Álgebras -de -Lie

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1. O que caracteriza uma álgebra de Lie?
a) Uma estrutura algébrica com operações de adição e multiplicação
b) Um conjunto com uma operação binária antissimétrica que satisfaz a identidade de
Jacobi
c) Apenas uma estrutura que envolve números complexos
d) Um grupo com uma operação de multiplicação associativa
Resposta correta: b) Uma álgebra de Lie é uma estrutura algébrica com uma operação
binária chamada colchete de Lie, que é antissimétrica e satisfaz a identidade de Jacobi.
2. Qual das seguintes propriedades é fundamental em uma álgebra de Lie?
a) A operação de multiplicação é comutativa
b) A operação de colchete de Lie é associativa
c) A operação de colchete de Lie é antissimétrica e satisfaz a identidade de Jacobi
d) As álgebras de Lie sempre possuem uma base ortonormal
Resposta correta: c) A operação de colchete de Lie é antissimétrica e satisfaz a
identidade de Jacobi. Essas duas propriedades são fundamentais para a definição de
uma álgebra de Lie.
3. Qual é o significado da identidade de Jacobi em uma álgebra de Lie?
a) Ela garante que o colchete de Lie é comutativo
b) Ela assegura que a álgebra de Lie tem uma base finita
c) Ela relaciona os colchetes de Lie de três elementos quaisquer, sendo expressa como
[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0
d) Ela afirma que a operação de colchete é associativa
Resposta correta: c) A identidade de Jacobi é uma condição que deve ser satisfeita por
qualquer álgebra de Lie. Ela garante a "compatibilidade" da operação de colchete entre
três elementos quaisquer da álgebra.
4. Em uma álgebra de Lie, o que significa que a operação de colchete é antissimétrica?
a)
[x,y]=−[y,x] para todos
x e
y da álgebra de Lie
b)
[x,y]=[y,x] para todos
x e
y da álgebra de Lie
c) O colchete de Lie é igual a zero
d) O colchete de Lie é sempre positivo
Resposta correta: a) A antissimetria significa que a operação de colchete de Lie troca
de sinal quando seus argumentos são trocados, ou seja,
[x,y]=−[y,x].
5. Qual é a principal diferença entre uma álgebra de Lie e um grupo de Lie?
a) Um grupo de Lie sempre tem uma operação associativa, enquanto uma álgebra de
Lie é antissimétrica
b) Um grupo de Lie é uma estrutura de conjunto com uma operação de multiplicação,
enquanto uma álgebra de Lie é uma estrutura algébrica com uma operação de colchete
c) Grupos de Lie não podem ser infinitos, enquanto álgebras de Lie são sempre infinitas
d) Não há diferença entre grupos e álgebras de Lie
Resposta correta: b) Um grupo de Lie é uma estrutura com uma operação de
multiplicação que é associativa, enquanto uma álgebra de Lie é uma estrutura
algébrica com uma operação de colchete que é antissimétrica e satisfaz a identidade
de Jacobi.
6. Como se chama uma álgebra de Lie com uma base finita de dimensões?
a) Álgebra de Lie abeliana
b) Álgebra de Lie sem fim
c) Álgebra de Lie semissimplificada
d) Álgebra de Lie de dimensão finita
Resposta correta: d) Uma álgebra de Lie com uma base finita de dimensões é chamada
de álgebra de Lie de dimensão finita.
7. O que é uma álgebra de Lie semissimplificada?
a) Uma álgebra de Lie que não tem subálgebras ideais não triviais
b) Uma álgebra de Lie que é sem comutatividade
c) Uma álgebra de Lie que pode ser decomposta como uma soma direta de álgebras
simples
d) Uma álgebra de Lie que é abeliana
Resposta correta: c) Uma álgebra de Lie semissimplificada pode ser decomposta como
uma soma direta de álgebras de Lie simples, o que implica uma estrutura mais
"simplificada" em termos de decomposição.
8. O que é um ideal de uma álgebra de Lie?
a) Um subconjunto da álgebra que é fechado sob a operação de colchete
b) Um elemento da álgebra que satisfaz a propriedade de ser inverso do zero
c) Uma subálgebra que contém todos os elementos da álgebra de Lie
d) Um subconjunto da álgebra que é fechado sob a adição e contém a identidade
Resposta correta: a) Um ideal de uma álgebra de Lie é um subconjunto da álgebra que
é fechado sob a operação de colchete com todos os elementos da álgebra.
9. Qual é o papel da estrutura de álgebra de Lie em física teórica?
a) Ela descreve as interações gravitacionais
b) Ela é usada para modelar simetrias e partículas elementares
c) Ela descreve as propriedades geométricas de espaços euclidianos
d) Ela é usada apenas em teoria quântica de campos
Resposta correta: b) As álgebras de Lie são amplamente usadas em física teórica,
particularmente para modelar simetrias e as interações das partículas elementares,
como no caso de grupos de Lie que descrevem simetrias em física de partículas.
10. O que é um homomorfismo de álgebras de Lie?
a) Uma função entre álgebras de Lie que preserva a estrutura do colchete de Lie
b) Uma função entre grupos de Lie que preserva a operação de multiplicação
c) Um isomorfismo entre álgebras de Lie de mesma dimensão
d) Uma função que satisfaz a identidade de Jacobi
Resposta correta: a) Um homomorfismo de álgebras de Lie é uma função entre duas
álgebras de Lie que preserva a estrutura da operação de colchete de Lie, ou seja,
φ([x,y])=[φ(x),φ(y)].