Seção 5_2_S

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SEÇÃO 5.2 A INTEGRAL DEFINIDA  3
 1. A largura dos intervalos é ∆ x = (5 − 0) / 5 = 1, de modo 
que os pontos de partição são 0, 1, 2, 3, 4, 5 e os pontos 
médios são 0,5, 1,5, 2,5, 3,5, 4,5. A Regra do Ponto Médio dá
 
5
0 x
3dx ≈
5
i=1
f (x i ) ∆ x
= (0,5)3+ (1,5)3+ (2,5)3+ (3,5)3+ (4,5)3
= 153,125.
 2. A largura dos intervalos é ∆ x = (3 − 1) /4 = 0,5, de modo 
que os pontos de partição são 1,0, 1,5, 2,0, 2,5, 3,0 e os pontos 
médios são 1,25, 1,75, 2,25, 2,75.
 
3
1
1
2x − 7dx ≈
4
i=1
f (x i ) ∆ x
= 0,5 1
2 (1,25) − 7 +
1
2 (1,75) − 7
+
1
2 (2,25) − 7
+
1
2 (2,75) − 7
≈ −0,7873
 3. ∆ x = ( 2−1) /10 = 0,1, de modo que os pontos de partição 
são 1,0, 1,1, ..., 2,0 e os pontos médios são 1,05, 1,15, ..., 1,95.
 
2
1
1+ x 2dx ≈
10
i=1
f (x i ) ∆ x
= 0,1 1+ (1,05)2 + 1+ (1,15)2
+ · · · + 1+ (1 ,95)2
≈ 1,8100.
 4. ∆ x = 14
pi
4 − 0 =
pi
16 , de modo que os pontos de partição 
são 0, pi16 ,
2pi
16 , 
3pi
16 ,
4pi
16 e os pontos médios são 
pi
32 ,
3pi
32 ,
5pi
32 ,
7pi
32 . 
A Regra do Ponto Médio dá 
 
pi/4
0 tg x dx ≈
pi
16 tg
pi
32 + tg
3pi
32 + tg
5pi
32 + tg
7pi
32
≈ 0,3450.
 
 5. ∆ x = (10 − 0) / 5 = 2, de modo que as extremidades são 0, 
2, 4, 6, 8 e 10, e os pontos médios são 1, 3, 5, 7 e 9. A Regra 
do Ponto Médio dá
 
10
0 sen dx ≈
5
i=1
f (x i ) ∆ x
= 2 sen 1+sen 3
+ sen 5+sen 7+ sen 9
≈ 6,4643.
 6. ∆ x = (pi − 0) / 6 = pi6 , de modo que as extremidades 
são 0, pi6 ,
2pi
6 ,
3pi
6 ,
4pi
6 ,
5pi
6 e 
6pi
6 e os pontos médios são 
pi
12 ,
3pi
12 ,
5pi
12 ,
7pi
12 ,
9pi
12 e 
11pi
12 . A Regra do Ponto Médio dá
 
pi
0 sec ( x/3) dx ≈
6
i=1
f (x i ) ∆ x
= pi6 sec
pi
36 + sec
3pi
36 + sec
5pi
36
+ sec 7pi36 + sec
9pi
36 + sec
11 pi
36
≈ 3,9379.
 7. ∆x = (4− 2) / 4 = 0,5, de modo que as extremidades são 2, 
2,5, 3, 3,5 e 4 e os pontos médios são 2,25, 2,75, 3,25 e 3,75. 
A Regra do Ponto Médio dá
 
4
2 x ln x dx ≈
4
i=1
f (x i ) ∆ x [f (x ) = x ln x ]
= 0,5 [ f (2,25) + f (2,75) + f (3,25) + f (3,75)]
≈ 6,6969.
 8. Em [0, 1],
 
lim
n→∞
n
i=1
2 (x ∗i )2 − 5x ∗i ∆ x =
1
0 2x
2 − 5x dx.
 9. Em [1, 4], lim
n→∞
n
i =1
x ∗i ∆ x =
4
1 x dx.
 10. ba c dx = limn→∞
b− a
n
n
i =1
c = lim
n→∞
b− a
n nc
= lim
n→∞
(b− a) c = (b− a) c.
5.2 SOLUÇÕES Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
4  SEÇÃO 5.2 A INTEGRAL DEFINIDA
 11. 7− 2 (6 − 2x ) dx = limn →∞
9
n
n
i=1
6 − 2 −2+ 9i
n
= lim
n →∞
9
n
n
i=1
10 − 18in
= lim
n →∞
90
n
n
i=1
1 − 162n 2
n
i=1
i
= lim
n →∞
90
n n −
162
n 2
n (n + 1)
2
= lim
n →∞
90 − 81 · 1 1+ 1
n
= 90 − 81 = 9.
 12. 41 x
2 − 2 dx
= lim
n →∞
3
n
n
i=1
1+
3i
n
2
− 2
= lim
n →∞
3
n
n
i=1
9i2
n 2 +
6i
n − 1
= lim
n →∞
27
n 3
n
i=1
i2 + 18
n 2
n
i=1
i − 3
n
n
i=1
1
= lim
n →∞
27
n 3
n (n + 1) (2n + 1)
6
+ 18
n 2
n (n + 1)
2
−
3
n
n
= lim
n →∞
9
2 · 1
1+ 1n 2+
1
n + 9 · 1 1+
1
n − 3
= 92 · 2 + 9 − 3 = 15.
 13. 51 2+ 3x − x
2 dx
= lim
n →∞
4
n
n
i=1
2+ 3 1+ 4i
n
− 1+ 4i
n
2
= lim
n →∞
4
n
n
i=1
−
16i2
n 2 +
4i
n + 4
= lim
n →∞
−
64
n 3
n
i=1
i2 + 16n 2
n
i=1
i + 16n
n
i=1
1
= lim
n →∞
−
64
n 3
n (n + 1) (2n + 1)
6
+
16
n 2
n (n + 1)
2
+
16
n n
= lim
n →∞
−
32
3 · 1
1+
1
n 2+
1
n + 8 · 1 1+
1
n + 16
= − 643 + 8 + 16 = .
8
3
 14. 10 (ax + b) dx = limn →∞
1
n
n
i=1
a i
n
+ b
= lim
n →∞
a
n 2
n
i=1
i + bn
n
i=1
1
= lim
n →∞
a
n 2
n (n + 1)
2
+
b
n n
= lim
n →∞
a
2
· 1 1+ 1
n
+ b = a
2
+ b.
 15. 0− 3 2x
2 − 3x − 4 dx
= lim
n →∞
3
n
n
i=1
2 −3+ 3in
2
− 3 −3+ 3in − 4
= lim
n →∞
3
n
n
i=1
18i2
n 2 −
45i
n + 23
= lim
n →∞
54
n 3
n
i=1
i2 − 135n2
n
i=1
i + 69n
n
i=1
1
= lim
n →∞
54
n 3
n (n + 1) (2n + 1)
6
−
135
n 2
n (n + 1)
2
+ 69n n
= lim
n →∞
9 · 1 1 + 1
n
2 + 1
n
−
135
2
· 1 1 + 1
n
+ 69
= 9 · 2 − 1352 + 69 = 19,5.
 16. 
1
− 1 t
3 − t2 + 1 dt
= lim
n →∞
2
n
n
i =1
−1 + 2in
3
− −1 + 2in
2
+ 1
= lim
n →∞
2
n
n
i =1
8i3
n 3
−
12i2
n 2
+
6i
n
− 1
−
4i2
n 2
−
4i
n
+1 + 1
= lim
n →∞
2
n
n
i =1
8i3
n 3 −
16i2
n 2 +
10i
n − 1
= lim
n →∞
16
n 4
n
i =1
i3 − 32n 3
n
i =1
i2 + 20n 2
n
i =1
i − 2n
n
i =1
1
= lim
n →∞
16
n 4
n 2 (n + 1)2
4
−
32
n 3
n (n + 1) (2n + 1)
6
+
20
n 2
n (n + 1)
2
−
2
n
n
= lim
n →∞
4 · 12 1 + 1n
2
−
16
3 · 1
1 + 1n 2 +
1
n
+ 10 · 1 1+
1
n − 2
= 4− 323 + 10 − 2 = .
4
3
 17. b
a Px
2 + Qx + R dx
= lim
n→∞
b− a
n
n
i=1
P a + b− an i
2
+ Q a + b− an i + R
= lim
n→∞
b− a
n
n
i=1
P (b− a)
2
n 2 i
2
+ ( 2Pa + Q) b− an i + Pa
2 + Qa + R
= lim
n→∞
P (b− a)
3
n 3
n
i=1
i2 + (2Pa + Q) (b− a)
2
n 2
n
i=1
i
+ Pa2 + Qa + R b− a
n
n
i=1
1
SEÇÃO 5.2 A INTEGRAL DEFINIDA  5
 
= lim
n→∞
P (b− a)
3
n 3
n (n +1 ) (2n +1 )
6
+ (2Pa + Q) (b− a)
2
n 2
n (n +1 )
2
+ Pa 2+ Qa + R b− an n
= lim
n→∞
P (b− a)3
6
1 1+ 1
n
2+ 1
n
+ Pa + Q
2
(b− a)2 1 1+ 1n
+ Pa 2 + Qa + R (b− a)
= P (b− a)
3
3
+ Pa + Q
2
(b− a)2
+ Pa2 + Qa + R (b− a)
= P b
3
3
− b2a + ba 2− a
3
3
+ ab2 − 2a2b+ a3 + a2b− a3
+ Q b
2
2 − ab+
a2
2 + ab− a
2 + R (b− a)
= P b
3
3 −
a3
3
+ Q b
2
2 −
a2
2
+ R (b− a).
 18. b0 x
3 + 4x dx
= lim
n →∞
b
n
n
i=1
bi
n
3
+ 4 bin
= lim
n →∞
b4
n 4
n
i=1
i3+ 4 b
2
n 2
n
i=1
i
= lim
n →∞
b4
n 4
n 2 (n + 1)2
4 +
4b 2
n 2
n (n + 1)
2
= lim
n →∞
b4
4
· 12 1+ 1
n
2
+ 2b2 · 1 1+ 1
n
=
b4
4
+ 2b .2
 19. 5
2 t
3 − 2t + 3 dt
= lim
n→∞
3
n
n
i=1
2+
3i
n
3
− 2 2+
3i
n + 3
= lim
n→∞
3
n
n
i=1
27i3
n 3 +
54i2
n 2 +
36i
n + 8 − 4 −
6i
n + 3
= lim
n→∞
3
n
n
i=1
27i3
n 3
+
54i2
n 2
+
30i
n
+ 7
= lim
n→∞
81
n 4
n
i=1
i3 + 162
n 3
n
i=1
i2 + 90
n 2
n
i=1
i + 21
n
n
i=1
1
= lim
n→∞
81
n 4
n 2 (n + 1)2
4
+
162
n 3
n (n + 1) (2n + 1)
6
+
90
n 2
n (n + 1)
2
+
21
n n
 
= lim
n→∞
81
4 · 1
2 1+ 1n
2
+ 27 · 1 1+
1
n 2+
1
n
+ 45 · 1 1+ 1
n
+ 21
= 814 + 54+ 45 + 21 = 140,25.
 20. 31 (1 + 2x ) dx pode ser interpretada como a área sob o 
gráfico de f (x) = 1 + 2x entre x = 1 e x = 3. Isso é igual à 
área do retângulo mais a área do triângulo, de modo que
 31 (1 + 2x ) dx = A = 2 · 3+
1
2 · 2 · 4 = 10.
 Ou: Use a fórmula para a área do trapezoide:
 A = 12 (2) (3+ 7) = 10.
 21. 3
− 1 (2 − x ) dx pode ser interpretada como A1 - A2, onde A1 e 
A2 são as áreas dos triângulos mostrados. Logo,
 
3
− 1 (2 − x ) dx =
1
2 · 3 · 3 −
1
2 · 1 · 1 = 4.
 22. 2
− 2 (1 − |x |) dx pode ser interpretada como a área do triângulo 
central subtraída das áreas dos triângulos externos, logo 
 2− 2 (1 − |x |) dx =
1
2 · 2 · 1 − 2 ·
1
2 · 1 · 1 = 0.
 23. 30 |3x − 5| dx pode ser interpretada como a área sob o gráfico 
da função f (x) = |3x − 5| entre x = 0 e x = 3. Isso é igual à 
soma das áreas dos dois triângulos, logo
 30 |3x− 5| dx =
1
2 ·
5
3 · 5+
1
2 3−
5
3 4 =
41
6 .
 24. 31 f (x ) dx +
6
3 f (x ) dx +
12
6 f (x ) dx
= 61 f (x ) dx +
12
6 f (x ) dx =
12
1 f (x ) dx.
6  SEÇÃO 5.2 A INTEGRAL DEFINIDA
 25. 
8
5 f (x ) dx +
5
0 f (x ) dx
= 50 f (x ) dx +
8
5 f (x ) dx =
8
0 f (x ) dx.
 26. 102 f (x ) dx −
7
2 f (x ) dx
= 72 f (x ) dx +
10
7 f (x ) dx −
7
2 f (x ) dx =
10
7 f (x ) dx.
 27. 5− 3 f (x ) dx −
0
− 3 f (x ) dx +
6
5 f (x ) dx
= 0− 3 f (x ) dx +
5
0 f (x ) dx −
0
− 3 f (x ) dx +
6
5 f (x ) dx
= 60 f (x ) dx.
 28. 52 f (x ) dx +
8
5 f (x ) dx =
8
2 f (x ) dx ⇒
5
2 f (x ) dx + 2 ,5 =1,7 ⇒
5
2 f (x ) dx = −0,8.
 29. 10 f (t) dt +
3
1 f (t) dt +
4
3 f (t) dt =
4
0 f (t) dt
⇒ 2+ 31 f (t) dt + 1 = −6 ⇒
3
1 f (t) dt = −6 − 2 − 1 = −9.
 30. Se f (x ) = x 2 + 2x , −3 ≤ x ≤ 0, então 
f (x ) = 2x + 2 = 0 quando x = -1 e f (-1) = −1. Nas 
extremidades, f (−3) = 3, f (0) = 0. Assim, o mínimo absoluto 
é m = −1 e o máximo absoluto é M = 3. Logo, 
 −1 [0 − (−3)] ≤ 0− 3 x
2 + 2x dx ≤ 3 [0− (−3)] ou
 −3 ≤ 0− 3 x
2 + 2x dx ≤ 9.
 31. Se pi4 ≤ x ≤
pi
3 então 
1
2 ≤ cos x ≤
2
2 , logo 
1
2
pi
3 −
pi
4 ≤
pi/3
pi/4 cos x d x ≤
2
2
pi
3 −
pi
4 ou 
pi
24 ≤
pi/3
pi/4 cos x d x ≤
2pi
24 .
 32. Para −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x 4 ≤ 1 e 1 ≤ 1+ x 4 ≤ 2 , logo 
1 [1 − (−1)] ≤ 1− 1 1+ x 4 dx ≤ 2 [1 − (−1)] ou 
2 ≤ 1−1 1+ x 4 dx ≤ 2 2.