto Ax. Ela e´ chamada de abscissa do ponto A.
Analogamente, fixado um ponto A do plano, chamaremos de:
� x′ a reta paralela ao eixo x que passa por A,
� Ay o ponto de intersecc¸a˜o entre esta reta e o eixo y.
20
A coordenada yA (componente do ponto A em relac¸a˜o ao eixo y) e´ o nu´mero associado
ao ponto Ay. Ela e´ chamada de ordenada do ponto A.
Assim, cada ponto A do plano sera´ associado a um par de nu´meros reais xA e yA.
Chamamos (xA, yA) ∈ IR2 de coordenadas ou componentes cartesianas do ponto A no
plano. Chamamos xA ∈ IR de abscissa do ponto A. E yA ∈ IR de ordenada do ponto
A.
O ponto A sera´ representado por A = (xA, yA).
Alguns autores representam o ponto A e suas coordenadas com a notac¸a˜o A(xA, yA).
Notac¸a˜o que na˜o sera´ usada nesse livro, mas que citamos para que os estudantes esteja
cientes se, por ventura, depararem-se com ela em outros textos.
Apo´s apresentadas estas noc¸o˜es sobre sistemas de coordenadas cartesianas no plano
vamos aprender, com os exemplos a seguir, a localizar pontos e regio˜es de pontos no plano
cartesiano.
21
Exemplos:
1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, representemos os pontos:
a) A = (0, 3);
b) B = (−2,−4);
c) C = (0, 2);
d) D = (3,−5);
e) E = (1, 6);
f) F = (−4, 0);
g) G = (−1, 1);
h) O = (0, 0);
i) H =
(
0,−1
3
)
.
Na figura a seguir e´ mostrada a localizac¸a˜o destes pontos no sistema de coordenadas
cartesianas no plano.
22
2. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano IR2, represente as estruturas
geome´tricas descritas algebricamente abaixo:
a) Todos os pontos do plano com abcissa igual a zero, ou seja, x = 0.
Resposta: Estes pontos correspondem ao eixo y, destacadona figura a seguir.
b) Todos os pontos do plano com ordenada igual a zero, ou seja, y = 0.
Resposta: Estes pontos correspondem ao eixo x, destacado na figura a seguir.
c) Todos os pontos do plano com abcissa igual a um, ou seja, x = 1.
Resposta: Estes pontos correspondem a` reta paralela ao eixo y e destacada
na figura a seguir.
23
d) Todos os pontos do plano com abcissa igual a` ordenada, ou seja, x = y.
Resposta: Estes pontos correspondem a` reta destacada na figura a seguir.
e) Todos os pontos do plano que distam 1u.c. do ponto P = (−2, 1).
Resposta: Estes pontos correspondem a` circunfereˆncia de raio 1 e centrada
no ponto P = (−2, 1).
f) Todos os pontos do plano que distam 1u.c. do ponto P = (−2, 1) e distam
3u.c. do ponto Q = (−1,−2).
Resposta: Estes pontos obedecem, simultaneamente, a` equac¸a˜o das duas cir-
cunfereˆncias especificadas. Portanto, sa˜o as intersecc¸o˜es entre as duas circun-
fereˆncias que sa˜o os dois pontos marcados na figura a seguir.
24
g) Todos os pontos do plano que satisfazem as inequac¸o˜es x ≤ −3, y ≥ 0 e distam
no ma´ximo 4u.c. da origem O = (0, 0).
Resposta: A regia˜o explicitada esta´ marcada na figura a seguir.
Note que os pontos da fronteira da regia˜o fazem parte da a´rea marcada. Se
tive´ssemos no enunciado pontos x < −3, y > 0 e que distam menos de 4u.c.
da origem, a fronteira da regia˜o estaria tracejada na figura e na˜o faria parte da
regia˜o marcada.
2.1.3 Divisa˜o do plano em quadrantes
Quando fixamos um sistema de coordenadas no plano IR2 dividimos o plano em quatro
quadrantes, cujos limites podem ser definidos, matematicamente, da seguinte maneira.
� Primeiro Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x > 0 e y > 0}.
� Segundo Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x < 0 e y > 0}.
� Terceiro Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x < 0 e y < 0}.
� Quarto Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x > 0 e y < 0}.
Estes quadrantes esta˜o destacados e nomeados na figura a seguir.
25
2.1.4 Distaˆncia entre dois pontos do plano
Tendo aprendido a localizar pontos no plano cartesiano, faz-se necessa´rio aprendermos
a calcular a distaˆncia entre dois pontos quaisquer deste plano.
Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano IR2, vamos deduzir a
fo´rmula matema´tica para a distaˆncia entre dois pontos.
Sejam A = (xA, yA) e B = (xB, yb) dois pontos do plano.
26
Sejam:
� s a reta que passa pelos pontos A e B;
� r a reta que passa por B e e´ paralela ao eixo y;
� t a reta que passa por A e e´ paralela ao eixo x;
� C = (xC , yC) o ponto de intersecc¸a˜o entre as retas r e t.
As retas r, s e t e o ponto C esta˜o marcados na figura a seguir.
Assim, podemos aplicar o Teorema de Pita´goras no triaˆngulo retaˆngulo ABC para
determinar a distaˆncia entre A e B.
Usando d(A,B) para indicar a distaˆncia entre os pontos A e B temos:
[ d(A,B) ]2 = |xB − xA|2 + |yB − yA|2
Ou seja,
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 (2.1)
27
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, determine a
distaˆncia entre os pontos A e B:
a) A = (0, 0) e B = (1, 1).
Resoluc¸a˜o: Usando que:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
obtemos, imediatamente que:
d(A,B) =
√
(1− 0)2 + (1− 0)2 = √ 1 + 1
d(A,B) =
√
2 u.c.
b) A = (0, 0) e B = (−1,−1).
Resoluc¸a˜o: Analogamente ao item (a), temos que
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
d(A,B) =
√
(−1− 0)2 + (−1− 0)2 = √ 1 + 1
d(A,B) =
√
2 u.c.
c) A = (1, 0) e B = (3,−1).
Resoluc¸a˜o: Para os pontos A e B deste item temos:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
d(A,B) =
√
(3− 1)2 + (−1− 0)2 = √ 4 + 1
d(A,B) =
√
5 u.c.
d) A = (1,−1) e B = (−3,−1).
Resoluc¸a˜o:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
d(A,B) =
√
(−3− 1)2 + (−1− (−1))2 =
√
(−4)2 + 02
d(A,B) =
√
16 = 4 u.c.
28
e) A = (1,−3) e B = (−3,−1).
Resoluc¸a˜o:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
d(A,B) =
√
(−3− 1)2 + (−1− (−3))2 =
√
(−4)2 + (−1 + 3)2
d(A,B) =
√
16 + 4 =
√
20
d(A,B) = 2
√
5 u.c.
2. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, para cada afirmac¸a˜o
abaixo, esboce uma figura e apresente uma equac¸a˜o para representa´-la.
a) A distaˆncia entre o ponto (x, y) e o ponto (2, 1) e´ de 3u.c..
Resoluc¸a˜o: O ponto (x, y) corresponde a todos os pontos do plano que distam
3 u.c. do ponto (1, 2). Sa˜o os pontos da circunfereˆncia representada na figura.
Como
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
3 =
√
(1− x)2 + (2− y)2
Assim, vemos que todos os pontos da circunfereˆncia obedecem a` equac¸a˜o:
(1− x)2 + (2− y)2 = 9
ou
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 9
29
b) A distaˆncia entre o ponto (x, y) e o ponto (10,−5) e´ de 15u.c..
Resoluc¸a˜o: O ponto (x, y) corresponde a todos os pontos do plano que distam
15 u.c. do ponto (10,−5). Sa˜o os pontos da circunfereˆncia representada na
figura.
Como
d(AB) = 15 =
√
(10− x)2 + (−5− y)2
Mas (−5− y)2 = (5 + y)2
Assim, os pontos da circunfereˆncia obedecem a` equac¸a˜o:
(10− x)2 + (5 + y)2 = 225
ou
(x− 10)2 + (y + 5)2 = 225
c) A distaˆncia entre o ponto (x, y) e o ponto (xc, yc) e´ de R unidades de compri-
mento.
Resoluc¸a˜o: Esta circunfereˆncia geral esta´ esquematizada na figura abaixo.
30
Para os pontos desta circunfereˆncia, temos que:
(xc − x)2 + (yc − y)2 = R2
ou
(x− xc)2 + (y − yc)2 = R2
que e´ a equac¸a˜o geral de uma circunfereˆncia de raior R centrada no ponto
Pc = (xc, yc).
3. Dadas as equac¸o˜es de circunfereˆncia abaixo, determine as coordenadas do centro da
circunfereˆncia e o seu raio.
a) (x− 3)2 + (y + 2)2 = 16
Resoluc¸a˜o: Comparando a equac¸a˜o acima com a equac¸a˜o geral da circun-
fereˆncia temos que o centro da circunfereˆncia e´ o ponto Pc = (3,−2) e raio
R = 4u.c..
b) (x+ 1)2 + (3− y)2 = 25
Resoluc¸a˜o: A equac¸a˜o acima pode ser reescrita na forma:
(x+ 1)2 + (y − 3)2 = 25
Neste caso, temos que o centro da circunfereˆncia e´ o ponto Pc = (−1, 3) e raio
R = 5u.c..
31
c) x2 + 4x+ y2 = 0
Resoluc¸a˜o: Os termos na varia´vel x da equac¸a˜o acima podem ser reescritos,
a partir da operac¸a˜o completar quadrados, como sendo:
x2 + 4x = x2 + 4x+ 4− 4 = (x+ 2)2 − 4
Portanto, a equac¸a˜o da circunfereˆncia acima, pode ser escrita como:
(x+ 2)2 − 4 + y2 = 0⇒ (x+ 2)2 + y2 = 4
Assim, o centro da circunfereˆncia e´ o ponto Pc = (−2, 0) e o raio da circun-
fereˆncia e´ R = 2u.c..
4. Calcule o per´ımetro do triaˆngulo com ve´rtices nos pontos A = (1, 1), B = (2, 0) e
C = (0, 2).
Resoluc¸a˜o: Podemos usar a distaˆncia entre pontos para calcular o per´ımetro de
pol´ıgonos que tenham ve´rtices em pontos conhecidos.
Assim, o per´ımetro do triaˆngulo com ve´rtices A, B e C sera´ dado por:
p = d(AB) + d(BC) + d(CA)
Calculando as distaˆncias em separado:
d(AB) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 =
√
(2− 1)2 + (0− 1)2 =
√
2
d(BC) =
√
(xC − xB)2 + (yC − yB)2 =
√
(0− 2)2 + (2− 0)2 = 2
√
2
d(CA) =
√
(xA − xC)2 + (yA − yC)2 =
√
(1− 0)2 + (1− 2)2 =
√
2
O que nos fornece para o per´ımetro do triaˆngulo:
p = d(AB) + d(BC) + d(CA) =
√
2 + 2
√
2 +
√
2
p = 4
√
2 u.c.
O per´ımetro de outros pol´ıgonos com ve´rtices em pontos conhecidos pode ser cal-
culado pelo mesmo procedimento.
32
2.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Espac¸o
2.2.1 Definic¸a˜o
Para localizar pontos no espac¸o IR3 vamos estender a noc¸a˜o de sistema de coordenadas
cartesianas do plano, discutida e apresentada na sec¸a˜o anterior, para o espac¸o.
O procedimento para definic¸a˜o do sistema de coordenadas no espac¸o e´ ana´logo ao
procedimento para definir o sistema de coordenadas cartesianas no plano. Assim, vamos:
1. Fixar um ponto no plano que sera´ a origem O.
2. Escolher treˆs retas do espac¸o, perpendiculares duas a duas, que passem por O, que
sera˜o oseixos x, y e z.
3. Para cada um dos eixos x, y e z fixamos um sentido que sera´ considerado positivo.
4. Para cada um dos eixos x, y e z definimos uma escala.
33
O sistema de coordenadas cartesiana no espac¸o IR3 definido pelo procedimento descrito
acima esta´ esquematizado na figura a seguir.
2.2.2 Localizando pontos no espac¸o
Definido o sistema de coordenadas que vamos utilizar para representar o espac¸o, pre-
cisamos aprender a localizar objetos e elementos da A´lgebra Vetorial neste sistema de
coordenadas e definir o que sera˜o as coordenadas desses elementos.
Vamos considerar, inicialmente, um ponto e aprender a localiza´-lo e a determinar
suas coordenadas em nosso sistemas de coordenadas cartesianas no espac¸o. Como todos
os outros elementos sa˜o formados e/ou definidos por pontos, poderemos localizar outros
elementos a partir da localizac¸a˜o de seus pontos.
Fixado um ponto A do espac¸o, chamaremos de:
� x′ a reta paralela ao eixo x que passa por A,
� y′ a reta paralela ao eixo y que passa por A,
� z′ a reta paralela ao eixo z que passa por A,
� Ax o ponto de intersecc¸a˜o entre a reta x′ e o plano yz
34
� Ay o ponto de intersecc¸a˜o entre a reta y′ e o plano xz
� Az o ponto de intersecc¸a˜o entre a reta z′ e o plano xy
As coordenadas do ponto A no espac¸o tridimensional sera˜o os nu´meros xA, yA e zA.
O ponto A e suas coordenadas, as retas x′, y′ e z′ e os pontos Ax, Ay e Az esta˜o
marcados na figura abaixo.
Para o ponto A = (xA, yA, zA) ∈ IR3, temos que:
• xA e´ chamada abscissa do ponto A,
• yA e´ chamada ordenada do ponto A,
• zA e´ chamada cota do ponto A.
Exemplos
1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o tridimensional, represen-
tamos os pontos:
a) A = (0, 3, 1),
b) B = (−2,−4,−1),
c) C = (0, 2, 0),
35
d) D = (3,−5, 4),
e) E = (1, 6,−1),
f) F = (−4, 0, 2),
g) G = (−1,−1, 1),
h) O = (0, 0, 0).
Resposta: Estes pontos esta˜o marcados nos gra´ficos da figura a seguir.
36
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o tridimensional
IR3 represente as estruturas geome´tricas descritas algebricamente abaixo:
a) Todos os pontos com abcissa igual a zero, ou seja, x = 0.
Resposta: A regia˜o destada na figura a seguir representa todos os pontos que
obedecem a esta condic¸a˜o, ou seja, os pontos do plano yz sa˜o os pontos do
espac¸o com abcissa nula.
b) Todos os pontos com ordenada igual a zero, ou seja, y = 0.
Resposta: Os pontos com y = 0 sa˜o os pontos do plano xy. Este plano esta´
destacado na figura abaixo.
37
c) Todos os pontos com abcissa igual a zero e com ordenada igual a zero, ou seja,{
x = 0
y = 0
.
Resposta: Sa˜o os pontos que esta˜o sobre o eixo z, que esta´ destacado na
figura a seguir.
d) Todos os pontos com abcissa igual a ordenada, ou seja, x = y.
Resposta: Sa˜o os pontos que pertencem ao plano que e´ paralelo ao eixo z e
que faz um aˆngulo de 45o com o eixo x e tambe´m com o eixo y. Este plano
esta´ esquematizado na figura a seguir.
38
e) Todos os pontos que distam 4u.c. do ponto P = (−3, 6, 3).
Resposta: Estes pontos esta˜o na superf´ıcie esfe´rica de raio R = 4 u.c. e
centrada no ponto P = (−3, 6, 3). Esta esfera e´ mostrada na figura a seguir.
f) Todos os pontos que distam 4u.c. do ponto P = (−3, 6, 3) e tem cota igual a
zero z = 0.
Resposta: Sa˜o os pontos da intersecc¸a˜o entre a superf´ıcie esfe´rica de raio
R = 4 u.c. e centrada no ponto P = (−3, 6, 3) e o plano xy, ou seja,sa˜o os
pontos da circunfereˆncia destacada na figura a seguir.
39
g) Todos os pontos que distam 4u.c. do ponto P = (−3, 6, 3) e tem cota igual a
menos um (z = −1).
Resposta: Ha´ um u´nico ponto que pertence a` superficie esfe´rica de raio R =
4 u.c. e tem z = −1, que e´ o ponto S = (−3, 6,−1) destacado na figura abaixo.
3. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas, apresente uma equac¸a˜o, ou
um conjunto de equac¸o˜es que caracterizem as estruturas geome´tricas:
a) Os pontos do eixo x.
Resposta: y = 0 e z = 0, ou seja,
{
y = 0
z = 0
.
b) Os pontos do eixo y.
Resposta: x = 0 e z = 0, ou seja,
{
x = 0
z = 0
.
c) Os pontos do eixo z.
Resposta: x = 0 e y = 0, ou seja,
{
x = 0
y = 0
.
d) Os pontos do plano xy (ou plano Oxy).
Resposta: z = 0.
e) Os pontos do plano xz.
Resposta: y = 0.
f) Os pontos do plano yz.
Resposta: x = 0.
g) Os pontos do plano perpendicular ao eixo x no ponto x = 2.
Resposta: x = 2.
40
2.2.3 Divisa˜o do espac¸o em octantes
Quando fixamos um sistema de coordenadas no espac¸o IR3, estamos dividindo o espac¸o
tridimensional em oito octantes. Esses octantes esta˜o matematicamente caracterizados
de acordo com a divisa˜o a seguir.
� Primeiro Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y > 0 e z > 0}
� Segundo Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y < 0 e z > 0}
� Terceiro Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y < 0 e z > 0}
� Quarto Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y > 0 e z > 0}
� Quinto Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y > 0 e z < 0}
� Sexto Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y < 0 e z < 0}
� Se´timo Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y < 0 e z < 0}
� Oitavo Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y > 0 e z < 0}
Na figura abaixo temos esquematizada uma representac¸a˜o gra´fica destes octantes.
41
2.2.4 Distaˆncia entre Dois Pontos do Espac¸o
Agora que sabemos localizar pontos no espac¸o, precisamos aprender a calcular a
distaˆncia entre dois pontos quaisquer presentes neste espac¸o e com coordenadas expressas
em termos de coordendas cartesianas.
A expressa˜o matema´tica para a distaˆncia entre dois pontos no espac¸o e´ uma extensa˜o
natural da expressa˜o para a distaˆncia entre dois pontos no plano.
Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o tridimensional IR3 e
dados os pontos A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yb, zB), a distaˆncia entre A e B e´ dada por:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 (2.2)
Dadas as coordenadas de dois pontos quaisquer no espac¸o podemos usar a expressa˜o
dada pela equac¸a˜o (2.2) para calcular a distaˆncia entre esses pontos.
Vamos treinar um pouco fazendo os exemplos a seguir.
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o, determine a
distaˆncia entre os pontos A e B:
a) A = (0, 0, 0) e B = (1, 1, 1).
Resoluc¸a˜o: Usando a expressa˜o para a distaˆncia entre pontos no espac¸o
(equac¸a˜o (2.2)), temos que:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =
√
(1− 0)2 + (1− 0)2 + (1− 0)2 =
√
3 u.c.
b) A = (0, 0, 0) e B = (−1,−1,−1).
Resoluc¸a˜o: Pela equac¸a˜o (2.2) temos que:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =
√
(−1− 0)2 + (−1− 0)2 + (−1− 0)2 = √ 1 + 1 + 1
d(A,B) =
√
3 u.c.
c) A = (1, 0,−2) e B = (3,−1,−3).
Resoluc¸a˜o:Pela equac¸a˜o (2.2) temos que:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =
√
(3− 1)2 + (−1− 0)2 + (−3− (−2))2
d(A,B) =
√
4 + 1 + 1 =
√
6 u.c.
42
d) A = (1, 0, 0) e B = (−3, 0, 0).
Resoluc¸a˜o: Da equac¸a˜o (2.2) temos que:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =
√
(−3− 1)2 + (0− 0)2 + (0− 0)2 = √ 16 + 0 + 0
d(A,B) = 4 u.c.
e) A = (1,−3,−2) e B = (3,−1, 2).
Resoluc¸a˜o: Da equac¸a˜o (2.2) temos que:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
d(A,B) =
√
(3− 1)2 + (−1− (−3))2 + (2− (−2))2
d(A,B) =
√
4 + 4 + 16 =
√
24 = 2
√
6 u.c.
d(A,B) = d(A,B) = 2
√
6 u.c.
2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o, apresente uma
equac¸a˜o que represente a afirmac¸a˜o:
a) A distaˆncia entre o ponto (x, y, z) e o ponto (1, 2, 3) e´ de 10u.c..
Resoluc¸a˜o: O ponto P = (x, y, z) e´ um ponto qualquer do espac¸o, assim
fixando em 10 u.c. a distaˆncia de um ponto qualquerdo espac¸o ate´ o ponto de
coordenadas Q = (1, 2, 3), estamos fazendo de Q o centro de uma esfera de raio
R = 10 u.c. e escrevendo a espressa˜o para a distaˆncia entre P e Q podemos
escrever a equac¸a˜o de todos os pontos que esta˜o sobre a superf´ıcie da esfera, ou
seja, estamos escrevendo a equac¸a˜o da superf´ıcie esfe´rica de raio R = 10 u.c.
centrada em Q = (1, 2, 3). Vejamos:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
10 =
√
(1− x)2 + (2− y)2 + (3− z)2
(1− x)2 + (2− y)2 + (3− z)2 = 100
ou
(x− 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 100
43
b) A distaˆncia entre o ponto (x, y, z) e o ponto (−1, 2,−3) e´ de 5u.c..
Resoluc¸a˜o: Analogamente ao item (a) temos que:
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
5 =
√
(−1− x)2 + (2− y)2 + (−3− z)2
(x+ 1)2 + (2− y)2 + (z + 3)2 = 25
ou
(x+ 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 25
que e´ a equac¸a˜o dos pontos da superf´ıcie esfe´rica de raio R = 5 u.c. e centrada
em Q = (−1, 2− 3).
c) A distaˆncia entre o ponto (x, y, z) e o ponto (xc, yc, zc) e´ de Ru.c..
Resoluc¸a˜o: Neste caso podemos obter a equac¸a˜o de uma superf´ıcie esfe´rica
geral de raio R e centrada no ponto Q = (xc, yc, zc).
d(A,B) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
R =
√
(xc − x)2 + (yc − y)2 + (zc − z)2
(xc − x)2 + (yc − y)2 + (zc − z)2 = R2
ou
(x− xc)2 + (y − yc)2 + (z − zc)2 = R2
A equac¸a˜o acima e´ a equac¸a˜o geral de uma esfera de raio R centrada no ponto
Pc = (xc, yc, zc).
3. Dadas as equac¸o˜es de esferas abaixo, diga quais sa˜o o raio e o centro de cada esfera.
a) (2− x)2 + y2 + (z + 1)2 = 3
Resoluc¸a˜o: Comparando a equac¸a˜o acima com a equac¸a˜o geral de uma esfera,
temos que o centro da esfera e´ o ponto Pc = (2, 0,−1) e o raio da esfera vale
R =
√
3u.c..
b) x2 + y2 + z2 − 4x+ 2y = 0
Resoluc¸a˜o: Usando a operac¸a˜o completar quadrados, podemos escrever:
x2 − 4x = x2 − 4x+ 4− 4 = (x− 2)2 − 4
e tambe´m:
y2 + 2x = x2 + 2x+ 1− 1 = (y + 1)2 − 1
44
Portanto, a equac¸a˜o da esfera toma a forma:
x2 + y2 + z2 − 4x+ 2y = 0⇒ (x− 2)2 − 4 + (y + 1)2 − 1 + z2 = 0
(x− 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 5
O que nos da´ para o centro da esfera o ponto Pc = (2,−1, 0) e para o raio
R =
√
5u.c..
4. Determine o per´ımetro do triaˆngulo de ve´rtices A = (1, 0, 1), B = (2, 3, 1) e C =
(−1, 3, 0);
Resoluc¸a˜o: O per´ımetro do triaˆngulo com ve´rtices A, B e C e´ dado por:
p = d(AB) + d(BC) + d(CA)
Calculando as distaˆncias em separado:
d(AB) =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 ++(zB − zA)2
=
√
(2− 1)2 + (3− 0)2 + (1− 1)2 =
√
10
d(BC) =
√
(xC − xB)2 + (yC − yB)2 + (zC − zB)2
=
√
(−1− 2)2 + (3− 3)2 + (0− 1)2 =
√
10
d(CA) =
√
(xA − xC)2 + (yA − yC)2 + (zA − zC)2
=
√
(1− (−1))2 + (0− 3)2 + (1− (−1))2 =
√
17
O que nos fornece para o per´ımetro do triaˆngulo:
p = d(AB) + d(BC) + d(CA) =
√
10 +
√
10 +
√
14
p =
(
2
√
10 +
√
17
)
u.c.
45
2.3 Exerc´ıcios
1. Dados os pontos A = (1, 0), B = (−1, 2), C = (3, 3), D = (−2,−3), E = (1, 1) e
F = (−2, 1). Localize-os em um plano cartesiano.
2. Considere o plano cartesiano da figura a seguir onde esta˜o marcados os pontos A,
B, C, D, E, F e G. E escreva as coordenadas desse pontos.
3. Fornec¸a uma descric¸a˜o geome´trica dos conjuntos de pontos no plano cujas coorde-
nadas satisfazem as seguintes equac¸o˜es:
a) x = 2 ;
b) x = 2 e y = −3 ;
c) y = −3 ;
d) x2 + y2 = 3 ;
e) 3x2 + 3y2 + 6x = 9 ;
4. Fornec¸a uma descric¸a˜o geome´trica dos conjuntos de pontos no plano cujas coorde-
nadas satisfazem as seguintes inequac¸o˜es e/ou conjunto de inequac¸o˜es ou equac¸o˜es:
a) x ≤ 2 ;
b) x ≤ 2 e y ≥ −3 ;
c) x ≤ 4 e y = −3 ;
d) x2 + y2 = 16, x ≤ 3 e y ≥ 4 ;
e) (x− 1)2 + (y + 2)2 ≥ 4 e (x− 1)2 + (y − 1)2 ≤ 9 ;
46
f) x2 + y2 − 2x+ 4y − 11 ≤ 0 e x ≥ 1 .
5. Dados os pontos A = (1, 0, 1), B = (−2, 1, 2), C = (1, 2, 3), D = (3, 2, 1), E =
(−2,−1, 0) e F = (0,−2, 1), localize-os em um sistema de coordenadas cartesinas
no espac¸o.[Dica: Para facilitar a visualizac¸a˜o voceˆ pode localizar dois ou treˆs pontos
em cada sitema cartesiano.]
6. Fornec¸a uma descric¸a˜o geome´trica dos conjuntos de pontos no espac¸o cujas coorde-
nadas satisfazem as seguintes igualdades:
a) x = 2 ;
b) x = 4 e y = −3 ;
c) x = 4, y = 0 e z = −2 ;
d) x2 + (y + 3)2 = 16 ;
e) (x− 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 36 e x = −2 ;
f) z2 + x2 + y2 + 8x− 6y + 21 = 0 ;
g) x2 + y2 − 2x+ 2y − 14 = 0 e z = 2 ;
h) x2 + y2 − 6x+ 9 = 0 .
7. Fornec¸a uma descric¸a˜o geome´trica dos conjuntos de pontos no espac¸o cujas coorde-
nadas satisfazem as seguintes conjuntos de inequac¸o˜es e equac¸o˜es:
a) x ≤ 2 ;
b) x ≤ 4 e y = −3 ;
c) x2 + y2 = 16, x ≤ 3 e y ≥ 4 ;
d) x = 2y ;
e) x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 3 ;
f) x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 10 e z = 1 ;
g) x2 + y2 ≤ 4 e z = 2 ;
h) x2 + (y + 1)2 = 4 e 0 ≤ x ≤ 3 ;
i) x2 + y2 + z2 < 25, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 1 .
8. Descreva o conjunto de pontos do plano atrave´s de equac¸o˜es:
a) A reta perpendicular ao eixo y em (0, 2) ;
47
b) A reta paralela ao eixo y que passa pelo ponto (1,−3) ;
c) A circunfereˆncia de raio 4 centrado em (−1,+3) ;
d) Os pontos do plano equidistantes do ponto (2,−1) e do ponto (1, 1) que per-
tencem a reta y = x .
9. Descreva o conjunto de pontos do espac¸o atrave´s de equac¸o˜es:
a) O plano perpendicular ao eixo x em (0, 1, 2) ;
b) O plano pelo ponto (1, 0, 0) paralelo ao plano xy ;
c) O plano pelo ponto (−1, 2, 4) paralelo ao plano yz ;
d) O c´ırculo de raio 1 centrado em (−1, 1, 2) pertencente a um plano paralelo ao
plano xz ;
e) A reta pelo ponto 1 (1, 2,−5) paralela ao eixo z ;
f) O conjunto de pontos no espac¸o equidistantes da origem e do ponto (0, 2, 0) ;
g) O c´ırculo no qual o plano que passa pelo ponto (1, 1, 3) perpendicular ao eixo
z encontra a esfera de raio 5 centrada na origem.
10. Descreva o conjunto de pontos do espac¸o atrave´s de equac¸o˜es e/ou inequac¸o˜es:
a) A fatia do plano limitada pelas retas x = −2 e x = 1 ;
b) A fatia limitada pelas retas y = −2 e y = 1 ;
c) Os pontos do plano pertencente ao exterior da circunfereˆncia de raio 16 cen-
trada em (-1,2) e ao exterior da circunfereˆncia de raio 4 centrada em (2,-1)
acima da reta y = 2x ;
d) Os pontos do plano pertencente ao interior da circunfereˆncia de raio 16 centrada
em (-1,2) e ao interior da circunfereˆncia de raio 4 centrada em (2,-1) e acima
da reta y = −x .
11. Descreva o conjunto de pontos do espac¸o atrave´s de equac¸o˜es e/ou inequac¸o˜es:
a) A fatia do espac¸o limitada pelos planos z = 0 e z = 2 (inclusive z = 2);
b) O semi-espac¸o formado pelos pontos sobre o plano xy e abaixo dele;
c) O interior da esfera de raio 5 centrada em (1, 3,−1) (inclusive);
12. Encontre a distaˆncia entre os pontos A e B:
a) A = (1, 2) e B = (0, 1) ;
48
b) A = (3, 5) e B = (0, 0) ;
c) A = (1, 2, 0) e B = (0, 1, 0) ;
d) A = (3, 5,−8) e B = (0, 0, 0) ;
e) A = (3, 5,−8) e B = (x, y, z) .
13. Encontre o centro e o raio das circunfereˆncias:
a) (x+ 2)2 + (y + 3)2 = 5 ;
b)
(
x+
√
2
)2
+
(
z +
3
2
)2
= 17 ;
c) x2 + y2 + 6x− 5y − 2 = 0 ;
d) 9x2 + 6x+ 9y2 − 36y + 1 = 0 .
14. Encontre o centro e o raio das esferas:
a) (x− 3)2 + (y + 2)2 + z2 = 25 ;
b)
(
x+
√
3
)2
+
(
y − 1
4
)2
+
(
z −
√
2
2
)2
= 7 ;
c) x2 + y2 + z2 − 6y + 8z = 0 ;
a) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 2y − 2z = 9 .
15. Encontre o per´ımetro do triaˆngulo com ve´rtices nos pontos A, B e C:
a) A = (−2, 1), B = (2, 2) e C = (0, 1) ;
b) A = (−2, 1, 0), B = (2, 2,−3) e C = (0, 1, 0) ;
c) A = (−2, 1, 0), B = (2, 2,−3) e C pertence ao eixo z e ao plano 2x+3y+z = 4 ;
16. Mostre que o pontoM = (3, 1) e´ equidistante dos pontos P1 = (2,−1) e P2 = (4, 3) .
17. Mostre que o ponto M = (3, 1, 2) e´ equidistaˆnte dos pontos P1 = (2,−1, 3) e P2 =
(4, 3, 1) .
18. Encontre a fo´rmulada distaˆncia do ponto P = (x, y, z) ao eixo y
19. Determine o per´ımetro do quadrilate´ro com ve´rtices nos pontos
a) A = (1, 0, 1), B = (−2, 1, 2), C = (1, 2, 3) e D = (3, 2, 1);
b) A = (1, 1, 1), B = (−1,−1,−3), C = (3, 2, 1) e D = (4, 0,−1).
49
∗ ∗ ∗
50
Cap´ıtulo 3
Vetores no Plano e no Espac¸o
Dando seguimento aos nossos estudos sobre vetores, vamos aprender neste cap´ıtulo a
localizar vetores no plano e no espac¸o descritos por um sistema de coordenadas cartesianas,
a escrever as coordenadas de um vetor a partir das coordenadas dos pontos inicial e final
de um segmento orientado que representa este vetor e vamos tambe´m apresentar, nas
forma geome´trica e alge´brica, as noc¸o˜es de vetor nulo, igualdade entre vetores, norma de
vetor e coplanariedade..
A noc¸a˜o de vetores paralelos, que tambe´m e´ extremamente importante e necessa´ria
aos nossos estudos de vetores, sera´ apresentada no pro´ximo cap´ıtulo que e´ sobre a multi-
plicac¸a˜o de nu´mero real por vetor, pois assim poderemos apresentar uma definic¸a˜o matem-
aticamente completa.
Antes de comec¸armos, efetivamente, o conteu´do deste cap´ıtulo, cabe uma importante
observac¸a˜o que devera´ ser considerada em todo o restante do livro.
Quando na˜o houver nenhum comenta´rio em contra´rio, vamos sempre con-
siderar que esta´ fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano ou no
espac¸o.
3.1 Vetores no Plano
Ao fixarmos um sistema de coordenadas no plano ou no espac¸o nossas estruturas
geome´tricas ‘ganham’ representac¸o˜es alge´bricas. Por exemplo, um ponto no plano agora
e´ representado por uma dupla de nu´meros reais, uma reta sera´ representada por uma
equac¸a˜o, um c´ırculo por uma inequac¸a˜o. Dentro deste esquema, queremos saber como
ficam nossos vetores quando fixamos um sistema de coordenadas no plano.
Um vetor −→v , sera´ representado por uma dupla de nu´meros reais, que chamaremos
51
de coordenadas. As coordenadas do vetor −→v sera˜o as coordenadas do ponto final do
representante do vetor −→v que tem ponto inicial na origem O = (0, 0) do sistema de
coordenadas.
Na figura a seguir e´ mostrado o vetor −→v que tem como coordenadas as coordenadas
do ponto P = (xP , yP )
Ou seja, fixado um sistema de coordenadas no plano IR2, um vetor sera´ representado,
algebricamente, pelas coordenadas do ponto final de seu representante que tem ponto
inicial na origem O = (0, 0).
Exemplos
1. Consideremos um vetor −→v que tenha:
i) Direc¸a˜o: horizontal,
ii) Sentido: da esquerda para direita,
iii) Norma: 3 u.c.
Este vetor tem um representante com ponto inicial na origem O = (0, 0) e ponto
final em C = (3, 0), como mostrado na figura abaixo.
52
Assim, as coordenadas deste vetor −→v sera˜o: −→v = (3, 0).
2. Sejam A, B, C e D pontos do plano com coordenadas: A = (1, 1), B = (3, 4),
C = (4, 3), D = (2, 0). ABCD e´ o paralelogramo representado na figura abaixo.
i) Como podemos observar no primeiro plano cartesiano da figura seguinte, o segmento
orientado
−→
AB e o segmento orientado
−−→
DC representam o mesmo vetor −→v . Desen-
hando o representante do vetor −→v que tem ponto inicial na origem O, observamos
que as coordenadas do vetor −→v sa˜o as coordenadas do ponto P = (2, 3). Este
representante do vetor −→v esta´ desenhado no segundo plano cartesiano da figura a
seguir.
53
Pela figura, vemos que P = (2, 3) e, consequentemente, temos −→v = (2, 3).
ii) O segmento orientado
−−→
BC e o segmento orientado
−−→
DA representam vetores (−→u e −→w ),
que tem a mesma direc¸a˜o e a mesma magnitude, mas sentidos opostos (neste caso
sa˜o chamados vetores opostos). Podemos observar isto no primeiro plano cartesiano
mostrado na figura a seguir.
Desenhando, no segundo plano cartesiano da figura, os representantes destes vetores,
que tem ponto inicial na origem e observamos que as coordenadas do vetor −→u sa˜o
(1,−1) e do vetor −→w sa˜o (−1, 1), ou seja, −→u = (1,−1) e −→w = (−1, 1).
54
Queremos fazer uma importante observac¸a˜o nesse momento do texto.
Ao trabalharmos com vetores no plano, em alguns livros, principalmente nos de F´ısica,
usa-se para representar um vetor, por exemplo, −→v = (2,−3), a notac¸a˜o −→v = 2−→i − 3−→j ,
onde
−→
i e´ o vetor unita´rio (ou vetor com norma igual a um) com a direc¸a˜o e o sentido do
eixo coordenado x, ou seja,
−→
i = (1, 0); e o
−→
j e´ o vetor unita´rio com direc¸a˜o e sentido
do eixo y positivo, isto e´,
−→
j = (0, 1). As duas notac¸o˜es para vetores −→v = (2,−3) e
−→v = 2−→i − 3−→j sa˜o completamente equivalentes e, mesmo dando prefereˆncia a` primeira
em nosso livro, voltaremos a trabalhar com a segunda em alguns dos pro´ximos cap´ıtulos,
principalmente apo´s estudarmos a soma de vetores quando a segunda notac¸a˜o ganhara´
um significado mais completo.
3.2 Vetores no Espac¸o
A extensa˜o direta do estudo de vetores no plano e´ o estudo de vetores no espac¸o
tridimensional. Assim, precisamos estudar a representac¸a˜o alge´brica dos vetores no espac¸o
tridimensioal. Ou seja, queremos saber como ficam nossos vetores quando fixamos um
sistema de coordenadas no espac¸o tridimensional.
Um vetor −→v , sera´ representado por uma tripla de nu´meros reais, que chamaremos de
coordenadas.
As coordenadas do vetor −→v sera˜o as coordenadas do ponto final do representante do
vetor −→v que tem ponto inicial na origem O = (0, 0, 0) do sistema de coordenadas. Ou seja,
fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o IR3, um vetor sera´ representado,
algebricamente, pelas coordenadas do ponto final de seu representante que tem ponto
inicial na origem O = (0, 0, 0). Na figura a seguir temos a representac¸a˜o gra´fica de um
exemplo gene´rico de um vetor −→v = (xP , yP , zP )
55
Exemplo:
1) Considere um vetor −→v com:
� Direc¸a˜o: paralelo ao eixo z,
� Sentido: da baixo para cima,
� Norma: 4 u.c.
Esse vetor tem um representante com ponto inicial na origem O = (0, 0, 0) e ponto
final em C = (0, 0, 4), como podemos observar na figura seguinte. Assim, o vetor −→v
sera´ representado por −→v = (0, 0, 4).
2. Sejam A, B, C, D, E, F , G e H pontos do plano com coordenadas: A = (1, 1, 0),
B = (3, 4, 0), C = (4, 3, 0), D = (2, 0, 0), E = (1, 1, 1), F = (3, 4, 1), G = (4, 3, 1) e
H = (2, 0, 1).
Estes pontos definem o paralelep´ıpedo mostrado na figura seguinte. Ou seja,
ABCDEFGH e´ um paralelep´ıpedo.
56
Pela figura, vemos que o segmento orientado
−→
AB e o segmento orientado
−−→
DC rep-
resentam o mesmo vetor −→v .
a) Desenhe o representante do vetor −→v que tem ponto inicial na origem O e
observe que as coordenadas do vetor −→v sa˜o as coordenadas do ponto P =
(2, 3, 0).
Resposta: Tomando o representante de −→v que tem como ponto inicial a
origem do sistema de coordenadas, obtemos o vetor representado na figura
abaixo.
b) O segmento orientado
−−→
EG e o segmento orientado
−→
CA representam vetores (
−→u e −→w ), que tem a mesma direc¸a˜o, sentidos opostos e mesma norma (neste
caso sa˜o chamados vetores opostos).
57
Desenhe o representante destes vetores, que tem ponto inicial na origem e
observe que as coordenadas do vetor −→u sa˜o −→u = (3, 2, 0) e do vetor −→w sa˜o
−→w = (−3,−2, 0).
Resposta: Tomando os representantes de −→u e −→w que tem como pontos inici-
ais a origem do sistema de coordenadas, obtemos os vetores representados no
segundo plano cartesiano da figura abaixo, onde no primeiro plano cartesiano
temos a reapresentac¸a˜o do paralelep´ıpedo ADCDEFGH.
Devemos observar que, do mesmo jeito que para vetores no plano, pode-se usar que,
por exemplo, −→v = (2,−1, 3) = 2−→i − −→j + 3−→k , onde −→i = (1, 0, 0), −→j = (0, 1, 0) e−→
k = (0, 0, 1). Essa notac¸a˜o ganha sentido apo´s definirmos a adic¸a˜o de vetores em sua
forma alge´brica, por istovamos manteˆ-la em suspenso ate´ o cap´ıtulo de adic¸a˜o de vetores.
3.3 Determinando as Coordenadas de um Vetor
Dados os pontos inicial e final de um segmento orientado (no plano ou no espac¸o)
devemos saber determinar as coordenadas do vetor que tem neste segmento orientado um
de seus representantes.
As coordenadas deste vetor sa˜o obtidas a partir das coordenadas dos pontos inicial e
final do seguimento orientado. Vejamos como.
3.3.1 Determinando as coordenadas de um vetor no plano
Fixado um sistema de coordenadas no plano ou no espac¸o poderemos calcular as coor-
denads de um vetor subtraindo as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto
58
final.
59
Ou seja, no plano: dado o vetor −→v = (v1, v2) se −→AB e´ um representante deste vetor,
com A = (xA, yA) e B = (xB, yB), temos:
−→v = (v1, v2) = (xB − xA, yB − yA).
Como pode ser observado na figura a seguir:
Vamos a um exemplo para fixar melhor.
Exemplo: Sejam A = (2, 3), B = (5,−2) dois pontos do plano, quais as coorde-
nadas do vetor −→v que tem −→AB como um de seus representantes?
Resoluc¸a˜o: As coordenadas de −→v sa˜o determinadas por:
−→v = B − A = (5,−2)− (2, 3) = (5− 2,−2− 3) = (3,−5).
3.3.2 Determinando as coordenadas de um vetor no espac¸o
Por extensa˜o, para vetores no espac¸o podemos definir as coordenadas do vetor da
mesma forma. Assim, dado o vetor −→v = (v1, v2, v3) se −→AB e´ um representante deste
vetor, com A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB), temos:
−→v = (v1, v2, v3) = (xB − xA, yB − yA, zB − zA).
Muitas vezes, por abuso de linguagem, escrevemos “O vetor
−→
AB” ou escrevemos que
~=
−→
AB. Pode-se tambe´m usar a notac¸a˜o de Grassmann para vetores: −→v = B − A.
Vamos a um exemplo.
60
Exemplo: Sejam A = (2, 3,−1), B = (5,−2,−5) dois pontos do espac¸o, quais as
coordenadas do vetor −→v que tem −→AB como um de seus representantes?
Resoluc¸a˜o:
−→v = B − A = (5,−2,−5)− (2, 3,−1) =
(
5− 2,−2− 3,−1− (−5)
)
−→v = (3,−5, 4).
3.4 Vetor Nulo
A partir do pro´ximo cap´ıtulo estudaremos as operac¸o˜es envolvendo vetores. Queremos
que estas operac¸o˜es sejam fechadas. Ou seja, queremos, por exemplo, que: a soma de dois
vetores sempre resulte em um vetor; a multiplicac¸a˜o de um nu´mero real por um vetor
sempre resulte em um vetor.
Para isto, precisamos definir o vetor nulo ou vetor zero. Pois, queremos que a
multiplicac¸a˜o entre o nu´mero real 0 pelo vetor −→v , resulte em um vetor.
Chamamos de vetor nulo e indicamos por
−→
0 , o vetor que tem as seguintes carac-
ter´ısticas:
B Direc¸a˜o: O vetor que tem todas as direc¸o˜es.
Obs: Sera´ interessante e importante definir a direc¸a˜o do vetor nulo como todas as
direc¸o˜es para podermos dizer que o vetor nulo e´ paralelo a todos os vetores.
B Sentido: O vetor nulo tem todos os sentidos.
B Norma: O vetor nulo tem norma nula, ou seja, o vetor nulo tem norma igual a
zero, ou ainda, |−→0 | = 0.
Os segmentos orientados que representam o vetor nulo tem comprimento nulo. Por-
tanto, sa˜o os segmentos orientados que tem ponto inicial igual ao ponto final. Por exemplo,
o segmento orientado
−→
AA e´ um representante do vetor nulo.
Fixado um sistema de coordenadas no plano, por definic¸a˜o as coordenadas do vetor
nulo sa˜o as coordenadas do ponto final de um representante do vetor nulo que tem ponto
inicial na origem O = (0, 0) do sistema de coordendas.
As coordenadas do vetor nulo sa˜o as coordenadas do ponto final do segmento orientado−→
OO. Ou seja, sa˜o as coordenadas do ponto O = (0, 0).
Assim, temos que o vetor nulo no plano e´ dada por
−→
O = (0, 0)
61
Analogamente temos que, para o caso de um sistema de coordenadas cartesiana no
espac¸o, por definic¸a˜o as coordenadas do vetor nulo sa˜o as coordenadas do ponto final de
um representante do vetor nulo que tem ponto inicial na origem O = (0, 0, 0) do sistema
de coordendas. Ou seja, o vetor nulo no espac¸o e´ dado por:
−→
O = (0, 0, 0)
Devemos sempre lembrar que NA˜O podemos escrever
−→
0 = 0. Podemos e devemos
escrever que, para o plano
−→
0 = (0, 0) e para o espac¸o
−→
0 = (0, 0, 0).
3.5 Igualdade de Vetores
Outro conceito importante e necessa´rio que precisamos ter em mente antes de
comec¸armos a estudar as operac¸o˜es envolvendo vetores e´ a igualdade entre vetores.
Vamos apresentar esta importante definic¸a˜o em suas verso˜es geome´trica e alge´brica.
a) Versa˜o geome´trica da igualdade entre vetores.
Dois vetores −→v e −→w sa˜o iguais se, e somente se, eles tem:
1. A mesma direc¸a˜o,
2. O mesmo sentido,
3. A mesma norma.
b) Versa˜o alge´brica da igualdade entre vetores.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas, temos:
B No plano: Os vetores −→v = (v1, v2) e −→w = (w1, w2) sa˜o iguais se, e somente se,
v1 = w1 e v2 = w2.
B No espac¸o tridimensional: Os vetores −→v = (v1, v2, v3) e −→w = (w1, w2, w3) sa˜o
iguais se, e somente se, v1 = w1, v2 = w2 e v3 = w3.
62
Observac¸o˜es:
1. Dados dois vetores paralelos (−→v ,−→w ∈ V tal que −→v ‖ −→w ):
B Se o vetor −→v tem sentido diferente do sentido do vetor −→w , dizemos que −→v e
−→w tem sentidos opostos.
B Se o vetor −→v tem sentido igual que o vetor −→w , dizemos que −→v e −→w temmesmo
sentido.
2. Dados dois vetores paralelos e com mesma norma: (−→v ,−→w ∈ V tal que −→v ‖ −→w e
|−→v | = |−→w |),
B Se o vetor −→v , tem sentido diferente ao sentido do vetor −→w , dizemos que −→v e
−→w sa˜o vetores opostos.
B Se o vetor −→v , tem mesmo sentido de −→w , dizemos que −→v e −→w sa˜o o mesmo
vetor.
3.6 Norma de Vetor: Versa˜o Alge´brica
Dado um vetor qualquer sua norma, por definic¸a˜o, e´ o comprimento de qualquer
representante deste vetor. Ou seja, e´ a distaˆncia entre o ponto final e o ponto inicial de
um representante qualquer deste vetor. Desta forma, podemos determinar a norma de
um vetor a partir de suas coordenadas ou das coordenadas de seus pontos inicial e final.
a) No plano.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, temos que se, −→v = (a, b)
enta˜o a norma do vetor −→v no plano e´ dada por:
| −→v | = | (a, b) | =
√
a2 + b2
Se o vetor −→v tem o segmento orientado −→AB como representante, a norma do vetor
−→v no plano e´ calculada a partir da distaˆncia entre os pontos A e B, ou seja, e´ dada por:
| −→v | = | −→AB | = | (xB − xA, yB − yA ) |
| −→v | =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
63
b) No espac¸o.
Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o, temos que se o vetor −→v =
(a, b, c) enta˜o a norma do vetor −→v no espac¸o e´ dada por:
| −→v | = | (a, b, c) | =
√
a2 + b2 + c2
Se o vetor −→v tem o segmento orientado −→AB como representante, com A = (xA, yA, zA)
e B = (xB, yB, zB), a norma do vetor
−→v no espac¸o e´ a distaˆncia entre os pontos A e
B e, portanto, dada por:
| −→v | = | −→AB | = | (xB − xA, yB − yA, zB − zA ) |
| −→v | =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 .
Uma importante definic¸a˜o relacionada a` norma de um vetor e´ o conceito de versor. Se
−→v tem norma 1 (|−→v | = 1), enta˜o chamamos −→v de versor. Ou seja, versor e´ um vetor
com norma igual a um ou vetor unita´rio.
Exemplos
1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, sendo −→v =
(1,−1),−→w = (1
2
,−1
2
)
,−→u =
(
1√
2
, 1√
2
)
e
−→
t =
(−4
5
, 3
5
)
calcule:
a) |−→v |
Resposta: |−→v | = |(1,−1)| =√(1)2 + (−1)2 = √2
b) |−→w |
Resposta: |−→w | = ∣∣(1
2
,−1
2
)∣∣ =√(1
2
)2
+
(−1
2
)2
=
√
1
2
= 1√
2
u.c.
c) |−→u |
Resposta: |−→u | =
∣∣∣( 1√
2
, 1√
2
)∣∣∣ =√( 1√
2
)2
+
(
1√
2
)2
= 1 u.c.
−→u =
(
1√
2
, 1√
2
)
e´ um versor.
d)
∣∣∣−→t ∣∣∣
Resposta:
∣∣∣−→t ∣∣∣ = ∣∣(−45 , 35)∣∣ =√(−45)2 + (35)2 =√1625 + 925 = 1−→
t =
(−4
5
, 3
5
)
e´ um versor.
2. Supondo fixado um sistemade coordenadas cartesianas no espac¸o tridimensional,
sendo −→v = (1,−1, 1),−→w = (1
3
,−1
3
, 1
3
)
,−→u =
(
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
, calcule:
a) |−→v |
Resposta: |−→v | = |(1,−1, 1)| =√(1)2 + (−1)2 + (1)2 = √3
64
b) |−→w |
Resposta: |−→w | = ∣∣(1
3
,−1
3
, 1
3
)∣∣ = √(1
3
)2
+
(−1
3
)2
+
(
1
3
)2
=
√
1
9
+ 1
9
+ 1
9
=√
1
3
= 1√
3
u.c.
c) |−→u |
Resposta: |−→u | =
∣∣∣( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)∣∣∣ =√( 1√
3
)2
+
(
1√
3
)2
+
(
1√
3
)2
= 1
−→u =
(
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
e´ um versor.
3.7 Coplanariedade
Ao estudarmos conjuntos com va´rios vetores precisaremos, em alguns casos, deter-
minar se estes vetores sa˜o coplanares entre si. Por isto, nesta sec¸a˜o, vamos definir a
coplanariedade de vetores e estuda´-la em sua forma geome´trica e alge´brica.
Dados n vetores: −→v1 ,−→v2 , . . . ,−→vn , dizemos que estes vetores sa˜o coplanares se existe um
plano no espac¸o que conte´m representantes de todos estes vetores.
Da definic¸a˜o, podemos concluir que quando estudamos vetores representados no plano
IR2, todos os vetores representados sa˜o coplanares. Este fato e´ descrito pelo seguinte lema.
Lema 3.1: Dois vetores sa˜o sempre coplanares.
Demonstrac¸a˜o:
Dados dois vetores −→v1 e −→v2 , seja A um ponto no espac¸o, tomemos um representante
do vetor −→v1 que tem ponto inicial A e seja B o ponto final do segmento orientado
que representa o vetor −→v1 .
Tomemos agora um representante do vetor −→v2 que com ponto inicial em B e deno-
taremos por C o ponto final do representante do vetor −→v2 .
• Se os pontos A, B e C sa˜o na˜o colineares (na˜o alinhados) enta˜o estes pontos
determinam um plano α. Este plano conte´m os representantes
−→
AB e
−−→
BC dos
vetores −→v1 e −→v2 , respectivamente.
• Se os pontos A, B e C sa˜o colineares (alinhados) enta˜o existem va´rios (in-
finitos) planos que conte´m os representantes
−→
AB e
−−→
BC dos vetores −→v1 e −→v2 ,
respectivamente.
Assim, conclu´ımos que existe (pelo menos) um plano que conte´m representantes dos
vetores −→v1 e −→v2 .
65
Exemplo: Verifique se os vetores em destaque na figura sa˜o coplanares ou na˜o.
a)
Resposta: SIM, pois dois vetores sa˜o sempre coplanares. Os vetores deste
exemplo esta˜o no plano da folha do livro.
b)
Resposta: SIM, pois dois vetores sa˜o sempre coplanares. Os vetores deste
exemplo esta˜o no plano da folha do livro.
66
Para termos a noc¸a˜o de vetores na˜o coplanares precisamos estar em treˆs dimenso˜es.
Dados treˆs vetores no espac¸o, −→v , −→w e −→u , para verificarmos, geometricamente, se estes
vetores sa˜o coplanares devemos proceder da seguinte forma:
1. Colocamos um representante de −→v e de −→w que tenham origem em um mesmo ponto.
2. Verificamos qual e´ o plano que conte´m estes vetores.
3. Colocamos o representante de −→u que tem o mesmo ponto inicial dos representantes
de −→v e de −→w e verificamos a disposic¸a˜o de −→u em relac¸a˜o ao plano que conte´m −→v e
−→w .
4. Se o representante de −→u tambe´m estiver contido no plano, os treˆs vetores sa˜o
coplanares. Se o representante de −→u na˜o estiver contido no plano, os vetores na˜o
sa˜o coplanares.
A verificac¸a˜o descrita pelo procedimento acima adve´m diretamente da definic¸a˜o de
coplanariedade.
Exemplo: Verifique se os vetores em destaque na figura sa˜o coplanares ou na˜o.
a)
Resposta: SIM, pois o vetor que tem como representante o segmento orien-
tado
−→
AB tambe´m tem como representante o segmento orietado
−→
EF que esta´
no plano definido pelos segmentos
−−→
EC e
−−→
DF .
67
b)
Resposta: NA˜O. Pois, como podemos observar, o vetor que tem
−→
CG como
representante e´ o mesmo que tem
−→
AE como representante. Este vetor, junto
com o vetor que tem
−→
AB esta˜o contidos num plano que na˜o conte´m nenhum
representante de
−−→
FD.
Dizemos que o vetor representado pelo segmento orientado
−−→
FD ‘fura’ o plano
definido por
−→
AE e
−→
AB
Como observamos no exemplo acima, a noc¸a˜o de coplanariedade precisa ser estudada
no espac¸o tridimensional.
Para definirmos a versa˜o alge´brica de coplanariedade vamos considerar dados os ve-
tores, com suas coordenadas em um sistema de coordenadas cartesianas no espac¸o IR3,
−→v = (v1, v2, v3), −→w = (w1, w2, w3) e −→u = (u1, u2, u3), temos que:
• Se −→v ,−→w e −→u sa˜o coplanares, enta˜o∣∣∣∣∣∣∣
v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
• Se −→v ,−→w e −→u sa˜o na˜o coplanares, enta˜o∣∣∣∣∣∣∣
v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0
68
Assim, para determinarmos se treˆs vetores sa˜o coplanares devemos calcular o deter-
minante 3× 3 de suas coordenadas.
Ha´ diversas maneiras pra´ticas de se calcular um determinante 3× 3. Apresentaremos,
a seguir, uma destas formas poss´ıveis de fazer a conta dada por:∣∣∣∣∣∣∣
v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣ =
1. Acrescentamos duas coluna a` direita, repetindo a segunda e terceira coluna:
∣∣∣∣∣∣∣
v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣
v1 v2
w1 w2
u1 u2
2. Multiplicamos os nu´meros de cada uma das treˆs diagonais (indicadas pelas flechas)
e somamos os resultados, obtendo S1.
3. Multiplicamos os nu´meros de cada uma das treˆs diagonais inversas (indicadas pelas
flechas) e somamos os resultados, obtendo S2.
4. O resultado da conta e´
∣∣∣∣∣∣∣
v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣ = S1 − S2
69
Exemplos
1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas, determine se os vetores sa˜o
coplanares:
a) −→v = (1,−2, 3) e −→w = (−4, 3, 9)
Resposta: Dois vetores sa˜o sempre coplanares, portanto os vetores −→v =
(1,−2, 3) e −→w = (−4, 3, 9) sa˜o coplanares.
b) −→v = (1,−2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (1, 0,−2)
Resposta: Como:
Os vetores −→v = (1,−2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (1, 0,−2) na˜o sa˜o coplanares.
c) −→v = (1, 2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (−1, 0, 23)
Resposta: Calculando o determinante:
Vemos que os vetores −→v = (1, 2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (−1, 0, 23) sa˜o
coplanares.
Para o caso de termos mais de treˆs vetores, por exemplo quatro, devemos verificar
algebricamente se os treˆs primeiros sa˜o coplanares e: (i) em caso negativo concluimos que
o grupo de vetores na˜o e´ coplanar; (ii) em caso positivo, verificamos se o quarto vetor e´
coplanar aos outros treˆs fazendo a conta para este vetor e para dois dos outros vetores.
70
Pelo estudo de vetores no espac¸o e lembrando da coplanariedade entre vetores, pode-
mos ver que:
i) Dado um vetor, sempre existe um plano que conte´m este vetor.
ii) Dado dois vetores, sempre existe um plano que conte´m estes vetores.
iii) Dados treˆs vetores, nem sempre existe um plano que conte´m estes vetores.
Exemplo:
1. Fixado um sistema de coordenadas, na˜o existe um plano que conte´m os vetores:−→
i = (1, 0, 0),
−→
j = (0, 1, 0) e
−→
k = (0, 0, 1).
“Pense no plano que conte´m dois destes vetores, observe que o terceiro vetor ‘fura’
este plano.”
Dada a justificativa geome´trica, podemos fazer a verificac¸a˜o alge´brica calculando o
determinante com as coordenadas do vetores
−→
i ,
−→
j e
−→
k . Assim:
Assim ∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 1 + 0 + 0− (0 + 0 + 0) = 1 6= 0
Portanto, os vetores
−→
i ,
−→
j e
−→
k na˜o sa˜o coplanares.
71
3.8 Exerc´ıcios
1. Considere os pontos A = (1, 1), B = (2, 3), C = (−2,−1) e D = (−1, 0). Determine
as coordenadas dos vetores:
a)
−→
AB;
b)
−→
AC;
c)
−−→
AD;
d)
−−→
BC;
e)
−−→
CD;
f)
−−→
DA;
g)
−−→
BD;
h)
−−→
DC.
2. Considere os pontos A = (1,−1, 1), B = (1, 2, 3), C = (3, 2, 1) e D = (0, 1, 0).
Determine as coordenadas dos vetores:
a)
−→
AB;
b)
−→
AC;
c)
−−→
AD;
d)
−−→
BC;
e)
−−→
CD;
f)