Aula 2 - Medidas de Tendência Central e Medidas Separatrizes

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Universidade de Pernambuco - UPE 
Curso: Administração 
Disciplina: Estatística 
 
 
Estatística – Aula 2 
 
Prof. Pablo Aurélio L. de A. Pinto 
pabloaurelioap@hotmail.com 
MEDIDAS NUMÉRICAS 
 O resumo de dados por meio de tabelas, gráficos 
e distribuição de frequência fornece muito mais 
informações sobre o comportamento de uma 
variável do que a tabela original de dados. 
 
 É possível resumir ainda mais estas informações, 
apresentando um ou alguns poucos valores que 
sejam representativos da série toda. 
 
 Quando utilizamos um só valor, obtemos uma 
redução drástica das informações sugeridas pelo 
conjunto de dados. 
MEDIDAS NUMÉRICAS 
 Suponha que os dados observados na amostra 
sejam representados por: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛. Onde n 
representa o tamanho da amostra. 
 Com os elementos desta amostra podemos 
encontrar números que resumem as principais 
características da amostra. 
 Vamos concentrar a atenção em dois tipos de 
medidas numéricas: 
 As que caracterizam a localização do centro da 
amostra; 
 As que caracterizam a dispersão dos dados. 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 Tais medidas orientam-nos quanto à posição da 
distribuição no eixo x (eixo dos números reais), 
possibilitando que comparemos séries de dados 
entre si pelo confronto desses números. 
 São chamadas de medidas de tendência central, 
pois representam os fenômenos pelo seus valores 
médios, em torno dos quais tendem a concentrar-
se os dados. 
 Nos informam qual é o valor central (valor médio) 
de uma amostra ou conjunto de dados. 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
 Usualmente, emprega-se uma das seguintes 
medidas de posição (ou localização) central: 
 
 Média; 
 Mediana; 
 Moda. 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 Nos informa o grau de dispersão dos dados em 
torno de um dado valor médio, isto é, o quanto os 
dados encontram-se “espalhados” em torno da 
média. 
 
 Usualmente, emprega-se uma das seguintes 
medidas de dispersão: 
 Desvio Padrão; 
 Variância Amostral; 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Média Aritmética – Dados não Agrupados: representa 
a soma das observações individuais dividida pelo 
número de observações da amostra. 
 Sejam 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, sendo “n” o tamanho da amostra 
𝑋. A média aritmética simples de 𝑋 pode ser 
representada por: 
 
 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Exemplo: Determine a média aritmética simples 
considerando os seguintes valores amostrais. 
 
 – Amostra: 3, 7, 8, 10, 11 
 – n = 5 
 
 Cálculo: 
 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Média Aritmética – Dados Agrupados: Quando os 
dados estiverem agrupados numa distribuição de 
frequência usaremos a média aritmética dos valores 𝑥1, 
𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, ponderados pelas respectivas frequências 
absolutas 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, … , 𝐹𝑛. Assim, temos: 
 
 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Exemplo: Determine a média aritmética simples 
considerando os seguintes valores amostrais. 
– Amostra: 1, 3, 4, 7, 8, 8, 9, 4, 2, 4 
 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Média Geral: Sejam 𝑥 1, 𝑥 2, 𝑥 3, … , 𝑥 𝑘 as médias 
aritméticas de k séries, e 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3, … , 𝑛𝑘 os números de 
termos destas séries, respectivamente. A média 
aritmética da série formada pelos termos das k séries 
pode ser representada por: 
 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Exemplo: Determine a média geral considerando as 
seguintes séries amostrais. 
 
 
 
 
 Cálculo: 
 
 
10 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Média Geométrica: Sejam 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, valores de X 
associados às frequências absolutas 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, … , 𝐹𝑛, 
respectivamente. Assim, temos que a média geométrica 
de X é definida por: 
 
 
 
 
 
 Em particular, se 𝐹1 = 𝐹2 = 𝐹3 = 𝐹𝑛 = 1, temos: 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Exemplo 1: Determine a média geométrica 
considerando os seguintes valores amostrais. 
 
 – Amostra: 3, 6, 12, 24, 48 
 
 
 
 Cálculo: 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Exemplo 2: Calcule a média geométrica considerando 
os seguintes valores amostrais. 
 
 – Amostra: 
 
 Cálculo: 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Exemplo 2: Calcule a média geométrica considerando 
os seguintes valores amostrais. 
 
 – Amostra: 
 
 Cálculo: 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Média Harmônica: Sejam 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, valores de X 
associados às frequências absolutas 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, … , 𝐹𝑛, 
respectivamente. Assim, temos que a média harmônica 
de X é definida por: 
 
 
 
 
 Em particular, se 𝐹1 = 𝐹2 = 𝐹3 = 𝐹𝑛 = 1, temos: 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Exemplo 1: Determine a média harmônica considerando 
os seguintes valores amostrais. 
 – Amostra: 2, 5, 8, 10, 12 
 
 
 
 Cálculo: 
 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Exemplo 2: Determine a média harmônica considerando 
os seguintes valores amostrais. 
 
 
 
 
 Cálculo: 
 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Considere agora a amostra 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,…𝑥𝑛 e suponha 
que você a ordene de tal forma que 𝑥(1) seja o menor 
elemento da amostra, 𝑥(2) seja o segundo menor 
elemento, ..., 𝑥(𝑛) seja o maior elemento da amostra. 
 
 
 
 Os valores 𝑥(1), 𝑥(2),...,𝑥(𝑛) são chamados de estatística 
de ordem da amostra. 
 Outras medidas de tendência central e de dispersão 
podem ser definidas a partir das estatísticas de ordem. 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MEDIANA 
 Mediana: é a realização que ocupa a posição central da 
série de observações, quando a série apresenta-se 
ordenada em ordem crescente. 
 
 É definida a partir das estatísticas de ordem: 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MEDIANA 
 Exemplo: se existem 6 observações na amostra, a 
mediana equivale à média entre 𝑥(6 2) e 𝑥[(6 2)+1] , ou 
seja, entre o (3º) e o (4º) elementos: 
 
 
 
 
 Se a amostra contém 5 elementos, a mediana é 𝑥(3). 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MEDIANA 
 Exemplo: Determine a mediana considerando os 
seguintes valores amostrais. 
 – Amostra: 
 
 
 
 n = 11, n é impar, logo a Md será o elemento de ordem 
(n+1)/2, ou seja, (11+1)/2. Será, portanto, o sexto 
elemento. Para identificá-lo, abre-se a coluna da 
frequência acumulada. 
 Assim, temos que Md = 3. Será o elemento 
correspondente à classe que contiver a ordem calculada. 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MEDIANA 
 Exemplo: Determine a mediana considerando os seguintes 
valores amostrais. 
 – Amostra: 
 
 
 n = 42, n é par, logo a Md será a média entre os elementos 
de ordem (n/2) e [(n/2)+1], ou seja, (42)/2=21º e 
[(42/2)+1]=22º. Será, portanto, a média entre o vigésimo 
primeiro e o vigésimo segundo elemento. Para identificá-lo, 
abre-se a coluna da frequência acumulada. 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MEDIANA 
 Mediana para Variáveis Contínuas: para o caso de 
variáveis contínuas (agrupados em classes), deve-se 
seguir os seguintes procedimentos: 
 1º Passo: Calcula-se a ordem n/2. Como a variável é 
contínua, não se preocupe se n é par ou ímpar. 
 2º Passo: Pela 𝐹𝑎𝑐 identifica-se a classe que contém a 
mediana (classe Md). 
 3º Passo: utiliza-se a fórmula: 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MEDIANA 
 Onde: 
 𝑙𝑀𝑑 = limite inferior da classe mediana; 
 
 n = tamanho da amostra ou número de elementos. 
 
 Σf = soma das frequências anteriores à classe mediana; 
 
 h = amplitude da classe mediana; 
 
 𝐹𝑀𝑑 = frequência da classe mediana. 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MEDIANA 
 Exemplo: Determine a mediana considerando os 
seguintes valores amostrais. 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MEDIANA 
 1º Passo: Calcula-se a ordem n/2. Como n =58, temo 
58/2=29º. 
 2º Passo: Pela 𝐹𝑎𝑐 identifica-se a classe que contém a 
mediana (classe Md). Neste caso é a 3ª classe. 
 3º Passo: utiliza-se a fórmula: 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MÉDIA X MEDIANA 
 Exemplo: 
 Se os dados são: X = {1, 2, 3, 4, 5} 
 Média amostral é: (1+2+3+4+5)/5=3 
 Mediana amostral também será = 3. 
 Agora, se os dados são: X = {1, 2, 3, 4, 45} 
 Média amostral é: (1+2+3+4+45)/5=11, 
 Mediana amostral continua sendo 3. 
 Logo, a média amostral foi profundamente influenciada por 
um único valor, e o mesmo não aconteceu com a mediana 
amostral. 
 OBS.: A mediana amostral é menos influenciada que a média 
por observações aberrantes (“outliers”). 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MODA 
 Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a 
Moda. 
 
 Moda: é definida como a realização mais frequente do 
conjunto de valores observados X. 
 
 Para distribuições simples (sem agrupamento em 
classes), a identificação da Moda é facilitada pela 
simples observação do elemento que apresenta maior 
frequência. 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MODA 
 
 Exemplo: 
 
 X = {3, 4, 7, 8, 8, 10} 
 
 Mo = 8, pois é o resultado que se repete com maior 
número de vezes, ou que apresenta maior frequência 2. 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MODA 
 Exemplo: Determine a moda considerando os seguintes 
valores amostrais. 
 – Amostra: 
 
 
 
 
 
 A moda será 248. Indica-se Mo = 248. Este número é o 
de maior frequência na amostra, pois aparece 23 vezes. 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MODA 
 Para dados agrupados em classe, devemos seguir os 
seguintes passos: 
 1º Passo: Identifica-se a classe modal, ou seja, aquela que 
possuir maior frequência. 
 2º Passo: Aplica-se a fórmula: 
 
 
 Onde: 
 𝑙𝑀𝑜 = limite inferior da classe modal; 
 ∆1 = diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente anterior. 
 ∆2 = diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente 
posterior. 
 h = amplitude da classe modal; 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MODA 
 Exemplo: Determine a Moda considerando os seguintes 
valores amostrais. 
 
 
 
 
 
 
 
 1º Passo: indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3º classe. 
 2º Passo: aplica-se a fórmula 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
QUARTIS 
 Quartis: os quartis dividem um conjunto de dados em 
quatro partes iguais. Assim temos: 
 
 
 
 
 Onde: 
 𝑄1 = 1º quartil, deixa 25% dos elementos; 
 𝑄2 = 2º quartil, deixa 50% dos elementos (coincide com a 
mediana); 
 𝑄3 = 3º quartil, deixa 75% dos elementos; 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
QUARTIS 
 Os quartis são utilizados apenas para dados agrupados 
em classes. As fórmulas para a determinação dos 
quartis 𝑄1 e 𝑄3 são semelhantes à usada para o cálculo 
da mediana. 
 
 Determinação de 𝑸𝟏: 
 1º Passo: Calcula-se a ordem n/4. 
 2º Passo: Pela 𝐹𝑎𝑐 identifica-se a classe 𝑄1. 
 3º Passo: Aplica-se a fórmula: 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
QUARTIS 
 
 
 
 
 Onde; 
 𝐿𝑄1 = limite inferior do primeiro quartil classe mediana; 
 n = tamanho da amostra ou número de elementos. 
 Σf = soma das frequências anteriores; 
 h = amplitude da classe; 
 𝐹𝑄1 = frequência da classe. 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
QUARTIS 
 Determinação de 𝑸𝟑: 
 1º Passo: Calcula-se a ordem 3n/4. 
 2º Passo: Pela 𝐹𝑎𝑐 identifica-se a classe Q3. 
 3º Passo: Aplica-se a fórmula: 
 
 
 Onde; 
 𝐿𝑄1 = limite inferior do primeiro quartil classe mediana; 
 n = tamanho da amostra ou número de elementos. 
 Σf = soma das frequências anteriores; 
 h = amplitude da classe; 
 𝐹𝑞1 = frequência da classe. 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
QUARTIS 
 Exemplo: Dada a distribuição, determinar os quartis (𝑄1 e 
𝑄3) e a mediana. 
 
 
 
 
 
 1º Passo: para o caso em que n = 56, indica-se a classe para 
𝑄1, Md e 𝑄3. Assim temos: 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
QUARTIS 
 2º Passo: Pela 𝐹𝑎𝑐 identifica-se a classe 
 𝑄1 = segunda classe. 
 Md= terceira classe. 
 𝑄3 = quarta classe. 
 
 3º Passo: Aplica-se a fórmula: 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
QUARTIS 
 Diante desse resultado, podemos afirmar que, nesta 
distribuição temos: 
 
 
 
 
 
 Assim temos que: 
 22,33 deixa 25% dos elementos; 
 30,5 deixa 50% dos elementos; 
 38 deixa 75% dos elementos 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
DECIS 
 Decis: os decis correspondem aos valores que dividem um 
conjunto de dados (amostra) em dez (10) partes iguais. 
Assim temos: 
 
 
 
 Onde; 
 𝐷1 = 1º Decil, deixa 10% dos elementos; 
 𝐷2 = 2º Decil, deixa 20% dos elementos; 
 𝐷3 = 3º Decil, deixa 30% dos elementos; 
 . .. 
 𝐷9= 9º Decil, deixa 90% dos elementos; 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
DECIS 
 Assim devemos seguir os seguintes passos: 
 1º Passo: Calcula-se a ordem (i.n)/10, em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9. 
 2º Passo: Identifica-se a classe 𝐷𝑖 pela 𝐹𝑎𝑐. 
 3º Passo: Aplica-se a fórmula: 
 
 
 Onde; 
 𝐿𝐷𝑖 = limite inferior da classe 𝐷𝑖, i = 1, 2,.....,9. 
 n = tamanho da amostra ou número de elementos. 
 Σf = soma das frequências anteriores á classe 𝐷𝑖; 
 h = amplitude da classe 𝐷𝑖; 
 𝐹𝐷𝑖 = freqüência da classe 𝐷𝑖. 
 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
PERCENTIS 
 Percentis: os percentis correspondem as medidas que 
dividem um conjunto de dados (amostra) em cem (100) 
partes iguais. Assim temos: 
 
 
 
 Onde; 
 𝑃1 = 1º percentil, deixa 1% dos elementos; 
 𝑃2 = 2º percentil, deixa 2% dos elementos; 
 𝑃3 = 3º percentil, deixa 3% dos elementos; 
 ... 
 𝑃99 = 99º percentil, deixa 99% dos elementos; 
 
 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
PERCENTIS 
 Assim devemos seguir os seguintes passos: 
 1º Passo: Calcula-se a ordem (i.n)/100, em que i = 1, 2, 3, 4, 5,....., 
98, 99. 
 2º Passo: Identifica-se a classe 𝑃𝑖 pela 𝐹𝑎𝑐. 
 3º Passo: Aplica-se a fórmula: 
 
 
 
 Onde; 
 𝐿𝑃𝑖 = limite inferior da classe 𝑃𝑖, i = 1, 2,.....,98, 99. 
 n = tamanho da amostra ou número de elementos. 
 Σf = soma das frequências anteriores á classe 𝑃𝑖; 
 h = amplitude da classe 𝑃𝑖; 
 𝐹𝑃𝑖 = frequência da classe 𝑃𝑖. 
 
 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
PERCENTIS 
 Exemplo: Dada a distribuição, determinar o 4º decil e o 72º 
percentil da seguinte distribuição. 
 
 
 
 
 
 1º Passo: para o caso em que n = 40, indica-se a classe para 
𝐷4 e 𝑃72. Assim temos: 
 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
PERCENTIS 
 2º Passo: Identifica-se a classe 𝐷4 e 𝑃72 pela 𝐹𝑎𝑐 . 
 𝐷4 = segunda classe. 
 𝑃72 = terceira classe. 
 
 3º Passo: Aplica-se a fórmula: 
 Decis 
 
 
 Nesta distribuição, o valor 12,33 divide a amostra em duas 
partes: uma com 40% dos elementos e a outra com 60% dos 
elementos. 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
PERCENTIS 
 
 3º Passo: Aplica-se a fórmula: 
 
 Percentis 
 
 
 
 
 Nesta distribuição, o valor 16,89 indica que 72% da 
distribuição estão abaixo dele e 28% acima dele. 
CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIA SIMÉTRICA 
 Neste caso, conforme citado anteriormente, a média 
aritmética será igual à mediana, e esta, por sua vez, igual à 
moda. Assim: 
CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIA ASIMÉTRICA POSITIVA 
 Neste caso, a média aritmética apresentará um valor maior 
do que a mediana, e esta, por sua vez, apresentará um valor 
maior do que a moda. Assim: 
CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIA ASIMÉTRICA NEGATIVA 
 Neste caso a média aritmética será menor do que a mediana, 
e esta, por sua vez, é menor do que a moda. Assim: