CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I - Aula 8 Teorema Fundamental do Cálculo

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CCE0044 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Aula 8: Teorema Fundamental do Cálculo
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TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
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PRÓXIMOS 
PASSOS
INTEGRAIS DEFINIDAS
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Unidade III: Integrais definidas
Cálculo Diferencial e Integral I
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No Cálculo Diferencial e Integral há dois tipos de problemas fundamentais:
Determinar a taxa de variação de uma curva (função) em um ponto.
Foi estudado, utilizando as derivadas. 
Determinar a área de uma região sob uma curva (função). 
Vai ser resolvido com a utilização de integrais definidas.
Precisaremos do Teorema fundamental do Cálculo.
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Exemplo de determinação da área sob o gráfico de uma função linear
Nesse caso, a região tem a forma de um trapézio. 
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O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta.
Como proceder se o gráfico da função for uma curva?
Pela simplicidade, vamos começar com o mesmo exemplo e:
Utilizar um processo aproximado;
Estimar a área do trapézio pela soma das áreas de vários retângulos; 
Cada retângulo terá base inferior no eixo x e ponto médio da base superior pertencente à função.
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Construíram-se 3 retângulos de base 1.
A ideia é estimar a área do trapézio como sendo a soma da área dos 3 retângulos.
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta.
Como proceder se o gráfico da função for uma curva?
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Áreas dos retângulos 
R1 = 4, R2 = 6 e R3 = 8 
A soma é 18 (resultado exato)
As áreas não computadas são “compensadas” pelas áreas acima da reta. 
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta.
Como proceder se o gráfico da função for uma curva?
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Vamos dividir a área abaixo da curva em dois retângulos. 
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta.
Como proceder se o gráfico da função for uma curva?
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Áreas dos retângulos 
R1 
R2 
A soma dá 4,5 (aproximação)
O que acontece se utilizarmos 4 retângulos? 
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta.
Como proceder se o gráfico da função for uma curva?
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R1
R2
R3
R4
Retângulo
Medida da base
Medida da altura
Área
R1
0,5 – 0 = 0,5
R2
1 – 0,5 = 0,5
R3
1,5 – 1 = 0,5
R4
2 – 1,5 = 0,5
Soma:
4,625
O valor 4,625 é uma aproximação melhor da área exata sob a curva.
 
Quanto maior for o número de retângulos, 
mais nos aproximaremos do valor exato da área. 
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta.
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Duas formas bastante utilizadas para representar o cálculo utilizado na determinação da integral definida são:
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PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
 
Considereas funções f(x) e g(x) contínuas em um intervalo [a,b] e aconstante real k . Então:
;
;
;
,paratodo c do domínio de f(x);
Se
 
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Assuntos da próxima aula:
Teorema Fundamental do Cálculo;
Integral definida.
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