Cálculos de Integrais e Volumes

ESTÁCIO EAD

Isakinhooo

em 06/06/2025

Questões resolvidas

A utilização de coordenadas cilíndricas muitas vezes facilita na resolução de integrais. Dessa forma, calcule o volume \(\iiint_{E} \sqrt{x^2 + y^2} \, dV\), sabendo que \(E\) compreende a região contida dentro do cilindro \(x^2 + y^2 = 16\) e entre os planos \(z = -5\) e \(z = 4\).
A) 84π.
B) 184π.
C) 284π.
D) 384π.
E) 484π.

Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico \(x = y^2\) e pelos planos \(x = 4\), \(z = 6\) e \(z = 0\).
A) 16.
B) 32.
C) 64.
D) 128.
E) 256.

Determine o valor da integral \(\iint_{V} \int_{V} y \, d x \, d y \, d z\) onde \(V\) é o sólido que ocupa a região formada por um plano de equações \(x+y+z=4\) e os planos coordenados.
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 64

Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma o valor da integral é \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x^{2}+y^{2}+z^{2} \, d z \, d y \, d x\) :
A) 1/2.
B) 1.
C) 3/2.
D) 5/2.
E) 0.

Determine o valor da integral \(\iiint_{V} 64 z \, d x \, d y \, d z\), onde \(V\) está contido na região definida por \(\left\{(r, \varphi, \theta) \in R^{3} / 1 \leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\) e \(0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}\right\}\).
A) 10π
B) 15π
C) 20π
D) 25π
E) 30π

Determine a massa do sólido contido no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelo plano \(x+y+z=2\), sabendo que a densidade do sólido é \(\rho(x, y, z)=2 x\).
A) 1.
B) \(\frac{1}{3}, \frac{4}{\pi}\)
C) \(\frac{5}{3}, \frac{6}{9}\)
D) \(\frac{2}{3}, \frac{6}{9}\)
E) \(\frac{4}{3}, \frac{6}{9}\)

Determine o centro de massa do cubo \(0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1\), cuja densidade no ponto \((x, y, z)\) é \(\rho(x, y, z)=x\).
A) \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)
B) \(\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)
C) \(\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)
D) \(\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)
E) \(\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)

Determine o centro de massa de um sólido de densidade constante limitado abaixo pelo plano \(z=0\), acima pelo cone \(z=r, r \geq 0\) e dos pelo cilindro \(r=1\).
A) \(\left(0,0, \frac{3}{8}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)
B) \((0,0,0)\)
C) \(\left(\frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)
D) \(\left(\frac{3}{8}, 0, \frac{3}{8}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)
E) \(\left(0, \frac{3}{8}, 0\right) \cdot \frac{8}{\%}\)

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Questões resolvidas

A utilização de coordenadas cilíndricas muitas vezes facilita na resolução de integrais. Dessa forma, calcule o volume \(\iiint_{E} \sqrt{x^2 + y^2} \, dV\), sabendo que \(E\) compreende a região contida dentro do cilindro \(x^2 + y^2 = 16\) e entre os planos \(z = -5\) e \(z = 4\).
A) 84π.
B) 184π.
C) 284π.
D) 384π.
E) 484π.

Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico \(x = y^2\) e pelos planos \(x = 4\), \(z = 6\) e \(z = 0\).
A) 16.
B) 32.
C) 64.
D) 128.
E) 256.

Determine o valor da integral \(\iint_{V} \int_{V} y \, d x \, d y \, d z\) onde \(V\) é o sólido que ocupa a região formada por um plano de equações \(x+y+z=4\) e os planos coordenados.
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 64

Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma o valor da integral é \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x^{2}+y^{2}+z^{2} \, d z \, d y \, d x\) :
A) 1/2.
B) 1.
C) 3/2.
D) 5/2.
E) 0.

Determine o valor da integral \(\iiint_{V} 64 z \, d x \, d y \, d z\), onde \(V\) está contido na região definida por \(\left\{(r, \varphi, \theta) \in R^{3} / 1 \leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\) e \(0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}\right\}\).
A) 10π
B) 15π
C) 20π
D) 25π
E) 30π

Determine a massa do sólido contido no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelo plano \(x+y+z=2\), sabendo que a densidade do sólido é \(\rho(x, y, z)=2 x\).
A) 1.
B) \(\frac{1}{3}, \frac{4}{\pi}\)
C) \(\frac{5}{3}, \frac{6}{9}\)
D) \(\frac{2}{3}, \frac{6}{9}\)
E) \(\frac{4}{3}, \frac{6}{9}\)

Determine o centro de massa do cubo \(0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1\), cuja densidade no ponto \((x, y, z)\) é \(\rho(x, y, z)=x\).
A) \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)
B) \(\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)
C) \(\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)
D) \(\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)
E) \(\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)

Determine o centro de massa de um sólido de densidade constante limitado abaixo pelo plano \(z=0\), acima pelo cone \(z=r, r \geq 0\) e dos pelo cilindro \(r=1\).
A) \(\left(0,0, \frac{3}{8}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)
B) \((0,0,0)\)
C) \(\left(\frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)
D) \(\left(\frac{3}{8}, 0, \frac{3}{8}\right) \cdot \frac{8}{\%}\)
E) \(\left(0, \frac{3}{8}, 0\right) \cdot \frac{8}{\%}\)

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A
B
C
D
E
A
B
C
1 Marcar para revisão
A utilização de coordenadas cilíndricas muitas vezes facilita na
resolução de integrais. Dessa forma, calcule o volume
 , sabendo que  compreende a região
contida dentro do cilindro  e entre os planos
  e .  
∭  
E
√x2 + y2dV E
x2 + y2 = 16
z = −5 z = 4
84π.
184π.
284π
384π.
484π.
2 Marcar para revisão
Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico
 e pelos planos x = 4, z = 6 e z = 0.x = y2
16
32
64
Questão 1 de 10
Em branco (10)
1 2 3 4 5
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exercícios
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D
E
A
B
C
D
E
128
256
3 Marcar para revisão
Determine o valor da integral onde é o
sólido que ocupa a região formada por um plano de equações
 e os planos coordenados.
∫ ∫
V
∫  y dxdydz V
x + y + z = 4
4
8
16
32
64
4 Marcar para revisão


Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que
é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais.
Dessa forma o valor da integral  é  
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
x2 + y2 + z2 dzdydx :
06/06/2025, 09:51 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6842e46af464610f1c6cda77/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6842e46af464610f1c6cda77/ 2/6
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
1/2.
1.
3/2.
5/2.
0.
5 Marcar para revisão


Determine o valor da integral , onde V está
contido na região definida por 
.  
∭
V
 64z dxdydz
{(r,φ, θ) ∈ R3/ 1 ≤ r ≤ 2,  0 ≤ θ ≤  e 0 ≤ φ ≤ }π
4
π
4
10π
15π
20π
25π
30π
6 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta a integral 
 em coordenadas cilíndricas, onde V é o∭
V
 e(x2+y2)3/2
dV
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https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6842e46af464610f1c6cda77/ 3/6
A
B
C
D
E
A
B
sólido limitado inferiormente pelo cone   e
superiormente pelo paraboloide 
z2  = x2 + y2
z  = 4 − x2 − y2
2π
∫
0
2
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 ρeρ
2
 dzdρdθ
2π
∫
0
4
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 eρ
2
 dzdρdθ
2π
∫
0
2
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 ρ2eρ
3
 senθ dzdρdθ
π
∫
0
1
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 ρeρ
3
 dzdρdθ
2π
∫
0
2
∫
0
4−x2−y2
∫
√x2+y2
 ρ3 dzdρdθ
7 Marcar para revisão
As integrais são poderosas ferramentas da matemática, e são
usadas em uma variedade de campos, desde a física e a
engenharia até a economia e a biologia. Determine a massa do
sólido contido no primeiro octante limitada pelos planos
coordenados e pelo plano , sabendo que a
densidade do sólido é  .
x + y + z = 2
ρ(x,  y, z) = 2x
1.


.1
3
06/06/2025, 09:51 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6842e46af464610f1c6cda77/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6842e46af464610f1c6cda77/ 4/6
C
D
E
A
B
C
D
E


.5
3


.2
3


.4
3
8 Marcar para revisão
A integração é usada em problemas de otimização, como o
cálculo de centros de massa e momentos de inércia. Determine
o centro de massa do cubo
 , cuja densidade no ponto
  é .
0 ≤ x ≤ 1,   0 ≤ y ≤ 1,   0 ≤ z ≤ 1
(x,  y,  z) ρ (x,  y,  z) = x


( , , ) .1
2
1
2
1
2


( , , ) .2
3
2
3
1
2


( , , ) .2
3
1
2
1
2


( , , ) .2
3
2
3
2
3


( , , ) .1
2
2
3
1
2
9 Marcar para revisão
As integrais podem ser usadas para calcular a massa total de
um objeto em três dimensões. Determine o centro de massa de
um sólido de densidade constante limitado abaixo pelo plano
 , acima pelo cone  e dos pelo cilindro
 .  
z = 0 z = r,  r ≥ 0
r = 1
06/06/2025, 09:51 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6842e46af464610f1c6cda77/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6842e46af464610f1c6cda77/ 5/6
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E


(0,  0, ) .3
8
(0,  0,  0) .


( ,   ,   ) .3
8
3
8
3
8


( ,  0, ) .3
8
3
8


(0,   , 0) .3
8
10 Marcar para revisão
A integração é usada em problemas de otimização, como o
cálculo de centros de massa e momentos de inércia. Determine
o centro de massa do cubo
 , cuja densidade no ponto
  é .
0 ≤ x ≤ 1,   0 ≤ y ≤ 1,   0 ≤ z ≤ 1
(x,  y,  z) ρ (x,  y,  z) = x


( , , ) .1
2
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2
1
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( , , ) .2
3
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( , , ) .2
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( , , ) .2
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( , , ) .1
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Cálculos de Integrais e Volumes

ESTÁCIO EAD

Ferramentas de estudo

Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico \(x = y^2\) e pelos planos \(x = 4\), \(z = 6\) e \(z = 0\).
A) 16.
B) 32.
C) 64.
D) 128.
E) 256.

Determine o valor da integral \(\iint_{V} \int_{V} y \, d x \, d y \, d z\) onde \(V\) é o sólido que ocupa a região formada por um plano de equações \(x+y+z=4\) e os planos coordenados.
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 64

Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma o valor da integral é \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x^{2}+y^{2}+z^{2} \, d z \, d y \, d x\) :
A) 1/2.
B) 1.
C) 3/2.
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Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico \(x = y^2\) e pelos planos \(x = 4\), \(z = 6\) e \(z = 0\).
A) 16.
B) 32.
C) 64.
D) 128.
E) 256.

Determine o valor da integral \(\iint_{V} \int_{V} y \, d x \, d y \, d z\) onde \(V\) é o sólido que ocupa a região formada por um plano de equações \(x+y+z=4\) e os planos coordenados.
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 64

Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma o valor da integral é \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x^{2}+y^{2}+z^{2} \, d z \, d y \, d x\) :
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B) 1.
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Determine o valor da integral \(\iint_{V} \int_{V} y \, d x \, d y \, d z\) onde \(V\) é o sólido que ocupa a região formada por um plano de equações \(x+y+z=4\) e os planos coordenados.A) 4B) 8C) 16D) 32E) 64

Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma o valor da integral é \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x^{2}+y^{2}+z^{2} \, d z \, d y \, d x\) :A) 1/2.B) 1.C) 3/2.D) 5/2.E) 0.

Determine o valor da integral \(\iiint_{V} 64 z \, d x \, d y \, d z\), onde \(V\) está contido na região definida por \(\left\{(r, \varphi, \theta) \in R^{3} / 1 \leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\) e \(0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}\right\}\).A) 10πB) 15πC) 20πD) 25πE) 30π

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Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico \(x = y^2\) e pelos planos \(x = 4\), \(z = 6\) e \(z = 0\).A) 16.B) 32.C) 64.D) 128.E) 256.

Determine o valor da integral \(\iint_{V} \int_{V} y \, d x \, d y \, d z\) onde \(V\) é o sólido que ocupa a região formada por um plano de equações \(x+y+z=4\) e os planos coordenados.A) 4B) 8C) 16D) 32E) 64

Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma o valor da integral é \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x^{2}+y^{2}+z^{2} \, d z \, d y \, d x\) :A) 1/2.B) 1.C) 3/2.D) 5/2.E) 0.

Determine o valor da integral \(\iiint_{V} 64 z \, d x \, d y \, d z\), onde \(V\) está contido na região definida por \(\left\{(r, \varphi, \theta) \in R^{3} / 1 \leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\) e \(0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}\right\}\).A) 10πB) 15πC) 20πD) 25πE) 30π

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A) 16.
B) 32.
C) 64.
D) 128.
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Determine o valor da integral \(\iint_{V} \int_{V} y \, d x \, d y \, d z\) onde \(V\) é o sólido que ocupa a região formada por um plano de equações \(x+y+z=4\) e os planos coordenados.
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 64

Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma o valor da integral é \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x^{2}+y^{2}+z^{2} \, d z \, d y \, d x\) :
A) 1/2.
B) 1.
C) 3/2.
D) 5/2.
E) 0.

Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico \(x = y^2\) e pelos planos \(x = 4\), \(z = 6\) e \(z = 0\).
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Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma o valor da integral é \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x^{2}+y^{2}+z^{2} \, d z \, d y \, d x\) :
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B) 1.
C) 3/2.
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E) 0.