Aula 3 - EQUAÇÃO DO 1º E 2º GRAU - INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 1 
 
 
 
 
 1. Equação do 1º grau 
 
Uma equação é uma afirmativa de igualdade entre duas expressões. 
 
Resolução de equações 
Uma solução de uma equação em x é um valor de x para o qual a equação é verdadeira. 
Resolver uma equação em x significa encontrar todos os valores de x para os quais a equação é 
verdadeira, isto é, encontrar todas as soluções da equação. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Uma equação linear em x é aquela que pode ser escrita na forma ax + b = 0, onde a e b são números 
reais com a ≠ 0. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para conferir o desenvolvimento algébrico, podemos usar uma calculadora para substituir x por 2,5 na 
equação original. É possível concluir que os dois lados da equação são iguais. 
 
Exercício 
Resolva as equações: 
a) b) c) d) 
 
 
 
 
 
 Prof. Roger Rodrigues da Silva 2 
 
 
 2. Equação do 2º grau 
 
Uma equação quadrática em x é aquela que pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c 
são números reais com a ≠ 0. 
 
Resolução algébrica de equações quadráticas 
 
Existem quatro caminhos básicos para resolver equações quadráticas algebricamente. 
1. Fatoração 
 
 , com x1 e x2 soluções da equação ax2 + bx + c = 0 
 
2. Extração de raízes quadradas 
 
 
 
 
 
 
 
3. Procedimento de completar o quadrado 
2x² + 16x + 14 = 0 
O primeiro passo é analisar o número que está multiplicando o termo x². 
 Se o número for diferente de 1 dividiremos ambos os lados da equação por este número; 
 Se o número for igual a 1 não precisamos fazer nenhuma modificação na equação e passamos 
para o próximo passo. 
 
 
 
O segundo passo consiste em adicionar a ambos os lados da equação o quadrado da metade do 
número que está multiplicando o termo "x" da nossa equação. O número que está multiplicando o termo 
"x" da equação é igual a 8. Para acharmos o quadrado da metade desse número basta dividirmos ele 
por 2 e depois elevar o resultado ao quadrado. 
 
 
 
Descobrimos que o quadrado da metade de 8 vale 16, então iremos adicionar este número a ambos os 
lados da nossa equação como manda o segundo passo. 
 
 
 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 3 
 
 
 
 
A parte mais interessante vem agora. Quando adicionamos o quadrado da metade do termo que 
multiplica o "x" a ambos os membros da nossa equação transformamos o primeiro membro dela em 
um trinômio quadrado perfeito. 
 
 
 
 x + 4 = 3 ou x + 4 = - 3 
 
 
4. Uso da fórmula quadrática (conhecida como fórmula de Bhaskara) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Resolva as equações: 
a) b) c) d) 
 
2. Um terreno retangular mede 26 m de comprimento e 16 m de largura. Aos fundos do terreno e em 
uma de suas laterais - (como mostra a figura a seguir), serão acrescentadas duas faixas de mesma 
largura. Com essa expansão do terreno, a nova área medirá 816 m2. Qual será a largura dessas faixas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Roger Rodrigues da Silva 4 
 
 
3. Comprimento de uma escada (a medida está em pés (ft), sendo que 1 m equivale a 3,2808 ft) John 
sabe por experiência que sua escada de 18 ft fica estável quando a distância do chão até o topo dela 
é de 5 ft a mais que a distância da construção até a base da escada (como vemos na figura). Nesta 
posição, qual a altura que a escada alcança na construção? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Tamanho de um campo de futebol (as medidas estão em jardas (yd), sendo que 1 m equivale a 
1,0936 yd). Vários jogos da Copa do Mundo de 1994 ocorreram no estádio da Universidade de Stanford 
na Califórnia. O campo está 30 yd mais longo do que é sua largura e a área do campo é de 8800 yd2. 
Quais são as dimensões deste campo de futebol? 
 
 
 3. Definição de função e notação 
 
A matemática e suas aplicações estão repletas de exemplos de fórmulas com as quais as variáveis 
quantitativas estão relacionadas. Tanto a linguagem como a notação de funções são adequadas para 
trabalhar com tal ferramenta. 
DEFINIÇÃO: 
Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma lei que associa para todo elemento em A um 
único elemento em B. O conjunto A é o domínio da função e o conjunto B de todos os valores 
produzidos com essa associação é o conjunto imagem. O que pode ocorrer é a função estar definida 
como sendo de um conjunto A em um conjunto C, de modo que esse conjunto C não seja o conjunto 
imagem, e sim um conjunto que contém a imagem. Neste caso, esse conjunto C é conhecido como 
contradomínio. 
Existem várias maneiras de observar funções. Uma das mais intuitivas é a ideia de uma "máquina" 
(veja a Figura 7.1), na qual valores x do domínio são colocados dentro da própria máquina (que faz 
papel da função) para produzir valores y da imagem. Para indicar que y vem de uma função que atua 
sobre x, usamos a notação de função de Euler dada por y = f (x) (podemos ler como "y igual a f de 
x" ou "o valor de f em x"). Aqui, x é a variável independente e y = f(x) é a variável dependente. 
 
 
 
 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.1 Um diagrama de uma "máquina" para compreender função. 
 
Uma função pode também ser vista como uma relação dos elementos do domínio com os elementos 
da imagem. A Figura 7.2(a) mostra uma função que relaciona elementos do domínio X com os 
elementos da imagem Y. A Figura 7.2(b) mostra uma outra relação, mas esta não é de uma função, 
uma vez que a regra de que o elemento x1 associa a um único elemento de Y não ocorre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.2 O diagrama em (a) retrata uma relação de X em Y, que é uma função. O diagrama 
em (b) retrata uma relação de X em Y, que não é uma função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma outra forma de observar funções é graficamente. O gráfico da função y = f(x) é o conjunto de 
todos os pontos (x, f (x)), com x pertencente ao domínio de/. Podemos visualizar os valores do domínio 
sobre o eixo horizontal x, como também os valores da imagem sobre o eixo vertical y, tomando como 
referência os pares ordenados (x, y) do gráfico de y = f(x). 
 
 Prof. Roger Rodrigues da Silva 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.3 Um destes não é gráfico de função (Exemplo 2). 
 
 
Teste da linha vertical 
Um gráfico (conjunto de pontos (x, y)) no plano cartesiano define y como uma função de x se e somente 
se nenhuma linha vertical (nem que seja imaginária) cruza o gráfico em mais de um ponto. 
 
Domínio e imagem 
Uma função pode ser definida algebricamente por meio da regra (ou lei) em termos da variável x do 
domínio. A regra, no entanto, não nos fornece todas as informações sem que seja definido o domínio. 
Por exemplo, podemos definir o volume de uma esfera como uma função do seu raio, pela fórmula: 
 
 
 
 
 
Essa fórmula está definida para todos os números reais, mas a função volume não está definida para 
valores negativos de r. Assim, se a nossa intenção é estudar a função volume, podemos restringir o 
domínio para todo r ≥ 0. 
 
EXEMPLO: 
Encontre o domínio de cada função:INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 7 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções crescentes e decrescentes 
Um outro conceito de função que é fácil de entender graficamente é a propriedade de ser crescente, 
decrescente ou constante sobre um intervalo. Ilustraremos o conceito com poucos gráficos.