FMU - Resistência à Flexão

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NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 1
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS SUPERFÍCIES
PLANAS
CENTRO DE GRAVIDADE (BARICENTRO ou CENTRÓIDE)
Todas as forças de mesma direção e sentindo atuando em uma
determinada área podem ser substituídas por uma única força
equivalente F, agindo no baricentro desta área.
É o que ocorre com a atração gravitacional exercida pela Terra
sobre um corpo rígido, que pode ser representada por uma única
força F.
Baricentro
Pode ser dentro ou fora da
mesma.
Indicado pelas coordenadas XG
e YG.
XG = (A1 x X1 + A2 x X2 + .......+
An x Xn) /
(A1 + A2 + ..... + An)
YG = (A1 x Y1 + A2 x Y2 + .......+
An x Yn) /
(A1 + A2 + ..... + An)
Exemplos de baricentro:
Os valores das coordenadas do baricentro, XG e YG, são
calculados em relação à origem dos eixos das coordenadas
X-Y.
Posição das
coordenada
s é em
relação a
um dos
vértices de
um
Posição das
coordenadas é
em relação a
um dos
vértices de um
quadrado.
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 2
retângulo.
Posição das
coordenada
s é em
relação ao
vértice do
ângulo de
90de um
triângulo
retângulo.
Posição das
coordenadas é
em relação ao
centro do
círculo.
Posição das
coordenada
s é em
relação ao
centro do
círculo.
Posição das
coordenadas é
em relação ao
centro do
círculo.
Os valores das coordenadas do baricentro das figuras dependem
de onde está posicionada a origem do eixo de coordenadas X-Y.
Por exemplo:
Origem dos
eixos X-Y
localizado na
extremidade
inferior
esquerda da
figura.
Origem dos
eixos X-Y
localizada no
centro da
figura.
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 3
Nos casos em que o triângulo não seja retângulo, decompô-lo em
2 triângulos retângulos e calcular os centros de gravidade de
cada um deles.
Neste caso, o
XCG será
negativo.
EXEMPLOS
1) Calcular o baricentro de um quadrado de lado igual a 10 cm,
com o eixo de coordenadas localizado conforme figura abaixo.
Como o quadrado possui lado igual a 10 cm,
então a = 10 cm.
A origem do eixo de coordenadas X-Y está
localizado na extremidade inferior esquerda
do quadrado.
O baricentro do quadrado é composto das
seguintes coordenadas:
XCG = a / 2 = 10 / 2 = 5 cm
YCG = a / 2 = 10 / 2 = 5 cm
2) Calcular o baricentro de um triângulo, com o eixo de coordenadas localizado
conforme figura abaixo, com base igual a 15 mm e altura igual a
20 mm.
Como a base é igual a 15 mm, então b = 15
mm.
Como a altura é igual a 20 mm, então h = 20
mm.
A origem do eixo de coordenadas X-Y está
localizado na extremidade inferior esquerda
do triângulo.
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 4
O baricentro do triângulo é composto das
seguintes coordenadas:
XCG = b / 3 = 15 / 3 = 5 mm
YCG = h / 3 = 20 / 3 = 6,67 mm
3) Calcular o baricentro de um triângulo, com o eixo de
coordenadas deslocado e localizado conforme figura abaixo, com
base igual a 15 mm e altura igual a 21 mm.
Inicialmente, calcular o centro de gravidade do triângulo, supondo
que a origem do eixo de coordenadas X-Y estivesse localizado
no vértice do lado inferior direito do triângulo.
Sendo assim, devemos calcular XCG1 e YCG1 conforme segue:
Como a base é igual a 15 mm, então b = 15 mm.
Como a altura é igual a 21 mm, então h = 21 mm.
A origem do eixo de coordenadas X-Y está localizado na
extremidade inferior esquerda do triângulo.
Neste caso, o baricentro do triângulo seria composto das
seguintes coordenadas:
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 5
XCG1 = b / 3 = 15 / 3 = 5 mm
YCG1 = h / 3 = 21 / 3 = 7 mm
Como o triângulo está deslocado em relação à origem do eixo
real de coordenadas, devemos calcular a posição final do
baricentro da seguinte forma:
XCG = 20 - XCG1 = 20 – 5 = 15 mm
YCG = YCG1 + 5 = 7 + 5 = 12 mm
Receita para definição dos centros de gravidade de uma
secção plana complexa (formada por várias secções)
Peça – (área
hachurada) – área
positiva
Furos – (áreas em
vazio) – área negativa
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 6
Sinais (positivo ou
negativo) das
coordenadas de cada
secção, em função de
suas posições nos
quadrantes.
A posição de cada
secção em relação ao
eixo de coordenadas
deve ser definida em
referência ao seu
centro de gravidade.
XG e YG das secções
ao lado correspondem
aos seus centros de
gravidade.
a) Definir a posição dos eixos de coordenadas X e Y de forma
mais apropriada ou adequada (que facilite os cálculos).
b) Dividir a peça em secções menores conhecidas.
c) Calcular as áreas de cada secção. Se a secção faz parte da
peça, considerar sua área S como positiva. Caso contrário,
se não faz parte da peça, considerar sua área S como
negativa (neste caso, é utilizado este recurso buscando
facilidade nos cálculos finais e muitas vezes para diminuir o
número de secções).
d) Calcular XCG e YCG de cada figura em relação à origem dos
eixos de coordenadas X-Y.
e) Calcular XCG e YCG da peça, utilizando a tabela a seguir.
Secção Área S
secção
XCG
secção
S x XCG
secção
YCG
secção
S x YCG
secção
Somatória ----------- -----------
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 7
---- ----
S x XCG
secções
XCG peça = -----------------
---------
S
secções
S x YCG
secções
YCG peça = -----------------
---------
S
secções
EXEMPLOS
1) Calcular o centro de gravidade (baricentro) da peça abaixo.
Medidas em cm
Cálculo do baricentro do ¼ de círculo:
Conforme tabela de centros de
gravidade, para o ¼ de círculo
temos:
XCG = 4 x r / 3
YCG = 4 x r / 3
O raio do círculo é igual a r = 3
+ 3 = 6 cm
Logo,
XCG = 4 x 6 / 3= - 2,55 cm
(lado esquerdo da origem dos
eixos, por isso com sinal
negativo)
YCG = 4 x 6 / 3= 2,55 cm
Área S = 1/4 xx r2 = 1/4 xx
62 = 28,27 cm2
Dividir o triângulo em duas partes (2 triângulos retângulos,
conforme representado na figura.
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 8
Considerando-se o triângulo
retângulo superior, temos:
XCG = b / 3 = 9 / 3 = 3 cm
YCG = YCG1 + 3
YCG = h / 3 + 3 = 3 / 3 + 3 = 4
cm
Área S = base x altura / 2 = 9 x
3 / 2 = 13,5 cm2
Considerando-se o triângulo
retângulo inferior, temos:
XCG = b / 3 = 9 / 3 = 3 cm
YCG = 3 - YCG1
YCG = 3 – h / 3 = 3 - 3 / 3 = 2 cm
Área S = base x altura / 2 = 9 x
3 / 2 = 13,5 cm2
Preenchendo a tabela com os dados de centro de gravidade de
cada secção e suas áreas correspondentes temos:
Secção Área S
secção
XCG
secção
S x XCG
secção
YCG
secção
S x YCG
secção
¼ círculo 28,27 - 2,55 - 72,09 2,55 72,09
triângulo
superior
13,5 3 40,5 4 54
triângulo
inferior
13,5 3 40,5 2 27
Somatória 55,27 -----------
----
8,91 -----------
----
153,09
S x XCG
secções
XCG peça = -----------------
S x YCG
secções
YCG peça = -----------------
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis 9
---------
S
secções
8,91
XCG peça = ---------- =
0,16 cm
55,27
---------
S
secções
153,59
YCG peça = ---------- =
2,78 cm
55,27
Portanto, a posição do centro de gravidade desta peça é:
2) Definir o baricentro da estrutura montada composta de 2
cantoneiras 6” x 6” e uma chapa intermediária de 170 x 25 mm
soldadas entre si, conforme croqui abaixo.
Desconsiderar os cordões de solda no cálculo do baricentro.
Cantoneira 6” x 6” (152,4 x
152,4 mm)
Posição do centro de
gravidade da cantoneira
Área da secção da
cantoneira: 5444mm2
Os centros de gravidade das 2 cantoneiras, superior e inferior já
estão definidas na figura ao lado.
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
10
Para calcular o baricentro da chapa intermediária utilizamos as
fórmulas do retângulo:
XCG = b / 2 = 170 / 2 = 85 mm
YCG = h / 2 = 25 / 2 = 12,5 mm
A área do retângulo é igual a b x h = 170 x 25 = 4.250 mm2.
Sendo assim, a posição do baricentro de cada figurafica
conforme segue:
Cálculo do centro de gravidade de cada figura, conforme cotas
indicadas no croqui acima:
a) Cantoneira superior:
XCG = 10 + 4,52 = 14,52 mm
YCG = 4,52 + 25 + 152,4 = 181,92 mm
b) Cantoneira inferior:
XCG = 10 + 4,52 = 14,52 mm
YCG = 152,4 – 4,52 = 147,88 mm
c) Chapa intermediária:
XCG = 85 mm
YCG = 12,5 + 152,4 = 164,9 mm
Preenchendo os dados na tabela abaixo, temos:
Secção Área S
secção
XCG
secção
S x XCG
secção
YCG
secção
S x YCG
secção
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
11
Cantoneira
superior
5444 14,52 79.046,88 181,92 990.372,48
Cantoneira
inferior
5444 14,51 79.046,88 147,88 805.058,72
Chapa 4250 85 361.250 164,9 700.825
Somatória 15.138 ----------
-
519.343,76 ----------
--
2.496.256,2
S x XCG
secções
XCG peça = --------------------
------- =
S
secções
519.343,76
= -------------------- =
34,3 mm
15.138
S x YCG
secções
YCG peça = -------------------
------- =
S
secções
2.496.256,2
= ---------------------- =
164,9 mm
15.138
A posição do baricentro desta estrutura composta está localizada
em relação à origem dos eixos de coordenadas X-Y de XCG =
34,3 mm e YCG = 164,9 mm.
3) Determinar o centro de gravidade (baricentro) da peça abaixo.
As medidas estão em mm (milímetros).
As medidas não estão em escala.
a) Dividir a peça em secções menores conhecidas, de forma que
facilite o cálculo posterior do baricentro de cada uma delas.
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
12
Secções identificadas:
(1) Retângulo de lados 182 e 106 (54 + 52) mm.
(2) Triângulo de lados 52 e 52 mm.
(3) Retângulo de lados 24 e 47 mm.
(4) Retângulo de lados 51 e 52 mm.
b) Definir a posição dos eixos de coordenadas X e Y, de forma
que facilite os cálculos:
c) Preenchendo a tabela abaixo com as áreas e baricentro de
cada secção identificada, lembrando que a figura que não faz
parte da figura final tem sua área considerada como negativa,
temos:
Secção Área S
secção
XCG
secção
S x XCG
secção
YCG
secção
S x YCG
secção
1 19292 91 1755572 53 1022476
2 -1404 18 -25272 17,33 -24331,32
3 -1128 137,5 -155100 80 -90240
4 -2652 156 -413712 25,5 -67626
Somatória 14108 ------------
---
1161488 ------------
---
840278,68
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
13
d) Calculamos então, o centro de gravidade da peça, utilizando
as seguintes fórmulas:
S x XCG
secções
XCG peça = --------------------
------
S
secções
1161488
XCG peça = ------------ =
82,33 mm
14108
S x YCG
secções
YCG peça = --------------------
------
S
secções
840278,68
YCG peça = -------------- =
59,56 mm
14108
Portanto, a posição do centro de gravidade da peça está
representada na figura abaixo.
4) Determinar o centro de gravidade da peça seguinte.
As medidas estão em cm (centímetros).
As medidas não estão em escala.
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
14
5) Determinar o centro de gravidade da peça seguinte.
As medidas estão em cm (centímetros).
As medidas não estão em escala.
Os recortes, existentes na peça em ambos os lados dos
eixos de simetria (horizontal e vertical), possuem medidas e
posições iguais.
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
15
MOMENTO DE INÉRCIA
O momento de inércia é muito importante no dimensionamento de elementos de
construção, pois através dos seus valores numéricos nos fornece uma noção da
resistência da peça.
Quanto maior o momento de inércia da secção transversal de uma peça, maior será a
resistência da peça.
Momento de inércia J: Resistência à flexão de uma viga, em função da sua geometria
em relação a um eixo.
Módulo de Resistência à Flexão W: Resistência da secção em relação ao esforço de
flexão
Wx = Jx / ymax
Wy = Jy / xmax
Raio de Giração i:
Jx = S . ix2
Jy = S . iy2
Viga bi-apoiada com Cálculo das reações nos Diagrama de Momento Fletor
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
16
esforços atuando na
parte superior
apoios A e B
- Cálculo da Tensão admissível:adm =e / F, F: fator de segurança.
- Dimensionamento do perfil: adm = M / W (M: Momento Fletor; W: Módulo de
Resistência (depende da secção transversal do perfil).
- Valores de Wx e Wy podem variar; neste caso utilizar a pior condição, ou seja, o
menor dos W, a não ser que a viga já tenha a sua posição de apoio definida.
- W: Quando o perfil é conhecido, este dado já está tabelado.
Tabela – Momento de Inércia / Raio de Giração / Módulo de Resistência
Secção Momento de InérciaJ Raio de Giração i
Módulo de
Resistência W
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
17
EXEMPLOS:
1) Determinar o momento de inércia e módulo de resistência, relativos aos eixos
baricêntricos x e y no perfil representado abaixo:
unidade em mm
Conforme tabela , temos:
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
18
Momento de Inércia J Módulo de Resistência W
Base b = 120 mm = 12 cm
Altura h = 180 mm = 18 cm
Jx = b x h3 / 12 = 12 x 183 / 12 = 5.832 cm4
Jy = h x b3 / 12 = 18 x 123 / 12 = 2.592 cm4
Wx = b x h2 / 6 = 12 x 182 / 6 = 648 cm3
Wy = h x b2 / 6 = 18 x 122 / 6 = 432 cm3
2) Determinar o momento de inércia, raio de giração e módulo de resistência, relativos
aos eixos baricêntricos x e y nos perfis representados a seguir.
unidade em mm
Conforme tabela , temos:
Momento de Inércia J Módulo de Resistência W
Diâmetro d = 280 mm = 28 cm.
Jx = Jy = x d4 / 64 = x 284 / 64 = 30.172 cm4
Wx = Wy = x d3 / 32 =x 283 / 32 = 2.155 cm3
3) Determinar o momento de inércia e módulo de resistência, relativos aos eixos
baricêntricos x e y do perfil representado na figura abaixo.
unidade em mm
Existem 2 secções, quadrado e círculo.
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
19
a) Secção 1: Quadrado de lado a = 400 mm = 40 cm.
Jx1 = Jy1 = a4 / 32 = 404 / 32 = 213.333,3 cm4
b) Secção 2: Círculo de diâmetro d = 200 mm = 20 cm.
Jx2 = Jy2 = x d4 / 64 =x 204 / 64 = 7.854 cm4
c) Cálculo da Secção composta 1 e 2:
Jx = Jx1 - Jx2 = 213.333,3 – 7.854 = 205.479,3 cm4 (considerado Jx2 como negativo
pois não faz parte da figura).
Para calcular os módulos de resistência Wx e Wy, temos:
Wx = Jx / ymax
Wy = Jy / xmax
Como a figura é simétrica, então Wx = Wy ---> Wx = Wy = Jx / ymax = 205.479,3 / 20 =
10.273,96 cm3.
E QUANDO NÃO TEM O W TABELADO, MAS SE TEM A SECÇÃO COMPOSTA, O
QUE FAZER?
Neste caso, deve ser calculado o momento
de inércia desta secção.
Jx – Momento de inércia em relação ao
eixo X
Jy – Momento de inércia em relação ao
eixo Y
Em qual sentido esta viga possui maior
resistência?
A maior resistência à flexão é quando a
carga atua na parte superior desta viga
Pela tabela, Jx > Jy (Quanto maior o
Momento de Inércia, maior será a sua
resistência à flexão em torno do eixo
considerado)
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
20
No exemplo da cantoneira (perfil em L), não temos o perfil tabelado.
Neste caso temos que calcular Wx e Wy.
Para isso, devemos seguir a seguinte receita:
Receita para cálculo do Momento de Inércia e Módulo de Resistência à Flexão:
a) Dividir a secção em secções menores (seccções básicas).
b) Calcular baricentro da secção estudada.
c) Calcular Momento de Inércia Jx e Jy de cada secção (atenção, se a secção é
simétrica em relação aos eixos X e Y, os momentos Jx e Jy são iguais).
d) Fazer a somatória dos momentos de inércia das secções separadamente Jx do
Jy (subtrair no caso da figura não fazer parte da secção).
e) Caso a origem dos eixos da secção estudada (baricentro calculado
anteriormente) não coincidir com as origens dos eixos de cada secção, fazer o
transporte (translação) para a origem dos eixos da secção.
:
Jx = (Jx1 + S1 x y12) + (Jx2 + S2 x y22) + Jx3
Jx3: Momento de inércia da secção 3, sendo que o baricentro da figura 3
coincide com o baricentroda secção composta.
Jx1 e Jx2 : Momentos de inércia das secções 1 e 2 respectivamente, sendo que
ambos os baricentros não coincidem com o baricentro da secção composta.
S1 e S2 : Áreas das secções das secções 1 e 2 respectivamente.
y1 e y2 : Distância entre baricentros das secções 1 e 2 respectivamente e
baricentro da secção composta, no sentido Y.
Fazer o mesmo para Jy = (Jy1 + S1 x x12) + (Jy2 + S2 x x22) + Jy3
Calcular Módulos de Resistência Wx e Wy:
Wx = Jx / ymax
Wy = Jy / xmax
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
21
Jx = (Jx1 + S1 x y1
2) + (Jx2 + S2 x y2
2) + Jx3
Jy = (Jy1 + S1 x x12) + (Jy2 + S2 x x22) + Jy3
Wx = Jx / ymax
Wy = Jy / xmax
xmax e ymax: máximas distâncias do centro de gravidade da viga em relação ao
contorno da mesma, nos eixos X e Y.
adm = M / Wx adm = M / Wy
Exemplo:
Calcular o momento de inércia, módulo de resistência e tensão admissível do perfil
composto por 2 chapas soldadas.
Calculando o centro de gravidade deste perfil temos os valores de Xcg e Ycg = 36 mm,
conforme mostrado na figura.
a) Cálculo do momento de inércia de cada chapa:
Chapa 1:
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
22
b = 100 e h = 30
Jx1 = 100 x 30
3 / 12 = 225.000mm4
Jy1 = 30 x 1003 / 12 = 2.500.000mm4
Chapa 2:
b = 30 e h = 70
Jx2 = 30 x 703 / 12 = 857.500mm4
Jy2 = 70 x 303 / 12 = 157.500mm4
b) Cálculo do momento de inércia do perfil composto:
Y1: distância entre o centro gravidade da chapa 1 e o centro gravidade do perfil, no eixo
Y = 21
X1: distância entre o centro gravidade da chapa 1 e o centro gravidade do perfil, no eixo
X = 14.
Y2: distância entre o centro gravidade da chapa 2 e o centro gravidade do perfil, no eixo
Y = 29.
X2: distância entre o centro gravidade da chapa 2 e o centro gravidade do perfil, no eixo
X = 21.
S1 = 3000 mm2
S2 = 2100 mm2
Jx = (Jx1 + S1 x y12) + (Jx2 + S2 x y22)
Jx = (225.000 + 3000 x 212) + (857.500 + 2100 x 292) = 2.623.600 mm4
Jy = (Jy1 + S1 x x12) + (Jy2 + S2 x x22)
Jy = (2.500.000 + 3000 x 142) + (157.500 + 2100 x 212) = 4.171.600 mm4
c) Cálculo do módulo de resistência do perfil composto:
ymax: máxima distância entre o centro de gravidade do perfil e borda do perfil no sentido
vertical = 64mm.
xmax: máxima distância entre o centro de gravidade do perfil e borda do perfil no sentido
horizontal = 64mm.
Wx = Jx / ymax = 2.623.600 / 64 = 40.994 mm3
Wy = Jy / xmax = 4.171.600 / 64 = 65.181 mm3
d) Cálculo da tensão admissível do perfil:
Supondo máximo momento fletor atuando no perfil é de 375.000 Kgfmm e supondo
também que a solda não interfere na resistência do material.
a) Para força atuando no sentido horizontal:
adm = M / Wx = 375.000 / 40.994 = 9,2 Kgf/mm2
b) Para força atuando no sentido vertical:
adm = M / Wy = 375.000 / 65.181 = 5,8 Kgf/mm2
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
23
RESISTÊNCIA À FLEXÃO
Verifica-se em vigas, postes engastados, etc...
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
24
Flexão pura:
Quando apresenta apenas momento fletor
nas diferentes secções transversais, sem
força cortante atuando nestas secções.
Ex: Secção entre C e D.
Flexão simples:
Quando apresenta simultaneamente
momento fletor e força cortante atuante nas
diferentes secções transversais.
Ex: Secções entre A e C; D e B.
FORÇA CORTANTE Q E MOMENTO FLETOR M
a) Convenção de sinais:
Força cortante Q
Força cortante positiva – momento fletor
positivo na peça.
Vigas horizontais – Força positiva quando
atua à esquerda da secção transversal
estudada, de baixo para cima.
Vigas verticais – Força positiva quando atua à
esquerda da secção estudada, com sentido
dirigido da esquerda para a direita.
Momento fletor M
Momento positivo quando as forças atuantes
na peça tracionam as suas fibras inferiores.
Momento negativo quando as forças atuantes
na peça comprimem as suas fibras inferiores.
Positivo quando o momento é horário à
esquerda da secção transversal estudada.
b) Força cortante Q:
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
25
Resultante das forças cortantes atuantes à
esquerda da secção transversal estudada.
Secção A-A: Q = RA
Secção B-B: Q = RA – P1
Secção C-C = RA – P1 – P2
c) Momento fletor M:
Resultante dos momentos atuantes à
esquerda da secção transversal estudada.
Secção A-A: M = RA x X
Secção B-B: M = RA x X – P1(X–a)
Secção C-C: M = RA x X – P1(X–a) – P2[X–
(a+b)]
d) Exemplos de força cortante e momento fletor:
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
26
e) Dimensionamento na flexão:
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
27
x = M / Wx, sendo que Wx = Jx / ymax
y = M / Wy, sendo que Wy = Jy / xmax
Para dimensionar a peça, utilizarx =y =
x e y : Tensão normal atuante na fibra
mais afastada [Pa; N/mm2; ...]
: Tensão admissível [Pa; N/mm2; ...]
M: Momento fletor [Nm; Nmm;...]
Wx e Wy: Módulo de resistência da secção
transversal [m3; mm3;...]
xmax e ymax: Distância máxima entre LN
(linha neutra) e extremidade da secção [m;
mm; ...]
Receita para dimensionamento de um perfil composto quanto à sua Resistência à
Flexão:
a) Identificar cada apoio com letras.
b) Caso ainda falte alguma dimensão (ex: ângulos ou alguma medida a ser
utilizada no dimensionamento) efetuar os cálculos e identificar na figura.
c) Pelo tipo de apoio, identificar as reações nos mesmos (ex: apoio fixo – reações
na horizontal e na vertical).
d) Se existirem forças atuando de forma inclinada em relação aos eixos horizontais
ou verticais, decompô-las nestes 2 sentidos (lembre-se: força atuando no
sentido perpendicular da secção do perfil corresponde a uma força de tração ou
compressão).
e) Calcular as reações nos apoios, utilizando a somatória das forças em ambos os
sentidos, horizontal e vertical separadamente, com ambas igual a ZERO, e a
somatória dos momentos em um dado ponto ou nó, totalizando também como
ZERO (ZERO, pois não existe nenhuma força resultante, para sistemas em
equilíbrio – estáveis).
f) Identificar as forças agindo na estrutura considerada.
g) Analisar estas forças, identificando as forças cortantes que fazem com que haja
flexão da estrutura.
h) Construir o diagrama de momento fletor, identificando o momento fletor máximo
agindo na estrutura.
i) Determinar o baricentro do perfil composto.
j) Determinar os momentos de inércia Jx e Jy do perfil composto, considerando
individualmente o momento de inércia de cada secção e o seu deslocamento.
k) Determinar os módulos de resistência Wx e Wy.
l) Utilizando as fórmulas de tensão (e = Mmax / W ), dimensionar a secção da
estrutura, considerando o coeficiente de segurança quando solicitado.
Mmax: Momento fletor máximo agindo na estrutura
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
28
W: Módulo de resistência do material (ver apostila págs. 19 e 20).
Atenção especial deve ser dada para a compatibilidade de unidades de medida.
m) Convenção de sinais para forças e momento fletor:
Exemplos:
1) Calcular a máxima força P que este perfil redondo pode suportar quanto à sua
resistência à flexão.
O material do perfil possui uma tensão de escoamento de 2.000 Kgf/cm2.
A secção do perfil é redonda, com diâmetro de 6 cm.
Considerar nos cálculos um fator de segurança igual a 4.
O módulo de resistência do material é igual ax d3 / 32, tanto para o eixo X-X, quanto
para o eixo Y-Y.
adm = Mmáx / W , sendo que Mmáx é o máximo momento fletor atuando na estrutura.
Não esquecer de calcular a tensão admissível.
adm =e / F = 2000 / 4 = 500 Kgf/cm2
adm = Mmáx / W  Mmáx =adm x W
100 x P = 500 x x 63 / 32
100 x P = 10603
P = 10603 / 100 = 106 Kgf
2) Qual a máxima carga P que esta estrutura pode suportar, quanto a sua resistência à
flexão?
Informações sobre o projeto:
A carga P atua exatamente na metade do comprimento do perfil composto.
O perfil composto é constituído daseguinte forma: Uma viga I e uma chapa soldada na
sua parte superior. Desconsiderar os cordões de solda.
Dimensões e outras características do perfil e da chapa são conforme segue:
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
29
A chapa e o perfil I são compostos do mesmo material, com e = 180 Mpa.
Deve ser utilizado um coeficiente de segurança F = 3.
a) Cálculo das reações nos apoios A e B:
No apoio A não foi considerado a reação RAx na direção horizontal, pois não existe
nenhuma força atuando nesta direção na estrutura.
Para um sistema em equilíbrio de forças, Fx = 0, portanto RAx = 0.
Fy = 0, então RAy + RBy = P
MB = 0, então (400 + 400)RAy – 400P = 0, então 800RAy = 400P
Então RAy = 400P / 800 = P / 2
RAy + RBy = P, então P / 2 + RBy = P, então RBy = P / 2.
b) Construção do diagrama de momento fletor:
Analisando esta estrutura partindo do apoio A no sentindo direito, o momento aumenta
linearmente até atingir o pico no ponto de atuação da carga P (Mp = RAy x 400 = P / 2
x 400 = 200P).
Esta variação linear é devida ao aumento proporcional de M à medida que se aumenta
a distância em relação ao ponto onde atua a reação – ponto A, pois M = RAy x
distância (à medida que se afasta do apoio A, o momento aumenta na mesma
proporção).
Á direita do ponto de atuação de P, o momento vai decrescendo linearmente até se
anular no apoio B (MB = RAy x (400 + 400) – P x 400 = (P / 2) x 800 – P x 400 = P x
400 – P x 400 = 0).
c) Determinação do centro de gravidade (baricentro) do perfil composto:
O eixo Y está localizado bem no meio da secção do perfil, pois o mesmo é simétrico
em relação a este eixo.
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
30
Não sabemos ainda a posição do eixo X do centro de gravidade, portanto devemos
calculá-lo, definindo como referência o eixo u.
Transformando as dimensões do perfil I e da chapa para centímetros, temos:
Figura Área S
figura
XG figura S x XG
figura
YG figura S x YG
figura
Perfil I 19 6,35 120,65
Chapa 10 12,7 + 0,5 132
Somatória 29 --------------- --------------- 252,65
S x XG figuras
XG peça = -----------------------
S figuras
S x YG figuras
YG peça = ----------------------- = 8,71 cm
S figuras
d) Determinação dos momentos de inércia Jx e Jy:
O cálculo dos momentos de inércia seguem a mesma regra utilizada para cálculo do
baricentro de uma figura plana, onde ocorre também o transporte de cada figura para a
origem dos eixos de coordenadas considerados.
O momento de inércia em relação ao eixo baricêntrico X é determinado pela soma dos
momentos de inércia da chapa e do perfil I, e os respectivos transportes de eixos (pois
o eixo baricêntrico dos perfil I e chapa não coincidem com o eixo baricêntrico do perfil
composto).
Sendo a chapa identificada como secção 1 e o perfil I identificado como secção 2,
temos:
Jx = Jx1 + S1 x y’12 + Jx2 + S2 x y’22
Chapa:
Jx1 = b x h3 / 12 = 10 x 13 / 12 = 0,83 cm4
S1 x y’12 = (10 x 1) x (0,5 + 12,7 – 8,71)2 = 10 x 4,492 = 201,6 cm4
Perfil I:
Jx2 = 511 cm4
S2 x y’22 = 19 x (8,71 – 12,7 / 2)2 = 19 x (8,71 – 6,35)2 = 105,8 cm4
Portanto, Jx = 0,83 + 201,6 + 511 + 105,8 = 819,25 cm4
O momento de inércia relativo ao eixo Y não tem o transporte, pois os eixos Y da chapa
e do perfil I coincidem com o eixo Y do perfil composto.
Jy = Jy1 + Jy2
Chapa:
Jy1 = b x h3 / 12 = 1 x 103 / 12 = 83,3 cm4
Perfil I:
Jy2 = 50 cm4
Portanto, Jy = 83,3 + 50 = 133,3 cm4
e) Determinação dos módulos de resistência Wx e Wy:
Wx = Jx / Ymáx = 819,25 / 8,71 = 94 cm3
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
31
Wy = Jy / Xmáx = 133,3 / 5 = 26,67 cm3
Ymax e Xmax – máximas distâncias das bordas do perfil composto em relação ao
seu centro de gravidade, nos eixos X e Y.
Como a solicitação é vertical (aplicação da carga), consideraremos apenas o Wx.
f) Determinação da máxima carga P:
e = 180 Mpa = 180 N/mm2 = 18.000 N/cm2 = 1800 Kgf/cm2
adm =e / F = 1800 / 3 = 600 Kgf/ cm2
adm = Mmax / Wx, entãoadm x Wx = Mmax, logo adm x Wx = 200P
Portanto, 600 x 94 = 200P, então P = 282 Kgf.
REF: MECÂNICA TÉCNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - SARKIS
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
32
TABELA DE PERFIS PADRONIZADOS
PERFIL I
Dimensões A EIXO X-X EIXO Y-Y P
Medida
Nominal
Altura
h (mm)
Largura
mesa b
(mm)
Espessura
alma d (mm)
Área
secção
(cm2)
Jx
(cm4)
Wx
(cm3) rx (cm)
Jy
(cm4)
Wy
(cm3)
ry
(cm)
Peso
(Kg/m)
3"x 2 3/8" 76,2 59,2 4,32 10,8 105 27,6 3,12 18,9 6,4 1,33 8,5
3"x 2 3/8" 76,2 61,2 6,38 12,3 112 29,6 3,02 21,3 7,0 1,31 9,7
3"x 2 3/8" 76,2 63,7 8,86 14,2 121 32,0 2,93 24,4 7,7 1,31 1,.2
4"x 2 5/8" 101,6 67,6 4,83 14,5 252 49,7 4,17 31,7 9,4 1,48 11,4
4"x 2 5/8" 101,6 69,2 6,43 16,1 266 52,4 4,06 34,3 9,9 1,46 12,7
4"x 2 5/8" 101,6 71,0 8,28 18,0 283 55,6 3,96 37,6 10,6 1,45 14,1
4"x 2 5/8" 101,6 72,9 10,20 19,9 299 58,9 3,87 41,2 11,3 1,44 15,6
5"x 3" 127,0 76,2 5,33 18,8 511 80,4 5,21 50,2 13,2 1,63 14,8
5"x 3" 127,0 79,7 8,81 23,2 570 89,8 4,95 58,6 14,7 1,59 18,2
5"x 3" 127,0 83,4 12,50 28,0 634 99,8 4,76 69,1 16,6 1,57 22,0
6"x 3 3/8" 152,4 84,6 5,84 23,6 919 120,6 6,24 75,7 17,9 1,79 18,5
6"x 3 3/8" 152,4 87,5 8,71 28,0 1003 131,7 5,99 84,9 19,4 1,74 22,0
6"x 3 3/8" 152,4 90,6 11,80 32,7 1095 143,7 5,79 96,2 21,2 1,72 25,7
8"x 4" 203,2 101,6 6,86 34,8 2400 236,0 8,30 155,1 30,5 2,11 27,3
8"x 4" 203,2 103,6 8,86 38,9 2540 250,0 8,08 165,9 32,0 2,07 30,5
8"x 4" 203,2 105,9 11,20 43,7 2700 266,0 7,86 179,4 33,9 2,03 34,3
8"x 4" 203,2 108,3 13,50 48,3 2860 282,0 7,69 194 35,8 2,00 38,0
10"x 4
5/8" 254,0 118,4 7,87 48,1 5140 405,0 10,30 282 47,7 2,42 37,7
10"x 4
5/8" 254,0 121,8 11,40 56,9 5610 442,0 9,93 312 51,3 2,34 44,7
10"x 4
5/8" 254,0 125,6 15,10 66,4 6120 482,0 9,60 348 55,4 2,29 52,1
10"x 4
5/8" 254,0 129,3 18,80 75,9 6630 522,0 9,35 389 60,1 2,26 59,6
12"x 5
1/4" 304,8 133,4 11,70 77,3 11330 743,0 12,10 563 84,5 2,70 60,6
12"x 5
1/4" 304,8 136,0 14,40 85,4 11960 785,0 11,80 603 88,7 2,66 67,0
12"x 5
1/4" 304,8 139,1 17,40 94,8 12690 833,0 11,60 654 94,0 2,63 74,4
12"x 5
1/4" 304,8 142,2 20,60 104,3 13430 881,0 11,30 709 99,7 2,61 81,9
15"x 5
1/2" 381,0 139,7 10,40 80,6 18580 975,0 15,20 598 85,7 2,73 63,3
15"x 5
1/2" 381,0 140,8 11,50 84,7 19070 1001,0 15,00 614 87,3 2,70 66,5
15"x 5
1/2" 381,0 143,3 14,00 94,2 20220 1061,0 14,70 653 91,2 2,63 73,9
15"x 5
1/2" 381,0 145,7 16,50 103,6 21370 1122,0 14,40 696 95,5 2,59 81,4
18"x 6" 457,2 152,4 11,70 103,7 33460 1464,0 18,00 867 113,7 2,89 81,4
18"x 6" 457,2 154,6 13,90 113,8 35220 1541,0 17,60 912 117,9 2,83 89,3
18"x 6" 457,2 156,7 16,00 123,3 36880 1613,0 17,30 957 122,1 2,79 96,8
18"x 6" 457,2 158,8 18,10 132,8 38540 1686,0 17,00 1004 126,5 2,75 104,3
20"x 7" 508,0 177,8 15,20 154,4 61640 2430,0 20,00 1872 211,0 3,48 121,2
20"x 7" 508,0 179,1 16,60 161,3 63110 2480,0 19,80 1922 215,0 3,45 126,6
20"x 7" 508,0 181,0 18,40 170,7 65140 2560,0 19,50 1993 220,0 3,42 134,0
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
33
20"x 7" 508,0 182,9 20,30 180,3 67190 2650,0 19,30 2070 226,0 3,39 141,5
20"x 7" 508,0 184,7 22,20 189,7 69220 2730,0 19,10 2140 232,0 3,36 148,9
PERFIL U
P Dimensões A EIXO X-X EIXO Y-Y CG
Medida
Nominal
Peso
(Kg/m)
Altura
h (mm)
Espessura
alma d (mm)
Largura
aba b
(mm)
Área
secção
(cm²)
Jx
(cm4)
Wx
(cm²)
rx
(cm) Jy (cm
4) Wy(cm³)
ry
(cm)
xG
(cm)
3"x 1 1/2" 6,1 76,2 4,32 35,8 7,78 68,9 18,1 2,98 8,2 3,32 1,03 1,11
3"x 1 1/2" 7,4 76,2 6,55 38 9,48 77,2 20,3 2,85 10,3 3,82 1,04 1,11
3"x 1 1/2" 8,9 76,2 9,04 40,5 11,4 86,3 22,7 2,75 12,7 4,39 1,06 1,16
4"x 1 5/8" 8,0 101,6 4,57 40,1 10,1 159,5 31,4 3,97 13,1 4,61 1,14 1,16
4"x 1 5/8" 9,3 101,6 6,27 41,8 11,9 174,4 34,3 3,84 15,5 5,1 1,14 1,15
4"x 1 5/8" 10,8 101,6 8,13 43,7 13,7 190,6 37,5 3,73 18,0 5,61 1,15 1,17
6"x 2" 12,2 152,4 5,08 48,8 15,5 54671,7 5,94 28,8 8,06 1,36 1,3
6"x 2" 15,6 152,4 7,98 51,7 19,9 632 82,9 5,63 36,0 9,24 1,34 1,27
6"x 2" 19,4 152,4 11,1 54,8 24,7 724 95,0 5,42 43,9 10,5 1,33 1,31
6"x 2" 23,1 152,4 14,2 57,9 29,4 815 107 5,27 52,4 11,9 1,33 1,38
8"x 2 1/4" 17,1 203,2 5,59 57,4 21,8 1356 133,4 7,89 54,9 12,8 1,59 1,45
8"x 2 1/4" 20,5 203,2 7,7 59,5 26,1 1503 147,9 7,6 63,6 14 1,56 1,41
8"x 2 1/4" 24,2 203,2 10 61,8 30,8 1667 164 7,35 72,9 15,3 1,54 1,4
8"x 2 1/4" 27,9 203,2 12,4 64,2 35,6 1830 180,1 7,17 82,5 16,6 1,52 1,44
8"x 2 1/4" 31,6 203,2 14,7 66,5 40,3 1990 196,2 7,03 92,6 17,9 1,52 1,49
10"x 2
5/8" 22,7 254 6,1 66 29,0 2800 221 9,84 95,1 19 1,81 1,61
10"x 2
5/8" 29,8 254 9,63 69,6 37,9 3290 259 9,31 117 21,6 1,76 1,54
10"x 2
5/8" 37,2 254 13,4 73,3 47,4 3800 299 8,95 139,7 24,3 1,72 1,57
10"x 2
5/8" 44,7 254 17,1 77 56,9 4310 339 8,7 164,2 27,1 1,7 1,65
10"x 2
5/8" 52,1 254 20,8 80,8 66,4 4820 379 8,52 191,7 30,4 1,7 1,76
12"x 3" 30,7 304,8 7,11 74,7 39,1 5370 352 11,7 161,1 28,3 2,03 1,77
12"x 3" 37,2 302,8 9,83 77,4 47,4 6010 394 11,3 186,1 30,9 1,98 1,71
12"x 3" 44,7 304,8 13 80,5 56,9 6750 443 10,9 214 33,7 1,94 1,71
12"x 3" 52,1 304,8 16,1 83,6 66,4 7480 491 10,6 242 36,7 1,91 1,76
12"x 3" 59,6 304,8 19,2 86,7 75,9 8210 539 10,4 273 39,8 1,9 1,83
15"x 3
3/8" 50,4 381 10,2 86,4 64,2 13100 688 14,3 338 51 2,3 2
15"x 3
3/8" 52,1 381 10,7 86,9 66,4 13360 701 14,2 347 51,8 2,29 1,99
15"x 3
3/8" 59,5 381 13,2 89,4 75,8 14510 762 13,8 387 55,2 2,25 1,98
15"x 3
3/8" 67,0 381 15,7 91,9 85,3 15650 822 13,5 421 58,5 2,22 1,99
15"x 3
3/8" 74,4 381 18,2 94,4 94,8 16800 882 13,3 460 62 2,2 2,03
15"x 3
3/8" 81,9 381 20,7 96,9 104,3 17950 942 13,1 498 66,5 2,18 2,21
CANTONEIRA DE ABAS IGUAIS
Dimensões Área P EIXO X-X e Y-Y
Dimensão
Nominal (pol)
Dimensão
Nominal
(mm)
Espessura
(pol)
Área
secção
(cm²)
Peso
(kg/m)
Jx = Jy
(cm4)
Wx =
Wy
(cm³)
rx = ry
(cm)
imáx
(cm)
imin
(cm)
xG =
yG
(cm)
5/8 x 5/8 16 x 16 1/8 0,96 0,71 0,20 0,18 0,45 0,56 0,3 0,51
3/4 x 3/4 19 x 19 1/8 1,16 0,88 0,37 0,28 0,58 0,73 0,38 0,58
7/8 x 7/8 22 x 22 1/8 1,35 1,04 0,58 0,37 0,66 0,8 0,48 0,66
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
34
7/8 x 7/8 22 x 22 1/8 1,48 1,19 0,83 0,49 0,76 0,96 0,51 0,76
1 x 1 25 x 25 3/16 2,19 1,73 1,24 0,65 0,76 0,95 0,48 0,81
1 x 1 25 x 25 1/4 2,83 2,21 1,66 0,98 0,73 0,91 0,48 0,86
Dimensões Área P EIXO X-X e Y-Y
Dimensão
Nominal (pol)
Dimensão
Nominal
(mm)
Espessura
(pol)
Área
secção
(cm²)
Peso
(kg/m)
Jx = Jy
(cm4)
Wx =
Wy
(cm³)
rx = ry
(cm)
imáx
(cm)
imin
(cm)
xG =
yG
(cm)
1 1/4 x 1 1/4 32 x 32 1/8 1,93 1,5 1,66 0,81 0,96 1,21 0,63 0,91
1 1/4 x 1 1/4 32 x 32 3/16 2,77 2,2 2,49 1,14 0,96 1,2 0,61 0,96
1 1/4 x 1 1/4 32 x 32 ¼ 3,61 2,86 3,32 1,47 0,93 1,16 0,61 1,01
1 1/2 x 1 1/2 38 x 38 1/8 2,32 1,83 3,32 1,14 1,19 1,5 0,76 1,06
1 1/2 x 1 1/2 38 x 38 3/16 3,42 2,68 4,57 1,63 1,16 1,47 0,73 1,11
1 1/2 x 1 1/2 38 x 38 1/4 4.45 3,48 5,82 2,13 1,14 1,44 0,73 1,19
1 1/2 x 1 1/2 38 x 38 5/16 5,42 4,26 6,65 4,53 1,11 1,39 0,73 1,24
1 3/4 x 1 3/4 44 x 44 1/8 2,7 2,14 5,41 1,63 1,39 1,76 0,88 1,21
1 3/4 x 1 3/4 44 x 44 3/16 3,99 3,15 7,49 2,29 1,37 1,73 0,88 1,29
1 3/4 x 1 3/4 44 x 44 1/4 5,22 4,12 9,57 3,11 1,34 1,69 0,86 1,34
1 3/4 x 1 3/4 44 x 44 5/16 6,45 5,05 11,23 3,77 1,32 1,66 0,86 1,39
1 3/4 x 1 3/4 44 x 44 3/8 7,61 5,94 12,9 4,26 1,29 1,61 0,86 1,45
2 x 2 51 x 51 1/8 3,09 2,46 7,90 2,13 1,6 2,03 1,01 1,39
2 x 2 51 x 51 3/16 4,58 3,63 11,23 3,11 1,57 1,99 0,99 1,44
2 x 2 51 x 51 1/4 6,06 4,76 14,56 4,09 1,54 1,94 0,99 1,49
2 x 2 51 x 51 5/16 7,41 5,83 17,48 4,91 1,52 1,91 0,99 1,54
2 x 2 51 x 51 3/8 8,77 6,99 19,97 5,73 1,49 1,86 0,99 1,62
2 1/2 x 2 1/2 64 X 64 1/4 7,68 4,1 29,1 6,4 1,95 2,45 1,24 1,83
2 1/2 x 2 1/2 64 X 64 5/16 9,48 5 35,4 7,8 1,93 2,43 1,24 1,88
2 1/2 x 2 1/2 64 X 64 3/8 11,16 5,9 40,8 9,1 1,91 2,41 1,22 1,93
3 x 3 76 5/16 11,48 6,1 62,4 11,6 2,33 2,94 1,5 2,21
3 x 3 76 3/8 13,61 7,2 74,9 14 2,35 2,92 1,47 2,26
3 x 3 76 7/16 15,68 8,3 83,3 15,7 2,3 2,91 1,47 2,31
3 x 3 76 1/2 17,74 9,4 91,6 17,5 2,27 2,86 1,47 2,36
4 x 4 102 3/8 18,45 9,8 183,1 25,1 3,15 3,96 2 2,9
4 x 4 102 7/16 21,35 11,3 208,1 28,7 3,12 3,94 1,98 2,95
4 x 4 102 1/2 24,19 12,8 233,1 32,4 3,1 3,91 1,98 3
4 x 4 102 9/16 26,97 14,3 253,9 35,6 3,07 3,86 1,98 3,07
4 x 4 102 5/8 29,74 15,7 278,9 39,4 3,06 3,86 1,96 3,12
5 x 5 127 1/2 30,65 16,2 470,3 51,9 3,92 4,95 2,49 3,63
5 x 5 127 9/16 34,26 18,1 516,1 57,4 3,88 4,89 2,49 3,71
5 x 5 127 5/8 37,81 20 566,1 63,3 3,87 4,89 2,46 3,76
5 x 5 127 11/16 41,29 21,8 611,9 68,8 3,85 4,86 2,46 3,81
5 x 5 127 3/4 44,77 23,6 653,5 73,9 3,82 4,82 2,46 3,86
6 x 6 152 3/8 28,13 14,9 641,0 58,1 4,77 6,05 3,02 4,17
6 x 6 152 7/16 32,65 17,2 736,7 67,1 4,75 6,02 3,02 4,22
6 x 6 152 1/2 37,1 19,6 828,3 75,8 4,73 5,97 3 4,27
6 x 6 152 9/16 41,48 21,9 919,9 84,7 4,71 5,95 3 4,34
6 x 6 152 5/8 45,87 24,2 1007,3 93,2 4,69 5,94 2,97 4,39
6 x 6 152 11/16 50,19 26,5 1090,5 101,4 4,66 5,9 2,97 4,45
6 x 6 152 3/4 54,45 28,7 1173,8 109,9 4,64 5,84 2,97 4,52
6 x 6 152 13/16 58,65 31 1252,9 117,9 4,62 5,81 2,97 4,57
6 x 6 152 7/8 62,77 33,1 1327,8 125,5 4,6 5,8 2,97 4,62
8x 8 203 1/2 50 26,4 2022,9 137,2 6,36 8,05 4,01 5,56
8x 8 203 9/16 56 29,6 2251,8 153,3 6,34 8,02 4,01 5,61
8x 8 203 5/8 62 32,7 2472,4 168,9 6,31 7,97 4,01 5,66
8x 8 203 11/16 67,94 35,8 2688,8 184,4 6,29 7,95 4,01 5,72
8x 8 203 3/4 73,81 38,9 2901,1 199,9 6,27 7,92 3,99 5,79
8x 8 203 13/16 79,61 42 3109,2 215 6,25 7,89 3,99 5,84
8x 8 203 7/8 85,35 45 3313,2 229,9 6,23 7,86 3,96 5,89
8x 8 203 15/16 91,1 48,1 3508,8 244,3 6,21 7,84 3,96 5,94
8x 8 203 1" 96,77 51 3704,4 259,4 6,19 7,81 3,96 6,02
NOTAS DE AULA ref. Resist Materiais – Sarkis
35
P A
Dimensão
nominal (pol)
Dimensão
nominal
(mm)
Espessura
c (pol)
Peso
(kg/m)
Área da
secção
(cm²)
Jx
(cm4)
Jy
(cm4)
Wx
(cm³)
Wy
(cm³)
rx
(cm)
ry
(cm)
rxmín
(cm)
xG
(cm)
yG
(cm)
5/16 9,08 11,48 91,6 39,1 15,3 8,2 2,82 1,85 1,37 1,63 2,9
3/8 10,71 13,61 108,2 45,8 18,2 9,7 2,82 1,83 1,37 1,68 2,95
3/8 12,65 16 166,5 79,1 24,0 14,1 3,23 2,22 1,63 1,98 3,25
7/16 14,58 18,52 187,3 91,6 27,1 16,4 3,18 2,22 1,63 2,03 3,3
1/2 16,52 20,97 208,1 99,9 30,5 18,2 3,15 2,18 1,63 2,11 3,38
1/4 9,08 11,68 120,7 87,4 16,6 13,3 3,21 2,74 1,85 2,31 2,95
5/16 11,46 14,52 149,8 108,2 20,8 16,5 3,21 2,73 1,85 2,36 3
3/8 13,54 17,23 174,8 124,9 24,5 19,3 3,19 2,69 1,85 2,44 3,07
7/16 15,77 19,94 199,8 141,5 28,2 22,1 3,17 2,66 1,83 2,49 3,12
1/2 17,71 22,58 220,6 158,2 31,4 24,9 3,13 2,65 1,83 2,54 3,18
5/16 12,95 16,52 274,7 112,4 31,7 16,6 4,08 2,61 1,93 2,13 4,04
3/8 15,48 19,68 324,7 133,2 37,7 19,8 4,06 2,6 1,93 2,18 4,09
7/16 17,86 22,77 370,4 149,8 43,3 22,5 4,03 2,57 1,93 2,24 4,14
1/2 20,24 25,81 416,2 166,2 49,1 25,3 4,02 2,54 1,91 2,31 4,22
9/16 22,62 28,84 457,9 183,1 54,3 28 3,98 2,53 1,91 2,36 4,27
5/8 25 31,74 499,5 199,8 59,6 30,8 3,97 2,51 1,91 2,41 4,32
11/16 27,23 34,65 541,1 216,4 65,0 33,6 3,95 2,5 1,91 2,46 4,37
3/4 29,47 37,48 578,6 233,1 70,1 36,7 3,93 2,49 1,91 2,54 4,45
3/8 18,3 23,29 561,9 204 54,7 26,1 4,91 2,96 2,24 2,39 4,93
7/16 21,28 26,97 645,2 233,1 63,1 30 4,89 2,94 2,21 2,44 4,98
1/2 24,11 30,65 724,2 262,2 71,3 34,1 4,86 2,92 2,21 2,51 5,05
9/16 26,94 34,26 803,3 287,2 79,6 37,6 4,84 2,9 2,21 2,57 5,11
5/8 29,76 37,81 878,2 312,2 87,5 41,2 4,82 2,87 2,18 2,62 5,16
11/16 32,44 41,29 949,0 337,1 95,2 44,9 4,79 2,86 2,18 2,69 5,23
3/4 35,12 44,77 1019,8 362,1 102,8 48,5 4,77 2,84 2,18 2,74 5,28
1/2 26,64 33,87 1111,3 270,5 95,4 34,4 5,73 2,83 2,21 2,34 6,15
9/16 29,76 37,94 1232 299,7 106,2 38,4 5,7 2,81 2,21 2,39 6,2
5/8 32,89 41,87 1348,6 324,7 116,8 41,8 5,68 2,78 2,18 2,44 6,25
11/16 36,01 45,74 1461 353,8 127,3 46 5,65 2,78 2,18 2,51 6,32
3/4 38,99 49,61 1573,3 378,8 137,8 49,6 5,63 2,78 2,18 2,57 6,38
1/2 29,17 37,1 1602,5 278,9122,9 34,8 6,57 2,74 2,18 2,18 7,26
9/16 32,59 41,48 1781,5 308 137,2 38,7 6,55 2,72 2,18 2,24 7,32
5/8 36,01 45,87 1952,1 337,1 151,2 42,7 6,52 2,71 2,18 2,31 7,39
11/16 39,44 50,19 2122,8 362,1 165,1 46,2 6,5 2,69 2,16 2,36 7,44
3/4 42,71 54,45 2285,1 391,3 178,4 50,2 6,48 2,68 2,16 2,41 7,49
13/16 46,13 58,65 2443,3 416,2 191,9 54 6,45 2,66 2,16 2,49 7,57
7/8 49,26 62,77 2597,3 437 204,8 57 6,43 2,64 2,16 2,54 7,62
15/16 52,53 66,9 2751,3 462 217,8 60,7 6,41 2,63 2,16 2,59 7,67
1 55,66 70,97 2897 482,8 230,8 64,1 6,39 2,61 2,16 2,67 7,75
203 x 102
Dimensões EIXO X-X e Y-Y
CANTONEIRA DE ABAS DESIGUAIS
3 1/2 x 2 1/2
1/4
89 x 64
7,29 9,29 74,9 32,5 12,3 6,7 2,84 1,89 1,37 1,55 2,82
70,8 20,2
4 x 3
5/16 10,71
102 x 76
13,48 141,5 1,93 3,212,5 3,24 2,29 1,65
7 x 4
8 x 4
4 x 3 1/2
5 x 3 1/2
6 x 4
102 x 89
127 x 89
152 x 102
178 x 102
A P
Medida
Nominal
Altura
h (mm)
Largura
mesa b
(mm)
Espessura
alma d
(mm)
Área
secção
(cm2)
Jx
(cm4)
Wx
(cm3)
rx
(cm)
Jy
(cm4)
Wy
(cm3)
ry
(cm)
Peso
(Kg/m)
4"x 4" 101,6 101,6 7,95 26,1 449 88 4,15 146 28,8 2,38 20,5
5"x 5" 127,0 127,0 7,95 35,6 997 157 5,29 321 50,6 3,01 27,9
6"x 6" 152,4 150,8 7,95 47,3 1958 257 6,43 621 81,5 3,63 37,1
6"x 6" 152,4 154,0 11,13 52,1 2050 269 6,27 664 87,1 3,57 40,9
PERFIL H
Dimensões EIXO X-X EIXO Y-Y