Relatório Conservação do Momento Linear

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Universidade Federal de Goiás 
 Instituto de Física
 Laboratório de Física
 Conservação do Momento Linear
Alunos: Gabriel Arrates
 Lucas Rocha
 Murillo Hannum
 José Fernandes
Curso: Engenharia Civil Turma: “A”
Professora: Rosane Castro
 Goiânia, 13/11/2014
Introdução
Não é recente a curiosidade que o ser humano tem sobre entender como realmente
funciona o universo. Foi essa curiosidade que fez com que, desde o princípio,
procurássemos respostas para nossas dúvidas a respeito de como as coisas ao nosso
redor funcionam. Isso se deu, primeiramente, através da filosofia, baseada apenas em
teorias formuladas a partir de simples impressões e hipóteses muitas vezes absurdas,
mas foi com a física que muitas de nossas dúvidas foram solucionadas, através de
experimentos que compravovam a veracidade das teorias e hipóteses, ou descartavam
aquelas que eram reconhecidas como infundadas.
Dessa forma, muitas teorias da física partiram de um ideal filosófico, em que
pensadores apenas concebiam ideias, e anos depois físicos munidos das ferramentas e
do conhecimento necessário conseguiam comprová-las. Um exemplo aconteceu
quando o notável cientista e filósofo francês René Descartes propôs que uma
grandeza, correspondente ao produto da massa pela velocidade escalar se manteria
invariável nas interações entre os corpos. Sua explicação para tal afirmação tinha
cunho religioso e dizia que Deus, quando criou o universo de extensão infinita lhe
conferiu também um movimento. A quantidade de movimento total criada é imutável,
não podendo aumentar nem diminuir; porém, localmente, o movimento de um corpo
pode ser alterado pela troca com outro e enquanto um deles perde movimento o outro
ganha a mesma quantidade.
Anos mais tarde, Issac Newton formulou de maneira correta e completa essa hipótese
cartesiana. Porém Newton notou que a grandeza criada por Descartes mantinha-se
invariável apenas em algumas situações e para que isso não ocorresse enunciou a
quantidade de movimento (também conhecida como momento linear) como o
produto da massa pela velocidade vetorial. Para comprovar a conservação do
momento linear Newton fez uma demonstração com uma espécie de pêndulo com
duas bolas de madeira iguais, em que uma das bolas é suspensa, e depois de soltada
colide com a outra, que estava em repouso.
O experimento feito em sala no dia 27 de novembro também teve como finalidade
comprovar a conservação do momento linear, mesmo sendo utilizado um método
diferente do que o de Newton. A realização do experimento consistiu em medir o
momento linear de uma bola, abandonada em uma rampa, e comparar com o
momento linear obtido no final do processo, depois de a bola abandonada ter colidido
com uma outra bola. Para que essa conservação do momento linear fosse válida,
desconsiderou-se atuação de forças externas ao sistema como por exemplo a força de
atrito decorrente da resistência oferecida pelo ar.
Através desse experimento chegou-se aos resultados p(antes)=? e p(depois)=?.
Mesmo que os resultados obtidos não tenham se igualada dentro da margem de erro
entre ambos, pode-se dizer que o objetivo almejado foi alcançado, já que essa
desigualdade pode ser atribuída a uma séries de fatores que também foram abordados
neste experimento. Vale ressaltar que o experimento foi realizado em condições
totalmente idealizadas, afim de tornar válidos os cálculos utilizados, sendo que para
torná-los mais simples foi feito o arredondamento de alguns valores até se chegar aos
resultados finais.(1)
 
 (1)OU (2)
Através desse experimento chegou-se aos resultados p(antes)=? e p(depois)=?.
Pode-se dizer que o objetivo de comprovar a conservação do momento linear foi
atingido já que os resultados obtidos se igualam dentro da margem de erro, mesmo
sabendo que uma série de fatores que também foram abordados nesse experimento
alteram um pouco esses resultados, mas não os tornam menos confiáveis. Vale
ressaltar que o experimento foi realizado em condições totalmente idealizadas, afim
de tornar válidos os cálculos utilizados, sendo que para torná-los mais simples foi
feito o arredondamento de alguns valores até se chegar aos resultados finais.(2)
Teoria
O momento de inércia um objeto com distribuição contínua de massa é dado pela fórmula:
 
, onde dm é um elemento de massa situado a uma distância x do eixo de rotação.
Para calcular o momento de inércia teórico de uma barra de massa M e de lados a, b e c relativo a
um eixo perpendicular a uma de suas faces. 
 
Divide-se a barra em placas retangulares de lados a e b e de espessura dx. O momento de inércia de
cada uma placas relativo seu eixo de simetria é
 
Aplicando o teorema de Steiner, que diz IZ = IW + x2 dm , calculamos o momento de inércia desta
placa relativo a um eixo paralelo situado a uma distância x 
 
O momento de inércia do sólido em forma de paralelepípedo é
 (1)
Já para calcular o momento de inércia experimental da barra utilizamos a fómula :
 
 
 
 
 Unidades de força, massa, tempo, distância e aceleração no 
 Sistema Internacional
 Força - Newton(N)
 Massa - quilograma(kg)
 Tempo - segundo(s)
 Distância - metro(m)
 Aceleração - (m/s²)
ALGUEM QUIZER USAR ESSA IMAGEM NA METODOLOGIA
Metodologia Experimental
Metodología Experimental
 
O experimento consistiu em dois processos: inicialmente, deixou-se que uma esfera
partisse do repouso, do ponto a, do pico de uma rampa que estava a uma altura h do
solo. Com o intuito de saber o alcance obtido pela esfera, a rampa foi nivelada, com
um nível de água, e ajustada para que o objeto saísse na direção de uma linha, que
estava presa por uma de suas extremidades ao suporte que segurava a rampa e pela
outra extremidade por um objeto de peso qualquer, de modo que a linha ficasse
perpendicular ao solo, veja a figura 1.
 
Figura 1: Queda livre de uma esfera de metal partindo do pico de uma rampa.
 
 
 
Para identificar onde a esfera colidiu com o solo, colocou-se um papel carbono sobre
uma folha branca numa região onde todos os possíveis locais de queda da esfera
tivessem contidos. Ao cair sobre o papel carbono, a esfera marcou sobre o papel
branco um ponto. Esse ponto ficou a uma distancia A da linha citada anteriormente. A
essa distancia chamou-se alcance.
 
 
 
Posteriormente repetiu-se o experimento. No entanto uma segunda esfera, agora de
vidro, foi posicionada no ponto mais baixo da rampa, ponto b. A mesma esfera de
metal da primeira observação continuou partindo do ponto a, de modo que ao sair do
repouso colidia com a esfera de vidro no ponto b e ambas caiam de uma altura h e
chegavam ao solo com alcances distintos, veja a figura 2.
 
 
 
Figura 2: Queda livre de duas esferas, uma de metal e outra de vidro, que chegam ao
solo com alcances A’ e A’’, respectivamente.
 
 
O processo no qual se mediu A’ e A’’ foi semelhante ao do primeiro experimento:
utilizou-se o papel carbono para marcar sobre uma folha branca o local onde as
respectivas esferas tocavam o solo, com todos os possíveis pontos contidos naregião
onde estava localizada a folha branca. Depois se mediu a distância desses pontos à
linha que estava presa ao suporte que segurava a rampa.
No experimento foi utilizado um sistema formado por um disco que rotaciona
ao redor de um eixo, no qual um fio é amarrado, passa por uma polia e é preso a
um porta-massas de massa m=(26,1+0,1)g (conforme exemplificado na figura
abaixo). E além desse sistema também utilizou-se uma barra de dimensões
(5,1+0,1)cm e (22,6+0,1)cm e massa M=(699,8+0,1)g, que em uma das etapas
do experimento foi acoplada sobre o disco.
 
No experimento em questão o objetivo era o de precisar o valor do momento de
inércia da barra que foi utilizada. Para isso, primeiramente, foi enrolado na
polia de raio r=(20+0,05)mm um fio de comprimento tal que o porta-massas,
amarrado na outra extremidade do fio ,possa cair de uma altura que foi
utilizada como h=(82+0,5)cm com pontos de início e fim do trecho fixados.
1-Medição do tempo: com todos estes dados já obtidos, para precisar o
momento de Inércia faltava apenas o tempo que o porta-massas preso à polia
por meio de um fio gastava para percorrer a altura h quando o disco era solto.
Então, para isso, primeiramente, colocava-se cuidadosamente o porta-massas no
início do trecho que foi fixado. Em seguida retirava-se a resistência que
impedia o disco de girar, o que fazia com que o porta-massas caísse. Esse
tempo foi medido com o auxílio de um cronômetro digital e o procedimento foi
repetido 20 vezes com apenas o disco e depois mais 20 vezes com a barra sobre
o disco para encontrar dois tempos médios t1 e t2.
2-Cálculo do momento de Inércia da barra: com os dados anteriores já
conhecidos mais o tempo que foi cronometrado tornou-se possível precisar o
valor do momento de Inércia da barra. Através da fórmula
 I=m((gt²/2h)-1)r²,
utilizando-se o t1 obtido chegou-se ao valor do momento de Inércia do disco e
ao utilizar o t2 obteve-se o valor do momento de Inércia total (do disco mais a
barra).Por fim foi calculada a diferença entre o segundo e o primeiro, que se
refere ao momento de Inércia da barra, e comparou este resultado com o
teórico, obtido através da fórmula
 I=(M(A²+B²))/12 
Resultados e análise de dados
No experimento, descobriu-se inicialmente qual o tempo de queda de um corpo
suspenso a uma altura h do solo, ligado a um disco sem a barra de massa “m”
ao qual se desejava descobrir o momento de inércia.
Tabela 1: tempo de queda em cada repetição de um corpo a uma altura h do solo. 
evento 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°
tempo
evento 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20°
tempo
 fonte: dados experimentais
Após obter os valores de tempo de 20 repetições de queda dessa altura h, dado
pela tabela 1, tirou-se a média e o respectivo desvio padrão do tempo a partir
das fórmulas indicadas abaixo.
 
 
 
Obtendo-se: 15,626 segundos e 0,1368 segundos respectivamente.
t1 = (15,6 + 0,1) s
 
Encontrado t1, buscou-se descobrir o novo tempo de queda do objeto suspenso a
mesma altura h do solo, mas agora com a barra presa ao disco.
 
Essa segunda etapa, assim como a primeira, consistiu em repetir 20 vezes a
queda desse objeto suspenso para determinar o valor médio de t2. Os valores de
cada repetição são dados pela tabela 2.
tabela 2: tempo de queda, em cada evento, do corpo suspenso com altura h, com
a barra acoplada ao disco
evento 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°
tempo
evento 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20°
tempo
 fonte: dados experimentais
Com os valores obtidos, a média e o desvio padrão do novo tempo de queda
foram, 17.3675 segundos e 0,1243 segundos respectivamente, calculados com
as mesmas fórmulas usadas para achar t1.
 
Usando os valores conhecidos, e a equação (2) da teoria, o momento de inércia
da barra é dada por:
 
r = (20 + 0,05)x10-3 m
h = (82 + 0,05)x10-2 m
g = (9,784 + 0,001)m/s2
M = (699,8 + 0,1)x10-3 kg
m = (26,1 + 0,1)x10-3 kg
t1 = (15,6 + 0,1) s
t2 = (17,4 + 0,1) s
 Ibarra = 3,69964 kg m2 
com o acrescimo da incerteza calculada a partir da equação (3), chegamos ao 
valor:
Ibarra = (3,70 + 0,01)x10-3 kg m2
O valor esperado do momento de inercia da barra é calculado pela equação (1). 
Essa equação foi obtida na teoria e o valor é: I = 0,0031 3 = 3,13 x 10-3 kg2 m e 
o erro de aproximação é: 0,00002698 = 0,027 x 10-3.
 I = (3,13 + 0,03) x 10-3 kg m2
A incerteza calculada pela fórmula de propagação de erros está indicada a seguir:
 
Discussão e conclusão
No experimento obteve-se as distâncias horizontais que as bolinhas percorreram e
seus respectivos desvios-padrão. Como a altura da qual as bolinhas deixaram a rampa
foi a mesma, o tempo que elas gastaram até tocarem o solo foi o mesmo e com essas
informações foi possível chegar a uma velocidade e desvio-padrão para cada
distância medida anteriormente com o auxílio da fórmula(?-da velocidade). Depois,
com os valores das velocidades e massas conhecidos foi possível aplicá-los á
formula(?-do momento linear), e pela conservação do momento linear comparar os
resultados. O momento linear inicial, da primeira bola, de massa M=(23,775+0,005)g
antes da colisão foi de p1=?. Já o segundo momento linear, após a colisão, da bola de
M=(23,775+0,005)g com a outra bola de massa m=(8,008+0,005)g foi de p2=?. 
Os possíveis valores obtidos dentro de suas incertezas não se interceptam. Essa
diferença entre os valores é proveniente de possíveis erros no procedimento
experimental e das aproximações e idealizações consideradas. Esses erros são
classificados como sistemáticos, e ocorrem devido a desconsiderações feitas durante
a execução dos experimentos. Os erros sistemáticos são comuns, pois ocorrem devido
a condições que, normalmente, são desprezadas para facilitar os cálculos, como
temperatura ambiente, resistência do ar e o atrito entre as bolinhas e a rampa.(1)
 
 (1)OU (2)
Mesmo com presença de erros que são classificados como sistemáticos, que ocorrem
devido a desconsiderações feitas durante a execução do experimento, além de falhas
durante o procedimento experimental e das aproximaçãoes e idealizações
consideradas, os possíveis valores obtidos se interceptam dentro de suas incertezas,
ou seja, conseguiu-se comprovar a conservação do momento linear com êxito total. O
que não significa que caso os valores não se interceptassem o objetivo do
experimento não teria sido alcançado, já que erros sistemáticos são comuns, pois
ocorrem devido a condições que, normalmente, são desprezadas para facilitar os
cálculos, como temperatura ambiente, resistência do ar e o atrito entre as bolinhas e a
rampa.(2)
Referências bibliográficas
Halliday, David; Resnick, Robert; Krane, kenneth S. . Física 1. 4°edição. Rio de
Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1996.
SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark Waldo; YOUNG, Hugh D.;
FREEDMAN, Roger A. Física I:Mecânica. 12. ed. São Paulo, SP: Pearson Addison
Wesley, c2008-2009 vol 3.
TAYOR, Jhon R. Introdução à Análise de Erros. 2. Ed. Bookman, Porto Alegre;
Tradução: Waldir Leite Roque, 2012.o