Capítulo_1_-_Notação_Científic

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Capítulo 1 Conceitos Básicos de Matemática 
Tópicos de Matemática Aplicados a Farmácia Ângelo, Geovane e Jhoab 
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CAPÍTULO 1 
Notação Científica e Algarismos Significativos 
 
 
 
1.1 Arredondamento de Números 
 
Os números, como sabemos desde o ensino fundamental, resultam de processos de medida 
(mensuração) ou contagem (enumeração). No primeiro caso, os valores obtidos nem sempre são 
exatos, exigindo que façamos uso de uma técnica chamada de arredondamento. 
A seguir descrevemos as regras utilizadas, neste trabalho, para arredondamento de números: 
 
� Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último algarismo a 
permanecer. 
 
Exemplo 1. 
53,246 passa a 53,2 (arredondamento para uma casa decimal) 
834,132 passa a 834,13 (arredondamento para duas casas decimais) 
 
� Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma unidade o 
algarismo a permanecer. 
 
Exemplo 2. 
42,873 passa a 42,9 (arredondamento para uma casa decimal) 
75,425 passa a 75,43 (arredondamento para duas casas decimais) 
 
Comentário: É importante adotarmos um critério de arredondamento, isto é, ao começarmos a resolver 
um problema arredondando os números para duas casas decimais, por exemplo, devemos seguir esse 
critério até o final. 
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1.2 Notação Científica 
 
Muitas vezes, lidar com números muito pequenos ou muito grandes, se torna algo pouco 
operacional e de difícil manipulação. A notação científica tem sido utilizada, principalmente como uma 
forma econômica de se escrever tais números. Neste tipo de notação, são muito utilizadas as potências 
de 10. Por exemplo, uma centena é × = = 210 10 100 10 , um milhar é × × = = 310 10 10 1000 10 e um 
milhão é 610 10 10 10 10 10 1000000 10× × × × × = = . 
Um número escrito em notação científica consiste de um produto com dois fatores. O primeiro fator 
contém os algarismos significativos, expressos como um número tendo um algarismo antes da 
vírgula. O segundo fator é uma potência de 10 que armazena o valor original ou magnitude do número. 
 
Exemplo 3. 2100 1 10= × 
 2278 2,78 10= × 
 −= × 30,00376 3,76 10 
 
Para converter um número maior do que 1 para notação científica, conte o número de casas 
necessárias para mover a vírgula de tal forma a obter um número que possua um algarismo à esquerda 
da vírgula. O resultado dessa contagem indica o expoente da potência positiva de 10. 
 
Exemplo 4. 413600 1,36 10= × 
 92618000000 2,618 10= × 
 2458,3 4,583 10= × 
 
Um número entre 0 e 1 é indicado por uma potência de 10 com expoente negativo. Para efetuar a 
conversão, conte os zeros à direita da vírgula mais o primeiro número inteiro que aparecer. O resultado 
dessa contagem indica o expoente da potência negativa de 10. 
 
Exemplo 5. 30,001 1 10−= × 
 50,0000431 4,31 10−= × 
 90,000000009813 9,813 10−= × 
 
1.3 Algarismos Significativos 
 
O número de algarismos significativos é a quantidade mínima de dígitos necessários para 
escrever um dado valor em notação científica sem superestimar ou perder a precisão da medida 
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realizada. O número 142,7 possui quatro algarismos significativos, porque pode ser escrito como 
21,427 10× . Se escrevermos 21,4270 10× , subentende-se conhecido o valor do dígito após 7, o que 
não é o caso para o número 142,7. O número 21,4270 10× , possui portanto, cinco algarismos 
significativos. 
 
Exemplo 6. (Unifesp-SP) Na medida de temperatura de uma pessoa por meio de um termômetro 
clínico, observou-se que o nível de mercúrio estacionou na região entre 38ºC e 39ºC da escala, como 
está ilustrado na figura. 
 
Após a leitura da temperatura, o médico necessita do valor transformado para uma nova escala, 
definida por �� � 2. ��/3 e em unidades ºX, onde �� é a temperatura na escala Celsius. Lembrando-
se de seus conhecimentos sobre algarismos significativos, ele conclui que o valor mais apropriado para 
a temperatura �� é: 
(a) 26°X 
(b) 25,8°X 
(c) 25,83°X 
(d) 25,833°X 
(e) 25,8333°X 
 
Exemplo 7. O número -66,302 10× possui quatro algarismos significativos, porque todos os quatro 
dígitos são necessários. Caso você escreva o mesmo número como 0,000006302, ele também terá 
quatro algarismos significativos. Os zeros à esquerda do 6 são meros ocupantes de casas decimais. 
 
Exemplo 8. Um número como 92500, por exemplo, é ambíguo em relação ao número de algarismos 
significativos. Ele pode ser representado por uma das seguintes formas: 
 
9,25 ×××× 104 3 algarismos significativos 
9,250 ×××× 104 4 algarismos significativos 
9,2500 ×××× 104 5 algarismos significativos 
 
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É preferível escrever um dos três números acima, em vez de 92500, para indicar quantos algarismos 
são realmente conhecidos. 
 
Comentários: 
i) O algarismo zero é significativo quando se encontra no meio de um número ou no final de 
um número, do lado direito da vírgula decimal. 
ii) O algarismo que fica mais a esquerda, diferente de zero, é o mais significativo. 
iii) Se não há vírgula, o algarismo que fica mais a direita, diferente de zero, é o algarismo 
menos significativo, se há vírgula, o último algarismo da direita é o menos significativo, 
mesmo que ele seja zero. 
iv) O último (o mais afastado à direita) algarismo significativo numa quantidade medida terá 
sempre uma incerteza associada a si. A incerteza mínima deverá ser de ± 1 no último 
dígito. Em geral, quando se lê a escala de qualquer aparelhagem, deve-se interpolar entre 
as marcações ou optar pelo ponto médio da distância entre as duas marcas. 
v) Há incerteza em qualquer quantidade medida, mesmo que o instrumento de medida 
possua uma leitora digital que não flutue. Quando um medidor de pH indica um pH de 3,51, 
há uma incerteza no dígito 1 (e possivelmente também no dígito 5). 
 
1.4 Aritmética em Notação Científica 
 
Ao trabalharmos com a notação científica, devemos avaliar quantos dígitos devem ser mantidos na 
resposta após serem efetuadas as operações aritméticas. O arredondamento deve ser feito somente 
na resposta final (não em resultados intermediários), a fim de se evitar erros de arredondamento. 
 
Adição e Subtração: Para adicionarmos ou subtrairmos números expressos em notação científica, 
primeiro todos os valores devem ser convertidos para a mesma potência de 10, em seguida, somamos 
ou subtraímos estes valores, repetindo a potência de base 10. 
 
Exemplo 9. Efetue a seguinte adição:( ) ( ) ( )5 3 61,632 10 4,107 10 0,984 10× + × + × . 
Converta os números para a mesma potência de base 10: 
 
5
3
6
1,632 10
4,107 10
0,984 10
×
×+
×
 
5
5
5
5
1,632 10
0,04107 10
9,84 10
11,51307 10
×
×+
×
×
 
⇒ 
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Comentário: Devemos, normalmente, ao efetuar o arredondamento final, respeitar o número com a 
menor quantidade de algarismos significativos. Isto é, a soma 511,51307 10× é arredondada para 
61,15 10× porque o número 59,84 10× limita-nos em três algarismos significativos. 
 
Exemplo 10. Efetue a seguinte subtração: ( ) ( )7 64,26 10 7,108 10× − × . 
 
7
6
4,26 10
7,108 10
×
− ×
 
×
− ×
×
7
7
7
4,26 10
0,7108 10
3,5492 10
 
 
Arredondando o resultado final para três algarismos significativos, temos 73,55 10× . 
 
Multiplicação: Para multiplicarmos números expressos em notação científica, primeiro 
multiplicamos os números e em seguida multiplicamos as potências de 10. 
 
Exemplo 11. Efetue a seguinte multiplicação: 15100 437800× . 
Converta os números para notação científica: 
415100 1,51 10= × 
5437800 4,378 10= × 
Multiplique os números: 
1,51 4,378 6,61078× = 
Multiplique as potências de 10: 
4 5 4 5 910 10 10 10+× = = 
O resultado será: 
96,61078 10× 
 
Comentário: Na multiplicação e divisão, estamos normalmente limitados ao número de dígitos contidos 
no número com menos algarismos significativos. Desta forma, o resultado acima corretamente 
arredondado será 96,61 10× . 
 
Exemplo 12. Efetue a seguinte multiplicação: 0,000192 × 0,0000000082. 
Converta os números para notação científica: 
40,000192 1,92 10−= × 
90,0000000082 8,2 10−= × 
⇒ 
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Multiplique os números: 
1,92 8,2 15,744 1,5744 10× = = × 
Multiplique as potências de 10: 
( )4 94 9 1310 10 10 10− + −− − −× = = 
O resultado será: 
13 121,5744 10 10 1,5744 10− −× × = × 
Arredondando corretamente o resultado final para dois algarismos significativos, temos: 
121,6 10−× 
 
Divisão: Para dividirmos números expressos em notação científica, primeiro dividimos os números 
que aparecem e em seguida dividimos as potências de 10. 
 
Exemplo 13. Efetue a seguinte divisão: 540000 : 2100. 
Converta os números para notação científica: 
554000 5,4 10= × 
32100 2,1 10= × 
Divida os números: 
5,4 : 2,1 2,5714285= K 
Divida as potências de 10: 
5 3 5 3 210 :10 10 10−= = 
Arredondando corretamente o resultado final para dois algarismos significativos, temos: 
22,6 10× 
 
Exemplo 14. Efetue a seguinte divisão: 0,00913 : 0,000001457. 
 
Converta os números para notação científica: 
−
= × 30,00913 9,13 10 
60,000001457 1,457 10−= × 
Divida os números: 
9,13 :1,457 6,2663006= K 
Divida as potências de 10: 
( )− − −− − − +
= = =
3 63 6 3 6 310 :10 10 10 10 
Arredondando corretamente o resultado final para três algarismos significativos, temos: 
36,27 10× 
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Comentário: Lembrando que para multiplicarmos duas potências com a mesma base, basta repetir a 
base e somar os expoentes, como nos exemplos abaixo: 
 
2 3 2 3 56 6 6 6+× = = 
( )2 32 3 2 3 110 10 10 10 10+ −− − −× = = = 
 
E para dividirmos duas potências com a mesma base, basta repetir a base e subtrair os expoentes, 
conforme nos exemplos abaixo: 
3
3 5 2
5
7
7 7
7
− −
= = 
( )2 2 5 2 5 7
5
2
2 2 2
2
− − +
−
= = = 
 
 
 
 
 
1.5 Atividades 
 
Exercício 1. Qual a quantidade de algarismos significativos nos números a seguir. 
(a) 124 
(b) 0,12 
(c) 0,1007 
(d) 0,00011 
(e) 0,000002500 
 
Exercício 2. Dê o resultado de cada expressão, arredondando o resultado de acordo com o número de 
casas decimais indicado: 
a) 1300 : 42 ( 1 casa decimal) 
b) 14 : 3 (2 casas decimais) 
c) 653 : 87 (2, 3 e 4 casas decimais) 
d) 17 : 53 (2 e 3 casas decimais) 
 
Exercício 3. Expresse em notação científica os seguintes números: 
a) 329 
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b) 15,8 
c) 0,0421 
d) 0,397000 
e) 2826000000 
f) 0,000000000000723 
 
Exercício 4. Efetue e dê o resultado em notação científica: 
a) 642000 739000× 
b) 642000 739000+ 
c) 0,000942 0,00784× 
d) 0,000942 0,00784− 
e) 0,000000083 : 0,00313 
f) 420 :1732000