Aula 9 - Limites

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 1 
 
Limites 
 
O conceito de limite 
Exemplo – Considere a seguinte função f(x) = 
1x
1x2
. 
a) Qual é o domínio dessa função? 
b) Observe que f não está definida para x = 1. O que ocorre com f(x) quando x se aproxima de 1 
pela esquerda, ou seja, por valores menores que 1? E pela direita? 
 
x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 
f(x) 1,9 1,99 1,999 ? 2,001 2,01 2,1 
 
 
 Completando a tabela observe que quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita, 
f(x) se aproxima de 2. Então escrevemos: 
 
 
2)x(flim
1x
 
2)x(flim
1x
 
 
 limite lateral esquerdo limite lateral direito 
 
 
 c) O que ocorre com f(x), quando x tende a 1? 
 
 Quando x se aproxima de 1 temos que f(x) se aproxima de 2. Então escrevemos: 
 
 
 
2)x(flim
1x
 
 
 
 d) Quando os limites laterais são iguais, dizemos que a função possui limite nesse ponto. 
 
 
 e) Interpretação geométrica 
 y 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 1 
 
Prof. Roger Rodrigues da Silva 
Definição intuitiva de limite 
 Se f(x) se aproxima de um número real (L) quando x se tende a um número real “a” de 
qualquer lado, então escrevemos: 
L)x(flim
ax
 
 
 
O cálculo do limite 
 O cálculo do limite de uma função é fundamentado em propriedades e teoremas da 
matemática, que unidos nos fornecem a técnica da substituição. Observe os exemplos abaixo: 
 
a) Calcule o 
)1x(lim
2x
 
 Nesse caso é fácil verificar que quando x se aproxima de 2, f(x) se aproxima de 3. Então 
escrevemos:
)1x(lim
2x
= 3. 
 Observe que esse resultado pode ser obtido simplesmente substituindo o valor de x = 2 na 
função:
)1x(lim
2x
= 2 + 1 = 3. 
 
b) Calcule 
1x
1x
lim
2
1x
 
 Pela técnica da substituição temos que 
0
0
1x
1x
lim
2
1x
, o que é uma indeterminação. 
 Mas, observando que 
1x
)1x(
)1x)(1x(
1x
1x2
 para x 1, temos: 
 
1x
1x
lim
2
1x
= 
211)1x(lim
1x
, o que está de acordo com o valor obtido anteriormente. 
 
Exercício: 
Ache os limites: 
a) 
)142(lim 2
3
xx
x
 b) 
3
12
lim
1 x
x
x
 c) 
x
x
tanlim
 d) 
4
sinlim
1
x
x
 e) 
2
65
lim
2
2 x
xx
x
 
f) 
1
1
lim
3
1 x
x
x
 g) 
1
1
lim
2
4
1 x
x
x
 
 
 
GABARITO 
a) 31 b) 1/4 c) 0 d) √2/2 e) -1 f) 3 g) 2