Cálculo limite

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Ensino Superior
Cálculo 1
1.4- Limites Tendendo ao Infinito
Amintas Paiva Afonso
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Infinito e Limite (Sutil e profundo)
O conceito de limite está intimamente atrelado ao conceito de infinito. Trata-se de um dos conceitos mais fecundos da matemática e o principal para o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral. 
Ele primeiro surgiu sob a forma de processos convergentes ilimitados.
O primeiro testemunho literário encontra-se nos paradoxos de Zenão de Eléa, matemático e discípulo de Parmênides. 
Cálculo 1 - Limites
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O Paradoxo da Dicotomia
O argumento desse paradoxo consiste basicamente na idéia de que aquilo que se move tem que chegar na metade de seu percurso antes de chegar ao fim.
O raciocínio é o seguinte: antes de percorrer todo o percurso, o objeto que se move deve percorrer metade do percurso. Antes de percorrer a metade que falta, deve percorrer a metade deste, ou seja, a metade da metade (um quarto do percurso inicial), e assim sucessivamente, o objeto deverá percorrer um conjunto infinito de intervalos.
Cálculo 1 - Limites
M1
M2
M3
...
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O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga
O paradoxo de Aquiles e a Tartaruga possui o mesmo argumento que o paradoxo da dicotomia, porém em vez de um objeto, temos dois objetos em movimento com velocidades diferentes.
Ele é assim enunciado: Numa corrida entre Aquiles e a Tartaruga em que a Tartaruga sai com uma certa vantagem, mesmo sendo mais lenta que Aquiles, este jamais a alcança; pois aquele que persegue tem primeiro de chegar ao ponto de onde a fuga do mais lento começou, e o mais lento tem necessariamente de já estar a alguma distância à frente. 
Cálculo 1 - Limites
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O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga
Suponha que Aquiles é 10 vezes mais rápido que a Tartaruga e que esta parte com uma vantagem de 1000 m. Quando Aquiles percorre os 1000 m, a Tartaruga já está 100 m a sua frente. Aquiles percorre os 100 m que o separa da Tartaruga, mas, nesse tempo, a Tartaruga já percorreu 10 m, mantendo a vantagem. Aquiles percorre os 10 m, mas, nesse tempo, a Tartaruga está 1 m a sua frente e assim sucessivamente. Isto quer dizer que Aquiles nunca alcança a Tartaruga?
Cálculo 1 - Limites
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Infinito e Limite
Considere que o intervalo AB do primeiro paradoxo é igual a 1. O ponto M1 divide o intervalo ao meio, portanto a primeira metade equivale a ½. O segundo ponto, M2, divide a metade restante ao meio, portanto equivale a ¼ do comprimento original. Logo, o intervalo pode ser expresso como uma soma de intervalos que cresce ilimitadamente por partes que sempre são menores que a imediatamente anterior:
O paradoxo está no fato de a série não crescer até ao infinito, pois a sua soma sempre permanece menor que 1, por mais intervalos que por ventura viermos a adicionar.
Cálculo 1 - Limites
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Cálculo 1 - Limites
Zenão de Eléa
(*501 - † 425 a. C.) 
Bertrand Russell
*18/05/1872 – †02/02/1970 
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Conceito intuitivo de Limite
Vamos supor que temos que preencher um quadrado de lado L, hachurando sempre a metade da área restante:
Cálculo 1 - Limites
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Conceito intuitivo de Limite
A próxima área a ser hachurada seria a metade daquela que restou, portanto:
Cálculo 1 - Limites
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Conceito intuitivo de Limite
A próxima área a ser hachurada seria a metade daquela que restou, portanto:
Cálculo 1 - Limites
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Conceito intuitivo de Limite
A próxima área a ser hachurada seria a metade daquela que restou, portanto:
Cálculo 1 - Limites
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A solução dos paradoxos
A solução dos paradoxos têm a ver com o conceito de limite e convergência de séries numéricas.
Para o pensamento ingênuo da Antiguidade, o entendimento puramente quantitativo segundo o qual quando alguma coisa sempre aumenta acabará por ultrapassar todos os limites é que conduz ao erro.
O erro está em supor, intuitivamente, que a soma de infinitos intervalos deve ser necessariamente infinita.
Tanto no caso do paradoxo da dicotomia quanto no de Aquiles a soma da série tende a convergir para um valor finito. É nesse ponto que Aquiles encontra a Tartaruga!
Cálculo 1 - Limites
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 Limite de f(x) quando x tende a “mais infinito”
 Considere, por exemplo, a função 
 Perceba que, quando x tende a +, isto é, quando x cresce
 indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se
 aproximar cada vez mais de 0.
Cálculo 1 - Limites
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 Os símbolos +  e -  , não representam números reais, não
 podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de
 cálculo algébrico. 
 Dado b  IR, teremos as seguintes igualdades simbólicas: 
 b + (+  ) = + 
 b + ( -  ) = - 
 (+  ) + (+  ) = + 
 (-  ) + (-  ) = - 
 (+  ) + (-  ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo  - ,
 é dito um símbolo de indeterminação.
 (+  ) . (+  ) = + 
 (+  ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. 
 É uma indeterminação.
  /  = nada se pode afirmar inicialmente. 
 É uma indeterminação. 
Cálculo 1 - Limites
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 No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas algébricas. Os principais símbolos de indeterminação, são:
 - 
 . 0
 / 
0
0  0
1
1- 
Cálculo 1 - Limites
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 Exemplo:
 Calcule o limite, se existir, de:
Não basta apenas substituir “x” por “”, pois ao fazer isto, teria uma indeterminação do tipo
Cálculo 1 - Limites
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Portanto, o método aqui consiste em dividir o numerador e o denominador por x:
 Para calcular o limite de f(x) quando x tende a menos infinito,
 o raciocínio é análogo.
Cálculo 1 - Limites
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 Longe, ao norte, numa terra chamada INFINITO, existe uma rocha. Possui 100 Km de altura, 100 Km de largura e 100 Km de comprimento. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim, quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia na eternidade terá se passado. (Hendrick Van Loon)
 
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Noção Intuitiva
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Limites Intuitivos
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Limites Intuitivos
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Limites Infinitos
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Limites Infinitos
y = tg x 
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Limites no Infinito
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Limites Infinitos
Limites nos extremos do domínio da função exponencial
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Limites Infinitos
Limites nos extremos do domínio da função logarítmica
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Limite Trigonométrico Fundamental
	
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Consideremos um círculo de raio unitário e 0 < x < /2.
Verificamos que:
Área OPH  Área do setor OAP  Área do OAT 
Demonstração
Limite Trigonométrico Fundamental
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Limite Trigonométrico Fundamental
 Como PH = sen x; OA = 1 e AT = tg x, temos que:
 Área OPH = cos x.sen x ; Área setor OAP = x.1 
 2 2
 e Área OAT = 1.tg x . 
 2
 Logo, cos x.sen x < x < 1.tg x .
 2 2 2
 Dividindo todos os membros por (sen x)/2 (>0), vem: 
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Limite Trigonométrico Fundamental
 
cos x < x < _1_ .
 sen x cos x
 Como todos os termos são positivos, podemos escrever 1/cosx >(sen x)/x > cos x.
 Visto que 1/cosx e cos x tendem a 1 quando x tende a 0, pelo Teorema do Confronto concluímos que (sen x)/x também tende a 1 quando x ® 0.
 De maneira análoga, provamos também para x < 0. 
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Limite Exponencial Fundamental
	
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Limite – Cálculo 1
Uma função f é contínua em um número x0 se 
Nenhuma destas funções é contínua em x = xo.
Continuidade de uma função em um número
a)
b)
c)
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Limite – Cálculo 1
	Uma função f é contínua em um intervalo aberto se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
Continuidade de uma função em um intervalo aberto
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Limite – Cálculo 1
	Se f é uma função contínua num intervalo fechado e N é um número qualquer entre f(a) e f(b), então existe um número x0  para o qual f(xo) = N.
Teorema do valor intermediário
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