Res Mat - Flambagem

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Notas de aula – Rev A 1
RESISTÊNCIA À FLAMBAGEM
mesmo comprimento
Ocorre nos elementos estruturais solicitados à compressão e que apresentam secção
transversal com dimensões reduzidas quando comparadas com o comprimento.
Exemplos: colunas, escoras, pilares, hastes e outros elementos estruturais com cargas de
compressão atuando paralelamente no eixo longitudinal da peça.
a) Carga crítica:
Sob uma carga axial de compressão, a peça perde a sua
estabilidade, sem que o material tenha atingido o seu limite
de escoamento.
Este colapso ocorrerá sempre na direção do eixo de menor
momento de inércia de sua secção transversal.
Ocorre um encurvamento na sua direção longitudinal.
b) Comprimento livre de flambagem:
A peça apresenta diferentes comprimentos livres de flambagem em função do tipo de
fixação de suas extremidades.
Notas de aula – Rev A 2
Engastada e livre
lf = 2 x l
Bi-articulada
lf = l
Articulada e
engastada
lf = 0,7 x l
Bi-engastada
lf = 0,5 x l
c) Índice de esbeltez:
= lf / imin
: Índice de esbeltez [adimensional]
lf: Comprimento de flambagem [m]
imin: Raio de giração mínimo [m]
Verificação de qual equação utilizar – Euler ou Tetmajer, de acordo com o índice de
esbeltez do material:
1) Euler - Tensão críticacr:
Esta tensão deve ser menor ou igual à tensão de proporcionalidade do material
(dentro do regime elástico).
Material Índice de esbeltez
Ferro fundido cinzento 80
Aço duro 89
Aço Níquel até 5% 86
Madeira Pinho 100
Aço doce 105
cr = 2 x E /2
cr: Tensão crítica [Pa]
E: Módulo de elasticidade [Pa]
: Índice de esbeltez [adimensional]
Carga crítica de Euller:
Pcr =2 x E x J / lf2
Pcr: Carga crítica [N]
E: Módulo de elasticidade do material [Pa]
J: Momento de inércia da secção transversal
[m4]
lf:Comprimento livre de flambagem [m]
2) Tetmajer - Tensão de Tetmajer:
Notas de aula – Rev A 3
Quando a tensão de flambagem ultrapassa a tensão de proporcionalidade do
material..
Material Índice de esbeltez fl Tetmajer [MPa]
Ferro fundido cinzento 80 fl = 776 - 12+ 0,0532
Aço duro 89 fl = 335 – 0,62
Aço Níquel até 5% 86 fl = 470 – 2,3
Madeira Pinho 100 fl = 29,3 – 0,194
Aço doce 105 fl = 310 – 1,14
3) Carga admissível Padm e Tensão admissível de flambagem adm :
Padm = Pcr / k
adm = cr / k ou fl / k
adm = Padm / S, onde S é a área da secção transversal do perfil.
EXEMPLOS:
Nos exemplos a seguir, basicamente se aplicam as fórmulas já vistas, tomando-se o cuidado
de se adequar as unidades de medida. Estas unidades tem que ser compatíveis entre si.
1) Uma barra bi-articulada de material ABNT 1020, possui
comprimento l = 1,2 m e diâmetro d = 34 mm.
Determinar a carga axial de compressão máxima que poderá
ser aplicada na barra, admitindo-se um coeficiente de
segurança F = 2. Eaço = 210 GPa.
a) Cálculo do comprimento de flambagem da barra lf:
A barra sendo bi-articulada, o seu comprimento de flambagem é o próprio comprimento da
barra, então lf = l.
Engastada e livre
lf = 2 x l
Bi-articulada
lf = l
Articulada e
engastada
lf = 0,7 x l
Bi-engastada
lf = 0,5 x l
lf = l = 1,2 m
b) Cálculo do índice de esbeltez(Verificação se a barra encontra-se no domínio da
equação de Euler):
= lf / imin
Notas de aula – Rev A 4
imin = d/4 (tabelado) = 34 / 4 = 8,5 mm
= lf / imin = 1200 / 8,5 = 141
= 141, portanto se encontra sob domínio da equação de Euler pois 105.
Euler - Tensão críticacr:
Esta tensão deve ser menor ou igual à tensão de proporcionalidade do material
(dentro do regime elástico).
Material Índice de esbeltez
Ferro fundido cinzento 80
Aço duro 89
Aço Níquel até 5% 86
Madeira Pinho 100
Aço doce 105
cr = 2 x E /2
cr: Tensão crítica [Pa]
E: Módulo de elasticidade [Pa]
: Índice de esbeltez [adimensional]
c) Como105, utilizaremos para dimensionamento da barra a fórmula de Euler.
Pcr = 2 x E x J / lf2
Eaço = 210 GPa = 210 x 109 Pa (módulo de elasticidade do material)
J = x d4 / 64 =x 0,0344 / 64 = 6,56 x 10-8 m4
lf2 = 1,22 = 1,44 m2
Pcr = 2 x 210 x 109 x 6,56 x 10-8 / 1,44 = 94.419 N
d) Utilizando coeficiente de segurança k = 2, a carga máxima que pode ser aplicada à barra
é de:
Padm = Pcr / F = 94.419 / 2 = 47.210 N
2) A viga I de tamanho nominal 76,2 x 60,3
[mm] possui comprimento igual a 4 m e as
suas características geométricas básicas
são: Jx = 105 cm4; Jy = 19 cm4; ix = 3,12
cm; iy = 1,33 cm; A = 10,8 cm2; W x = 27,6
cm3; Wy = 6,4 cm3.
A viga encontra-se engastada e livre.
Determinar a carga de compressão
máxima que poderá ser aplicada na viga.
Admitir coeficiente de segurança k = 4. O
material da viga é de aço fabricado
segundo classe BR18 ABNT EB583. Eaço =
210 GPa.
a) Cálculo do comprimento final da barra lf
A barra apresentando uma das extremidades engastada e a outra livre onde está atuando a
força, então o comprimento de flambagem é 2 vezes maior que o comprimento da barra,
então lf = 2 x l.
lf = 2 x l = 2 x 4 = 8 m
b) Cálculo do índice de esbeltez(Verificação se a barra encontra-se no domínio da
equação de Euler):
= lf / imin
Notas de aula – Rev A 5
A viga flambará na direção do eixo de menor momento de inércia J. Neste caso, flambará na
direção do eixo y.
Utilizaremos então o raio de giração iy.
imin = iy = 1,33 cm = 0,0133 m
= lf / imin = 8 / 0,0133 = 602
= 602, portanto se encontra sob domínio da equação de Euler pois 105.
Euler - Tensão críticacr:
Esta tensão deve ser menor ou igual à tensão de proporcionalidade do material
(dentro do regime elástico).
Material Índice de esbeltez
Ferro fundido cinzento 80
Aço duro 89
Aço Níquel até 5% 86
Madeira Pinho 100
Aço doce 105
cr = 2 x E /2
cr: Tensão crítica [Pa]
E: Módulo de elasticidade [Pa]
: Índice de esbeltez [adimensional]
c) Como105, utilizaremos para dimensionamento da barra a fórmula de Euler.
Pcr = 2 x E x J / lf2
Eaço = 210 GPa = 210 x 109 Pa (módulo de elasticidade do material)
J = Jy = 19cm4 = 19 x 10-8m4 (a direção y é a mais crítica como já vimos anteriormente).
lf2 = 82 = 64 m2
Pcr = 2 x 210 x 109 x 19 x 10-8 / 64 = 6.153 N
d) Utilizando coeficiente de segurança F = 4, a carga máxima que pode ser aplicada à viga é
de:
Padm = Pcr / k = 6.153 / 4 = 1.538 N
3) Escolher um pilar I de 4 m de altura, destinado a suportar uma carga de 20 toneladas.
Admitir extremidade inferior engastada e superior articulada.
Coeficiente de segurança igual a 6.
Material do aço SAE 1025.
Escolher a viga I pelo padrão americano conforme tabela da apostila, dando a resposta da
seguinte forma:
I h x b x peso por metro, sendo que h é a altura e b é a largura da viga em mm.
l = 4 m = 400 cm
Pad = 20 ton = 20.000 Kgf
lf = 0,7 x l = 0,7 x 400 = 280 cm
K = 6
SAE 1025, então E = 2,1 x 106 Kgf/cm2
a) Cálculo da carga crítica.
Pcr = Padm x K = 20.000 x 6 = 120.000 Kgf
b) Definição da viga pelo cálculo do momento de inércia.
Pcr = 2 x E x J / lf2 J = Pcr x lf2 / (2 x E)
J = 120.000 x 2802 / / (2 x 2,1 x 106) = 454 cm4
Pela tabela de perfil I, adotado J = 563 cm4 e i = 2,70 cm
Notas de aula – Rev A 6
Viga I 304,8 x 133,4 x 60,6 Kg/m
c) Verificação por Euler.
= lf / Rmin = 300 / 2,7 = 111, como105 (para aço doce), atende Euler.
4) Uma biela de aço SAE 1020 de secção circular está submetida a uma compressão
máxima de 19.000 Kgf, e o seu comprimento é de 1,6 m. Determinar o seu diâmetro
considerando um fator de segurança igual a 7.
Admitir a biela bi-articulada.
l = 1,6 m = 160 cm
Pad = 19.000 Kgf
lf = l = 160 cm
K = 7
SAE 1020, então E = 2,1 x 106 Kgf/cm2
a) Cálculo da carga crítica.
Pcr = Pad x K = 19.000 x 7 = 133.000 Kgf
b) Definição da viga pelo cálculo do momento de inércia.
Pcr = 2 x E x J / lf2 J = Pcr x lf2 / (2 x E)
J = 133.000 x 1602 / / (2 x 2,1 x 106) = 164,28 cm4
Para uma secção circular,J =x d4 / 64 d = 4(64 x J /) = 4(64 x 164,28 /) = 7,61
cm
c) Verificação por Euler.
Secção circular, então Rmin = d / 4 = 7,61 / 4 = 1,90
= lf / Rmin = 160 / 1,90 = 84, como< 105 (para aço doce), não atende Euler.
d) Cálculo por Tetmajer:
fl = 3.100 X 11,4 x = 3.100 – 11,4 x 84,2 = 2.140,12 Kgf/cm2
adm = fl / K = 2.140,12 / 7 = 305,73 Kgf/cm2
adm = Padm / Área Área = Padm /adm = 19.000 / 305,73 = 62,15 cm2
Secção circular, então Área =x d2 / 4  d =(4 x Área /) = (4 x 62,15 /) = 8,89 cm
5) Qual o valor máximo da força P, que a coluna da estrutura admite quanto à sua
resistência à flambagem?
Esta estrutura é suportada por 4 colunas formadas por perfis, sendo que cada coluna deve
suportar uma força (carga) P. A altura livre da coluna é de 5 m.
O perfilé o de 8” x 4”, com uma espessura de alma de 13,5 mm, com momento de inércia
de Jy = 194 x 10-8 m4 (este momento de inércia é o mais crítico, pois é inferior ao Jx).
O módulo de elasticidade do material é igual a E = 210 x 109 Pa.
Estamos ainda admitindo que a tensão de compressão agindo na estrutura é inferior à
tensão de proporcionalidade do material (valendo portanto a equação de Euler).
Neste caso, não deve ser considerando um coeficiente de segurança.
Não há necessidade de transformação de unidades.
Notas de aula – Rev A 7
Dados:
Pcr =2 x E x J / lf 2
Lf = 2 x l (viga engastada numa das
extremidades e livre na extremidade
onde está aplicada a força)
Sendo:
Pcr: carga crítica de flambagem [N]
E: Módulo de elasticidade do material
[Pa]
J: Momento de inércia da secção
transversal da viga [m4]
lf: Comprimento de flambagem [m]
l: Comprimento da viga [m]
lf = 2 x l = 2 x 5 = 10 m
Pcr = 2 x E x J / lf 2
Pcr = 2 x 210 x 109 x 194 x 10-8 / 102
Pcr = 40.209 N