Álgebras de Lie 2010 - S Martin

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Álgebras de Lie
Luiz A. B. San Martin
27 de janeiro de 2010
Para
Nita,
Chica e
Zénesto
com carinho
Sumário
Prefácio 11
Prefácio da segunda edição 15
1 Conceitos básicos 17
1.1 Definição e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Generalidades algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1 Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.3 Quocientes e teoremas de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.4 Soma direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.5 Extensão do corpo de escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 Representação adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2 Construções com representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.3 Decomposições de representações . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.4 Lema de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4 Derivações e produtos semidiretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.1 Derivações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.2 Produtos semidiretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5 Séries de composição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.1 Série derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.2 Série central descendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.6 Álgebras solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7 Álgebras nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.8 Radicais solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.9 Álgebras simples e álgebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.10 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 Álgebras nilpotentes e solúveis 59
2.1 Álgebras nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1.1 Representações nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1.2 Decomposições de Jordan de representações . . . . . . . . . . . 64
2.2 Álgebras solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3 Radicais nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3 Critérios de Cartan 79
3.1 Derivações e suas decomposições de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2 Critérios de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 Aplicações às álgebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 Subálgebras de Cartan 101
4.1 Subálgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 A abordagem algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3 Apêndice: Teorema da aplicação aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5 Cohomologia 123
5.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2 Interpretações de H1 e H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.1 Existência de complementares e H1 . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.2 Extensões abelianas e H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.3 Representações afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3 Lemas de Whitehead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4 Teoremas de Weyl e Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4.1 Teorema de decomposição de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4.2 Teorema de decomposição de Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.5 Álgebras redut́ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6 Álgebras semi-simples 147
6.1 Representações de sl(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2 Subálgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3 A fórmula de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.4 Sistemas simples de ráızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.5 Matrizes de Cartan e diagramas de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.5.1 Matrizes de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.5.2 Diagramas de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7 Diagramas de Dynkin 179
7.1 Classificação dos diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2 Realizações dos diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8 Álgebras semi-simples. Complementos 193
8.1 Álgebras isomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.2 Álgebras clássicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.3 Subálgebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.4 Álgebras excepcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4.1 Construção de G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4.2 E6, E7 e E8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.4.3 F4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9 Grupos de Weyl 235
9.1 Sistemas de ráızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.2 Câmaras de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.3 Decomposições minimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.4 Os grupos de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.4.1 Diagramas excepcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.4.2 Involução principal de E6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10 Álgebras envelopantes 271
10.1 Álgebras universais envelopantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.2 Teorema de Ado e complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11 Representações de álgebras semi-simples 289
11.1 Representações irredut́ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.2 Representações fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
11.3 Álgebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
12 Álgebras semi-simples reais 325
12.1 Formas reais e álgebras simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
12.2 Formas reais compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
12.3 Decomposições de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
12.4 Abelianos maximais e formas reais normais . . . . . . . . . . . . . . . . 347
12.5 Álgebras clássicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
12.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
13 Sistemas de ráızes com involuções 359
13.1 Sistemas restritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 359
13.2 Diagramas de Satake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
13.2.1 Diagramas Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
13.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
14 Álgebras semi-simples reais. Classificação 387
14.1 Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
14.2 Sistemas de ráızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
14.3 Diagramas de Satake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
14.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
15 Representações de álgebras reais 411
15.1 Tipos de representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
15.2 Representações conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
15.3 Índice de representações autoconjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
15.4 Álgebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
15.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
15.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
A Álgebra Linear 433
A.1 Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
A.2 Decomposição primária e formas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 434
A.3 Formas bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
A.4 Espaços reais e complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
A.4.1 Formas de Jordan reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
A.4.2 Realificações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
A.5 Álgebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
Referências bibliográficas 447
Índice 451
Prefácio
O objetivo deste livro é oferecer um texto introdutório às álgebras de Lie. O mate-
rial apresentado fornece ao leitor os prinćıpios fundamentais das álgebras de Lie de
dimensão finita, desde as primeiras noções até resultados profundos que envolvem a
classificação e as representações das álgebras semi-simples.
As álgebras de Lie formam o aparato básico do que é conhecido genericamente
por teoria de Lie. Essa teoria teve suas origens por volta de 1870 a partir da idéia,
aparentemente singela, de abordar as equações diferenciais sob o mesmo ponto de vista
que o adotado por Galois para equações algébricas. O programa, lançado por Sophus
Lie e Felix Klein, consistia em estudar as equações diferenciais via seus grupos de
simetrias. Esse programa colocou em evidência os grupos cont́ınuos de transformações
para os quais foi criada, ao longo dos anos, uma extensa teoria com ramificações nas
mais diversas áreas da matemática e de suas aplicações.
A alavanca básica na criação desse vasto corpo do conhecimento matemático foi a
descoberta, feita por S. Lie, dos grupos infinitesimais ou – como se diz hoje em dia –
das álgebras de Lie. Os resultados pioneiros da teoria, que foram posteriormente deno-
minados de teoremas de Lie, estabelecem a relação entre os grupos de transformações
– denominados atualmente grupos de Lie – e as álgebras de Lie, através da aplicação
exponencial. Esses teoremas mostraram desde cedo uma das caracteŕısticas da teoria
de Lie que é a de contrapor os conceitos complementares de grupos e álgebras de Lie.
Os grupos de Lie têm uma natureza geométrica enquanto que as álgebras de Lie são
objetos algébricos por excelência.
Este livro considera apenas as álgebras de Lie. Virtualmente o único pré-requisito
necessário para sua leitura é a álgebra linear, tanto no que diz respeito à linguagem
quanto aos resultados preliminares. Boa parte dos argumentos se reduzem, em última
instância, a uma aplicação do teorema das formas canônicas de Jordan. Aliás, os
conceitos e resultados da teoria das álgebras de Lie de dimensão finita estendem os
da álgebra linear, formando uma continuação natural da mesma. Com o objetivo de
situar o leitor foi inclúıdo, ao final do livro, um apêndice sobre álgebra linear, onde são
comentados os principais resultados e a terminologia utilizada ao longo do texto.
Os diferentes caṕıtulos contêm uma introdução que descreve o seu conteúdo. É
conveniente, no entanto, fazer aqui um comentário sobre os mesmos. No caṕıtulo 1 são
introduzidos os conceitos, a terminologia a ser usada ao longo de todo o texto. Sua
leitura é imprescind́ıvel àqueles que se deparam com as álgebras de Lie pela primeira
vez. Este caṕıtulo é recheado de exemplos: quase nenhum conceito é apresentado sem
ser acompanhado dos exemplos que melhor o representem. O caṕıtulo 2 apresenta dois
11
12 Prefácio
resultados que remontam os primórdios da teoria das álgebras de Lie. Eles descrevem,
por alto, as álgebras nilpotentes e as álgebras solúveis como sendo – em essência –
álgebras de matrizes triangulares superiores. Esses são os teoremas de Engel e de Lie,
que aparecem de forma recorrente nos desenvolvimentos posteriores. Já o caṕıtulo 3 é
dedicado aos critérios de Cartan. Esses critérios servem para decidir se uma álgebra de
Lie é solúvel ou semi-simples, em termos de uma forma bilinear na álgebra – a forma
de Cartan-Killing. Eles desempenharam um papel fundamental tanto nos trabalhos de
Elie Cartan de classificação das álgebras simples quanto nos trabalhos posteriores de
formalização da teoria. O conceito de subálgebra de Cartan é onipresente na teoria
das álgebras semi-simples. Esse conceito é introduzido no caṕıtulo 4, cujo resultado
principal é o teorema que garante que duas subálgebras de Cartan arbitrárias são
conjugadas entre si por um automorfismo da álgebra. Esse resultado é demonstrado de
duas formas diferentes: uma delas, de natureza mais concreta, restrita a álgebras sobre
o corpo dos reais (ou complexos) e outra para corpos arbitrários. Nessas demonstrações
aparecem um dos poucos casos, ao longo de todo o texto, em que é necessário lançar
mão de recursos que extrapolam o contexto da álgebra linear. A demonstração, no
caso das álgebras reais, se utiliza do teorema das funções impĺıcitas; já o caso geral
requer resultados de geometria algébrica que generalizam, para funções polinomiais, o
teorema da função impĺıcita. O caṕıtulo 5 contém uma introdução à cohomologia das
álgebras de Lie. O termo introdução aqui deve ser tomado ao pé da letra, já que logo
após as definições o objetivo é dirigido à demonstração de dois teoremas que fazem
parte do folclore da teoria. São eles o teorema de Weyl sobre as representações das
álgebras semi-simples e o teorema de Levi que decompõe uma álgebra de Lie arbitrária
como soma direta de uma álgebra semi-simples e uma álgebra solúvel. Esses teoremas
são demonstrados a partir dos lemas de Whitehead sobre cohomologias de álgebras
semi-simples.
Com os cinco primeiros caṕıtulos se conclui o trabalho árduo de fundamentação da
teoria das álgebras de Lie. A partir dáı, com o domı́nio da linguagem, o leitor pode
apreciar os seus valores estéticos. Os caṕıtulos 6 e 7 apresentam o cerne de uma das
mais belas teorias em voga nos dias de hoje: a teoria de Killing e Cartan de classificação
das álgebras simples. Essa teoria tira o leitor, entre surpreso e atônito, de uma postura
abstrata e geral e o transporta a um mundo habitado por seres especiais como os
ângulos de 120◦, 135◦ e 150◦ ou os números inteiros ±1, ±2 e ±3. Esses caṕıtulos
são complementados pelo caṕıtulo 8, onde, por um lado, se concluem alguns aspectos
formais da classificação e, por outro, são apresentadas as álgebras simples de forma
concreta. Essas se constituem das álgebras clássicas, que são realizadas como álgebras
de matrizes, e das álgebras excepcionais. O caṕıtulo 9 é, em prinćıpio, independente
das álgebrasde Lie. São estudados áı certos grupos de transformações lineares gerados
por reflexões, os grupos de Weyl. No entanto, esses grupos proporcionam uma visão
panorâmica dos sistemas de ráızes, em cima dos quais é feita a classificação das álgebras
simples. Além do mais, os grupos de Weyl aparecem como uma ferramenta importante
nos desenvolvimentos posteriores.
Os nove primeiros caṕıtulos formam o corpo central da teoria das álgebras de Lie
de dimensão finita. A partir dáı existem bifurcações e o leitor pode escolher o cami-
Prefácio 13
nho de acordo com seus interesses. Uma possibilidade é a teoria de representação das
álgebras semi-simples. Uma introdução a essa teoria é feita no caṕıtulo 11 onde são
apresentados os teoremas sobre as representações com pesos máximos e são caracteri-
zadas as representações irredut́ıveis de dimensão finita das álgebras semi-simples sobre
corpos algebricamente fechados. Essas representações são dadas por conjuntos finitos
de inteiros não-negativos e dentre elas são selecionadas algumas – ditas fundamentais
– a partir das quais se obtêm as demais representações via o produto tensorial. As re-
presentações fundamentais das álgebras clássicas são apresentadas com detalhes. Isso
exigiu que se fizesse uma discussão sobre as álgebras de Clifford, uma vez que algumas
das representações das álgebras das matrizes anti-simétricas são spinoriais. A teoria
de representação de álgebras semi-simples é imensa, sendo ainda hoje em dia um ob-
jeto de pesquisa. Nesse sentido, o conteúdo do caṕıtulo 11 é apenas introdutório e
não discute assuntos relevantes como, por exemplo, os caráteres das representações de
dimensão finita. A leitura do caṕıtulo 11 requer o teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt
sobre álgebras universais envelopantes, que é o objetivo principal do caṕıtulo 10. Nesse
caṕıtulo foi inclúıdo ainda o teorema de Ado sobre representações de dimensão finita
de álgebras de Lie.
Numa outra vertente, os caṕıtulos 12 a 15 são dedicados às álgebras semi-simples
reais. O caṕıtulo 12 contém as construções básicas tais como a das formas reais com-
pactas e a decomposição de Cartan de uma álgebra real não-compacta. O material
deste caṕıtulo é suficiente para a leitura de boa parte dos textos que envolvem álgebras
semi-simples reais como, por exemplo, a literatura sobre espaços simétricos ou a es-
trutura dos grupos de Lie semi-simples não-compactos. Independente disso, o caṕıtulo
12 abre caminho para a classificação das álgebras simples reais que é feita nos dois
caṕıtulos subseqüentes. A abordagem adotada aqui para essa classificação, que não é
a mais comum na literatura do gênero, consiste em determinar os diagramas de Sa-
take, o que é feito no caṕıtulo 13, com a classificação propriamente dita sendo feita
no caṕıtulo 14. Por fim, o caṕıtulo 15 é dedicado à representação das álgebras semi-
simples reais não-compactas. O que se faz áı não é uma classificação detalhada dessas
representações, mas apenas uma indicação de como essas representações são extráıdas
das representações das álgebras complexas correspondentes.
Os caṕıtulos todos são acompanhados de listas de exerćıcios. A maioria deles são
resolvidos por uma aplicação direta dos resultados do texto e têm o propósito, como
em qualquer lista de exerćıcios, de auxiliar o leitor a desenvolver uma intuição sobre
o assunto. Alguns dos exerćıcios, porém, contêm resultados relevantes e interessantes,
que por uma razão ou outra não encontraram espaço no texto, mas foram inclúıdos
como exerćıcios para efeito de informação ao leitor. Muitos desses exerćıcios têm uma
demonstração envolvente e por isso eles aparecem com sugestões detalhadas ou com
uma referência à literatura.
Ao final de muitos caṕıtulos foi inclúıda uma seção intitulada “Notas”, que contém
comentários adicionais sobre a teoria, principalmente de caráter histórico e bibliográ-
fico. Essas notas não têm pretensão à erudição e servem apenas para dar algumas
indicações dos caminhos (e descaminhos) percorridos no desenvolvimento da teoria.
O fato é que a história da teoria de Lie é amplamente documentada, com diversos
14 Prefácio
textos acesśıveis (veja, por exemplo, Borel [5], Cartan [6], Fritzsche [17], Hawkins [19]
e Wussing [52]); torna-se irresist́ıvel reproduzir algumas de suas passagens.
As referências bibliográficas procuram fornecer um amplo espectro de textos e ar-
tigos de pesquisa sobre a teoria de Lie, não se restringindo às álgebras de Lie especifi-
camente. Ao percorrê-la o leitor encontrará referências aos grupos de Lie, aos grupos
algébricos, à teoria de representação (de dimensão finita ou infinita), à teoria de semi-
grupos de Lie e a aplicações da teoria de Lie.
Este livro foi escrito ao longo dos últimos quatro ou cinco anos. Durante esse peŕıodo
tive a oportunidade de utilizar parte do material em cursos de pós-graduação no Insti-
tuto de Matemática (Imecc) da Unicamp, para estudantes de mestrado e doutorado.
Nesses cursos (semestrais) adotava como conteúdo mı́nimo os caṕıtulos de 1 a 7 e parte
dos caṕıtulos 8 (incluindo as álgebras clássicas) e 9; dependendo das circunstâncias,
apresentava uma exposição mais detalhada do caṕıtulo 9 ou o caṕıtulo 11 (incluindo os
pré-requisitos da seção 10.1) ou ainda o caṕıtulo 12 sobre álgebras semi-simples reais.
Espero que esta experiência sirva como sugestão àqueles que pretendam utilizar este
texto em algum projeto didático envolvendo a teoria de Lie.
Por fim, gostaria de expressar meus agradecimentos às diversas pessoas que, de al-
guma forma, participaram da confecção deste livro, apresentando sugestões, apontando
diversas falhas nas versões preliminares e manifestando o seu apoio. Em particular,
sou grato a todos estudantes que participaram dos cursos de álgebras de Lie no Imecc.
Agradeço em especial à colaboração de meus amigos e colegas Carlos Braga Barros,
José Adonai Seixas, Marco Antonio Fernandes, Marcelo Firer, Osvaldo do Rocio, Paulo
Ruffino e Pedro Catuogno.
Barão Geraldo, fevereiro, 1999
Luiz A. B. San Martin
Prefácio da 2a edição
Para esta edição o texto original foi revisado e algumas (poucas) modificações foram
feitas. As mais significativas estão nos caṕıtulos 4 (subálgebras de Cartan) e 5 (co-
homologia). A abordagem algébrica da seção 4.2 se iniciava com a demonstração do
teorema da aplicação aberta da geometria algébrica (e fatos relacionados). Essa de-
monstração foi colocada na nova seção 4.3, como um apêndice ao caṕıtulo 4. Agora a
seção 4.2 inclui apenas a demonstração geral da conjugação das sugálgebras de Cartan,
usando livremente o teorema da aplicação aberta. Já no caṕıtulo 5 a subseção 5.2.3,
sobre representações afins, foi reescrita e ampliada. O texto original estava impreciso
e incompleto.
Afora isso foram feitas modificações localizadas, tais como a inclusão de uma ou
outra proposição ou corolário para melhor explicitar afirmações que poderiam passar
desapercebidas. Isso sem contar, é claro, os inevitáveis erros de impressão ou digitação.
Foram inclúıdos também novos exerćıcios ao final dos caṕıtulos.
Agradeço a todos da comunidade de professores e estudantes que manifestaram o
apreço pela primeira edição, alguns de forma calorosa. Agradeço também aos alunos
e professores que usaram o livro ao longo desses dez anos e apontaram defeitos e
apresentaram sugestões.
Barão Geraldo, setembro de 2009
Luiz A. B. San Martin
15
Caṕıtulo 1
Conceitos básicos
Este é um caṕıtulo introdutório, formado em sua maior parte pelas definições dos
conceitos que formam a linguagem básica da teoria das álgebras de Lie. Esses con-
ceitos são fartamente ilustrados por exemplos que devem servir de guia na leitura dos
caṕıtulos subseqüentes. Os resultados (proposições,teoremas etc.) inclúıdos aqui não
têm um caráter profundo e servem, em sua maioria, para dar continuidade à exposição
e articular entre si os diferentes conceitos.
1.1 Definição e exemplos
Uma maneira natural de iniciar um texto sobre álgebras de Lie é, sem dúvida, com a
definição do que vem a ser uma álgebra de Lie. Por isso,
Definição 1.1 Uma Álgebra de Lie consiste de um espaço vetorial g munido de um
produto (colchete ou comutador)
[ , ] : g× g −→ g
com as seguintes propriedades:
1. é bilinear,
2. anti-simétrico, isto é, [X,X] = 0 para todo X ∈ g (o que implica [X, Y ] =
−[Y,X] para todo X, Y ∈ g e é equivalente se o corpo de escalares não é de
caracteŕıstica dois) e
3. satisfaz a identidade de Jacobi , isto é, para todo X, Y, Z ∈ g,
[X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z,X]] = 0.
Esta igualdade pode ser reescrita alternativamente de uma das duas formas
(a) [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X,Z]]
17
18 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
(b) [[X, Y ], Z] = [[X,Z], Y ] + [X, [Y, Z]].
Existem razões especiais para escrever a identidade de Jacobi nestas formas; veja
a seguir representações adjuntas e derivações de álgebras de Lie.
Em geral, uma álgebra é um espaço vetorial g munido de um produto, isto é, uma
aplicação de g×g a valores em g. Qualquer aplicação deste tipo que mereça o nome de
produto deve ser bilinear. A anti-simetria e a identidade de Jacobi são caracteŕısticas
das álgebras de Lie. Outros tipos de álgebras têm outros tipos de propriedades que a
definem. Existem por exemplo as álgebras associativas , para as quais a propriedade
adicional é x(yz) = (xy)z. Aqui convém observar que o colchete de Lie não é, em geral,
associativo, pois em qualquer circunstância [[X,X], Y ] = 0 e no entanto [X, [X, Y ]] nem
sempre se anula.
Existe uma grande variedade de exemplos de álgebras de Lie, todos eles interessan-
tes, desde o ponto de vista da teoria em si como das aplica ções desta teoria aos grupos
de Lie. Antes de ver alguns destes exemplos, no entanto, é conveniente introduzir a
noção, óbvia, de subálgebra de Lie.
Definição 1.2 Seja g uma álgebra de Lie. Uma subálgebra de g é um subespaço veto-
rial h de g que é fechado pelo colchete, isto é, [X, Y ] ∈ h se X, Y ∈ h.
Evidentemente, uma subálgebra de Lie é uma álgebra de Lie com a estrutura her-
dada pela estrutura de g.
Exemplos: A maioria dos exemplos que serão apresentados aqui são de subálgebras
da álgebra de Lie das transformações lineares. Por isso, o primeiro exemplo deve ser:
1. gl(n,K) : o espaço de todas as transformações lineares de um espaço vetorial de
dimensão n sobre o corpo K que é o mesmo que o espaço das matrizes n×n com
coeficientes em K. O colchete é dado por
[X, Y ] = XY − Y X
com X e Y matrizes. Estas álgebras aparecerão adiante com bastante freqüência.
Muitas vezes elas serão indicadas por gl(n) apenas, sem especificar o corpo
quando este não for relevante. Da mesma forma, a álgebra das transformações
lineares de um espaço vetorial V será denotada por gl(V ).
Este exemplo se estende para espaços de transformações lineares de espaços ve-
toriais que não são de dimensão finita, com o colchete dado da mesma forma pelo
comutador. Um exemplo mais geral ainda é formado pela seguinte famı́lia de
álgebras de Lie.
2. Álgebras de Lie provenientes de álgebras associativas: Seja A uma álgebra asso-
ciativa e em A defina o colchete pelo comutador
[x, y] = xy − yx x, y ∈ A.
Este colchete define em A uma estrutura de álgebra de Lie.
1.1. Definição e exemplos 19
3. Álgebras abelianas : [ , ] = 0. Neste caso, a estrutura de álgebra de Lie não
acrescenta nada à estrutura de espaço vetorial.
Exemplos de álgebras abelianas
(a) Se dim g = 1, g é abeliana.
(b) Todo subespaço de dimensão 1 de uma álgebra de Lie qualquer é uma sub-
álgebra abeliana.
(c) O espaço das matrizes diagonais é uma subálgebra abeliana de gl(n,K).
(d) O espaço das matrizes da forma
a1 −b1
b1 a1
. . .
ak −bk
bk ak
 ,
como subálgebra de gl(2k,K), é uma álgebra abeliana.
Todo subespaço de uma álgebra abeliana é uma subálgebra.
4. Subálgebras de gl(n,K):
(a) so (n,K) = {X ∈ gl (n,K) : X + X t = 0} onde X t indica a transposta da
matriz X.
O espaço das matrizes simétricas
{X ∈ gl(n,K : X = X t}
não é subálgebra se n ≥ 2, pois se X e Y são simé tricas, então [X,Y ] é
anti-simétrica.
(b) sl(n,K) = {X ∈ gl(n,K) : trX = 0}. Como no caso de gl(n), muitas vezes
se denotará estas álgebras apenas por sl(n).
(c) O subespaço das matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal
{X ∈ gl (n,K) : X =
 0 ∗
. . .
0 0
}
é uma subálgebra.
(d) O subespaço das matrizes triangulares superiores
{X ∈ gl(n,K) : X =
 a1 ∗
. . .
0 an
}
é uma subálgebra.
20 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
(e) sp (n,K) = {X ∈ gl(2n,K) : XJ + JX t = 0} onde J é escrito em blocos
n× n como
J =
(
0 −1
1 0
)
com 0 representando a matriz nula e 1 a matriz identidade n × n. Para
ver que este subespaço é de fato uma subálgebra, observe em primeiro lugar
que J2 = −1 e, portanto, X ∈ sp (n,K) se e só se X t = JXJ . Se X, Y ∈
sp (n,K), então
[X,Y ]t = (XY − Y X)t
= −X tY t + Y tX t
= −JXJ2Y J + JY J2XJ
= J(XY − Y X)J
= J [X, Y ]J,
isto é, [X, Y ] ∈ sp (n,K).
(f) so (p, q,K) = {X ∈ gl (n,K) : XJ + JX t = 0} onde
J =
(
−1p×p 0
0 1q×q
)
.
Para ver que este subespaço é uma subálgebra, procede-se como no exemplo
anterior, utilizando o fato de que J2 = 1 e, portanto, que X ∈ so (p, q,K) se
e só se X t = −JXJ . Os casos p = 0 ou q = 0 se reduzem a so (n).
(g) u (n) = {X ∈ gl(n,C) : X + X
t
= 0} onde X é a matriz obtida de X por
conjugação de suas entradas.
Este conjunto não é um subespaço vetorial complexo de gl (n,C) (por exem-
plo, iX + (iX)
t
= iX − iX t
, que em geral é não-nulo). Mas é subespaço
vetorial real de gl(n,C) quando este é considerado como espaço vetorial so-
bre R. u(n) é álgebra de Lie sobre o corpo dos reais (não é dif́ıcil verificar
que é fechado pelo colchete). Ela é denominada de á lgebra unitária por ser
a álgebra de Lie do grupo das matrizes unitárias.
(h) su(n) = {X ∈ u(n) : trX = 0}.
5. Álgebras de dimensão ≤ 2 :
(a) dim g = 1. Então, g é abeliana.
(b) dim g = 2. Existem duas possibilidades
i. g é abeliana
ii. Existe uma base {X, Y } de g tal que
[X, Y ] = Y
1.2. Generalidades algébricas 21
e a partir dáı, o colchete de dois elementos quaisquer de g é dado por
[aX + bY, cX + dY ] = (ad− bc)[X, Y ] = (ad− bc)Y.
De fato, suponha que g não seja abeliana e tome uma base {X ′, Y ′}
de g. Então, [X ′, Y ′] 6= 0, pois caso contrário g seria abeliana. Seja
Y ′′ = [X ′, Y ′] e escolha X ′′ tal que {X ′′, Y ′′} seja base de g. Então,
X ′′ = aX ′ + bY ′, Y ′′ = cX ′ + dY ′ e
[X ′′, Y ′′] = αY ′′
com α 6= 0 (pois {X ′′, Y ′′} é base e dáı que se α = 0 a álgebra seria
abeliana). Os elementos X = 1
α
X ′′ e Y = Y ′′ formam a base requerida.
As álgebras de Lie
g = {
(
a b
0 −a
)
: a, b ∈ K} e g = {
(
a b
0 0
)
: a, b ∈ K}
são exemplos concretos de álgebras bidimensionais não-abelianas. 2
1.2 Generalidades algébricas
As generalidades algébricas, a que se refere o t́ıtulo desta seção, são as noções de
morfismo, quociente, produto etc. Essas noções fazem sentido e funcionam da mesma
forma para uma grande variedade de estruturas algébricas e serão catalogadas, a seguir,
para as álgebras de Lie.
1.2.1 Morfismos
Definição 1.3 Uma transformação linear ψ : g→ h (com g e h álgebras de Lie) é um
• homomorfismo se ψ[X,Y ] = [ψX,ψY ];
• isomorfismo se for um homomorfismo inverśıvel;
• automorfismo se é um isomorfismo e g = h.
As álgebras g e h são isomorfas se existe um isomorfismo ψ : g→ h.
Exemplos:
1. Os homomorfismos entre as álgebras abelianas são as transformações lineares.
Duas álgebras abelianas são isomorfas se e só se elas têm a mesma dimensão.
2. Se ψ: g → h é homomorfismo e h é abeliana então kerψ contém todos os
elementos da forma [X, Y ], X, Y ∈ g, pois ψ[X, Y ] = [ψX,ψY ] = 0.
22 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
3. A aplicação traço
tr : gl(n,K) −→ K
é um homomorfismo, pois tr(XY − Y X) = 0 para quaisquer transformações
lineares X, Y e, portanto, tr[X, Y ] = 0 = [trX, trY ], já que K, por ser de
dimensão um, é uma álgebra abeliana.
4. Seja P uma transformação linear inverśıvel do espaço vetorial V . Então, a con-
jugação por P
A ∈ gl(V ) 7−→ PAP−1 ∈ gl(V )
é um automorfismo de gl(V ). 2
Uma forma de verificar que álgebras de Lie de dimensão finita são isomorfas é
através do colchete entre elementos de suas bases. Seja g uma álgebra de Lie e
{X1, . . . , Xn} uma base de g. Tomando dois elementos Xi, Xj desta base, o colchete
entre eles [Xi, Xj] pode ser escrito como combinação linear
[Xi, Xj] =
∑
k
ckijXk .
Os coeficientes ckij são denominados de constantes de estrutura da álgebra em relação
à base. Estas constantes determinam a álgebra, a menos de isomorfismo. De fato, seja h
uma álgebra de Lie com uma base {Y1, . . . , Yn} com as mesmas constantes de estrutura
ckij que g. Seja também a transformação linear ψ: g→ h tal que ψ(Xi) = Yi. Então,
ψ[X, Y ] =
∑
ijk
aibjckijψ (Xk) =
∑
ij
aibj[Yi, Yj] = [ψX,ψY ]
onde ai e bj; i, j = 1, . . . , n são as coordenadas de X e Y respectivamente em relação
à base de g. Isto mostra que ψ é um isomorfismo e, portanto, que g e h são isomorfas.
As constantes de estrutura satisfazem as igualdades para todo i, j, k,m:
ckij = −ckji∑
l
(
clijc
m
lk + cljkc
m
li + clkic
m
lj
)
= 0
com a primeira delas devido à anti-simetria do colchete e a segunda à identidade de
Jacobi. Reciprocamente, pode-se verificar que dadas as constantes ckij satisfazendo
essas duas igualdades, elas são as constantes de estrutura de uma álgebra de Lie, isto
é, partindo de uma base {X1, . . . , Xn} de um espaço vetorial, definindo [Xi, Xj] = ckijXk
e estendendo por bilinearidade, obtém-se uma álgebra de Lie no espaço vetorial cujas
constantes de estrutura são ckij.
Estes fatos não são nada surpreendentes e dizem apenas que para conhecer uma
álgebra de Lie, a menos de isomorfismo, é suficiente conhecer os colchetes dos elementos
de uma base. A partir dáı, pode-se incluir mais um exemplo na lista anterior.
Exemplo: A menos de isomorfismo, existem apenas duas álgebras de Lie de di-
mensão dois. Uma delas é a abeliana e a outra é a que admite uma base {X, Y } tal
que [X,Y ] = Y . 2
1.2. Generalidades algébricas 23
1.2.2 Ideais
Definição 1.4 Um subespaço h ⊂ g é um ideal se
∀Y ∈ h, X ∈ g, [X, Y ] ∈ h,
isto é,
[g, h] = ger{[X, Y ] : X ∈ g, Y ∈ h} ⊂ h.
É claro que todo ideal é subálgebra. Nem toda subálgebra, no entanto, é ideal.
Por exemplo, o subespaço de sl(2,R) gerado por
(
1 0
0 −1
)
é uma subálgebra por ser
unidimensional. Não é, porém, um ideal pois
[
(
1 0
0 −1
)
,
(
0 1
0 0
)
] =
(
0 2
0 0
)
.
Todo subespaço de uma álgebra abeliana é um ideal.
As propriedades da soma e da intersecção de ideais e subálgebras estão catalogadas
na seguinte tabela onde h1 e h2 denotam subespaços de uma álgebra de Lie g:
h1 h2 h1 + h2 h1 ∩ h2
ideal ideal ideal ideal
subálgebra ideal subálgebra subálgebra
subálgebra subálgebra ? subálgebra
Para verificar essa tabela, basta recorrer às definições. O sinal ? significa que a soma
de duas subálgebras não é, em geral, uma subálgebra. Uma situação t́ıpica é a soma
de dois subespaços unidimensionais. Cada um deles é uma subálgebra e, no entanto,
o colchete entre eles pode sair do subespaço de dimensão dois que os contém. Por
exemplo, sejam h1 e h2 os subespaços de sl(2,R) gerados por
(
1 0
0 −1
)
e
(
0 1
1 0
)
respectivamente. Como
[
(
1 0
0 −1
)
,
(
0 1
1 0
)
] =
(
0 2
−2 0
)
,
h1 + h2 não é subálgebra.
Seja ψ : g → h um homomorfismo. As seguintes afirmações são de verificação
imediata
• kerψ é um ideal.
• imψ é uma subálgebra.
24 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
1.2.3 Quocientes e teoremas de isomorfismo
Definição 1.5 Seja g uma álgebra de Lie e h ⊂ g um ideal. No espaço vetorial
quociente g/h, defina
[X, Y ] = [X, Y ],
onde X̄ denota a classe X + h.
Como é usual, na construção de quocientes, deve-se mostrar que a definição do
colchete é independente dos representantes X e Y e define em g/h uma estrutura
de álgebra de Lie. A verificação desses fatos pode ser feita diretamente sem maiores
problemas. Além do mais, a projeção canônica
π : g −→ g/h
X 7−→ X
é um homomorfismo sobrejetor de álgebras de Lie.
Nessa construção, é imprescind́ıvel que h seja um ideal. Se for apenas uma sub-
álgebra, o colchete no quociente não fica bem definido; diferentes representantes dão
diferentes colchetes.
Relacionado com os homomorfismos e as álgebras quocientes, existem os
Teoremas de isomorfismo:
1. Seja ψ : g→ h um homomorfismo. Então,
g/ kerψ ≈ imψ.
O isomorfismo é dado por X̄ ∈ g/ kerψ 7→ ψ(X) ∈ imψ. A demonstração deste
teorema é a usual.
2. Sejam g álgebra de Lie e h1, h2 ⊂ g ideais de g . Então,
(h1 + h2)/h1 ≈ h2/h1 ∩ h2.
O isomorfismo é obtido passando ao quociente o homomorfismo
x1 + x2 ∈ h1 + h2 7→ x̄2 ∈ h2/h1 ∩ h2.
Exemplos:
1. Suponha que g se escreve como soma direta
g = h1 + h2
com h1 ideal e h2 subálgebra. Então, g/h1 ≈ h2. O isomorfismo é dado por
X ∈ h2 7→ X̄ ∈ g/h1.
1.2. Generalidades algébricas 25
2. O subconjunto
z = {a1 ∈ gl(n,K) : a ∈ K}
é um ideal de gl(n,K) pois a identidade comuta com todas as transformações
lineares. Além do mais, gl(n,K) = z⊕ sl(n,K) e dáı que, pelo exemplo anterior,
gl(n,K)/z ≈ sl(n,K)
3. Sejam
g = {X ∈ gl(3,K) : X =
 0 ∗ ∗
0 0 ∗
0 0 0
}
e
h = {X ∈ gl(3,K) : X =
 0 0 ∗
0 0
0
}.
h é ideal de g pois para todo X ∈ h, Y ∈ g, [X,Y ] = 0. O quociente g/h é uma
álgebra abeliana bidimensional pois dados X, Y ∈ g, [X, Y ] ∈ h. A álgebra g é
conhecida como álgebra de Heisenberg. 2
1.2.4 Soma direta
Definição 1.6 Sejam g1, . . . , gn álgebras de Lie e
g = g1 ⊕ · · · ⊕ gn
sua soma direta como espaços vetoriais. Isto é, g = g1 × · · · × gn com a estrutura
vetorial produto. Para X = (X1, . . . , Xn) e Y = (Y1, . . . , Yn), a expressão
[X, Y ] = ([X1, Y1], . . . , [Xn, Yn])
define em g uma estrutura de álgebra de Lie em que a i-ésima componente é um ideal
isomorfo a gi.
De forma semelhante, pode-se definir o produto direto e a soma direta de infinitos
termos.
1.2.5 Extensão do corpo de escalares
Sejam g uma álgebra de Lie sobre um corpo K e K uma extensão de K. Seja também gK
o espaço vetorial sobre K extensão de g. Os elementos de gK são da forma X =
∑
aiXi
com ai ∈ K, Xi ∈ g. Para X =
∑
aiXi, Y =
∑
bjYj ∈ gK, defina
[X, Y ] =
∑
aibj[Xi, Yj] ∈ gK.
Esse colchete define em gK uma álgebra de Lie, como pode ser verificado facilmente.
Formalmente, o espaço vetorial gK é definido como o produto tensorial sobre K, gK =
26 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
g⊗K K que contém g por X ∈ g 7→ X ⊗ 1 ∈ g⊗K e é um espaço vetorial sobre K por
a(X ⊗ b) = X ⊗ ab se X ∈ g e a, b ∈ K.
Exemplos:
1. gl (n,C) é (isomorfo a) gl (n,R)C poisX ∈ gl(n,C) é da formaX =
∑
ajXj, Xj ∈
gl(n,R), aj ∈ C. O mesmo ocorre com os demais exemplos 1.1 (exceto u (n) e
su (n)); o complexificado das álgebras obtidas com K = R é, em cada um dos
casos, a mesma álgebra, mas com K = C.
2. Seja u(n) a álgebra unitária, que é uma álgebra de Lie sobre R. Então, u (n)C é
isomorfa a gl(n,C). De fato, X ∈ gl (n,C) pode ser escrito como X = A+B com
A e B matrizes complexas e A anti-simétrica (At = −A) e B simétrica (Bt = B)
(tome A = (X −X t)/2 e B = (X +X t)/2). Tem-se A = A1 + iA2 com A1 e A2
anti-simétricas reais (i =
√
−1). Da mesma forma, B = B1 + iB2 com B1 e B2
simétricas reais. Como matrizes do tipo A+iB com A e B reais, A anti-simétrica
e B simétrica pertencem a u(n), qualquer elemento de gl(n,C) pode serescrito
como Z + iW com Z,W ∈ u(n), e dáı a afirmação. 2
1.3 Representações
Seja V um espaço vetorial e gl(V ) a álgebra de Lie das transformações lineares de V .
Seja também g uma álgebra de Lie (sobre o mesmo corpo de escalares que V ). Uma
representação de g em V é um homomorfismo
ρ : g −→ gl(V ).
Na terminologia usual, V se denomina o espaço da representação enquanto que
sua dimensão é a dimensão da representação. Uma representação ρ é dita fiel se
ker ρ = {0}.
A noção de representação vem da idéia de descrever (representar) as álgebras de Lie
como álgebras de transformações lineares. No caso das representações fiéis, g ≈ im g
e, portanto, a álgebra pode ser vista como uma subálgebra de transformações lineares
(ou matrizes se a dimensão é finita). Essa idéia de considerar álgebras de Lie como
subálgebras de transformações lineares é realizada, pelo menos ao ńıvel teórico, para
as álgebras de Lie de dimensão finita. Isso se deve a um resultado bastante conhecido
– o teorema de Ado, que será considerado no caṕıtulo 10 – que afirma que toda álgebra
de Lie de dimensão finita admite uma representação fiel também de dimensão finita.
Exemplos:
1. Se g ⊂ gl(V ) é subálgebra, a inclusão define, trivialmente, uma representação de
g em V denominada representação canônica.
1.3. Representações 27
2. Seja g a álgebra de Lie de dimensão dois não-abeliana e tome uma base {X, Y }
de g tal que [X, Y ] = Y . A única transformação linear ρ : g → gl(n,K) que
satisfaz
ρ(X) =
(
1/2 0
0 −1/2
)
ρ(Y ) =
(
0 1
0 0
)
define uma representação fiel de g . Sua imagem é
im ρ = {
(
a b
0 −a
)
: a, b ∈ K}.
Esta representação é a que fornece uma das realizações apresentadas anterior-
mente para estas álgebras bidimensionais não-abelianas.
3. A aplicação
(
a b
c −a
)
∈ sl(2,K) 7−→
 2a −2b 0
−c 0 b
0 2c −2a
 ∈ gl(3,K)
é uma representação de sl (2). De fato, seja a base {X,H, Y } de sl(2,K) onde
X =
(
0 1
0 0
)
H =
(
1 0
0 −1
)
Y =
(
0 0
1 0
)
.
Suas constantes de estrutura são dadas por
[H,X] = 2X [H, Y ] = −2Y [X, Y ] = H.
As imagens dos elementos desta base formam uma base de im ρ que tem as
mesmas constantes de estrutura.
4. Seja C∞(Rn) o espaço das aplicações f : Rn → Rn de classe C∞. Para A ∈
gl(n,R), defina ρ(A) : C∞(Rn)→ C∞(Rn) por
(ρ(A)f)(x) = dfx(Ax) x ∈ Rn;
onde dfx denota a diferencial de f em x, isto é, ρ(A)f é a derivada de f na direção
de Ax. Não é dif́ıcil verificar que ρ define uma representação. 2
Um módulo sobre uma álgebra de Lie g é um espaço vetorial V juntamente com
uma operação de multiplicação g × V → V , denotada por (X, v) 7→ Xv, que satisfaz,
para X,Y ∈ g, u, v ∈ V e um escalar x, as seguintes propriedades:
1. (X + Y ) v = Xv + Y v,
2. X (u+ v) = Xu+Xv,
3. xXv = X (xv),
28 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
4. [X, Y ]v = XY v − Y Xv.
Em um módulo V cada X ∈ g define uma aplicação linear de V por multiplicação
à esquerda
v ∈ V 7−→ Xv ∈ V.
Em virtude das propriedades de módulo, essas aplicações lineares definem uma repre-
sentação de g em V . Vice-versa, dada uma representação ρ de g em V , o produto
g× V → V dado por
(X, v) 7−→ Xv = ρ (X) v
define um módulo sobre g. Em outras palavras, os conceitos de módulo e de repre-
sentação são equivalentes.
1.3.1 Representação adjunta
Para um elemento X na álgebra de Lie g, considere a transformação linear
ad(X) : g −→ g
definida por ad(X)(Y ) = [X, Y ]. A aplicação
ad : X ∈ g 7−→ ad(X) ∈ gl (g)
define uma representação de g em g, denominada representação adjunta. O fato de
ad ser linear provém da bilinearidade do colchete. Já a propriedade de homomor-
fismo de ad é equivalente à identidade de Jacobi. De fato, a igualdade ad([X, Y ]) =
ad(X) ad(Y )− ad(Y ) ad(X) é a mesma que
[[X, Y ], Z] = [[X,Z], Y ] + [X, [Y, Z]]
para todo Z ∈ g. Esta expressão é exatamente uma das formas da identidade de Jacobi
apresentada na definição de álgebras de Lie.
O núcleo da representação adjunta é denominado de centro de g e é denotado por
z (g):
z (g) = {X ∈ g : ad(X)(Y ) = [X, Y ] = 0 para todo Y ∈ g}.
Isto é, o centro de uma álgebra de Lie é o conjunto de seus elementos que comutam
com todos os seus elementos. A terminologia aqui segue a da teoria de grupos como
toda a terminologia da teoria de álgebras de Lie. Evidentemente, z (g) é um ideal de g.
De forma mais geral, o centralizador de um subconjunto A ⊂ g é definido como
sendo
z(A) = {Y ∈ g : ∀X ∈ A, [X, Y ] = 0}.
É claro, o centralizador de g é o próprio centro (e, portanto, a notação é consis-
tente). Por outro lado, o centralizador de um conjunto unitário {X} é precisamente
o núcleo ker ad(X). Além do mais, o centralizador do conjunto A é a intersecção dos
1.3. Representações 29
centralizadores de seus elementos, o que acarreta que o centralizador decresce com o
aumento do conjunto.
Para qualquer A ⊂ g, z(A) é uma subálgebra, pois se X, Y ∈ z(A) e Z ∈ A, então
[[X, Y ], Z] = [[X,Z], Y ] + [X, [Y, Z]] = 0,
pela identidade de Jacobi. No entanto, z(A) nem sempre é um ideal como ocorre com
o centro.
Antes de ver alguns exemplos, é conveniente que se faça o seguinte comentário sobre
notações: se h ⊂ g é uma subálgebra e X ∈ h, a notação ad(X) pode significar tanto
uma transformação linear de g quanto de h. Muitas vezes é necessário distinguir esses
dois casos. Quando isso ocorre, o usual é indicar a álgebra com um sub́ındice. Por
exemplo, adh(X) é uma transformação linear de h.
Exemplos:
1. A representação adjunta de uma álgebra abeliana g é trivial, isto é, para todo
X ∈ g, ad(X) = 0.
2. A representação do exemplo 3 da página 27 é a representação adjunta de sl(2,K);
as matrizes de ad(X), ad(H) e ad(Y ) na base {X,H, Y } são, respectivamente, 0 −2 0
0 0 1
0 0 0
  2 0 0
0 0 0
0 0 −2
  0 0 0
−1 0 0
0 2 0
 .
3. Seja
g = {X ∈ gl(3,K) : X =
 0 ∗ ∗
0 0 ∗
0 0 0
}
a álgebra de Heisenberg. Tome a base {X,Y, Z} com
X =
 0 1 0
0 0 0
0 0 0
 Y =
 0 0 0
0 0 1
0 0 0
 Z =
 0 0 1
0 0 0
0 0 0
 .
Suas constantes de estrutura são dadas por [X, Y ] = Z e os outros colchetes são
todos nulos. Dáı que ad(Z) = 0 e as matrizes de ad(X) e ad(Y ) na base dada
são
[ad(X)] =
 0 0 0
0 0 0
0 1 0
 [ad(Y )] =
 0 0 0
0 0 0
−1 0 0
 .
O centro z (g) é o subespaço gerado por Z e coincide com o ideal apresentado
no exemplo 3 da página 25. Como foi mencionado naquele exemplo, g/z (g) é
uma álgebra abeliana. Fato este que pode ser verificado diretamente a partir dos
colchetes descritos acima.
30 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
4. Sejam g a álgebra não-abeliana bidimensional e {X, Y } uma base de g tal que
[X, Y ] = Y . Nesta base, as matrizes de ad(X) e ad(Y ) são
[ad(X)] =
(
0 0
0 1
)
[ad(Y )] =
(
0 0
−1 0
)
.
A representação adjunta é dada, portanto, por
[ad(aX + bY )] =
(
0 0
−b a
)
que é, sem dúvida, uma representação fiel, isto é, o centro desta álgebra é trivial.
5. Em gl (n,K) seja Eij a matriz cuja i, j-ésima entrada é 1 e as demais são todas
nulas. Seja H a matriz diagonal
H = diag{λ1, . . . , λn}.
Então, ad(H)Eij = (λi−λj)Eij. Como {Eij}i,j=1,...,n forma uma base de gl(n,K),
ad(H) é diagonalizável e os seus autovalores são λi−λj, i, j = 1, . . . , n, associados
aos autovetores Eij respectivamente. O centralizador de H contém a subálgebra
das matrizes diagonais e coincide com essa subálgebra se e só se λi 6= λj para
todo i 6= j. 2
1.3.2 Construções com representações
Representações equivalentes
Sejam ρ1 e ρ2 duas representações de uma mesma álgebra de Lie g nos espaços V1 e V2
respectivamente. Elas são ditas equivalentes se existe um isomorfismo linear P : V1 →
V2 tal que
ρ2(X) ◦ P = P ◦ ρ1(X) (1.1)
para qualquer X ∈ g. Vice-versa, dados uma representação ρ1 e um isomorfismo linear
P , definindo ρ2 a partir da expressão acima, obtém-se uma representaçãoisomorfa a
ρ1. O isomorfismo P que realiza a equivalência entre as representações é denominado
operador de intercâmbio entre ρ1 e ρ2.
De maneira mais geral, se ρ1 e ρ2 satisfazem (1.1) com P linear, diz-se que P é uma
aplicação entre as representações ρ1 e ρ2.
Soma direta de representações
Sejam g uma álgebra de Lie e ρ1, . . . , ρn representações de g em V1, . . . , Vn, respectiva-
mente. Defina
ρ : g −→ gl(V1 ⊕ · · · ⊕ Vn)
por ρ(X) = ρ1(X) ⊕ · · · ⊕ ρn(X). Então, como pode ser verificado sem maiores pro-
blemas, ρ define uma representação em V1 ⊕ · · · ⊕ Vn denominada de soma direta das
representações ρi. Em forma de matrizes, ρ se escreve em blocos como
1.3. Representações 31
ρ =
 ρ1
. . .
ρn
 .
Produto tensorial de representações
Sejam g uma álgebra de Lie e ρi, i = 1, . . . , n representações de g em Vi. Defina
ρ : g −→ gl(V1 ⊗ · · · ⊗ Vn)
por
ρ(X) = ρ1(X)⊗ 1⊗ · · · ⊗ 1 + · · · + 1⊗ · · · ⊗ ρn(X) (1.2)
onde 1 representa a identidade em cada um dos espaços. Então, como pode ser
verificado diretamente a partir das definições, ρ define uma representação de g em
V1 ⊗ · · · ⊗ Vn. Este é o produto tensorial das representações.
No caso particular em que n = 2 o produto tensorial é
ρ(X)(u⊗ v) = ρ(X)u⊗ v + u⊗ ρ(X)v.
Vale a pena observar que a aplicação ρ(X) = ρ1(X) ⊗ ρ2(X) não define uma re-
presentação já que não é linear. A motivação para definir o produto tensorial de
representações como acima vem do produto tensorial de representações de grupos de
Lie. A idéia é que se ρ1, . . . , ρn são representações de um grupo, então, o produto
tensorial ρ1(g) ⊗ · · · ⊗ ρn(g) ainda é uma representação do grupo. Por outro lado,
uma representação de um grupo de Lie induz uma representação de sua álgebra de Lie
por intermédio de derivadas da forma d/dt (ρ(exp tX))t=0. Como a derivada de um
produto é a soma das derivadas de cada parcela, a representação da álgebra fica sendo
uma soma como em (1.2).
A representação ρ definida aqui será denotada por ρ1 ⊗ · · · ⊗ ρn. Essa notação,
apesar de permitir uma interpretação equivocada, é mais compacta que a notação ao
pé da letra
ρ1 ⊗ · · · ⊗ 1 + · · ·+ 1⊗ · · · ⊗ ρn,
e não deve gerar confusão se fica claro que se trata de representações de álgebras de
Lie.
Representações duais
Dada uma representação ρ de g em V , pode-se tomar a representação ρ∗ de g no dual
V ∗ de V dada pela fórmula
ρ∗(X)(λ) = −λ ◦ ρ(X) λ ∈ V ∗.
A verificação de que ρ∗ definida desta forma é, de fato, uma representação, é ime-
diata. O sinal negativo que aparece nessa definição é necessário para que os colchetes
apareçam na ordem certa.
32 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
A representação ad∗ em g∗ dual da representação adjunta é denominada repre-
sentação co-adjunta .
Restrições de representações
Seja ρ uma representação de g em V e suponha que W seja um subespaço invariante
por ρ, isto é,
∀X ∈ g, ρ(X)W ⊂ W.
A aplicação
ρ|W : X ∈ g 7−→ ρ(X)|W ∈ gl(W )
define uma representação de g em W .
A soma e a intersecção de subespaços invariantes são também invariantes.
Quocientes de representações
Seja ρ uma representação de g em V e W ⊂ V um subespaço invariante pela repre-
sentação. A aplicação
ρ̄W : g −→ gl(V/W )
definida por X 7→ ρ(X) é uma representação. Aqui, ρ(X) : V/W → V/W é a única
transformação linear que comuta o diagrama
V/W - V/W
ρ(X)
V - V
ρ(X)
? ?
π π
onde π : V → V/W denota a projeção canônica. A existência de ρ(X) vem do fato de
W ser invariante.
Extensão do Corpo de escalares
Dada uma álgebra de Lie g sobre um corpo K, é posśıvel estender esse corpo de es-
calares para todas as representações de g pelo processo usual de extensão: sejam ρ
uma representação de g em V e K uma extensão de K. Denotando por gK e VK as
extensões de g e V , respectivamente, pode-se definir para cada X ∈ g a extensão de
ρ(X) a VK. Como os elementos de gK são combinações lineares, com coeficientes em
K, de elementos de g, esse processo define, como é fácil verificar, uma representação
de gK em VK. Essas extensões são bastante úteis em diversas situações, principalmente
quando deseja-se trabalhar com corpos algebricamente fechados.
1.3. Representações 33
Exemplos:
1. O produto tensorial de uma representação com a representação dual coincide com
(ou melhor, é equivalente a) a representação adjunta na álgebra das transforma-
ções lineares do espaço da representação. Para ver isso, tome uma representação
ρ de g em V . O espaço gl(V ) das transformações lineares de V é naturalmente
isomorfo ao produto tensorial V ⊗ V ∗. O isomorfismo é definido nos elementos
de V ⊗ V ∗ da forma v ⊗ λ, v ∈ V e λ ∈ V ∗ por v ⊗ λ 7→ A ∈ gl(V ), onde
A(w) = λ(w)v, w ∈ V e nos demais elementos por extensão linear. Tomando a
representação σ = ρ⊗ 1 + 1⊗ ρ∗ em V ⊗ V ∗,
σ(X)(v ⊗ λ) = ρ(X)v ⊗ λ− v ⊗ (λ ◦ ρ(X)) .
O segundo membro desta igualdade é levado pelo isomorfismo natural entre V ⊗
V ∗ e gl(V ) na transformação linear ρ(X)A − Aρ(X) onde A é a transformação
associada a v ⊗ λ, isto é, σ é equivalente à representação adjunta de g em gl(V )
induzida por ρ.
2. Seja
g = {(a, b, c) =
 0 a c
0 0 b
0 0 0
 : a, b, c ∈ K}
a álgebra de Heisenberg e ρ a representação em K3 dada pela inclusão. Se
{e1, e2, e3} denota a base canônica de K3, os subespaços W1 e W2 gerados por
{e1} e {e1, e2}, respectivamente, são invariantes por ρ.
Restrições:
(a) ρ|W1
= 0
(b) ρ|W2
avaliado em (a, b, c) é a transformação linear que tem por matriz(
0 a
0 0
)
na base {e1, e2}.
Quocientes:
(a) ρ̄W1
avaliado em (a, b, c) tem por matriz
(
0 b
0 0
)
na base {ē2, ē3}.
(b) ρ̄W2
= 0.
3. Um subespaço h ⊂ g é invariante pela representação adjunta se e só se h é um
ideal de g. Nesse caso, a imagem da representação quociente é a representação
adjunta de g/h. 2
34 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
1.3.3 Decomposições de representações
Uma representação ρ de g em V é dita irredut́ıvel se os únicos subespaços invariantes
por ρ são os triviais {0} e V .
A representação é dita completamente redut́ıvel se V se decompõe como
V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vn
com cada Vi invariante e tal que a restrição de ρ a Vi é irredut́ıvel. Dito de outra
maneira, ρ é completamente redut́ıvel se ela é isomorfa à soma direta ⊕iρ|Vi
de repre-
sentações irredut́ıveis. Em geral, a decomposição de V em componentes irredut́ıveis
não é única (serão vistos exemplos a seguir). Apesar dos nomes, uma representa-
ção irredut́ıvel é sempre completamente redut́ıvel. As representações completamente
redut́ıveis são denominadas também representações semi-simples .
A afirmação contida na proposição a seguir fornece um critério, bastante utilizado,
para verificar se uma representação é completamente redut́ıvel.
Proposição 1.7 Seja ρ uma representação de dimensão finita de g em V . Então, ρ é
completamente redut́ıvel se e só se todo subespaço invariante admite um complementar
invariante, isto é,
(?) para todo W ⊂ V invariante, existe W1 também invariante tal que
V = W ⊕W1.
Demonstração: Assumindo (?), suponha que V não é irredut́ıvel (caso contrário
não existe nada a demonstrar) e tome um subespaço invariante, não-trivial, W . Existe
então W1 invariante tal que
V = W ⊕W1.
Esta soma direta é a decomposição desejada se tanto W quanto W1 forem irredut́ıveis.
Suponha, portanto, que um deles, por exemplo W , é redut́ıvel. Então, é posśıvel
quebrar W através da seguinte afirmação crucial
(??) W também satisfaz (?).
De fato, seja W ′ ⊂ W invariante. Então,
W ′ ⊕W1 ⊂ V
é invariante pois uma soma de subespaços invariantes é invariante. Como V satisfaz
(?), existe W2 invariante tal que
V = (W ′ ⊕W1)⊕W2.
O subespaço (W1⊕W2)∩W é invariante pois a intersecção de subespaços invariantes
também é invariante. Por isso, para verificar (??) é suficientemostrar que
W = ((W1 ⊕W2) ∩W )⊕W ′. (1.3)
1.3. Representações 35
Seja x ∈ W ′ e suponha que x ∈ W1 ⊕W2. Então, x = y + z com y ∈ W1 e z ∈ W2.
Como x − y ∈ W ′ ⊕ W1, da igualdade x − y = z se tira que x − y = z = 0 e dáı
que x ∈ W ′ ∩W1, de onde se conclui que x = 0. Isso mostra que a soma do segundo
membro de (1.3) é direta. Agora, dado x ∈ W , pode-se escrever
x = x1 + x2 + x3
com x1 ∈ W ′, x2 ∈ W1, x3 ∈ W2. Então, x2 + x3 = x − x1 ∈ W , mostrando que W é
realmente a soma dos subespaços em (1.3) e, portanto, (??).
A partir de agora, a decomposição de V em subespaços invariantes e irredut́ıveis
é obtida por indução, decompondo sucessivamente os subespaços que aparecem nas
decomposições. Como V é de dimensão finita esse procedimento é realizável.
Para a rećıproca, usa-se indução sobre a dimensão de V .
Se dimV = 1 não existe nada a se demonstrar. Para dimensões maiores, escreva
V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vn
com cada Vi invariante e irredut́ıvel. Seja W ⊂ V invariante. Cada W ∩Vi é invariante
e como os subespaços Vi são irredut́ıveis, W ∩ Vi = {0} ou Vi para todo i. Existem
duas possibilidades:
Caso 1) Para algum i, por exemplo i = 1, W ∩ V1 = V1, isto é, V1 ⊂ W . Então,
W = V1 ⊕ (W ∩ (V2 ⊕ · · · ⊕ Vn)).
De fato, tome x ∈ W e escreva x = x1 + x2 com x1 ∈ V1 e x2 ∈ V2 ⊕ · · · ⊕ Vn.
Como V1 ⊂ W , x1 ∈ W e, portanto, que x2 ∈ W . Dáı que
W = V1 +W ∩ (V2 ⊕ · · · ⊕ Vn).
Essa soma é direta, pois V1 ∩ (V2 ⊕ · · · ⊕ Vn) = 0. Usando agora o passo de
indução, existe W ′ tal que
V2 ⊕ · · · ⊕ Vn = (W ∩ (V2 ⊕ · · · ⊕ Vn))⊕W ′
e W ′ complementa W em V já que V1 ⊂ W .
Caso 2) Para todo i , W ∩ Vi = {0}. Então, W ⊕ V1 está nas condições do primeiro
caso e, portanto, existe W ′ invariante tal que
V = (W ⊕ V1)⊕W ′,
isto é, V = W ⊕ (V1 ⊕W ′).
Com estes dois casos conclui-se a demonstração da rećıproca. 2
36 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
Exemplos:
1. A representação canônica da álgebra de Heisenberg
g = {
 0 a c
0 0 b
0 0 0
}
em K3 não é irredut́ıvel, pois os subespaços gerados por {e1} e por {e1, e2} são
invariantes. Não é também completamente redut́ıvel já que 〈e1〉, que é subespaço
invariante, não admite complementar invariante. Isto é conseqüência de que para
todo x ∈ K3 − 〈e1〉,  0 1 1
0 0 0
0 0 0
x ∈ 〈e1〉 − {0}.
2. Existe uma classe de álgebras de Lie (as semi-simples) para as quais todas as re-
presentações de dimensão finita são completamente redut́ıveis (essa é a afirmação
do teorema de Weyl, que será discutido com detalhes no caṕıtulo 5). Para essa
classe de álgebras, pode-se classificar, a menos de isomorfismo, suas represen-
tações de dimensão finita. O que, aliás, é feito classificando as representações
irredut́ıveis.
3. Seja g a álgebra de Lie abeliana de dimensão n sobre o corpo K e considere a
representação (fiel) cuja imagem é a subálgebra
g = {X ∈ gl(n,K) : X é diagonal}.
Ao escrever Kn = V1⊕ · · · ⊕ Vn como soma direta dos eixos coordenados, obtém-
se uma decomposição em subespaços invariantes irredut́ıveis. A representação é,
portanto, completamente redut́ıvel e só é irredut́ıvel se n = 1.
Um subespaço W ⊂ Kn invariante é sempre da forma
W = Vi1 ⊕ · · · ⊕ Vik k = dimW.
Para ver isso, tome x ∈ W e escreva
x = x1 + · · ·+ xn com xi ∈ Vi.
Seja Hi a matriz diagonal Hi = diag{0, . . . , 1, . . . , 0} com 1 na i-ésima coorde-
nada. Então, Hix = xi e dáı que xi ∈ W . Isto mostra que Vi ⊂ W se existe
x ∈ W tal que na decomposição acima xi 6= 0. Dáı que W é a soma direta de
alguns dos eixos coordenados.
Este exemplo e o próximo ajudam a entender a segunda parte da demonstração
da proposição anterior (de que a condição é suficiente): se todos os subespaços
invariantes são da forma Vi1⊕· · ·⊕Vik , como ocorre neste caso, então é claro que
1.3. Representações 37
todo subespaço invariante é complementável. O exemplo seguinte, no entanto,
mostra que nem todo subespaço invariante é desta forma, sendo necessário, por-
tanto, um processo um pouco diferente para escolher o complementar, como é
feito na demonstração da proposição.
4. Seja a subálgebra abeliana de gl(4,K)
g = {diag{a, a, b, b} : a, b ∈ K}.
Denotando por {e1, . . . , e4} a base canônica, a decomposição
K4 = 〈e1〉 ⊕ · · · ⊕ 〈e4〉 = V1 ⊕ · · · ⊕ V4 (1.4)
é uma decomposição em subespaços invariantes irredut́ıveis. O subespaço W =
〈e1 + e2〉 é invariante pois, restrito a 〈e1, e2〉, todo elemento de g é um múltiplo
da identidade. Como W ∩Vi = {0} para todo i, W não é uma soma de elementos
da decomposição (1.4).
A decomposição em invariantes irredut́ıveis, neste caso, não é única:
K4 = 〈e1 + e2〉 ⊕ 〈e2〉 ⊕ 〈e3〉 ⊕ 〈e4〉
também é uma decomposição em invariantes irredut́ıveis.
5. As representações canônicas de gl (n,K), sl (n,K), so (n,K), sp (n,K), so (p, q,K)
e su (n) são irredut́ıveis. 2
1.3.4 Lema de Schur
O lema de Schur é um resultado simples de álgebra linear, no entanto é muito útil
em diversas situações que envolvem representações irredut́ıveis. Ele diz respeito ao
centralizador de subconjuntos de transformações lineares e se aplica, em particular, a
representações de álgebras de Lie.
Sejam A e B transformações lineares em gl (V ) que comutam entre si. Se Av = 0,
então ABv = BAv = 0, o que significa que kerA é um subespaço invariante por B.
Da mesma forma, se w = Av, então Bw = B (Av) = A (Bv) e a imagem imA também
é B-invariante.
Agora tome um subconjunto Γ ⊂ gl (V ) e suponha que ele seja irredut́ıvel, no
sentido em que os únicos subespaços invariantes por todos os elementos de Γ são os
triviais {0} e V . Tome L ∈ gl (V ) que comuta com todos os elementos de Γ. Então
kerL e imL são subespaços invariantes por Γ. Como Γ é irredut́ıvel, segue que as
possibilidades para kerL e imL são {0} e V . Isso significa que L = 0 ou L é bijetora.
Suponha, além do mais, que L tem um auto-valor λ no corpo de escalares de V , isto
é, L tem um auto-vetor em V (o que acontece se o corpo de escalares é algebricamente
fechado e dimV <∞). Então, L− λid também comuta com todos os elementos de Γ.
O que implica, no caso irredut́ıvel, que L − λid é 0 ou bijetora. No entanto, L − λid
não pode ser bijetora, pois L tem auto-vetores. Dáı que L−λ · id = 0, isto é, L = λ · id
é uma transformação escalar. Esse é o resultado do lema de Schur:
38 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
Proposição 1.8 Seja V um espaço vetorial sobre K e Γ ⊂ gl (V ) um conjunto irre-
dut́ıvel de transformações lineares de V . Seja L ∈ gl (V ) que comuta com todos os
elementos de Γ. Suponha que L tem um auto-vetor em V associado ao auto-valor
λ ∈ K. Então, L = λ · id. Em particular, se K é algebricamente fechado e dimV <∞,
então o centralizador z (Γ) de Γ em gl (V ) é o subespaço das transformações escalares
(múltiplas da identidade).
1.4 Derivações e produtos semidiretos
1.4.1 Derivações
Definição 1.9 Uma aplicação linear D : g → g é uma derivação da álgebra de Lie g
se satisfaz
D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ] para todo X, Y ∈ g.
De forma mais geral, uma derivação de uma álgebra é uma transformação linear
que satisfaz a regra de Leibniz de derivada de um produto D(xy) = D(x)y + xD(y).
Um tipo de derivação que aparece com freqüência na teoria são as adjuntas dos
elementos de g. Uma das formas da identidade de Jacobi apresentada no ińıcio mostra
que
ad(X)[Y, Z] = [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X,Z]]
ou
ad(X)[Y, Z] = [ad(X)Y, Z] + [Y, ad(X)Z],
isto é, ad(X) é uma derivação. Derivações deste tipo são denominadas de deriva-
ções internas. O conjunto destas derivações coincide com a imagem da representação
adjunta. O espaço das derivações internas é, portanto, uma subálgebra de gl(g). Não é
dif́ıcil verificar que o espaço de todas as derivações também é uma subálgebra de gl (g).
Nem toda derivação é interna. Um exemplo trivial é o caso das álgebras abelianas
em que toda transformaçãolinear é uma derivação e, no entanto, existe uma única
interna, que é a transformação identicamente nula. No outro extremo, nas álgebras
semi-simples, toda derivação é interna, como será visto adiante.
A proposição seguinte é útil, tanto para esclarecer a idéia subjacente ao conceito
de derivação, quanto em diversas situações da teoria.
Proposição 1.10 Seja g uma álgebra de Lie real de dimensão finita e D : g→ g uma
transformação linear. Então, D é uma derivação se e só se para todo t ∈ R, etD é
automorfismo de g.
Demonstração: Suponha que para todo real t, etD seja automorfismo, isto é,
etD[X, Y ] = [etDX, etDY ] para todo X, Y ∈ g.
A derivada desta igualdade, como função de t, se escreve
DetD[X,Y ] = [DetDX, etDY ] + [etDX,DetDY ]
1.4. Derivações e produtos semidiretos 39
que, avaliada em t = 0, mostra que
D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ],
isto é, D é derivação. Por outro lado, assumindo que D é derivação, sejam as curvas
em g dadas por
α(t) = etD[X, Y ]
β(t) = [etDX, etDY ].
Tem-se α(0) = [X,Y ] = β(0),
α′(t) = DetD[X, Y ] = Dα(t)
e
β′(t) = [DetDX, etDY ] + [etDX,DetDY ] = D[etDX, etDY ] = Dβ(t),
pois D é derivação. Portanto, α e β satisfazem a mesma equação diferencial linear e
têm as mesmas condições iniciais e dáı que α = β. 2
Exemplos:
1. Como já foi mencionado, toda transformação linear de uma álgebra abeliana é
uma derivação.
2. Seja g a álgebra não-abeliana bidimensional e {X, Y } uma base tal que [X,Y ] =
Y. Seja D : g→ g linear que nesta base se escreve como
D =
(
a c
b d
)
.
Para encontrar as relações entre a, b, c e d para que D seja derivação, é suficiente
olhar a relação D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ] com X e Y os elementos da base
dada (a relação em geral é obtida por bilinearidade). A igualdade
DY = D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ]
é equivalente a
cX + dY = [aX + bY, Y ] + [X, cX + dY ] = a[X, Y ] + d[X,Y ] = (a+ d)Y
e dáı que D é derivação se e só se c = 0 e d = a+ d , isto é, a = 0. Portanto, as
matrizes das derivações D de g são da forma
D =
(
0 0
b d
)
.
Essas matrizes têm a mesma forma que as matrizes que aparecem na representa-
ção adjunta de g (veja o exemplo 4 da página 30). Portanto, toda derivação de
g é uma derivação interna. 2
40 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
1.4.2 Produtos semidiretos
Representando uma álgebra de Lie em outra por derivações, pode-se construir uma
álgebra de Lie no produto cartesiano das duas álgebras. Esse produto, chamado de
produto semidireto, é bastante semelhante ao produto semidireto de grupos e generaliza
o produto direto de álgebras visto anteriormente. Os detalhes desta construção são
dados pela proposição seguinte.
Proposição 1.11 Sejam g e h álgebras de Lie e ρ uma representação de g em h.
Suponha que para todo X ∈ g, ρ(X) é uma derivação de h e defina em g×h o colchete
[(X1, Y1), (X2, Y2)] = ([X1, X2], ρ(X1)Y2 − ρ(X2)Y1 + [Y1, Y2]). (1.5)
Com esse colchete, g× h é uma álgebra de Lie que se decompõe em soma direta
g× h = (g× 0)⊕ (0× h)
de uma subálgebra isomorfa a g por um ideal isomorfo a h.
Demonstração: O colchete em g × h é evidentemente anti-simétrico. Quanto à
identidade de Jacobi, ela vale na primeira coordenada por valer em g. Escrevendo
vi = (Xi, Yi), a segunda coordenada de [[v1, v2], v3] se decompõe nas quatro parcelas
ρ[X1, X2]Y3 − ρ(X3)(ρ(X1)Y2 − ρ(X2)Y1)
ρ(X3)[Y1, Y2]
[ρ(X1)Y2 − ρ(X2)Y1, Y3]
[[Y1, Y2], Y3].
Somando as permutações ćıclicas, os termos correspondentes à primeira parcela se
anulam pelo fato de ρ ser uma representação. Os correspondentes à última parcela
se anulam pela identidade de Jacobi em h e os termos correspondentes às segundas e
terceiras parcelas se cancelam entre si pelo fato de ρ(Xi) ser derivação. Isso mostra a
identidade de Jacobi do colchete. A partir dáı, as outras afirmações são imediatas. 2
A notação para o produto semidireto é g×sh ou g×ρh. Essa última notação é usada
quando se deseja ressaltar a representação que define o produto semidireto. Qualquer
uma das notações distingue g de h, já que o papel que essas álgebras desempenham no
produto semidireto são distintos.
O produto direto de duas álgebras pode ser visto como um caso particular de um
produto semidireto. Para isto, basta tomar a representação nula de g em h. Nesse
caso, g passa a ser um ideal do produto e não apenas uma subálgebra como ocorre com
o produto semidireto em geral. Aliás, um produto semidireto é um produto direto se
e só se g (ou mais precisamente g × 0) é um ideal de g ×s h e, é claro, nesse caso ρ é
a representação identicamente nula. Esse fato pode ser verificado diretamente a partir
de (1.5), que define o produto semidireto, ou usando o fato de que se dois ideais i1 e i2
de uma álgebra satisfazem i1 ∩ i2 = 0, então [X, Y ] = 0 para X ∈ i1 e Y ∈ i2, já que o
colchete está tanto em i1 quanto em i2.
1.5. Séries de composição 41
A última afirmação da proposição 1.11 garante que um produto semidireto se escreve
como a soma direta de um ideal por uma subálgebra. A rećıproca dessa afirmação
também vale. Se uma álgebra s é a soma direta de um ideal h por uma subálgebra g,
então ela é isomorfa ao produto semidireto g×s h. A representação de g em h é dada
pela restrição a g da representação adjunta de s, o que é posśıvel pelo fato de h ser um
ideal. O isomorfismo de s com g×s h é dado pela decomposição de s.
Exemplo: Seja V um espaço vetorial e denote por af(V ) o espaço das transformações
afins de V , isto é, das transformações de V da forma Tw = Aw + v com A linear e
v ∈ V . O espaço af(V ) é dado pelo produto gl(V )× V . O colchete
[(A, v) , (B, u)] = ([A,B], Au−Bv)
define em af(V ) uma estrutura de álgebra de Lie que é o produto semidireto de gl(V )
por V com a representação dada pela representação canônica. Um caso particular
dessas álgebras é a álgebra af(1) das transformações afins de um espaço unidimen-
sional. Observe que af(1) tem dimensão dois e não é abeliana e, portanto, essa é outra
realização da álgebra bidimensional não-abeliana. 2
1.5 Séries de composição
1.5.1 Série derivada
Tomando, como sempre, g como sendo uma álgebra de Lie, para dois subconjuntos A
e B de g será usada a notação [A,B] para indicar o subespaço gerado por
{[X, Y ] : X ∈ A, Y ∈ B}.
Define-se, por indução, os seguintes subespaços de g:
g(0) = g
g′ = [g, g]
...
g(k) = [g(k−1), g(k−1)].
Esses subespaços são ideais de g. Para ver isso basta notar que se i e j são ideais de g
então [i, j] também é ideal, como segue diretamente da identidade de Jacobi. Portanto,
g′ = [g, g] é um ideal, assim como g′′ = [g′, g′], etc.
Essa seqüência de ideais é conhecida por série derivada de g e suas componentes
são as álgebras derivadas de g.
Exemplos:
1. g é abeliana se e só se g′ = 0.
42 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
2. g = {
 0 ∗ ∗
0 0 ∗
0 0 0
}; g′ = {
 0 0 ∗
0 0 0
0 0 0
}; g′′ = {0} e g(k) = {0} se k ≥ 2.
3. Seja g a álgebra das matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal
g = {
 0 · · · ∗
...
. . .
...
0 · · · 0

n×n
}.
Então, g(k) = 0 se k é suficientemente grande.
4. g = {
 ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗
0 0 ∗
}; g′ = {
 0 ∗ ∗
0 0 ∗
0 0 0
}; g′′ = {
 0 0 ∗
0 0 0
0 0 0
}; g(k) = 0 se
k ≥ 3.
5. Seja g a álgebra das matrizes triangulares superiores
g = {
 ∗ · · · ∗...
. . .
...
0 · · · ∗

n×n
}.
Então, g′ é a álgebra das matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal,
portanto, g(k) = {0} se k ≥ k0 para algum k0 suficientemente grande.
6. Seja g a álgebra bidimensional não-abeliana e {X,Y } base com [X,Y ] = Y .
Então, g′ é o espaço gerado por Y e g(k) = {0} se k ≥ 2.
7. Para a álgebra g = sl(2,R), g′ = g e, portanto, g(k) = g para todo k ≥ 0. De
fato, sejam
X =
(
0 1
0 0
)
H =
(
1 0
0 −1
)
Y =
(
0 0
1 0
)
.
Então,
[H,X] = 2X [H, Y ] = −2Y [X, Y ] = H
e, portanto,X,H, Y ∈ g′ e como {X,H, Y } é uma base de g, g′ = g. A mesma
afirmação vale para sl(2,K) desde que K seja um corpo de caracteŕıstica diferente
de dois. Se a caracteŕıstica é dois, g′ é o subespaço gerado por H e, portanto,
g′′ = {0}.
8. Seja g = gl(2,K). Como tr(XY −Y X) = 0, g′ ⊂ sl(2,K). Pelo exemplo anterior,
g′ = sl(2,K) e dáı que g(k) = sl(2,K) para k ≥ 2.
1.5. Séries de composição 43
9. Os dois exemplos anteriores se generalizam completamente: tanto se g é sl(n,K)
ou gl(n,K), g′ = sl(n,K). Para ver isso, use a base dada pelas matrizes Eij cuja
i, j-ésima entrada é 1 e as demais são nulas. O produto de duas dessas matrizes é
dado por EijErs = δjrEis. Usando esse produto, é posśıvel proceder como no caso
em que n = 2, substituindo X,H e Y por Eij, Eii − Ejj e Eji, respectivamente.
10. A álgebra g = so(3) também satisfaz g(k) = g para todo k ≥ 0. De fato, a base
{i, j, k} dada por
i =
 0 0 0
0 0 −1
0 1 0
 j =
 0 0 1
0 0 0
−1 0 0
 k =
 0 −1 0
1 0 0
0 0 0

satisfaz [i, j] = k, [j, k] = i, [k, i] = j e, portanto, está contida em g′. 2
As observações sobre a série derivada, contidas nas seguintes proposições, são uti-
lizadas freqüentemente.
Proposição 1.12 O quociente g(k−1)/g(k) é uma álgebra abeliana.
De fato, para todo X,Y ∈ g(k−1), [X, Y ] ∈ g(k).
Proposição 1.13 Seja g álgebra de Lie e h ideal. Seja também π : g→ g/h o homo-
morfismo canônico. Então,
π
(
g(k)
)
= (g/h)(k)
Demonstração: Por indução sobre k. É claro que π(g(0)) = (g/h)(0). Assumindo
que a igualdade vale para k − 1, tem-se
π
(
g(k)
)
= π[g(k−1), g(k−1)]
= [π(g(k−1)), π(g(k−1))]
= [(g/h)(k−1) , (g/h)(k−1)]
= (g/h)(k) ,
o que mostra a igualdade do enunciado. 2
De forma análoga uma indução sobre k mostra a seguinte
Proposição 1.14 Se g é álgebra de Lie e h ⊂ g é subálgebra então
h(k) ⊂ g(k).
44 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
1.5.2 Série central descendente
A série central descendente da álgebra de Lie g é definida, por indução, como
g1 = g
g2 = [g, g] = g′
...
gk = [g, gk−1].
Como o produto de ideais é ideal, segue dessa definição que gk é um ideal para
todo k ≥ 1. Dáı que gk+1 = [g, gk] =⊂ gk e a série central descendente é, de fato,
descendente:
g1 = g ⊃ g2 ⊃ · · · ⊃ gk ⊃ · · ·
Proposição 1.15 1. [gi, gj] ⊂ gi+j.
2. gk é o subespaço gerado por todos os posśıveis produtos (colchetes) envolvendo k
elementos de g : [X1, . . . , [Xk−1, Xk] . . .].
(por exemplo:
produto de dois elementos : [X, Y ]
produto de três elementos : [X, [Y, Z]]
produto de quatro elementos: [[X, Y ], [Z,W ]] ou [X, [Y, [Z,W ]]])
Demonstração:
1. Por indução sobre j. Para j = 1 a inclusão é a definição de gi+1. Assumindo o
resultado para j,
[gi, gj+1] = [gi, [gj, g]] ⊂ [[gi, gj], g] + [gj, [gi, g]]
⊂ [gi+j, g] + [gj, gi+1]
⊂ gi+j+1.
2. Para k = 1 ou 2, é imediato a partir da definição. Para k ≥ 2, usa-se indução
sobre k. Assuma o resultado para k − 1. Os elementos de gk−1 são então da
forma
∑
i Zi com Zi produto de k − 1 elementos de g. Dáı que gk é gerado por
elementos da forma ∑
i
[Xi, Zi],
isto é, por produtos de k elementos.
Vice-versa, todo elemento de g que pode ser escrito como produto de k elementos
está em gk como segue do item anterior. 2
1.6. Álgebras solúveis 45
Exemplos:
1. g = g1 = {
 0 ∗ ∗
0 0 ∗
0 0 0
}; g2 = {
 0 0 ∗
0 0 0
0 0 0
}; g3 = 0, assim como gk para
k ≥ 3.
2. g = {
 ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗
0 0 ∗
}; g1 = {
 0 ∗ ∗
0 0 ∗
0 0 0
}; gk = g2 se k ≥ 3.
3. Para a álgebra não-abeliana g de dimensão dois, com base {X, Y } com [X,Y ] =
Y , gk é o subespaço gerado por Y para todo k ≥ 2.
4. g = {
 a ∗ ∗
0 a ∗
0 0 a
}; g2 = {
 0 ∗ ∗
0 0 ∗
0 0 0
}; g3 = {
 0 0 ∗
0 0 0
0 0 0
} e gk = 0 para
todo k ≥ 4. 2
Assim como para a série derivada, os quocientes sucessivos dos elementos da série
central descendente são abelianos e a série central descendente da imagem sobrejetora
de uma álgebra coincide com a imagem da série central descendente da álgebra. Estes
fatos estão contidos nas proposições seguintes. Suas demonstrações são semelhantes às
correspondentes para a série derivada.
Proposição 1.16 gk/gk+1 é uma álgebra abeliana.
Proposição 1.17 Seja π : g→ g/h o homomorfismo canônico. Então,
π(gk) = (g/h)k.
A afirmação seguinte fornece uma comparação entre a série derivada e a série central
descendente.
Proposição 1.18 A série derivada tem decrescimento mais rápido que a série central
descendente:
g(k) ⊂ gk+1
Demonstração: Por indução. Supondo g(k) ⊂ gk+1, então
g(k+1) = [g(k), g(k)] ⊂ [g, gk+1] = gk+2,
o que mostra o passo de indução. 2
1.6 Álgebras solúveis
Definição 1.19 Uma álgebra é solúvel se alguma de suas álgebras derivadas se anula,
isto é,
g(k0) = 0
para algum k0 ≥ 1 (e, portanto, g(k) = 0 para todo k ≥ k0).
46 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
Exemplos:
1. As álgebras abelianas são solúveis, pois para essa classe de álgebras g′ = 0.
2. Se dim g = 2, então g é solúvel independentemente de g ser abeliana ou não. Isto
porque existem apenas duas classes de álgebras bidimensionais. As abelianas são
solúveis e as não-abelianas têm álgebra derivada de dimensão um e, portanto, a
segunda derivada se anula.
3. As álgebras de matrizes triangulares superiores
g = {
 ∗ · · · ∗...
. . .
...
0 · · · ∗

n×n
}
são solúveis. Aliás, este é o exemplo t́ıpico de álgebra solúvel. Como será visto
adiante (teorema de Lie), toda álgebra de Lie solúvel de transformações lineares,
de dimensão finita, sobre um corpo algebricamente fechado é uma subálgebra de
matrizes triangulares superiores.
4. As álgebras sl(n) não são solúveis pois suas álgebras derivadas coincidem com
elas mesmas. 2
Evidentemente, a álgebra derivada de uma álgebra solúvel está contida propria-
mente na álgebra.
Subálgebras e imagens homomórficas de álgebras solúveis são também solúveis.
Esta afirmação está garantida pela proposição seguinte.
Proposição 1.20 1. Se g é solúvel e h ⊂ g é subálgebra, então h também é solúvel.
2. Se g é solúvel e h ⊂ g é um ideal, então g/h também é solúvel.
Demonstração:
1. As álgebras derivadas sucessivas de h estão contidas nas correspondentes álgebras
derivadas de g. Portanto, h é solúvel se g o for.
2. Como (g/h)(k) = π(g(k)), se alguma álgebra derivada de g se anula, o mesmo
ocorre com a álgebra derivada correspondente de g/h. 2
Um caso particular da primeira afirmação desta proposição é que os ideais de
álgebras solúveis são também solúveis. Como a segunda afirmação diz que os quo-
cientes por ideais são também solúveis, a seguinte proposição complementa a anterior
ao dizer que a álgebra propriamente dita é solúvel se algum de seus quocientes junta-
mente com o seu núcleo é solúvel.
Proposição 1.21 Seja g uma álgebra de Lie e h ⊂ g um ideal. Suponha que tanto h
quanto g/h sejam solúveis. Então, g é solúvel.
1.7. Álgebras nilpotentes 47
Demonstração: Seja k1 tal que (g/h)(k1) = {0}. Por π(g(k)) = (g/h)(k), tem-se que
π(g(k1)) = 0. Isto significa que g(k1) ⊂ h. Como h é solúvel, existe k2 tal que h(k2) = {0}.
Dáı que
g(k1+k2) = (g(k1))(k2) ⊂ h(k2) = {0}.
Portanto, g é solúvel. 2
Seja g uma álgebra de Lie sobre K e K uma extensão de K. As álgebras derivadas
tanto de g quanto de gK são geradas por colchetes sucessivos de elementos de g; as
álgebras derivadas de g são obtidas por combinações lineares com coeficientes em K
enquanto as de gK por combinações lineares com coeficientes em K. Dáı que
(g(n))K = (gK)(n)
para todo n ≥ 0. Portanto,
Proposição 1.22 g é solúvel se e só se gK é solúvel.
Essas são as informações preliminares sobre as álgebras solúveis. No próximo
caṕıtulo a estrutura e as representações dessas álgebras serão consideradas com mais
detalhes.
1.7 Álgebras nilpotentes
Definição 1.23 Uma álgebra de Lie é nilpotentese sua série central descendente se
anula em algum momento, isto é,
gk0 = {0}
para algum k0 ≥ 1 (e, portanto, gk = 0 para todo k ≥ k0).
Exemplos:
1. As álgebras abelianas são nilpotentes.
2. As seguintes subálgebras de matrizes são nilpotentes
(a) g = {
 0 · · · ∗
...
. . .
...
0 · · · 0

n×n
}.
(b) g = {
 a · · · ∗
...
. . .
...
0 · · · a

n×n
}.
48 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
3. A álgebra das matrizes triangulares superiores
g = {
 ∗ · · · ∗...
. . .
...
0 · · · ∗

n×n
}
não é nilpotente. 2
Da mesma forma que para as álgebras solúveis, subálgebras e quocientes de álgebras
nilpotentes são também nilpotentes:
Proposição 1.24 Seja g uma álgebra nilpotente.
1. Se h ⊂ g é subálgebra então h é nilpotente.
2. Se h ⊂ g é um ideal então g/h é nilpotente.
De fato, hk ⊂ gk se h ⊂ g e π(gk) = (π(g))k se π é um homomorfismo.
As álgebras nilpotentes são solúveis pois g(k) ⊂ gk+1. No entanto, nem toda álgebra
solúvel é nilpotente como mostra a álgebra das matrizes triangulares superiores, que
é solúvel mas não nilpotente. Outro exemplo de álgebra solúvel que não é nilpotente
é a álgebra não-abeliana de dimensão dois. Para esta álgebra, gk = g2 6= 0 se k ≥ 2,
porém g′′ = 0.
Uma distinção entre as álgebras solúveis e as nilpotentes é dada pelo centro:
Proposição 1.25 O centro de uma álgebra de Lie nilpotente não é trivial.
De fato, seja k tal que gk 6= 0 e gk+1 = 0. Então, gk ⊂ z(g), pois [g, gk] = gk+1 = 0.
No entanto, o centro de uma álgebra solúvel pode se anular (exemplo: a álgebra
não abeliana bidimensional).
Outra diferença entre as álgebras nilpotentes e as solúveis está na possibilidade de
reconstruir a propriedade de solubilidade a partir de um quociente e do núcleo desse
quociente. O mesmo não ocorre com as álgebras nilpotentes: Se h ⊂ g é ideal e
ambos h e g/h são nilpotentes, então g é solúvel mas não necessariamente nilpotente.
Um exemplo é novamente a álgebra não-abeliana bidimensional com [X, Y ] = Y . O
subespaço h gerado por Y é ideal e é nilpotente por ser de dimensão um. O mesmo
ocorre com g/h. A álgebra não é, no entanto, nilpotente.
Sejam g uma álgebra de Lie sobre K e K uma extensão de K. Como gn
K e gn
K são
gerados por produtos de n elementos de g, vale a igualdade
(gn)K = (gK)n.
De onde se conclui que
Proposição 1.26 g é nilpotente se e só se gK é nilpotente.
1.8. Radicais solúveis 49
Se g é uma álgebra nilpotente, existe um inteiro k tal que todos os colchetes envol-
vendo k elementos de g se anulam. Em particular,
[X, . . . , [X, Y ] . . .] = 0
se X aparece k − 1 vezes, isto é, ad(X)k−1 = 0 para todo X ∈ g. Em outras palavras,
nas álgebras nilpotentes, as adjuntas de seus elementos são transformações lineares
nilpotentes. A rećıproca a esta afirmação também é verdadeira: se g é uma álgebra
de dimensão finita tal que ad(X) é nilpotente para todo X ∈ g, então g é nilpotente.
Este é o conteúdo do teorema de Engel que será visto com detalhes no caṕıtulo 2.
1.8 Radicais solúveis
Proposição 1.27 Sejam g uma álgebra de Lie e h1, h2 ∈ g ideais solúveis (isto é,
solúveis como álgebras de Lie). Então, h1 + h2 também é ideal solúvel.
Demonstração: O fato de que h1 + h2 é ideal é conseqüência de que soma de ideais
é ideal. Por um dos teoremas de isomorfismo,
(h1 + h2)/h2 ≈ h1/h1 ∩ h2.
Como h1 é solúvel, h1/h1 ∩ h2 é solúvel e dáı que (h1 + h2)/h2 é solúvel. Como h2 é
solúvel, h1 + h2 é solúvel pela proposição 1.21. 2
Proposição 1.28 Seja g álgebra de Lie de dimensão finita. Então, existe em g um
único ideal solúvel r ⊂ g que contém todos os ideais solúveis de g.
Demonstração: Denote por n o máximo das dimensões dos ideais solúveis de g e
seja r um ideal solúvel com dim r = n. Então, todo ideal solúvel de g está contido
em r. De fato, se h é ideal solúvel, r + h também é. Pela maximalidade da dimensão,
dim(r + h) = dim r e dáı que r + h ⊂ r e h ⊂ r. Portanto, r contém todos os ideais
solúveis e ele é evidentemente o único. 2
Nesta proposição, a hipótese de g ser de dimensão finita não é essencial. Ela foi colo-
cada áı só para facilitar o argumento da demonstração. Em geral, pode-se aplicar algum
prinćıpio de maximalidade, ao invés do argumento da maximalidade da dimensão, e
chegar ao mesmo resultado.
Definição 1.29 O ideal r da proposição anterior é chamado de radical solúvel (ou
simplesmente radical) de g. Para o radical de g será utilizada a notação r(g).
Exemplos:
1. g é solúvel se e só se r(g) = g.
50 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
2. O radical de gl(2,R) é
r(g) = z = {
(
a
a
)
: a ∈ R}.
De fato, z é ideal abeliano de g e, portanto, solúvel. Além do mais, é o único
ideal solúvel pois os ideais de gl(2,K) são z e sl(2,R), além dos triviais. Para ver
isso, observe que
gl(2,R) = sl(2,R)⊕ z
e, portanto, gl(2,R)/z ≈ sl(2,R). Seja h um ideal não-trivial de gl(2,R). Então,
h/z é um ideal de sl(2,R). Como os únicos ideais de sl(2,R) são os triviais (isso
porque sl(2,R) é uma álgebra simples como será discutido adiante), ou h = z ou
h∩ sl(2,R) é não-nulo. Neste último caso h contém sl(2,R) e, portanto, deve ser
ou o próprio sl(2,R) ou gl(2,R).
3. Em geral, o radical solúvel de gl(n,R) é o seu centro, que por sua vez, consiste
dos múltiplos da identidade, isto é, das matrizes escalares. 2
Assim como no caso solúvel, é posśıvel considerar também o radical nilpotente de
uma álgebra de Lie. Esse é um ideal que contém todos os ideais nilpotentes da álgebra.
A demonstração de sua existência, no entanto, requer o teorema de Lie. Por isso, a
discussão sobre os radicais nilpotentes foi colocada ao final do caṕıtulo 2.
1.9 Álgebras simples e álgebras semi-simples
Definição 1.30 Uma álgebra de Lie g é semi-simples se
r(g) = 0
(isto é, g não contém ideais solúveis além de 0).
Definição 1.31 Uma álgebra g é simples se
1. os únicos ideais de g são 0 e g e
2. dim g 6= 1
O que se deseja chamar de simples são as álgebras que não possuem ideais além dos
triviais. Nesse sentido, as álgebras de dimensão 1 não possuem ideais. Essas não são,
no entanto, consideradas simples, essencialmente para que exista compatibilidade entre
os conceitos de álgebras simples e semi-simples. Como é imediato a partir da definição,
as álgebras unidimensionais não são semi-simples. Porém, as demais álgebras que não
possuem ideais próprios são semi-simples. De fato, seja g uma álgebra que não possui
ideais não-triviais. Como r (g) é um ideal, ele deve ser 0 ou g. No primeiro caso, g é
semi-simples como se pretende. O segundo caso não pode ocorrer se dim g ≥ 2. Isso
porque se r(g) = g então g é solúvel e, portanto, g′ 6= g. Como g′ também é um ideal,
1.9. Álgebras simples e álgebras semi-simples 51
g′ = 0, isto é, g é abeliana. Mas isso é imposśıvel se dim g ≥ 2, pois todo subespaço
de uma álgebra abeliana é um ideal. Em outras palavras, as álgebras simples são
semi-simples.
Por outro lado, toda álgebra semi-simples é um produto direto de álgebras simples.
Isso é conseqüência de um dos critérios de Cartan, e será discutido no caṕıtulo 3.
Exemplos:
1. sl(2,R) é simples. Para uma verificação direta, sejam
X =
(
0 1
0 0
)
H =
(
1
−1
)
Y =
(
0 0
1 0
)
.
Os colchetes entre esses elementos são dados por [H,X] = 2X, [H, Y ] = −2Y e
[X, Y ] = H. Tome Z = aX + bH + cY . Então,
ad(X)Z = −2bX + cH, ad(X)2 = −2cX
de onde se vê que se Z 6= 0, então Z, ad(X)Z ou ad(X)2Z é múltiplo não-nulo
de X. Conclusão: se h 6= {0} é ideal não-nulo, então X ∈ h. Como H = −[Y,X]
e Y = 1/2[Y,H], Y,H ∈ h e dáı que h = sl(2,R). O mesmo resultado vale para
corpos quaisquer desde que a caracteŕıstica seja diferente de dois.
2. Em geral, sl(n,K) é simples se K não é de caracteŕıstica dois. A verificação direta
é semelhante ao caso n= 2. 2
O centro de uma álgebra é um ideal abeliano e, portanto, solúvel. Assim, o centro de
uma álgebra semi-simples é necessariamente nulo. Como o centro de uma álgebra qual-
quer coincide com o núcleo da representação adjunta, isso mostra que a representação
adjunta de uma álgebra semi-simples é fiel. Por isso, toda álgebra semi-simples pode
ser vista como uma subálgebra de transformações lineares.
As álgebras semi-simples diferem completamente das solúveis ou nilpotentes tanto
na forma quanto nos métodos de estudo. A classe das álgebras nilpotentes, e, portanto,
a das solúveis, contém as álgebras abelianas e, em certo sentido, formam uma extensão
dessas álgebras. É comum numa demonstração de um resultado sobre álgebras solúveis
considerar os quocientes sucessivos g(k)/g(k+1) que são abelianos. Já com as álgebras
semi-simples ocorre justamente o contrário. Pode-se dizer que elas são o oposto das
álgebras abelianas. Os métodos para estudá-las são de outra natureza. A proposição
seguinte estabelece uma primeira relação entre as álgebras solúveis, semi-simples e
gerais.
Proposição 1.32 Sejam g uma álgebra de Lie que não é solúvel e h ⊂ g um ideal
solúvel. Então, g/h é semi-simples se e só se h = r(g).
Demonstração: Suponha que h = r(g). Seja π : g → g/r(g) o homomorfismo
canônico e tome um ideal solúvel i ⊂ g/r(g). Então, π−1(i) é um ideal que contém r(g)
e i = π−1(i)/r(g). Dáı que π−1(i) é solúvel e, portanto, está contido em r(g), isto é,
52 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
i = 0, o que mostra que g/r(g) é semi-simples. Reciprocamente, se h é ideal solúvel,
h ⊂ r(g) e r(g)/h é um ideal solúvel de g/h. A hipótese de que g/h é semi-simples
implica, então, que r(g)/h = 0, isto é, r(g) = h. 2
Esta proposição sugere que uma álgebra de Lie arbitrária possa ser decomposta
como a soma de álgebras, uma solúvel (radical) e outra semi-simples isomorfa ao quo-
ciente g/r (g). Uma decomposição deste tipo é posśıvel para quocientes de espaços
vetoriais de dimensão finita pois todo subespaço admite um subespaço complementar.
Nem sempre é posśıvel, no entanto, complementar um ideal de uma álgebra de Lie por
uma subálgebra (veja o exemplo abaixo). Porém, no caso em que o ideal é o radical de
uma álgebra de dimensão finita, é posśıvel mostrar a existência de uma subálgebra que
o complementa. Esta subálgebra é necessariamente semi-simples por ser isomorfa ao
quociente. Este é o enunciado do teorema de Levi, cuja demonstração, aliás bastante
envolvente, será feita no caṕıtulo 5.
Exemplo: Sejam
g = {
 0 ∗ ∗
0 0 ∗
0 0 0
} e h = {
 0 0 ∗
0 0 0
0 0 0
}.
g é a álgebra de Heisenberg e h, o centro de g, é um ideal de codimensão dois. Para
ver que não existe nenhuma subálgebra de g que complementa h, seja {X, Y, Z} a base
dada por
X =
 0 1 0
0 0 0
0 0 0
 Y =
 0 0 0
0 0 1
0 0 0
 Z =
 0 0 1
0 0 0
0 0 0

e seja h1 um subespaço qualquer que complementa h (g = h ⊕ h1). Então, h1 não é
subálgebra. De fato, se {W1,W2} é base de h1, pode-se escrever
W1 = a1X + b1Y + c1Z W2 = a2X + b2Y + c2Z,
com a1X + b1Y e a2X + b2Y linearmente independentes (pois {W1,W2, Z} é base de
g). Isso significa que a1b2 − a2b1 6= 0. Mas,
[W1,W2] = (a1b2 − a2b1)Z /∈ h1
e, portanto, h1 não é subálgebra. 2
Notas
As álgebras de Lie surgiram com Sophus Lie na década de 1870, dentro de seu programa
de estender, às equações diferenciais, a teoria de Galois para equações algébricas. A idéia –
1.10. Exerćıcios 53
devida a S. Lie – de olhar os grupos de transformações como sendo constitúıdos por grupos a
um parâmetro, obtidos por soluções de equações diferenciais ordinárias, foi crucial como ponto
de partida e para o desenvolvimento da imensa teoria constrúıda desde então. As álgebras
de Lie aparecem como objetos infinitesimais associados aos grupos de transformações com o
colchete da álgebra correspondendo ao comutador do grupo. Um exemplo t́ıpico é o de um
grupo de transformações lineares inverśıveis: as exponenciais dos elementos de uma álgebra
de Lie de matrizes formam (ou mais precisamente, geram) um grupo de Lie.
O termo “álgebra de Lie” foi popularizado a partir da década de 1920 com Hermann Weyl
(por sugestão de Nathan Jacobson), em substituição ao “grupo infinitesimal” que se utilizava
desde os tempos de Lie (veja [52]).
Os “grupos infinitesimais” foram considerados, a prinćıpio, como objetos concretos associados
a grupos de transformações. Um dos programas de S. Lie era o de classificar os grupos de
transformações agindo num determinado espaço. Deve-se a Wilhelm Killing (1884) a idéia de
dividir esse problema em dois: o de classificar o objeto abstrato que corresponde à álgebra
de Lie e posteriormente analisar as ações dos grupos correspondentes (veja [19]).
O material apresentado neste caṕıtulo pode ser encontrado em qualquer texto que contenha
uma introdução às álgebras de Lie. Esses textos normalmente se dividem em dois tipos: os
algébricos (no sentido da álgebra linear) representados principalmente por Jacobson [28] e
os que dão um tratamento simultâneo aos grupos e às álgebras de Lie como os clássicos de
Chevalley [7] e Helgason [20]. Seguem a tradição de Jacobson os livros de Humphreys [25] e
Serre [42]. Na segunda classe, encontram-se os livros Varadarajan [46], Fulton e Harris [18],
Onishchik e Vinberg [37], mais voltados à teoria de representação ou aos grupos algébricos,
e o de Hochschild [23], que cobre os fatos básicos da teoria de Lie. Numa classe à parte se
encontra o tratado de Bourbaki [5] em seus caṕıtulos sobre grupos e álgebras de Lie.
1.10 Exerćıcios
1. Mostre que φ : g1 → g2 é um homomorfismo se e só se o seu gráfico é uma
subálgebra do produto direto g1 × g2.
2. Seja g uma álgebra de Lie. Mostre que uma transformação linear D : g → g é
uma derivação se e só se
ad (DX) = [D, ad (X)].
Mostre também que φ : g→ g é um automorfismo se e só se
ad (φX) = φ ◦ ad (X) ◦ φ−1.
3. Mostre que o espaço das derivações de g é uma subálgebra de gl (g).
4. Seja A uma álgebra associativa. Então, toda derivação de A é também uma
derivação da álgebra de Lie correspondente. Dê exemplo de uma álgebra associa-
tiva e uma derivação da álgebra de Lie que não é derivação da álgebra associativa.
54 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
5. Dados quatro elementos X, Y , Z e W numa álgebra de Lie, mostre que
[[[X, Y ], Z],W ] + [[[Y,X],W ], Z] + [[[Z,W ], X], Y ] + [[[W,Z], Y ], X] = 0.
6. Sejam i1 e i2 ideais de uma álgebra de Lie que satisfazem i1 ∩ i2 = 0. Então,
[i1, i2] = 0.
7. Seja g uma álgebra de Lie. Mostre que todo subespaço vetorial que contém a
álgebra derivada g′ é um ideal de g.
8. Seja φ : g → h um homomorfismo de álgebras de Lie tal que φ (g′) 6= 0. Mostre
que, se um múltiplo de φ, λφ é homomorfismo, então λ = 0 ou 1.
9. Sejam β1 e β2 formas bilineares equivalentes em Kn. Para i = 1, 2, defina
gi = {A ∈ gl (n,K) : βi (Ax, y) = βi (x,Ay) para todo x, y ∈ Kn}.
Mostre que g1 e g2 são isomorfas.
10. (Álgebra de Heisenberg generalizada) Seja V um espaço vetorial de dimensão
finita sobre K e ω : V × V → K uma forma bilinear anti-simétrica e não-
degenerada. Em g = V ×K defina
[(v, x) , (w, y)] = (0, ω (v, w)) .
Então, esse colchete define em g uma álgebra de Lie com g3 = 0. No caso em que
dimV = 2, g é isomorfa à álgebra de Heisenberg.
11. Verificar que o produto vetorial × em R3 é um colchete de Lie que faz de R3 uma
álgebra de Lie isomorfa a so(3,R). Essa álgebra é simples e isomorfa à álgebra
su(2).
12. Seja h a álgebra associativa dos quatérnions. Considerando a álgebra de Lie de
seus comutadores, o subespaço dos quatérnions puramente imaginários é uma
subálgebra de Lie isomorfa às álgebras do exerćıcio anterior.
13. Uma representação ρ de dimensão finita de uma álgebra de Lie g é irredut́ıvel se
e só sea representação dual ρ∗é irredut́ıvel.
14. Seja ρ uma representação no espaço vetorial V de dimensão finita de uma álgebra
de Lie g. Então, a representação dual ρ∗ é equivalente a ρ se e só se existe
em V uma forma bilinear β (a valores no corpo de escalares) não-degenerada e
invariante por ρ, isto é,
β(ρ(X)v, w) + β(v, ρ(X)w) = 0 para todos v, w ∈ V X ∈ g.
De maneira mais geral, se σ é uma representação de g emW , então σ é equivalente
a ρ∗ se e só se existe uma “dualidade invariante” entre V e W , isto é, uma forma
bilinear β : V ×W → K não-degenerada tal que
β(ρ(X)v, w) + β(v, σ(X)w) = 0
v ∈ V e w ∈ W .
1.10. Exerćıcios 55
15. Dadas as representações ρ1, . . . , ρs de g em V1, . . . , Vs, interprete os elementos do
produto tensorial
V = V1 ⊗ · · · ⊗ Vs
como funcionais multilineares definidos em V ∗
1 × · · · × V ∗
s (veja apêndice A) e
mostre que para f ∈ V e X ∈ g,
ρ (X) f(α1, . . . , αs) = −f(ρ∗1(X)α1, . . . , αs)− · · · − f(α1, . . . , ρs(X)αs)
onde ρ = ρ1 ⊗ · · · ⊗ ρs e αi ∈ V ∗
i . Conclua que o espaço dos tensores simétricos
e o dos tensores anti-simétricos são invariantes por ρ.
16. No exerćıcio anterior, denote por ρ� a restrição de ρ aos tensores simétricos
V1 � · · · � Vs
e por ρ∧ a restrição de ρ aos tensores anti-simétricos
V1 ∧ · · · ∧ Vs .
Mostre que, para vi ∈ V1,
ρ�(X)(v1 � · · · � vs) = ρ1(X)v1 � · · · � vs + · · ·+ v1 � · · · � ρs(X)vs
e que uma fórmula semelhante vale para ρ∧.
17. Sejam u1, . . . , un ∈ V = Kn e defina ν = u1 ∧ · · · ∧ un. Mostre que se A é uma
transformação linear de V , então
Au1 ∧ · · · ∧ un + · · ·+ u1 ∧ · · · ∧ Aun = (trA)u1 ∧ · · · ∧ un .
18. Dada uma representação ρ de g em V , de dimensão finita, a aplicação momento
associada a ρ é a aplicação linear µ : V ⊗ V ∗ → g∗ definida por
µ (v ⊗ φ) (X) = φ (ρ (X) v)
para v ∈ V , φ ∈ V ∗ e X ∈ g. Mostre que µ intercâmbia as representação ρ⊗ ρ∗
com a representação co-adjunta de g.
19. Mostre que o colchete de uma álgebra de Lie é associativo se e só se g′ está contido
no centro de g.
20. Se h é um ideal da álgebra de Lie g, então h(k) e hk também são ideais de g.
21. Seja g uma álgebra de Lie solúvel. Então existe um ideal h ⊂ g de codimensão
um.
22. Uma álgebra de Lie que não é semi-simples contém um ideal abeliano.
56 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
23. Dê exemplo de uma álgebra solúvel g com um ideal i ⊂ g que não contém a
álgebra derivada g′.
24. O produto semidireto de duas álgebras solúveis é solúvel.
25. Mostre que o colchete do produto semi-direto g×ρh é a única estrutura de álgebra
de Lie em g× h que satisfaz as seguintes condições: i) g× {0} é uma subálgebra
isomorfa a g; ii) {0}× h é uma subálgebra isomorfa a h; iii) Se X ∈ g e Y ∈ h
então [(X, 0) , (0, Y )] = ρ (X)Y . Segue dessas condições que {0}× h é um ideal.
26. Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita e suponha que exista uma base de
g tal que para todo X ∈ g a matriz de ad (X) em relação a essa base é triangular
superior. Mostre que g é solúvel.
27. Seja ρ a representação da álgebra unidimensional K no espaço vetorial V dada
por
t ∈ K 7−→ tA ∈ gl (V )
onde A é uma transformação linear de V . Denote por g o produto semidireto de
K por V dado por essa representação. Mostre que g é solúvel. Mostre também
que g é nilpotente se e só se A é nilpotente como transformação linear de V , isto
é, Ak = 0 para algum k.
28. Sejam g e g1 dadas por A e A1, como no exerćıcio anterior. Então, g e g1 são
isomorfas se e só se A1 = aPAP−1, a 6= 0, para alguma transformação linear
inverśıvel P .
29. Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita que admite um ideal h de codi-
mensão um. Tome X /∈ h e seja l o subespaço gerado por X. Então g é isomorfa
ao produto semidireto de l por h com a representação de l em h dada pela repre-
sentação adjunta de X em h. Em particular, toda álgebra solúvel é, de alguma
forma, um produto semidireto.
30. Encontre – a menos de isomorfismo – todas as álgebras de Lie g de dimensão 3
sobre um corpo algebricamente fechado, tais que dim g′ = 2. (Use o anterior e as
formas canônicas de Jordan de transformações lineares em espaços de dimensão
dois). Faça o mesmo com as álgebras sobre R.
31. Uma álgebra solúvel não-abeliana de dimensão três pode ser realizada como uma
álgebra de matrizes da forma (
A x
0 0
)
com A uma matriz 2× 2 e x uma matriz 2× 1.
32. Uma álgebra de Lie de dimensão três ou é solúvel ou simples.
33. Seja ρ : gl (n)→ K um homomorfismo. Então ρ (X) = a trX para algum escalar
a. (Use o fato de que sl (n) é simples).
1.10. Exerćıcios 57
34. Seja g uma álgebra de Lie sobre R e ρ uma representação de dimensão finita de
g em V . Seja também 〈·, ·〉 um produto interno em V . Suponha que, para todo
X ∈ g, ρ (X) é anti-simétrica em relação a esse produto interno e mostre que ρ
é completamente redut́ıvel.
35. O mesmo que o anterior para álgebras complexas, trocando o produto interno
por uma forma hermitiana e assumindo que ρ (X), X ∈ g, é anti-hermitiana.
36. Seja T : g → g uma transformação linear que comuta com ad (X) para todo
X ∈ g. Então,
T [X, Y ] = [TX, Y ] = [X,TY ]
para todo X, Y ∈ g. O centróide de uma álgebra de Lie é a álgebra associativa
das transformações lineares g → g que comutam com ad (X) para todo X ∈ g.
Mostre que se g′ = g, então o centróide é comutativo.
37. Na álgebra de Heisenberg g, defina a operação ∗ por
X ∗ Y = X + Y +
1
2
[X, Y ].
Mostre que g com essa operação é um grupo. (Compare com a fórmula de
Campbell-Hausdorff, por exemplo, em [46]).
Caṕıtulo 2
Álgebras nilpotentes e solúveis
Os resultados principais deste caṕıtulo são os teoremas de Engel e de Lie, que descrevem
as álgebras nilpotentes e solúveis como sendo – essencialmente – álgebras de matrizes
triangulares superiores. Esses teoremas surgem em qualquer contexto que envolva
álgebras nilpotentes ou solúveis. Em particular, o teorema de Engel, que tem como
conseqüência a caracterização das representações das álgebras nilpotentes, será uma
peça fundamental no estudo das subálgebras de Cartan, que formam a base para a
classificação das álgebras semi-simples.
2.1 Álgebras nilpotentes
Nesta seção, serão descritas a estrutura e as representações das álgebras de Lie nilpo-
tentes. O resultado principal é o teorema de Engel que afirma que, para uma álgebra
de Lie de transformações lineares cujos elementos são nilpotentes, é posśıvel encontrar
uma base em que as matrizes desses elementos são todas triangulares superiores com
zeros na diagonal principal. Esse resultado tem diversas consequências. Uma delas
é que uma álgebra de Lie de dimensão finita é nilpotente se, e só se, as adjuntas de
seus elementos são nilpotentes. Outra conseqüência do teorema de Engel, que será
apresentada a seguir, é que, numa representação qualquer de uma álgebra nilpotente,
os elementos da álgebra se decompõem, em alguma base, em blocos triangulares supe-
riores semelhantes aos blocos de Jordan em que se decompõe uma transformação linear
qualquer.
2.1.1 Representações nilpotentes
Seja g uma álgebra de Lie. Uma representação ρ de g no espaço vetorial V é uma
representação nilpotente ou uma nil-representação se ρ(X) é nilpotente para todo
X ∈ g. Isto significa que, dado X, existe um inteiro positivo k (dependente de X) tal
que ρ(X)k = 0.
Um exemplo de uma nil-representação é a representação adjunta de uma álgebra
nilpotente. Como foi visto no primeiro caṕıtulo, ad(X), X ∈ g, é nilpotente se g é
nilpotente. Aliás, essa é uma condição necessária e suficiente para que uma álgebra de
59
60 Caṕıtulo 2. Álgebras nilpotentes e solúveis
Lie seja nilpotente, como será mostrado adiante. Por esse critério, fica simples encontrar
exemplos de representações (adjuntas inclusive) que não são nilpotentes. Por exemplo,
a representaçãoadjunta da álgebra bidimensional não-abeliana, que é solúvel, mas não
é nilpotente, não é uma nil-representação. Isso, no entanto pode ser visto diretamente
tomando uma base {X, Y } com [X, Y ] = Y . Como ad(X)kY = Y para todo k, ad(X)
não é nilpotente.
Para estudar as representações nilpotentes, vai ser utilizado o seguinte fato sobre a
adjunta em gl.
Proposição 2.1 Seja V um espaço de dimensão finita e A ∈ gl(V ). Suponha que A
seja nilpotente. Então, ad(A) também é nilpotente. Portanto, se ρ : g → gl(V ) é uma
nil-representação, então X 7→ ad(ρ(X)) também é uma nil-representação.
Demonstração: Existem diversas maneiras de verificar essa afirmação. Uma delas
é visual através de matrizes: como A é nilpotente, em alguma base de V , A se escreve
como uma matriz triangular superior com zeros na diagonal. Com isso, não fica dif́ıcil
se convencer que a imagem de ad(A)k está contida no subespaço de matrizes
glk = {C = (cij)n×n : cij = 0 se i− j ≥ n− k}
em que as primeiras k diagonais secundárias inferiores se anulam. Dessa forma, ad(A)2n
se anula.
Uma outra maneira de mostrar a proposição tem um caráter mais geral: sejam B
e C transformações dos espaços U e W , respectivamente. Seja D : U ⊗W → U ⊗W
dada por D = B ⊗ 1 + 1⊗ C. Uma indução simples mostra que
Dk =
k∑
j=0
(
k
j
)
Bk−ju⊗ Cjv
de onde se vê que, se B e C são nilpotentes, o mesmo ocorre com D. De fato, sejam k1 e
k2 tais que Bk1 = 0 e Ck2 = 0. Então, se k > k1 +k2, todos os termos da soma acima se
anulam, pois se 0 ≤ j ≤ k, então (k−j)+j > k1 +k2 e dáı que ou k−j > k1 ou j > k2.
Portanto, D é nilpotente, de onde se tira que ρ1⊗ρ2 é uma representação nilpotente se
tanto ρ1 quanto ρ2 são representações nilpotentes de dimensão finita. Em particular,
como a representação adjunta em gl(V ) é isomorfa a ρ⊗ ρ∗, tem-se o resultado.
Uma terceira possibilidade é observar que ad(A)nB é uma soma de termos da forma
ArBAs com r + s = n e, portanto, se n é suficientemente grande r = 0 ou s = 0. Por-
tanto, a soma se anula. 2
O seguinte teorema é o resultado técnico básico de onde se tiram todas as in-
formações sobre as representações nilpotentes.
Teorema 2.2 Seja V 6= 0 um espaço vetorial de dimensão finita e g ⊂ gl(V ) uma
subálgebra. Suponha que todo X ∈ g é nilpotente. Então, existe v ∈ V, v 6= 0 tal que
Xv = 0 para todo X ∈ g.
2.1. Álgebras nilpotentes 61
Demonstração: É por indução sobre a dimensão de g. Se dim g = 1, seja X ∈
g, X 6= 0. Como X é nilpotente, existe k ≥ 1 tal que Xk = 0 e Xk−1 6= 0. Seja w ∈ V
tal que Xk−1w 6= 0 e tome v = Xk−1w. Então, v 6= 0 e Xv = 0, o que mostra o
resultado para álgebras de dimensão um.
Para mostrar o passo de indução, suponha que dim g > 1 e que o resultado vale
para toda álgebra com dimensão estritamente menor que dim g. Com essa hipótese, a
primeira coisa que se mostra é que existe um ideal h ⊂ g de codimensão um. De fato, g
admite subálgebras não-triviais, isto é, diferentes de 0 e g, pois subespaços de dimensão
um são subálgebras. Seja então uma subálgebra h não-trivial cuja dimensão é máxima
entre as dimensões das subálgebras não-triviais. Então, h é um ideal de codimensão
um de g. Para ver isso, considere o espaço vetorial g/h. Como ad(X) para X ∈ h deixa
h invariante, a representação adjunta de h em g induz uma representação ρ de h em
g/h. Pela proposição anterior, ad(X), X ∈ h, é nilpotente em gl(V ) e, portanto, sua
restrição a g também é nilpotente, o que implica que ρ é uma nil-representação. Então,
ρ(h) é uma álgebra que satisfaz as hipóteses do teorema e tem dimensão estritamente
menor que g. O teorema vale, portanto, para ρ(h) e dáı que existe w ∈ g/h, w 6= 0
tal que ρ(h)w = 0. Essa última afirmação significa que existe X0 ∈ g \ h tal que
[X0, h] ⊂ h, o que mostra que h é de codimensão um, pois o subespaço gerado por
X0 e h é uma subálgebra de dimensão estritamente maior que a dimensão de h e h foi
escolhido de dimensão máxima entre as subálgebras não-triviais. Além do mais, como
X0 /∈ h, [X0, h] ⊂ h e h é de codimensão um, h é na verdade um ideal de g.
Agora, aplicando a hipótese de indução para h como subálgebra de gl(V ), o subes-
paço
W = {v ∈ V : Xv = 0 para todo X ∈ h}
é não-nulo. Como os elementos de W se anulam pelos elementos de h, para concluir a
demonstração do teorema é suficiente mostrar que existe v ∈ W, v 6= 0 tal que X0v = 0
com X0 como acima. Para isso, observa-se que W é invariante por X0, já que se X ∈ h
e w ∈ W , então
XX0w = [X,X0]w +X0Xw
= 0,
pois X, [X,X0] ∈ h. Isso mostra que X0w ∈ W e que W é invariante por X0. No
entanto, X0 é nilpotente e, portanto, sua restrição a W também é nilpotente e dáı que
o argumento usado no caso em que dim g = 1 permite concluir a demonstração do
teorema. 2
A partir desse teorema, pode-se agora proceder por indução, através de quocientes
sucessivos, e construir uma base na qual todos os elementos de uma nil-representação
são triangulares superiores.
Teorema 2.3 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e g ⊂ gl(V ) uma subál-
gebra tal que todo X ∈ g é nilpotente. Então, existem subespaços
0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vn−1 ⊂ Vn = V
62 Caṕıtulo 2. Álgebras nilpotentes e solúveis
tais que XVi ⊂ Vi−1, i = 1, . . . , n. Esses subespaços podem ser definidos indutivamente
por
V0 = 0
Vi = {v ∈ V : Xv ∈ Vi−1 para todo X ∈ g}.
Em particular, estendendo sucessivamente bases dos subespaços Vi, chega-se uma base
β de V tal que a matriz de X em relação a β é triangular superior com zeros na
diagonal para todo X ∈ g.
Demonstração: Defina
V1 = {v ∈ V : Xv = 0 para todo X ∈ g}.
Pelo teorema anterior, V1 6= 0. Além do mais, V1 é claramente g-invariante. Portanto,
a representação canônica de g em V passa ao quociente definindo uma representação ρ
de g em V/V1. Como cada X ∈ g é nilpotente, ρ é uma nil-representação e o teorema
anterior se aplica a ρ. Existe, portanto, w ∈ V/V1, w 6= 0 tal que ρ(X)w = 0 para todo
X ∈ g. Isso significa que existe v ∈ V − V1 tal que Xv ∈ V1 para todo X ∈ g, o que
garante que o subespaço
V2 = {v ∈ V : Xv ∈ V1 para todo X ∈ g}
contém V1, e é distinto de V1. O mesmo argumento permite construir, sucessivamente,
Vi = {v ∈ V : Xv ∈ Vi−1 para todo X ∈ g}
que contém e é diferente de Vi−1. Como dimV < ∞, algum Vi = V , mostrando a
primeira parte do teorema. Quanto à segunda parte, tome a base
β = {v1, . . . , vi1 , vi1+1, . . . , vi2 , . . . , vin−1+1, . . . , vin}
com vij+1, . . . , vij+1
∈ Vj+1, j = 0, . . . , n − 1. Em relação a esta base, os elementos
de g se representam todos como matrizes triangulares superiores com zeros nos blocos
diagonais correspondentes às dimensões dos subespaços Vi. 2
O exemplo padrão de álgebras nilpotentes, que foi apresentado no primeiro caṕıtulo,
é o das álgebras das matrizes triangulares com zeros na diagonal. O teorema anterior
mostra que toda subálgebra de matrizes, cuja representação canônica é uma nil-repre-
sentação, está contida na álgebra das matrizes triangulares superiores e, como tal, é
nilpotente. Vale a pena destacar este fato.
Corolário 2.4 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e g ⊂ gl(V ) uma sub-
álgebra tal que todo X ∈ g é nilpotente. Então, g é nilpotente. Em particular, ρ(h) é
uma álgebra nilpotente se ρ é uma nil-representação da álgebra h em V .
Para a última afirmação deste corolário, h é uma álgebra arbitrária. Não pede-se
nem mesmo que h seja de dimensão finita. O que está envolvido é a imagem de ρ
2.1. Álgebras nilpotentes 63
não sendo necessária nenhuma informação sobre o seu núcleo (um exemplo trivial é o
caso em que ρ = 0). No entanto, no caso de uma representação adjunta nilpotente, é
posśıvel verificar (para álgebras de dimensão finita) que a álgebra é nilpotente e não
apenas sua imagem pela adjunta.
O corolário 2.4 mostra, de imediato, que uma álgebrah de dimensão finita é solúvel
se sua representação adjunta é nilpotente, pois, nesse caso, ker (ad) é o centro da álgebra
que é abeliano e, portanto, solúvel, o mesmo ocorrendo com im (ad) ≈ h/ ker (ad) por
ser nilpotente. Para mostrar que nessa situação h é nilpotente, convém introduzir a
série central ascendente de uma álgebra de Lie g, que é definida indutivamente como
g0 = 0
gi = {X ∈ g : [Y,X] ∈ gi−1 para todo Y ∈ g}.
Os termos dessa série são ideais de g, pois, como segue da definição, [g, gi] ⊂ gi−1 ⊂
gi para todo i. Em geral, pode ocorrer que, a partir de algum termo, a série central
ascendente se estabilize num ideal próprio de g. Isso não ocorre se a representação
adjunta de uma álgebra de dimensão finita é nilpotente. De fato, a seqüência de
subespaços Vi do teorema anterior coincide, no caso de uma representação adjunta,
com a série central ascendente. Dessa forma, se a representação adjunta é nilpotente,
a série central ascendente termina em g. Isso mostra o corolário
Corolário 2.5 Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita e suponha que ad é uma
nil-representação. Então, a série central ascendente satisfaz
0 = g0 ⊂ g1 ⊂ · · · ⊂ gn = g
para algum n.
Agora é quase que imediato provar o teorema de Engel.
Teorema 2.6 Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita e suponha que, para todo
X ∈ g, ad(X) é nilpotente. Então, g é nilpotente.
Demonstração: Pelo corolário anterior, a série central ascendente termina em gn =
g. Dessa forma, procedendo por indução e usando o fato de que [g, gi] ⊂ gi−1, mostra-se
que a série central descendente está contida na ascendente
gi ⊂ gn−i+1.
Dáı que gn+1 = 0 e, portanto, g é nilpotente. 2
Para fazer uma idéia concreta deste último teorema, é conveniente pensar em seu
significado em termos de colchetes sucessivos na álgebra. Por um lado, uma álgebra é
nilpotente se todos os produtos que envolvem uma certa quantidade de elementos se
anulam. No entanto, para que a representação adjunta de uma álgebra seja nilpotente,
pede-se algo aparentemente muito mais fraco, uma vez que se requer apenas que certos
produtos que envolvem dois elementos, um deles aparecendo uma única vez, se anulem;
o número de elementos nesses produtos não é, nem mesmo, fixado a priori para todos
os pares de elementos. O anulamento desses produtos, porém, é suficiente para se
mostrar que a álgebra é nilpotente.
64 Caṕıtulo 2. Álgebras nilpotentes e solúveis
2.1.2 Decomposições de Jordan de representações
A informação dada pelo teorema 2.3 sobre as nil-representações pode ser utilizada para
esclarecer as representações das álgebras nilpotentes. Em geral, uma representação de
uma álgebra nilpotente não tem por que ser nilpotente, como mostram os seguintes
exemplos.
Exemplos:
1. Seja g a álgebra das matrizes diagonais n× n, que é abeliana e, portanto, nilpo-
tente. A representação canônica de g, dada pela inclusão, não é uma nil-repre-
sentação pois uma matriz diagonal não é nilpotente, a menos que ela se anule.
2. Seja g a álgebra das matrizes triangulares superiores com diagonal não-nula, mas
com os elementos diagonais iguais:
g = {
 λ ∗
. . .
λ
}.
A representação canônica de g não é nilpotente, pois as matrizes que são múltiplas
da identidade pertencem a g e não são nilpotentes. Como será visto, toda repre-
sentação de uma álgebra nilpotente é uma soma direta de representações como
esta. 2
A diferença de uma representação arbitrária para uma nil-representação de uma
álgebra nilpotente está em que, em geral, podem aparecer autovalores não-nulos, desde
que com um certo padrão de repetição, como no caso do segundo exemplo acima. Esse
padrão de repetição é dado pelas decomposições de Jordan dos elementos da álgebra
que, como vai ser visto a seguir, são compat́ıveis entre si, isto é, se realizam de maneira
simultânea.
Para analisar essas decomposições, seja V um espaço vetorial de dimensão finita e
A : V → V uma transformação linear. O teorema da decomposição primária decompõe
V em subespaços A-invariantes
V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs
que são os auto-espaços generalizados
Vi = {v ∈ V : pi(A)kv = 0 para algum k ≥ 1}
onde os polinômios irredut́ıveis pi, i = 1, . . . , s, são as componentes primárias do
polinômio minimal p = pmi
1 . . . pms
s de A. No caso em que o corpo de escalares é
algebricamente fechado, pi(A) = A − λi com λi autovalor de A e os subespaços da
decomposição primária se escrevem como
Vi = {v ∈ V : (A− λi)
kv = 0 para algum k ≥ 1}.
2.1. Álgebras nilpotentes 65
Para enfatizar a relação desses subespaços com os autovalores de A, eles serão
denotados por Vλi
.
Quando se olha representações de álgebras de Lie, é interessante verificar a maneira
como age uma outra transformação linear B nos espaços da decomposição primária
de A. Para isso, as seguintes fórmulas de comutação em álgebras associativas, que se
aplicam em particular à álgebra das transformações lineares de um espaço vetorial, são
essenciais.
Proposição 2.7 Seja A uma álgebra associativa e tome x, y ∈ A.
1. Denotando ade(x)y = xy− yx, tem-se, para todo n ≥ 1, a fórmula de comutação
à esquerda
xny =
n∑
p=0
(
n
p
)
(ade(x)
n−py)xp.
2. A fórmula de comutação à direita é dada por
yxn =
n∑
p=0
(
n
p
)
xp(add(x)
n−py)
onde add(x)y = yx− xy é a adjunta à direita.
Demonstração: Por indução. Para n = 1,
xy = yx+ [x, y]
que é a igualdade do enunciado. Para n+ 1,
xn+1y = x(xny)
=
n∑
p=0
(
n
p
)
(ade(x)
n−p+1y)xp +
n∑
p=0
(
n
p
)
(ade(x)
n−py)xp+1
pela hipótese de indução aplicada aos ńıveis n e 1. Substituindo-se p por p + 1 na
segunda soma dessa igualdade, tem-se
xn+1y =
n∑
p=0
(
n
p
)
(ade(x)
n−p+1y)xp +
n+1∑
p=1
(
n
p− 1
)
(ade(x)
n+1−py)xp
= ade(x)
n+1y + yxn+1 +
n∑
p=1
((
n
p
)
+
(
n
p− 1
))
(ade(x)
n+1−py)xp,
que é a fórmula de comutação à esquerda. A fórmula de comutação à direita segue com
o mesmo tipo de indução. 2
A partir dessas fórmulas de comutação, é posśıvel mostrar que os espaços das de-
composições primárias dos elementos de uma álgebra nilpotente são invariantes pela
álgebra.
66 Caṕıtulo 2. Álgebras nilpotentes e solúveis
Proposição 2.8 Suponha que o corpo de escalares é algebricamente fechado. Sejam
A e B transformações lineares de V e Vλi
, como acima, os auto-espaços generalizados
de A. Então, BVλi
⊂ Vλi
para todo i se e só se ad(A)qB = 0 para algum q ≥ 1.
Demonstração: Dado i, seja Ai = A − λi (= A − λi1). Como λi é múltiplo da
identidade, tem-se que ad(A)qB = 0 se e só se ad(Ai)
qB = 0.
Suponha que ad(Ai)
qB = 0 e tome v ∈ Vλi
. Pela forma como esse espaço é descrito,
existe um expoente k, tal que Ak
i v = 0. Fixando os expoentes q e k, tome n > q + k.
Então, para 0 ≤ p ≤ n, tem-se que ou n − p > q ou p > k e, portanto, na fórmula
de comutação para An
i B, todos os termos aplicados a v se anulam. Isso mostra que
An
i Bv = 0 e, portanto, que Bv ∈ Vλi
e dáı que Vλi
é B-invariante.
Reciprocamente, como a restrição de Ai a Vλi
é nilpotente, tem-se pela proposição
2.1 que ad(Ai)
qiBi = 0, para algum qi, onde Bi é a restrição de B a Vλi
. O que mostra
que, para algum q, ad(A)qB = 0. 2
Voltando às representações, a proposição anterior permite decompor o espaço da
representação em auto-espaços generalizados, como acima, com o refinamento de que
eles são auto-espaços simultâneos para todos os elementos da álgebra. De fato, seja g
uma álgebra de Lie nilpotente e ρ uma representação de dimensão finita de g em V .
Como g é nilpotente, dados X, Y ∈ g, ad(X)q(Y ) = 0 para algum q ≥ 1. Aplicando ρ
a essa igualdade, tira-se que, para X,Y ∈ g,
ad(ρ(X))qρ(Y ) = 0
para algum q ≥ 1. Assumindo o corpo de escalares algebricamente fechado, a proposi-
ção acima se aplica então a todo par de elementos de g. Dessa forma, fixando X ∈ g,considere a decomposição primária de V dada por ρ(X)
V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs.
Cada Vi é invariante por ρ(Y ) para todo Y ∈ g e, portanto, esses subespaços são g-
invariantes e como tal, g se representa em cada um deles. Pode-se pensar então em
tomar a decomposição primária de Vi em relação às restrições de ρ(Y ), com Y ∈ g.
Agora, se para todo Y ∈ g, i = 1, . . . , s, a decomposição primária de ρ(Y ) em Vi se
constitui de um único elemento, então cada Vi é um auto-espaço generalizado das
correspondentes restrições de ρ(Y ) para todo Y ∈ g. Isso significa que dados Y ∈ g
e i = 1, . . . , s, existe um autovalor λi(Y ) para ρ(Y ) tal que Vi está contido no auto-
espaço generalizado associado a λi(Y ), isto é, (ρ(Y )− λi(Y ))kv = 0 para algum k ≥ 1
se v ∈ Vi.
Por outro lado, se algum Vi se decompõe por algum ρ(Y ), pode-se tomar uma
nova decomposição de V e repetir o argumento. Como as dimensões dos subespaços
diminuem, obtém-se, dessa forma, por indução, uma decomposição em subespaços g-
invariantes
V = W1 ⊕ · · · ⊕Wt
tal que para todo Y ∈ g e i = 1, . . . , t, existe λi(Y ) autovalor de ρ(Y ) com (ρ(Y ) −
λi(Y ))kv = 0 para algum k ≥ 1 se v ∈ Wi.
2.1. Álgebras nilpotentes 67
A partir dessa discussão, obtém-se a decomposição em relação à representação de
uma álgebra nilpotente.
Teorema 2.9 Suponha que o corpo de escalares é algebricamente fechado e tome uma
representação de g em V, com dimV < ∞ e g nilpotente. Então, existem funcionais
lineares λ1, . . . , λs tal que se
Vλi
= {v ∈ V : ∀X ∈ g,∃n ≥ 1, (ρ(X)− λi(X))nv = 0},
então Vλi
é g-invariante, i = 1, . . . , s e
V = Vλ1 ⊕ · · · ⊕ Vλs .
Demonstração: A discussão anterior garante a existência de subespaços g-invariantes
W1, . . . ,Ws e aplicações λi : g→ K tal que
V = W1 ⊕ · · · ⊕Ws
e Wi ⊂ Vλi
com Vλi
como no enunciado. Nessa decomposição, pode-se tomar λi 6= λj
se i 6= j, somando, se necessário, parcelas para as quais os λ coincidem. Assumindo
isso, é posśıvel mostrar que Wi = Vλi
.
Em primeiro lugar, tem-se que λi é linear. De fato, denote por ρi a restrição da
representação a Vλi
. Pela forma como Vλi
está definido, tem-se que ρi(X) − λi(X) é
nilpotente para todo X ∈ g. Portanto, tr(ρi(X) − λi (X)) = 0. A linearidade de λi
segue, então, da fórmula
λi(X) =
tr ρi(X)
dimVλi
.
Agora, os funcionais lineares λi − λj não são nulos e são em quantidade finita.
Por isso é posśıvel tomar X ∈ g tal que λi(X) 6= λj(X) para todo i 6= j. Para X
dessa forma, cada λi(X) é autovalor de ρ(X). Pode-se então considerar o auto-espaço
generalizado associado, ou seja Vλi(X). Como os autovalores são distintos, a soma
Vλ1(X) + · · ·+ Vλs(X)
é direta. Além do mais, essa soma coincide com V pois Wi ⊂ Vλi(X). Isso mostra que
Wi = Vλi(X), i = 1, . . . , s. Mas, como segue das definições, Vλi
⊂ Vλi(X), o que mostra
que Wi = Vλi
, concluindo a demonstração do teorema. 2
A representação de g dentro de Vλi
é, a menos de λi, uma nil-representação. Dessa
forma, ela pode ser descrita com mais detalhes com o aux́ılio do teorema 2.3. No
entanto, antes de fazer essa descrição, é conveniente introduzir uma terminologia que
aparece a todo momento, ligada aos autovalores λi da representação.
Definição 2.10 Seja g uma álgebra de Lie e ρ uma representação de g em V . Um
peso de ρ é um funcional linear λ : g→ K tal que o subespaço Vλ de V definido por
Vλ = {v ∈ V : ∀X ∈ g,∃n ≥ 1, (ρ(X)− λ(X))nv = 0}
satisfaz Vλ 6= 0. O subespaço Vλ é chamado de subespaço de pesos associado a λ. A
dimensão de Vλ é chamada de multiplicidade de λ.
68 Caṕıtulo 2. Álgebras nilpotentes e solúveis
Os pesos de uma representação são, portanto, os autovalores dos elementos da
álgebra. O teorema 2.9 garante que representações de dimensão finita das álgebras
nilpotentes admitem pesos no caso em que o corpo de escalares é algebricamente fe-
chado. Ligado a esse teorema, pode-se fazer os seguintes comentários sobre a noção
de peso. Em primeiro lugar, o fato de pedir que corpo seja algebricamente fechado é
natural (e, na verdade, de pouca importância para o desenvolvimento da teoria, pois
sempre é posśıvel estender a representação ao fecho algébrico), já que, em geral, a exis-
tência de autovalores não é garantida em corpos que não são algebricamente fechados.
Por outro lado, a nilpotência da álgebra aparece áı de maneira decisiva. A existên-
cia de pesos foi garantida, em última instância, pelo anulamento de alguns termos da
fórmula de comutação, isto é, por uma comutatividade telescópica dos elementos da
álgebra, o que ocorre em geral somente para álgebras nilpotentes. Isso justifica que
se tenha introduzido a noção de peso de uma representação neste caṕıtulo de álgebras
nilpotentes e não, por exemplo, no primeiro caṕıtulo de conceitos gerais, onde a idéia
de peso ficaria vaga. No que segue, aparecerão pesos de representações de álgebras
solúveis e esses desempenharão um papel central na descrição dessas representações.
Já para descrever a estrutura e as representações das álgebras semi-simples, será uti-
lizada a representação de uma subálgebra nilpotente da álgebra dada (subálgebra de
Cartan, que na realidade é uma álgebra abeliana). Os exemplos a seguir servem para
complementar essa discussão sobre a noção de peso de uma representação.
Exemplos:
1. Tomando a álgebra g das matrizes diagonais em relação à base {e1, . . . , en} os
funcionais λi, i = 1, . . . , n definidos por
λi(diag{a1, . . . , an}) = ai
são pesos da representação canônica de g. Neste caso, Vλi
, i = 1, . . . , n é o
subespaço gerado por ei. Estes são os únicos pesos desta representação.
2. Para a álgebra
g = {
 λ ∗
. . .
λ
},
o único peso da representação canônica é dado pelo funcional λ ∗
. . .
λ
 7−→ λ.
O subespaço de pesos associado, neste caso, é todo o espaço da representação.
3. Se ρ é uma nil-representação de dimensão finita, então 0 é o único peso de ρ e V0
coincide com o espaço da representação.
2.1. Álgebras nilpotentes 69
4. Considere sl(2,C) e sua representação canônica em C2. Os auto-espaços de(
1
−1
)
são os subespaços gerados pelos elementos da base canônica, enquanto os auto-
espaços de (
0 1
1 0
)
são os subespaços gerados por (1, 1) e (1,−1). Como esses subespaços têm in-
terseção nula dois a dois, essa representação não admite pesos. 2
Voltando à representação de g dentro de Vλi
como no teorema 2.9, se ρi denota a
restrição de ρ a Vλi
, ρi(X)−λi(X) é nilpotente para todo X ∈ g. Esse fato, juntamente
com o que foi mostrado para as nil-representações, permite esclarecer a forma de ρi tão
logo se conclua que ρi − λi é também uma representação. Isso de fato ocorre.
Proposição 2.11 Seja ρ uma representação de dimensão finita de g em V e suponha
que exista λ : g→ K tal que ρ(X)− λ(X) seja nilpotente para todo X ∈ g. Então, λ é
linear e ρ̃ =ρ− λ é uma representação.
Demonstração: Como na demonstração do teorema 2.9, tem-se que
λ(X) =
tr ρ(X)
dimV
o que mostra que λ é linear. Essa fórmula mostra também que λ[X,Y ] = 0 para todo
X, Y ∈ g, já que o traço de um comutador se anula. Por essa razão, ρ̃[X, Y ] = ρ[X, Y ].
Por outro lado,
[ρ̃(X), ρ̃(Y )] = [ρ(X)− λ(X), ρ(Y )− λ(Y )]
= [ρ(X), ρ(Y )],
pois os múltiplos da identidade comutam com todas as transformações lineares. Isso
mostra que ρ̃ é representação. 2
As diferenças ρ̃i = ρi − λi são, então, nil-representações e, portanto, existem bases
de Vλi
tal que ρ̃i(X) é triangular superior com zeros na diagonal. Como λi é múltiplo
da identidade, a restrição de ρi (X) a Vλi
é triangular superior com λi (X) na diagonal.
Assim, ρ admite uma decomposição que tem o mesmo estilo que a decomposição de
Jordan de uma transformação linear.
Teorema 2.12 Suponha que o corpo de escalares é algebricamente fechado e seja ρ
uma representaçãoda álgebra nilpotente g sobre o espaço de dimensão finita V . Então,
existe uma base de V tal que nessa base ρ se escreve como
ρ(X) =
 ρ1(X)
. . .
ρs(X)
 X ∈ g
70 Caṕıtulo 2. Álgebras nilpotentes e solúveis
com os blocos diagonais ρi(X) da forma
ρi(X) =
 λi(X) ∗
. . .
0 λi(X)
 X ∈ g,
onde λi é peso da representação.
Esse resultado é o melhor que se pode dizer sobre representações de álgebras nilpo-
tentes dentro do contexto geral colocado aqui. Observe que essa decomposição mostra
de imediato que, no caso algebricamente fechado, uma representação de uma álgebra
nilpotente é irredut́ıvel se e só se ela é de dimensão um.
Os blocos (de Jordan) triangulares superiores que aparecem no teorema acima são
para corpos algebricamente fechados. No caso geral, consegue-se também uma de-
composição em blocos, estendendo a representação ao fecho algébrico do corpo de
escalares. A questão é que, ao voltar ao corpo original, não aparecem, em geral, blocos
triangulares superiores. Um exemplo t́ıpico do procedimento de extensão e retorno ao
corpo de escalares é o caso de álgebras sobre R. Falando por alto, tomando uma repre-
sentação de uma álgebra real, essa representação pode ser complexificada e decomposta
como acima com os pesos λj assumindo valores em C. Escrevendo λj = aj + ibj com
i =
√
−1 e aj, bj funcionais lineares reais, o procedimento usual de descomplexificar
transformações lineares, permite decompor a representação real em blocos que são ou
triangulares superiores ou da forma
aj(X) −bj(X)
bj(X) aj(X)
∗
. . .
0
aj(X) −bj(X)
bj(X) aj(X)

dependendo se bj é ou não identicamente nulo.
2.2 Álgebras solúveis
Como no caso das álgebras nilpotentes, os elementos de uma álgebra solúvel também
podem ser colocados em forma triangular simultânea. Essa é a afirmação do teorema
de Lie, que será mostrado logo mais. A diferença aqui é que não se tem, como no
caso nilpotente, uma decomposição do tipo de Jordan, em blocos com as diagonais de
cada bloco múltiplas da identidade. O exemplo da álgebra das matrizes triangulares
superiores com diagonal arbitrária, que é solúvel, mas não nilpotente, mostra que não
se deve esperar uma decomposição desse tipo para álgebras solúveis em geral.
Como é usual para as álgebras solúveis, a demonstração do teorema de Lie utiliza
um processo de indução. Nesse caso, o passo de indução usa o fato de que numa
álgebra solúvel de dimensão finita existem ideais de codimensão um. A existência de
2.2. Álgebras solúveis 71
tais ideais vem do fato de que a álgebra derivada g′ é própria e, portanto, está contida
em subespaços de codimensão um, que são ideais por conterem g′.
Para construir uma base que triangularize os elementos de uma álgebra solúvel,
o primeiro passo consiste em garantir a existência de um autovetor comum para os
elementos da álgebra. Isso é feito no seguinte teorema.
Teorema 2.13 Sejam V 6= 0 um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo
algebricamente fechado e g ⊂ gl(V ) uma subálgebra solúvel. Então, existe v ∈ V, v 6= 0
e um funcional linear λ : g→ K tal que
Xv = λ(X)v para todo X ∈ g,
isto é, v é um autovetor comum a X ∈ g com autovalor λ(X).
Demonstração: A primeira observação que se faz é que se λ(X) é, como no enun-
ciado, autovalor de X ∈ g com mesmo autovetor v, então λ é linear como segue da
igualdade Xv = λ(X)v. É suficiente então verificar a existência de um autovetor
comum.
Para isso, será utilizada indução sobre a dimensão de g. Se dim g = 1, g é gerada
por X e a existência de um autovetor para X vem do fato do corpo ser algebricamente
fechado. Se dim g > 1, g admite um ideal h de codimensão 1. A hipótese de indução
aplicada a h garante então a existência de w ∈ V , w 6= 0, tal que
Xw = λ(X)w X ∈ h.
Como h é de codimensão um, existe X0 ∈ g tal que X0 e h geram g. Assim, o
teorema ficará provado tão logo se mostre a existência de um autovetor comum a X0
a aos elementos de h. Isso, por sua vez, é garantido pela existência de um subespaço
W 6= 0 que satisfaça
1. W é invariante por X0 e
2. todo v ∈ W , v 6= 0 é autovetor de todo Y ∈ h.
De fato, como W é invariante por X0 e o corpo é algebricamente fechado, X0 tem
um autovetor em W e, portanto, esse autovetor é comum a todos os elementos de g.
Um subespaço W que satisfaz as condições acima é o subespaço ćıclico de X0 gerado
por w, isto é,
W = ger{X i
0w : i ≥ 0}.
É claro que este subespaço é invariante por X0. Para ver que a restrição de Y ∈ h
a W é múltiplo da identidade, observe, em primeiro lugar, que para algum p ≥ 0,
β = {w,X0w, . . . , X
p
0w} é base de W. Dado Y ∈ h, seu valor nos elementos dessa base
é dado pela fórmula de comutação à direita como
Y Xk
0w =
k∑
j=0
(
k
j
)
Xj
0(add(X0)
k−jY )w 0 ≤ k ≤ p.
72 Caṕıtulo 2. Álgebras nilpotentes e solúveis
Como h é ideal e w é autovetor para os elementos de h, tem-se que
Y Xk
0w =
k∑
j=0
(
k
j
)
λ(add(X0)
k−jY )Xj
0w
=
k−1∑
j=0
(
(
k
j
)
λ(add(X0)
k−jY )(Xj
0w) + λ(Y )Xk
0w.
(2.1)
Essas igualdades mostram que W é invariante por h. Elas mostram também que,
em relação à base β, a restrição de Y a W é triangular superior, sendo que os elementos
diagonais são todos iguais a λ(Y ). Calculando então tr(Y|W ), chega-se a
λ(Y ) =
tr(Y|W )
dimW
.
Mas todo colchete de transformações lineares tem traço zero, assim
tr(add(X0)
k−jY|W ) = 0
se k − j ≥ 1. Juntando isso com a expressão para Y Xk
0w dada em (2.1), tem-se que
Y Xk
0w = λ(Y )Xk
0w Y ∈ h, k = 0, . . . , p.
Portanto, para todo Y ∈ h a restrição Y|W é múltipla da identidade e, assim, W sa-
tisfaz as condições requeridas. 2
A partir deste teorema, pode-se mostrar através de quocientes sucessivos, a exis-
tência de uma base que triangulariza simultaneamente os elementos de uma álgebra
solúvel. Esse é o conteúdo do teorema de Lie:
Teorema 2.14 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo al-
gebricamente fechado e g ⊂ gl(V ) uma álgebra solúvel. Então, existe uma base β =
{v1, . . . , vn} de V e funcionais lineares λ1, . . . , λn : g → K tal que, em relação a β,
X ∈ g se escreve como
X =
 λ1(X) ∗
. . .
λn(X)
 .
Demonstração: Seja v1 autovetor comum aos elementos de g com autovalor λ1(X).
Como foi visto, λ1 é um funcional linear. Seja V1 o subespaço gerado por v1. Então,
g deixa V1 invariante e, portanto, se representa em V/V1. Como g é solúvel, existe
w ∈ V/V1 que é autovetor comum para os elementos da representação de g com auto-
valor dado pelo funcional linear λ2. Tomando v2 como representante de w em V , tem-se
que Xv2 = λ2(X)v2 + u com u ∈ V1. Como w 6= 0 em V/V1, {v1, v2} é linearmente
2.3. Radicais nilpotentes 73
independente. Esse procedimento pode ser repetido sucessivamente até obter a base e
os pesos requeridos. 2
Este teorema vale quando o corpo é algebricamente fechado. Como no caso das
álgebras nilpotentes, para tratar as álgebras sobre corpos gerais, é necessário estender
ao fecho algébrico e “descomplexificar” a extensão. Novamente, um exemplo t́ıpico é
dado pelo caso real. Complexificando a representação e descomplexificando, se mostra
que é posśıvel triangularizá-la com blocos diagonais de ordem no máximo dois.
Por fim, tem-se a seguinte conseqüência do teorema anterior que é freqüentemente
útil quando se trabalha com álgebras solúveis.
Proposição 2.15 Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita. Então, g é solúvel
se e só se a álgebra derivada g′ é nilpotente.
Demonstração: Se g′ é nilpotente, ela é, em particular, solúvel. Como g/g′ é sempre
abeliana e, portanto, solúvel, segue-se que g é solúvel.
Reciprocamente, assumindo g solúvel, para mostrar que g′ é nilpotente, pode-se
supor, sem perda de generalidade, que os escalares estão num corpo algebricamente
fechado. De fato, a extensão algébrica do derivadoé o derivado da extensão algébrica
e uma álgebra é nilpotente se e só se suas extensões são nilpotentes.
Assumindo o corpo como sendo algebricamente fechado, a representação adjunta de
g se escreve, em alguma base, como matrizes triangulares superiores. Como o colchete
de matrizes triangulares superiores é triangular superior com zeros na diagonal, os
elementos de g′, na representação adjunta, se escrevem como matrizes triangulares su-
periores com diagonal nula. Eles são, portanto, nilpotentes. Conclui-se então que a
representação adjunta de g′ em g é nilpotente. Por restrição, tem-se então que a repre-
sentação adjunta de g′ é também nilpotente. O que mostra, juntamente com o teorema
de Engel, que g′ é nilpotente. 2
2.3 Radicais nilpotentes
Como foi visto, a soma de ideais solúveis de uma álgebra é também um ideal solúvel.
Esse fato técnico, e aliás elementar, é o que garante a existência de ideais que absorvem
todos os ideais solúveis de uma álgebra, isto é, dos radicais solúveis. Para os ideais
nilpotentes, tem-se
Proposição 2.16 Sejam g uma álgebra de Lie de dimensão finita e h1, h2 ideais nilpo-
tentes de g. Então, h1 + h2 é um ideal nilpotente e sua representação adjunta em g é
uma nil-representação.
Demonstração: Pode-se assumir, sem perda de generalidade, que o corpo de escala-
res é algebricamente fechado. Assumindo isso, a primeira observação a ser feita é que
as representações de h1 e h2 em g são nilpotentes, pois, se por exemplo, X ∈ h1, então
74 Caṕıtulo 2. Álgebras nilpotentes e solúveis
ad(X)g ⊂ h1 e dáı que ad (X) é nilpotente em g. Agora, h1 + h2 é um ideal solúvel de
g. Para ver que ele é nilpotente, considere sua representação adjunta em g e aplique
o teorema de Lie. Existe uma base de g tal que, para todo X ∈ h1 + h2, adg(X) se
escreve nessa base como  λ1(X) ∗
. . .
λk(X)

com λi os pesos da representação. Como para X ∈ h1 ∪ h2, adg(X) é nilpotente,
λi(X) = 0, i = 1, . . . , k, de onde se conclui, pelo fato de os pesos de uma representação
serem lineares, que adg(X) é nilpotente para todo X ∈ h1 + h2, isto é, a representação
adjunta de h1 + h2 em g é nilpotente, o que pelo teorema de Engel implica que h1 + h2
é nilpotente. 2
A partir dessa proposição, mostra-se, com o mesmo argumento utilizado no caso dos
radicais solúveis, que numa álgebra de Lie de dimensão finita existe um ideal nilpotente
que engloba todos os ideais nilpotentes. Tem-se
Proposição 2.17 Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita. Então, existe um
ideal de g, denotado por rn(g) e denominado de radical nilpotente ou nil-radical de g,
que contém todo ideal nilpotente de g.
Por ser nilpotente, o nil-radical de uma álgebra é um ideal nilpotente do radical
solúvel. Dessa forma, o nil-radical se anula se isso ocorre com o radical, isto é, se a
álgebra é semi-simples. Ao longo do texto, o termo radical será empregado para indicar,
de preferência, o radical solúvel, enquanto que será mencionado explicitamente o radical
nilpotente quando for o caso.
Como foi mostrado na proposição 2.15, a álgebra derivada de uma álgebra solúvel
g é nilpotente e, portanto, está contida no nil-radical. Em particular, as imagens das
derivações internas de g estão contidas em rn(g). Este fato se estende a derivações em
geral.
Proposição 2.18 Seja g uma álgebra solúvel e D uma derivação de g. Então, imD ⊂
rn(g). Em particular, rn (g) é invariante por D.
Demonstração: Seja K o corpo de escalares visto como uma álgebra abeliana de
dimensão um. Então, K se representa em g por t 7→ tD e essa representação define o
produto semidireto h = K × g. Como K é uma álgebra abeliana, h′ ⊂ 0 × g ≈ g. De
forma expĺıcita,
h′ = g′ + imD
como segue diretamente a partir do colchete
[(s,X), (t, Y )] = (0, sDY − tDX + [X, Y ])
em h. Isso mostra que h também é solúvel e, portanto, que h′ é um ideal nilpotente
de h e, em particular, de g. Dáı que h′ ⊂ rn(g), de onde se conclui que imD ⊂ rn(g). 2
2.4. Exerćıcios 75
Corolário 2.19 Seja g uma álgebra de Lie com radical solúvel r. Então,
[g, r] ⊂ rn(r).
Em particular, se g é solúvel, então g′ ⊂ rn (g).
Demonstração: De fato, [g, r] é gerado pelas imagens das restrições a r de ad(X),
X ∈ g. Como essas transformações lineares são derivações de r, pela proposição ante-
rior suas imagens estão contidas no radical nilpotente de r. 2
Notas
Os teoremas de Engel e Lie fazem parte dos primórdios da teoria. O teorema de Engel
pode ser estendido a subespaços de transformações lineares que não são álgebras de Lie
mas que são fechados por “produtos” mais gerais que o comutador (para isso e para uma
demonstração alternativa do teorema de Engel veja Jacobson [28]). O teorema 2.12 que
decompõe uma representação de uma álgebra nilpotente como a decomposição de Jordan de
uma transformação linear é creditado a Zassenhaus (veja [28]).
2.4 Exerćıcios
1. Mostre a seguinte rećıproca da proposição 2.1: se ad (A) ∈ gl (gl (V )) é nilpotente
e trA = 0 então A é nilpotente.
2. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e A uma transformação linear de
V . Suponha que trAm = 0 para todo m ≥ 1 e mostre que A é nilpotente. (Use o
teorema de Cayley-Hamilton para mostrar que detA = 0 e aplique indução sobre
a dimensão de V para concluir que 0 é o único autovalor de A; aqui o corpo de
escalares deve ser de caracteŕıstica zero ou maior que a dimensão do espaço).
3. Dê exemplo de uma álgebra nilpotente cuja série central ascendente seja diferente
da série central descendente.
4. Para uma álgebra de Lie nilpotente g, mostre que existe uma seqüência de ideais
g = i0 ⊃ i1 ⊃ · · · ⊃ ik = 0
tal que ii+1 tem codimensão um em ii. Dê exemplo de uma álgebra solúvel sobre
R para a qual não existe uma seqüência dessas.
5. Seja i ⊂ g um ideal da álgebra nilpotente g. Mostre que i tem uma interseção
não-nula com o centro de g.
76 Caṕıtulo 2. Álgebras nilpotentes e solúveis
6. O normalizador de uma subálgebra h ⊂ g é definido como
n (h) = {X ∈ g : ad (X) h ⊂ h}.
Mostre que n (h) é uma subálgebra. Mostre também que se h é uma subálgebra
nilpotente, então ela é maximal nilpotente (isto é, não está contida propriamente
em nenhuma subálgebra nilpotente) se n (h) = h.
7. Mostre que se uma representação de uma álgebra de Lie nilpotente, sobre um
corpo algebricamente fechado, é irredut́ıvel, então ela é de dimensão zero ou um.
Dê um exemplo de uma representação irredut́ıvel de dimensão dois de uma álgebra
nilpotente. Mostre que as representações irredut́ıveis das álgebras nilpotentes
sobre R são de dimensão no máximo dois.
8. Seja ρ uma representação de dimensão finita de uma álgebra nilpotente g sobre um
corpo algebricamente fechado. Suponha que nenhum dos pesos da representação
se anula. Então, existe X ∈ g tal que ρ (X) é inverśıvel.
9. Seja ρ uma representação de dimensão finita de uma álgebra nilpotente (sobre
um corpo algebricamente fechado). Mostre que os pesos da representação dual
ρ∗ são os negativos dos pesos de ρ. Encontre os pesos de ad (ρ (·)) em função dos
pesos de ρ.
10. Seja ρ uma representação em V , de dimensão finita, de uma álgebra nilpotente
sobre um corpo algebricamente fechado. Suponha que W ⊂ V seja um subespaço
invariante e mostre que
W = (W ∩ V1)⊕ · · · ⊕ (W ∩ Vs) ,
onde V1, . . . , Vs são os diferentes espaços de pesos.
11. Seja g uma álgebra de Lie, que não é nilpotente, sobre um corpo algebricamente
fechado. Mostre que existe uma subálgebra não-abeliana de dimensão dois h ⊂ g.
12. Suponha que uma representação ρ 6= 0 de dimensão finita de uma álgebra nilpo-
tente g satisfaça det (ρ (X)) = 0 para todo X ∈ g e mostre que existe v no espaço
da representação tal que ρ (X) v = 0 para todo X ∈ g.
13. Seja ρ : g → gl (V ) uma representação de dimensão finita da álgebra nilpotente
g. Suponha que o corpode escalares é algebricamente fechado e encontre os pesos
da representação de dimensão um ρ′ = tr ρ em termos dos pesos de ρ.
14. Mostre que as subálgebras de dimensão dois de sl(2,R) não são abelianas e,
portanto, são isomorfas entre si. Mostre também que os isomorfismos entre elas
são da forma X 7→ PXP−1 com P uma matriz inverśıvel.
15. Uma álgebra de Lie g é dita quase-abeliana se ela admite um ideal abeliano de
codimensão um tal que para todo X ∈ g, ad (X)|h é um múltiplo da identidade.
Mostre as seguintes equivalências para uma álgebra de Lie de dimensão finita:
2.4. Exerćıcios 77
(a) g é quase-abeliana.
(b) Todo hiperplano de g é uma subálgebra
(c) Todo subespaço vetorial de g é uma subálgebra.
16. Mostre que as álgebras de Lie quase-abelianas podem ser realizadas como álgebras
de matrizes do tipo (
a1 x
0 0
)
onde 1 representa a matriz identidade n× n e x é uma matriz n× 1.
17. Mostre que o radical nilpotente de g1 × g2 é o produto dos radicais nilpotentes
de g1 e g2.
18. Dê exemplo de uma álgebra de Lie solúvel, não nilpotente, cujo radical nilpotente
seja diferente da álgebra derivada.
19. Se uma álgebra de Lie g é tal que ρ (g) é uma álgebra abeliana, para toda repre-
sentação ρ irredut́ıvel de dimensão finita, então g é abeliana.
20. Encontre uma álgebra de Lie g, um ideal h ⊂ g e uma derivação D de g tal que
h não seja invariante por D.
Caṕıtulo 3
Critérios de Cartan
A forma de Cartan-Killing de uma álgebra de Lie g de dimensão finita é a forma bi-
linear definida tr (ad (X) ad (Y )). Os critérios de Cartan são condições necessárias e
suficientes, em termos dessa forma bilinear, para que g seja semi-simples ou solúvel:
1) g é semi-simples se e só se sua forma de Cartan-Killing é não-degenerada e 2) g é
solúvel se e só se tr (ad (X) ad (Y )) = 0 para todo X ∈ g e Y ∈ g′. O objetivo deste
caṕıtulo é discutir os critérios de Cartan e resultados semelhantes envolvendo formas
bilineares em que a representação adjunta é substitúıda por uma representação qual-
quer. Como a forma de Cartan-Killing de uma álgebra semi-simples não é degenerada,
ela é uma ferramenta poderosa no estudo dessas álgebras de Lie. Ao final do caṕıtulo
são apresentadas algumas aplicações dos critérios de Cartan às álgebras semi-simples,
que serão utilizados posteriormente na teoria de classificação.
3.1 Derivações e suas decomposições de Jordan
A decomposição de Jordan de uma derivação de uma álgebra de Lie (ou de uma álgebra
qualquer) tem um bom comportamento em relação ao produto da álgebra. Essa decom-
posição será analisada a seguir. Os resultados obtidos serão utilizados posteriormente
na demonstração dos critérios de Cartan e na análise da estrutura da álgebra.
Proposição 3.1 Seja D : g→ g uma derivação da álgebra de Lie de dimensão finita
sobre um corpo algebricamente fechado. Tome a decomposição primária
g = gλ1 ⊕ · · · ⊕ gλm
onde
gλi
= {X ∈ g : (D − λi)
nX = 0 para algum n ≥ 1}
é o auto-espaço generalizado associado ao autovalor λi. Então,
[gλi
, gλj
] ⊂ gλi+λj
.
(gλi+λj
= 0 se λi + λj não é autovalor de D).
79
80 Caṕıtulo 3. Critérios de Cartan
Demonstração: Cada gλi
se decompõe em componentes de Jordan, isto é, existem
conjuntos l.i. {X1, . . . , Xr} tais que
DXj = λiXj +Xj−1 j = 1, . . . , r (X0 = 0),
e existe uma base de gλi
formada por tais conjuntos.
Para mostrar a proposição é então suficiente mostrar que se
{X1, . . . , Xr} ⊂ gλi
e {Y1, . . . , Ys} ⊂ gλj
são conjuntos l.i. como acima, então
[Xk, Yl] ⊂ gλi+λj
k = 1, . . . , r; l = 1, . . . , s.
A demonstração disso é feita por indução dupla sobre k + l. O passo de indução
consiste, essencialmente, da seguinte igualdade
D[Xk, Yl] = [DXk, Yl] + [Xk, DYl]
= [λiXk +Xk−1, Yl] + [Xk, λjYl + Yl−1]
= (λi + λj)[Xk, Yl] + [Xk−1, Yl] + [Xk, Yl−1]
de onde se tira que
(D − (λi + λj))[Xk, Yl] = [Xk−1, Yl] + [Xk, Yl−1]. (3.1)
A indução se processa da seguinte forma: suponha que k = l = 1. Então, o segundo
membro da igualdade acima se anula, o que significa que [X1, Y1] ∈ ker(D− (λi + λj)),
isto é, [X1, Y1] ∈ gλi+λj
.
Por outro lado, dados k e l a hipótese de indução garante que o segundo membro
está no núcleo de (D − (λi + λj))
n para algum n. Portanto,
(D − (λi + λj))
n+1[Xk, Yl] = 0,
isto é, [Xk, Yl] ∈ gλi+λj
. 2
Exemplo: Uma situação que ilustra bem a proposição acima se apresenta na álgebra
sl (n,R) da seguinte forma: seja
H = diag{λ1, . . . , λn}
uma matriz diagonal em sl (n,R). A sua adjunta ad(H) é diagonalizável e seus auto-
valores são αij = λi − λj; i, j = 1, . . . , n. Suponha αij 6= αrs se i 6= j e (i, j) 6= (r, s).
Então, os auto-espaços de ad(H) são dados da seguinte forma:
• o subespaço h das matrizes diagonais é o auto-espaço associado ao autovalor zero.
Esse subespaço é evidentemente uma subálgebra de sl (n,R).
3.1. Derivações e suas decomposições de Jordan 81
• O subespaço gerado por Eij, i 6= j, que é a matriz cuja i, j-ésima entrada é 1 e
as demais entradas são todas nulas, é o auto-espaço associado ao autovalor αij.
O colchete entre duas dessas matrizes é dado por
[Eij, Ers] = δjrEis − δsiErj
(onde δij = 1 se i = j e 0 caso contrário). Assim, por exemplo, o colchete entre os
elementos do auto-espaço associado a αij = λi−λj e os elementos do auto-espaço
associado a αjs = λj − λs estão contidos no auto-espaço associado ao autovalor
αis = (λi − λj) + (λj − λs) = λi − λs,
que é o subespaço gerado por Eis. 2
A partir dessa informação sobre os produtos dos auto-espaços de uma derivação,
pode-se provar que suas componentes semi-simples e nilpotente também são derivações.
Teorema 3.2 Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita e D uma derivação de g.
Escreva D = S +N , de maneira única, com S semi-simples, N nilpotente e
[D,S] = [D,N ] = [S,N ] = 0.
Então, S e N também são derivações.
Demonstração: Pode-se assumir, sem perda de generalidade, que o corpo de esca-
lares é algebricamente fechado. Isso porque uma transformação linear de uma álgebra
é uma derivação se e só se sua extensão ao fecho algébrico é uma derivação da álgebra
estendida. Além do mais, as componentes semi-simples e nilpotente de uma extensão
são as respectivas extensões.
É posśıvel, portanto, aplicar a proposição anterior. Para mostrar que S é uma
derivação, é suficiente mostrar que S[X, Y ] = [SX, Y ]+[X,SY ] para X,Y elementos de
uma base. Como g se decompõe nos auto-espaços generalizados de D, é suficiente então
mostrar a propriedade de derivação para X ∈ gλi
e Y ∈ gλj
com λi, λj autovalores.
Tem-se,
[X, Y ] ∈ gλi+λj
pela proposição anterior. Os auto-espaços generalizados de D são auto-espaços de S.
Assim,
S[X, Y ] = (λi + λj)[X, Y ]
sendo que [X, Y ] = 0 se λi + λj não é autovalor. Por outro lado,
[SX, Y ] + [X,SY ] = λi[X, Y ] + λj[X,Y ]
= (λi + λj)[X, Y ],
o que mostra que S é derivação. Como N = D − S e D é derivação, o mesmo ocorre
com N . 2
82 Caṕıtulo 3. Critérios de Cartan
Este teorema pode ser encarado como um resultado que afirma que certas trans-
formações, associadas de alguma forma a derivações, são também derivações. Esse tipo
de informação é útil em diversas situações. A seguir, será apresentado outro resultado
nessa direção. Antes disso, porém, é necessário introduzir a seguinte terminologia.
Seja λ = (λ1, . . . , λk) uma seqüência finita de elementos de um corpo. Uma terna
ordenada (i1, i2, i3) de elementos de {1, . . . , k} é dita λ-fechada (ou simplesmente
fechada), se λi1 + λi2 = λi3 . (Por exemplo, as ternas fechadas para λ = (1, 1, 2)
são (1, 2, 3) e (2, 1, 3), já para λ = (λ1, λ2, λ3) com λ1 = λ3 e λ2 = 0 as ternas
fechadas são todas as que terminam em 1 ou 3 e contêm 2). Diz-se que uma seqüência
µ = (µ1, . . . , µk) imita λ se as ternas fechadas para λ são também µ-fechadas, isto
é, µi1 +µi2 = µi3 se λi1 + λi2 = λi3 . (Por exemplo, se µ1 = µ3 e µ2 = 0, então
µ = (µ1, µ2, µ3) imita λ = (1, 2, 3)).
As seqüências que imitam os autovalores de uma derivação diagonalizável permitem
construir novas derivações:
Proposição 3.3 Seja S uma derivação de uma álgebra de Lie g de dimensão finita e
suponha que S é diagonalizável, isto é, SXi = λiXi, i = 1, . . . , k, para λ = (λ1, . . . , λk)
os autovalores e {X1, . . . , Xk} uma base de autovetores de g.
Seja µ = (µ1, . . . , µk) uma seqüência que imita λ e defina a transformação linear
Tµ : g→ g, por TµXi = µiXi, i = 1, . . . , k.
Então, Tµ também é derivação.
Demonstração: É suficiente mostrar que
Tµ[Xi, Xj] = [TµXi, Xj] + [Xi, TµXj] (3.2)
para i, j = 1, . . . , k. No caso em que λi + λj não é autovalor, [Xi, Xj] = 0 e essa
igualdade é satisfeita trivialmente pois
[TµXi, Xj] + [Xi, TµXj] = (µi + µj)[Xi, Xj].
Já se λi+λj é autovalor então λi+λj = λl para algum l e a terna (i, j, l) é λ-fechada.
Como µ imita λ, tem-se que µi + µj = µl e o segundo membro da igualdade (3.2) co-
incide com µl[Xi, Xj]. Por outro lado, pela proposição 3.1, S[Xi, Xj] = λl[Xi, Xj]. No
entanto, os autovetores de S associados ao autovalor λl são autovetores de Tµ, associ-
ados a µl o que mostra que Tµ[Xi, Xj] = µl[Xi, Xj] concluindo a demonstração. 2
Esta proposição sobre derivações diagonalizáveis, permite mostrar o seguinte teo-
rema que, entre outras coisas, será utilizado a seguir para mostrar os critérios de
Cartan.
Teorema 3.4 Sejam g uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre um corpo algebri-
camente fechado e D uma derivação de g. Suponha que para toda derivação M de g
se tenha
tr(DM) = 0.
Então, D é nilpotente.
3.2. Critérios de Cartan 83
Demonstração: Seja D = S+N a decomposição de D em componentes semi-simples
(S) e nilpotente (N) que comutam entre si. Pretende-se mostrar que S = 0. Como
foi visto acima, S é uma derivação e com a hipótese de que o corpo é algebricamente
fechado, S = diag{λ1, . . . , λk} em alguma base de g. Evidentemente, mostrar que S = 0
é equivalente a mostrar que λi = 0 para i = 1, . . . , k. Isso será feito construindo-se
uma quantidade suficiente de seqüências que imitam λ = (λ1, . . . , λk).
Como o corpo de escalares K é de caracteŕıstica zero, ele contém os racionais Q e
é um espaço vetorial sobre Q. Seja V ⊂ K o subespaço vetorial sobre Q gerado pelos
autovalores λ1, . . . , λk. É claro que V é de dimensão finita.
Seja ψ : V → Q um funcional linear em V , e defina
µi = ψ(λi) µ = (µ1, . . . , µk).
A seqüência µ imita λ pois se λi1 + λi2 = λi3 então µi1 + µi2 = ψ(λi1 + λi2) = µi3 .
Para essa seqüência µ, seja Tµ como na proposição anterior. Então, Tµ é derivação e,
por hipótese,
0 = tr(DTµ) =
k∑
i=1
λiψ(λi).
Esta última expressão é uma combinação linear sobre Q de λ1, . . . , λk. Aplicando ψ a
esta combinação linear, obtém-se
0 =
k∑
i=0
ψ(λi)
2
e, como esta é uma soma de racionais positivos, conclui-se que ψ(λi) = 0 para todo i.
Como ψ é um funcional linear arbitrário e V é de dimensão finita, tem-se que λi = 0
para todo i, o que mostra o teorema. 2
Por fim duas observações sobre as hipóteses utilizadas nesta seção: i) O teorema
3.4 vale sem a hipótese de que o corpo é algebricamente fechado (veja o exerćıcio 4,
ao final do caṕıtulo. ii) Os resultados acima não se restringem a álgebras de Lie. A
única propriedade exigida é a de derivação e esta pode ser considerada numa álgebra
qualquer.
3.2 Critérios de Cartan
Dada uma representação ρ de dimensão finita da álgebra de Lie g, define-se em g a
forma traço βρ que é a forma bilinear simétrica dada por
βρ(X, Y ) = tr(ρ(X)ρ(Y )).
Essa forma, juntamente com a forma quadrática βρ(X,X) associada, desempenhará um
papel central no desenvolvimento da teoria principalmente no caso das representações
adjuntas.
84 Caṕıtulo 3. Critérios de Cartan
Para as representações adjuntas a forma traço é denominada de forma de Cartan-
Killing da álgebra e será denotada de maneira mais simples por 〈·, ·〉 ou por 〈·, ·〉g
quando se quiser ressaltar a álgebra g. Antes de ver exemplos e propriedades dessas
formas, é interessante discutir a seguinte motivação para a introdução das mesmas.
Como foi visto nas álgebras nilpotentes e solúveis, a maneira de estudar suas repre-
sentações, e em particular as representações adjuntas, é através da forma canônica de
Jordan, decomposições primárias etc., de seus elementos. Por isso, é relevante consi-
derar os polinômios caracteŕısticos desses elementos. Agora, se A é uma matriz n× n,
seu polinômio caracteŕıstico é da forma
PA(λ) = λn + pn−1(A)λn−1 + pn−2(A)λn−2 + · · ·+ p0(A)
onde os coeficientes pi(A) são polinômios de grau n−i nas entradas de A. Por exemplo,
pn−1(A) = − trA que, por sua vez, é dado pela soma λ1 + · · ·+ λn dos autovalores de
A. Já pn−2 é a soma dos menores de ordem dois ao longo da diagonal, isto é,
pn−2(A) =
∑
i<j
λiλj.
A partir desta igualdade e usando a forma canônica de Jordan, pode-se ver que
2pn−2(A) = (trA)2 − tr(A2).
Em outras palavras, pn−2(ρ(X)) é obtido a partir de tr ρ(X) e βρ(X,X) se ρ é uma
representação. É áı que reside o interesse em βρ. Se, por exemplo, tr ρ(X) = 0, o que
ocorre se X ∈ g′ (e em particular para todo X se g é semi-simples já que nesse caso
g = g′ como será visto adiante), o polinômio de menor grau em ρ(X) que aparece entre
os coeficientes do seu polinômio caracteŕıstico é essencialmente βρ.
Exemplos:
1. Se ρ é uma representação nilpotente de g então βρ(X,X) = 0 para todo X ∈ g
pois o traço de uma transformação linear nilpotente se anula. Como βρ se obtém
da forma quadrática βρ(X,X) por polarização, se tem que βρ é identicamente
nula para essas representações. Em particular, a forma de Cartan-Killing de uma
álgebra nilpotente é identicamente nula.
2. Seja ρ uma representação de uma álgebra solúvel. Passando ao fecho algébrico
do corpo de escalares, o teorema de Lie garante que os elementos de g podem
ser escritos, de maneira simultânea, como matrizes triangulares superiores e, por-
tanto, os elementos de g′ são representados por matrizes triangulares superiores
com zeros na diagonal. Assim que, ρ(X)ρ(Y ) é nilpotente se X ∈ g′. Dessa
forma, no caso em que g é solúvel, βρ(X, Y ) = 0 para X ∈ g′ e em particular,
βρ é identicamente nula em g′. Um dos critérios de Cartan a que se refere o
t́ıtulo deste caṕıtulo é justamente uma rećıproca deste fato, isto é, g é solúvel se
βρ(X, ·) = 0 para X ∈ g′ e ρ a representação adjunta.
3.2. Critérios de Cartan 85
3. Um elemento X de sl(2), se escreve como
X =
(
a b
c −a
)
.
De onde se tira que trX2 = 2(a2 +bc). Essa é, portanto, a expressão de βρ(X,X)
se ρ é a representação canônica de sl(2). A partir dáı, tem-se que a matriz de βρ
em relação à base
X =
(
0 1
0 0
)
H =
(
1 0
0 −1
)
Y =
(
0 0
1 0
)
é  0 0 1
0 2 0
1 0 0

de onde se vê que βρ é não-degenerada, já que o determinante desta matriz é
não-nulo. Em relação à base {A,H, S} com
A =
(
0 −1
1 0
)
S =
(
0 1
1 0
)
a matriz de βρ é diagonal, sendo que −βρ(A,A) = 2 = βρ(S, S).
Já a forma de Cartan-Killing de sl(2) é dada por 8(a2 + bc), como pode ser visto
a partir da forma dessa representação dada no primeiro caṕıtulo. Essa forma é
um múltiplo de βρ e é, portanto, não-degenerada. Esse fato é um caso particular
de um dos critérios de Cartan que afirma que uma álgebra é semi-simples se e só
se sua forma de Cartan-Killing é não-degenerada.
4. Escrevendo X ∈ so(3) como
X =
 0 −a −c
a 0 −b
c b 0

tem-se que trX2 = −2(a2 + b2 + c2) e essa é a expressão de βρ se ρ é a repre-
sentação canônica dessa álgebra. Como esta representação coincide com a ad-
junta de so(3), essa é exatamente sua forma de Cartan-Killing. Se o corpo de
escalares é o corpo dos reais, a forma de Cartan-Killing é negativa definidae em
particular não-degenerada. O fato dela não ser degenerada está ligado ao fato
da álgebra ser simples. Já o fato dela ser negativa definida, admite uma inter-
pretação geométrica em termos de grupos de Lie: so(3,R) é a álgebra de Lie do
grupo de Lie compacto SO(3,R). Como acontece sempre com tais álgebras, sua
forma de Cartan-Killing é negativa definida. 2
Como o traço de duas transformações lineares conjugadas é o mesmo, a forma traço
é invariante por conjugações. Em termos da álgebra de Lie, essa invariância se traduz
nas seguintes afirmações.
86 Caṕıtulo 3. Critérios de Cartan
Proposição 3.5 1. As adjuntas dos elementos da álgebra são anti-simétricas em
relação a βρ, isto é,
βρ([X, Y ], Z) + βρ(Y, [X,Z]) = 0
para todo X, Y, Z ∈ g.
Já no caso espećıfico da forma de Cartan-Killing, tem-se
(a) 〈φX, φY 〉 = 〈X, Y 〉 se φ é um automorfismo de g.
(b) 〈DX, Y 〉+ 〈X,DY 〉 = 0 se D é uma derivação de g.
Demonstração: A igualdade em 1) é conseqüência imediata de que o traço de um
comutador se anula. Quanto às igualdades correspondentes à forma de Cartan-Killing,
a primeira é devido a que ad(φX) = φ ad(X)φ−1, se φ é um automorfismo. Já a
segunda segue do fato de que
ad(DX) = [D, ad(X)]
para uma derivação D qualquer. 2
A invariância da forma traço, enunciada nesta proposição, é uma das principais
propriedades dessas formas bilineares e por essa razão aparece freqüentemente ao longo
da teoria.
Outras propriedades da forma de Cartan-Killing são as seguintes:
1. A restrição da forma de Cartan-Killing a um ideal i de g coincide com a forma
de Cartan-Killing de i. De fato, dados X ∈ i e Y ∈ g, a imagem de ad(Y ) ad(X)
está contida em i. Dessa forma, tomando uma base de i e complementando-a a
uma base de g, vê-se que os elementos que estão fora de i não contribuem para o
tr(ad(Y ) ad(X)) e, portanto, 〈Y,X〉 coincide com tr(ad(Y ) ad(X)|i). Como essa
expressão é a forma de Cartan-Killing de i se Y ∈ i tem-se, em particular, que
essa forma coincide com a restrição i da forma de Cartan-Killing de g.
2. Se g é uma álgebra de Lie sobre K e K é uma extensão de K, pode-se considerar
a álgebra estendida gK. Como o traço de uma transformação linear permanece
o mesmo ao se fazer uma extensão do corpo de escalares, segue que a forma de
Cartan-Killing de gK quando restrita a g coincide com a forma de Cartan-Killing
de g.
O primeiro dos critérios de Cartan caracteriza as álgebras solúveis em termos de
suas formas de Cartan-Killing. Sua demonstração requer o seguinte lema.
Lema 3.6 Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita e suponha que sua forma de
Cartan-Killing seja identicamente nula. Então, g é solúvel.
3.2. Critérios de Cartan 87
Demonstração: Pode-se assumir, sem perda de generalidade, que o corpo de esca-
lares é algebricamente fechado, pois as propriedades de ser solúvel e de ter a forma de
Cartan-Killing identicamente nula são invariantes por extensão do corpo de escalares.
(Essa hipótese é feita para poder aplicar livremente o teorema 3.4.)
Para mostrar que g é solúvel, será mostrado que sua álgebra derivada g′ é nilpotente.
Para isso, tome Y, Z ∈ g e seja D uma derivação. Então,
tr([adY, adZ]D) = tr(adY adZD − adZ adY D)
= tr(adZD adY − adZ adY D)
= tr(adZ[D, adY ])
= tr(adZ ad(DY ))
= 〈Z,DY 〉
= 0.
A última igualdade vem da hipótese de que a forma de Cartan-Killing é identicamente
nula. Portanto, tr(ad[Y, Z]D) = 0. Mas a aplicação X 7→ tr(adXD) é linear. Dáı que
tr(adXD) = 0 para X ∈ g′ e qualquer derivação D. O teorema 3.4, garante então que
ad(X) é nilpotente, isto é, a representação adjunta de g′ é nilpotente. Pelo teorema de
Engel, segue que g′ é nilpotente, concluindo a demonstração do lema. 2
Teorema 3.7 Denotando por 〈·, ·〉 a forma de Cartan-Killing da álgebra de Lie g de
dimensão finita, tem-se que g é solúvel se e só se
g′ ⊂ g⊥
onde g⊥ = {X ∈ g : ∀Y ∈ g, 〈X, Y 〉 = 0}. Esta condição significa que para todo X ∈ g′
e Y ∈ g, 〈X, Y 〉 = 0.
Demonstração: A condição é necessária pelo teorema de Lie, como foi comentado
no exemplo 1. Por outro lado, a condição garante, em particular, que a forma de
Cartan-Killing é identicamente nula em g′. Como g′ é um ideal, os comentários acima
garantem então que a forma de Cartan-Killing de g′ é identicamente nula. Pelo lema
anterior, conclui-se que g′ é solúvel o que mostra, como se desejava, que g é solúvel. 2
A partir deste critério para as álgebra solúveis, pode-se mostrar o critério de Cartan
para as álgebras semi-simples. Este último será amplamente utilizado na classificação
dessas álgebras.
Teorema 3.8 A forma de Cartan-Killing de g não é degenerada se e só se g é semi-
simples.
Demonstração: Supondo, em primeiro lugar, que g não é semi-simples, então g
admite um ideal abeliano i não-trivial. Isso porque r(g) 6= 0 e portanto r(g)(k) é um
ideal abeliano não-nulo para algum k. Seja X ∈ i. Então, para todo Y ∈ g, a imagem
de ad(Y ) ad(X) está contida em i pois i é ideal. Por essa razão, o traço de ad(Y ) ad(X)
88 Caṕıtulo 3. Critérios de Cartan
coincide com o traço de sua restrição a i. Mas ad(Y ) ad(X)|i = 0 pois i é abeliano.
Conseqüentemente,
〈Y,X〉 = 0
para todo X ∈ i e Y ∈ g. Isso mostra que as álgebras que têm forma de Cartan-Killing
não-degeneradas são semi-simples.
Reciprocamente, assumindo que g é semi-simples, seja g⊥ o subespaço de g definido
por
g⊥ = {X ∈ g : 〈X, Y 〉 = 0 para todo Y ∈ g}.
Então, g⊥ é um ideal, pois
〈[Z,X], Y 〉 = −〈X, [Z, Y ]〉 = 0
se X ∈ g⊥ e Y , Z são arbitrários. Como a restrição de 〈·, ·〉 a g⊥ é identicamente
nula, e esta coincide com sua forma de Cartan-Killing, conclui-se, a partir do teorema
anterior, que g⊥ é solúvel. O fato de g ser semi-simples implica então que g⊥ = 0. Mas
dizer isso é o mesmo que dizer que a forma de Cartan-Killing de g é não-degenerada,
concluindo a demonstração do teorema. 2
Os critérios de Cartan mostram um outro aspecto de contraste entre as álgebras
solúveis e as semi-simples. Por um lado, a forma de Cartan-Killing de uma álgebra
solúvel é praticamente nula, fornecendo dessa forma pouca informação adicional sobre
a estrutura da álgebra (ou nenhuma, como no caso das álgebras nilpotentes nas quais o
fato de que a forma de Cartan-Killing se anula é uma conseqüência trivial do teorema
de Engel). Já com as álgebras semi-simples, ocorre o contrário. Como será visto em
caṕıtulos subeseqüentes, a forma de Cartan-Killing vai desempenhar um papel central
na compreensão da estrutura dessas álgebras. Isso se deve, é claro, ao fato dela não ser
degenerada, permitindo que se introduza nessas álgebras uma estrutura semelhante a
um produto interno que oferece mais recursos que aqueles dados apenas pela estrutura
linear (aliás, não é de graça que foi escolhida aqui a notação 〈·, ·〉 para representar a
forma de Cartan-Killing). Mas, a diferença mostrada pelos critérios de Cartan não
aparece apenas nessas questões de método. A existência de uma forma bilinear in-
variante e, principalmente, não-degenerada nas álgebras semi-simples limita, de uma
certa forma, a quantidade de classes de equivalências dessas álgebras, permitindo que
elas possam ser classificadas e distinguidas quase que uma a uma, o que não acontece
com as álgebras solúveis, que apresentam uma variedade muito grande de classes de
equivalência.
3.3 Aplicações às álgebras semi-simples
Como foi mencionado, o critério de Cartan para álgebras semi-simples permite provar
diversas propriedades sobre as mesmas. O objetivo desta seção é apresentar algumas
dessas propriedades. A primeira observação diz diz respeito à relação entre álgebras
semi-simples em diferentes corpos de escalares. Se g é uma álgebra de Lie sobre K
3.3. Aplicações às álgebras semi-simples 89
e K é uma extensão de K, então a forma de Cartan-Killing de gK quando restrita a
g coincide coma forma de Cartan-Killing de g. Agora, uma forma bilinear é ou não
degenerada se e só se o determinante de sua matriz em alguma base se anula ou não.
Como bases de g são também bases de gK, tem-se então que a forma de Cartan-Killing
de g é degenerada se e só se o mesmo ocorre com a forma de Cartan-Killing de gK.
Dessa forma, tem-se o seguinte fato.
Proposição 3.9 Com as notações acima, g é semi-simples se e só se gK é semi-
simples.
Esta proposição merece alguns comentários. Um deles está relacionado a sua
demonstração que foi feita através dos critérios de Cartan e não diretamente como
com os resultados correspondentes para as álgebras nilpotentes e solúveis. Quanto a
isso, pode-se mostrar diretamente que g é semi-simples se gK o for. De fato, se i é um
ideal de g, então pode ser verificado sem maiores problemas que sua extensão iK é um
ideal de gK. Como extensões de álgebras solúveis são também solúveis, isso mostra que
se g admite ideais solúveis o mesmo ocorre com gK mostrando que se gK é semi-simples
o mesmo acontece com g. A rećıproca a isso, no entanto, é mais delicada e exige que
se mostre que os ideais solúveis de gK interceptam g. Isso é mostrado indiretamente
através do critério de Cartan para álgebras semi-simples. Uma outra questão a ser
discutida diz respeito às extensões das álgebras simples. Da mesma forma, o fato de
que extensões de ideais são ideais mostra que g é simples se gK for simples. A rećıproca,
no entanto, não vale. Pode ser que g seja simples e gK não o seja ainda que seja semi-
simples como garante o segundo critério de Cartan através da proposição anterior (esta
questão é discutida com detalhes no caṕıtulo 12 para o caso em que K é o corpo dos
reais e K dos complexos).
A partir dos critérios de Cartan é posśıvel esclarecer completamente a estrutura
dos ideais de uma álgebra semi-simples: sejam g uma álgebra dessas e i ⊂ g é um ideal
não-trivial. Então, 〈·, ·〉i é a restrição a i da forma de Cartan-Killing 〈·, ·〉 de g e se i⊥
denota o ortogonal de i em relação a 〈·, ·〉 então i⊥ é um ideal complementar a i. De
fato, se X ∈ i⊥ e Y ∈ g então para todo Z ∈ i,
〈[Y,X], Z〉 = −〈X, [Y, Z]〉 = 0,
o que mostra que i⊥ é um ideal. Além do mais, j = i ∩ i⊥ é um ideal de g e, por
definição, tem-se que, para todo X ∈ j, 〈X,X〉 = 0, o que pelo primeiro critério de
Cartan mostra que j é solúvel e, portanto, j = 0 já que g é semi-simples e dáı que i⊥
é complementar a i. Mas isso implica que a restrição a i da forma de Cartan-Killing
não é degenerada, o que pelo segundo critério de Cartan garante que i é semi-simples.
O fato de que i⊥ complementa i implica também que a representação adjunta de g
é completamente redut́ıvel e portanto se decompõe como soma direta de subespaços
invariantes irredut́ıveis. É claro, um subespaço invariante irredut́ıvel é um ideal simples
de g. Com isso se obtêm as álgebras semi-simples a partir dos ideais simples.
90 Caṕıtulo 3. Critérios de Cartan
Teorema 3.10 Seja g uma álgebra semi-simples. Então, g se decompõe em soma
direta
g = g1 ⊕ · · · ⊕ gs (3.3)
com gi, i = 1, . . . , s, ideais simples. Nessa decomposição [gi, gj] = 0 se i 6= j. Além do
mais,
1. o ortogonal g⊥i de uma componente simples, em relação à forma de Cartan-
Killing, é a soma das demais componentes,
2. os ideais de g são somas de algumas dessas componentes e
3. a decomposição é única (a menos de permutação dos ı́ndices).
Demonstração: A decomposição em componentes simples foi mostrada acima. Para
mostrar os itens seguintes, suponha que g se decomponha como soma de dois ideais
g = h1 ⊕ h2 .
Então, o complementar ortogonal de um dos ideais é o outro. De fato, h⊥1 complementa
h1 e, portanto, tem a mesma dimensão que h2. Por outro lado, os ideais são ortogonais
em relação à forma de Cartan-Killing, pois se X ∈ h1 e Y ∈ h2, então
ad (X) ad (Y )
se anula em h1 e em h2. Tomando então uma base de g cujos elementos estão contidos
ou em h1, ou em h2, vê-se que 〈X, Y 〉 = 0. Portanto, h2 ⊂ h⊥1 e essa inclusão é uma
igualdade, pois as dimensões coincidem.
Seja agora gi uma componente simples e denote por ci a soma das demais com-
ponentes simples. Então ci é um ideal, pois o colchete entre componentes simples
diferentes se anula. Pelo que foi dito acima, ci coincide com o complementar ortogonal
de gi o que mostra 1. Para ver o item 2, seja h um ideal de g. Então ou h contém gi
ou h∩ gi = 0 pois gi é simples. No primeiro caso, h∩ ci é um ideal que se for não-nulo,
um argumento por indução permite mostrar que ele é soma de componentes simples,
o mesmo ocorrendo com h. Já se h ∩ gi = 0 então h ⊂ ci pois se X ∈ gi e Y ∈ h então
ad (X) se anula em ci e ad (Y ) se anula em gi, o que garante que
〈X, Y 〉 = tr (ad (X) ad (Y )) = 0,
mostrando que h ⊂ g⊥i = ci. Usando novamente um argumento por indução, conclui-se
que h é soma de componentes simples da decomposição (3.3). Por fim, o item 3 decorre
do item anterior que garante que gi, i = 1, . . . , s são os únicos ideais simples de g. 2
Esse teorema tem as seguintes conseqüências.
Corolário 3.11 Se g é semi-simples, então g′ = g.
3.3. Aplicações às álgebras semi-simples 91
Demonstração: De fato, (g′)⊥ é um ideal que complementa g′ e é abeliano pois se
X, Y ∈ (g′)⊥, então [X, Y ] ∈ g′ ∩ (g′)⊥, isto é, [X, Y ] = 0. Portanto, (g′)⊥ = 0, o que
mostra que g′ = g. 2
Corolário 3.12 Se g é semi-simples e h é uma álgebra abeliana então a aplicação
identicamente nula é o único homomorfismo de g em h. Em particular, a única re-
presentação de dimensão um de g é a representação nula e, para uma representação ρ
qualquer, tr ρ(X) = 0 para todo X ∈ g.
Demonstração: Se φ : g → h é um homomorfismo, então φ[X, Y ] = 0 para todo
X, Y ∈ g e, como g′ = g, isso mostra que φ = 0. 2
Corolário 3.13 Seja g uma álgebra semi-simples e i um ideal próprio de g. Então,
g/i é semi-simples.
Demonstração: Pelo que foi comentado acima, existe um ideal j tal que g = i⊕ j de
onde se vê que g/i ≈ j que é semi-simples como são todos os ideais de g. 2
Quanto às derivações das álgebras semi-simples, tem-se
Proposição 3.14 Suponha que g seja semi-simples. Então, toda derivação de g é uma
derivação interna.
Demonstração: Seja D uma derivação e seja o funcional linear em g dado por
X 7−→ tr(D ad(X)).
Como a forma de Cartan-Killing não é degenerada, existe YD ∈ g tal que
tr(D ad(X)) = 〈YD, X〉
para todo X ∈ g. Tem-se que D = ad(YD). De fato, E = D− ad(YD) é uma derivação
e, pela igualdade acima (e pela definição da forma de Cartan-Killing), tem-se que
tr(E ad(X)) = 0 para todo X ∈ g. Agora, tomando X e Y arbitrários,
〈EX, Y 〉 = tr(ad(EX) adY )
= tr([E, adX] adY )
pois [E, adX] = ad(EX) já que E é derivação. Portanto,
〈EX, Y 〉 = tr(E adX adY − adXE adY )
= tr(E ad [X, Y ])
= 0,
o que mostra que E = 0 e, portanto, que D = ad(YD). 2
A partir desta proposição e do fato provado anteriormente que garante que as com-
ponentes semi-simples e nilpotentes de uma derivação são também derivações, obtém-se
a seguinte decomposição dos elementos de uma álgebra semi-simples.
92 Caṕıtulo 3. Critérios de Cartan
Corolário 3.15 Suponha que g seja semi-simples e seja X ∈ g. Então, X se decompõe
de maneira única em
X = XS +XN
com XS, XN ∈ g tais que ad(XS) é semi-simples, ad(XN) é nilpotente e
[XS, XN ] = [X,XS] = [X,XN ] = 0.
Demonstração: Tome a decomposição de Jordan
ad(X) = S +N
com S e N derivações que comutam entre si e com ad(X). Pela proposição anterior,
S = ad(XS) e N = ad(XN) e dáı que
ad(X −XS −XN) = 0
e, portanto, X = XS + XN pois ker ad = 0, já que g é semi-simples. A unicidade da
decomposição, assim como sua comutatividade em g, são verificadas da mesma forma
através da injetividade da representação adjunta. 2
Este corolário é bastante útil em diversas situações. Ele garante, entreoutras
coisas, que álgebras semi-simples contêm elementos cujas adjuntas são semi-simples,
já que existem elementos que não são nilpotentes e, portanto, admitem componentes
semi-simples não-nulas. Esse fato se estende a uma representação fiel qualquer como
mostra a seguinte proposição.
Proposição 3.16 Seja g ⊂ gl (V ) uma álgebra semi-simples. Então, g contém ele-
mentos semi-simples não-nulos.
Demonstração: Pode-se supor, sem perda de generalidade, que o corpo de escalares
é algebricamente fechado. Assumindo isso, seja X ∈ g e X = XS +XN a decomposição
de X garantida pela proposição anterior. Seja também X = S +N a decomposição de
X como transformação linear de V , isto é, S,N ∈ gl(V ) comutam entre si e com X, S
é semi-simples e N nilpotente. Tomando adjunta em gl(V ),
ad(X) = ad(S) + ad(N)
e essa é a decomposição de ad(X) em componentes semi-simples e nilpotente. Como os
subespaços invariantes por uma transformação linear são também invariantes por essas
componentes, tem-se que g, visto como subespaço de gl(V ), é invariante por ad(S)
e por ad(N) e as restrições dessas adjuntas são derivações de g. Pela unicidade da
proposição anterior, tem-se que
ad(S −XS) e ad(N −XN)
se anulam em g. Como se está supondo que a representação é irredut́ıvel, o lema de
Schur (veja proposição 1.8) garante que S−XS e N −XN são múltiplas da identidade.
3.3. Aplicações às álgebras semi-simples 93
Como trS = trX = 0 e trXS = 0 (pois X,XS ∈ g que é semi-simples) tem-se que
tr(S − XS) = 0, de onde se conclui que S = XS e, portanto, que N = XN . Como o
teorema de Engel garante que existem elementos em g que não são nilpotentes, existe
X tal que XS 6= 0 mostrando que g contém elementos semi-simples não-nulos. 2
A existência tanto de elementos semi-simples quanto de nilpotentes em álgebras
semi-simples de transformações lineares, é imediata a partir da teoria de representação
dessas álgebras, que será apresentada no caṕıtulo 11. O resultado acima foi inclúıdo
aqui para ser utilizado na demonstração de que as formas traço das representações das
álgebras semi-simples são não-degeneradas, assim como a forma de Cartan-Killing.
Tomando uma álgebra semi-simples g, seja ρ uma representação de g em V e
βρ (X, Y ) = tr (ρ (X) ρ (Y ))
a forma traço correspondente. Como a forma de Cartan-Killing de g não é degenerada,
βρ pode ser descrita por
βρ (X, Y ) = 〈PX, Y 〉,
onde P : g→ g é uma transformação linear. Como
βρ ([X, Y ], Z) + βρ (Y, [X,Z]) = 0
e uma igualdade semelhante vale para a forma de Cartan-Killing, a expressão para βρ
mostra que
P ◦ ad (X) = ad (X) ◦ P
para todo X ∈ g. Em particular, se o corpo de escalares é algebricamente fechado
e g é simples, então o lema de Schur garante que P é múltipla da identidade e dáı
que βρ é múltipla da forma de Cartan-Killing. Portanto, uma forma traço de uma
representação de uma álgebra simples não é degenerada se e só se ela não se anula.
Isso permite mostrar, para álgebras simples, que βρ não é degenerada se ρ é fiel.
Proposição 3.17 Seja g ⊂ gl (V ) uma álgebra simples, assuma o corpo algebrica-
mente fechado e denote por ρ a representação canônica. Então, βρ 6= 0 e, portanto, βρ
não é degenerada.
Demonstração: Pela proposição 3.16 existe um elemento semi-simples X ∈ g. Como
o corpo de escalares é algebricamente fechado, tem-se em alguma base de V que
X = diag{λ1, . . . , λn}.
Considere, como na demonstração do teorema 3.4, o subespaço vetorial U de K,
sobre o corpo dos racionais, gerado pelos autovalores λ1, . . . , λn. Seja ψ : U → Q um
funcional linear e µj = ψ(λj) suas imagens por ψ. Se Tµ ∈ gl(V ) é a transformação
linear correspondente, a seqüência dos autovalores de ad(Tµ) imita a seqüência dos
autovalores de ad(X) e, portanto, ad(Tµ) define, por restrição, uma derivação de g.
Dessa forma, existe Xµ ∈ g tal que ad(Xµ) coincide com ad(Tµ) em g. Tomando
94 Caṕıtulo 3. Critérios de Cartan
a decomposição Xµ = Sµ + Nµ em componentes semi-simples e nilpotente. Como
ad (Tµ) é diagonal em g, o mesmo argumento da proposição 3.16 garante que Sµ = Tµ.
Portanto, tr(XµX) = tr(TµX). No entanto,
tr(TµX) =
n∑
j=1
λjψ(λj).
Aplicando ψ a esta igualdade, obtém-se
ψ(tr(XµX)) =
n∑
j=1
ψ(λj)
2.
O segundo membro, por ser uma soma de quadrados de números racionais, não se anula
se uma das parcelas não se anula. Assim, tomando ψ tal que ψ(λj) 6= 0 para algum
autovalor λj se chega a existência de Y = Xµ ∈ g tal que tr(XµX) 6= 0 mostrando que
βρ 6= 0 e, portanto, não-degenerada. 2
Uma vez mostrado que βρ não é degenerada para as álgebras simples, pode-se passar
às álgebras semi-simples, considerando suas componentes simples. Tem-se
Proposição 3.18 Seja g ⊂ gl (V ) uma álgebra semi-simples sobre um corpo algebri-
camente fechado e denote por ρ a representação de g em V . Considere a decomposição
g = g1 ⊕ · · · ⊕ gk
de g em componentes simples. Então, existem escalares não-nulos a1, . . . , ak tal que
βρ (X, Y ) = aj〈X, Y 〉
se X, Y ∈ gj. Além do mais, βρ não é degenerada e βρ (X, Y ) = 0 se X e Y estão em
componentes simples diferentes.
Demonstração: O fato de que βρ é múltipla não-nula da forma de Cartan-Killing
nas componentes simples foi mostrado acima. Para ver a ortogonalidade entre as
componentes simples, seja g⊥j o subespaço ortogonal a gj em relação a βρ. Então,
g⊥j ∩ gj = 0 pois aj 6= 0 e, como ocorre com qualquer forma bilinear, a dimensão de g⊥j
é pelo menos a codimensão de gj. Mas g⊥j é um ideal pois βρ é invariante. Portanto,
g⊥j é a soma das componentes simples diferentes de gj e dáı que duas componentes
simples são ortogonais entre si. Por fim, tome X ∈ g e considere a decomposição
X = X1 + · · ·+Xk
em relação às componentes simples. Se Xj ∈ gj não é nulo, então existe Y ∈ gj tal que
βρ (Xj, Y ) 6= 0. Como βρ (X, Y ) = βρ (Xj, Y ), segue que βρ não é degenerada. 2
3.3. Aplicações às álgebras semi-simples 95
A hipótese de que o corpo de escalares é algebricamente fechado pode ser retirada
por extensão do corpo de escalares: se g ⊂ gl (V ) é uma álgebra semi-simples e K
o fecho algébrico do corpo de escalares, então gK é semi-simples em gl (VK). Como
a forma traço de g é a restrição da forma na extensão, tomando uma base de g e a
matriz da forma em relação à base, vê-se que βρ não é degenerada em g se e só se ela
não for degenerada em gK. Portanto, as formas traço de representações fiéis não são
degeneradas.
Teorema 3.19 Seja g uma álgebra de Lie semi-simples. Então, se ρ é uma repre-
sentação fiel de g, a forma traço βρ não é degenerada.
O fato de βρ não ser degenerada permite que se façam as seguintes construções:
seja g ⊂ gl(V ) uma álgebra semi-simples e tome uma base γ = {X1, . . . , Xn} de g.
Essa base admite a base dual γ′ = {Y1, . . . , Yn} que satisfaz βρ(Yi, Xj) = δij onde βρ
é a forma traço da representação canônica de g. Um elemento X ∈ g se escreve como
combinação linear de γ como
X = βρ(X, Y1)X1 + · · ·+ βρ(X, Yn)Xn .
Além do mais, escrevendo [X,Xi] =
∑
j cijXj e [X,Yi] =
∑
j dijYj, tem-se dij = −cji.
De fato, dados i, j,
cij = βρ([X,Xi], Yj) = −βρ(Xi, [X, Yj]) = −dji .
Agora, seja Γ a transformação linear de V definida por
Γ = Y1X1 + · · ·+ YnXn .
Essa transformação é conhecida como elemento de Casimir da representação. A pro-
priedade principal dessa transformação é que ela comuta com os elementos de g. De
fato,
[Γ, X] =
n∑
i=1
(YiXiX −XYiXi) =
n∑
i=1
(Yi[Xi, X] + [Yi, X]Xi)
e usando o fato de que cij = −dji, chega-se a que [Γ, X] = 0. O elemento de Casimir
guarda diversas informações sobre g e sua representação em V . Por exemplo, a di-
mensão de g é dada pelo traço de Γ, pois
tr Γ = βρ (Y1, X1) + · · ·+ βρ (Xn, Yn) .
Observe que isso mostra em particular que Γ não é nilpotente.
Proposição 3.20 Seja g uma álgebra semi-simples e ρ uma representaçãode g em V .
Então,
V =
⋂
X∈g
ker ρ(X) +
∑
X∈g
im ρ(X).
96 Caṕıtulo 3. Critérios de Cartan
Demonstração: Por indução sobre a dimensão de V . Se dimV = 1, então a
representação é identicamente nula e o primeiro termo do segundo membro coincide com
o espaço da representação. Para dimensões maiores que 1, existem duas possibilidades.
Uma delas é que a imagem de g por ρ seja nula. Nesse caso, V coincide com o primeiro
termo do segundo membro. Caso contrário, a imagem de g por ρ é uma álgebra semi-
simples de gl (V ), pois é o quociente de g por um ideal. Dessa forma, pode-se assumir,
sem perda de generalidade, que g é uma subálgebra semi-simples de gl (V ). Sendo
assim, seja Γ elemento de Casimir Γ de g. Então, V se decompõe como
V = V0 ⊕ V1
com V0 o auto-espaço generalizado associado ao autovalor 0 de Γ, e V1 a soma dos
demais auto-espaços generalizados. Esses subespaços são g-invariantes pois Γ comuta
com os elementos de g e se os dois não se anulam, pode-se aplicar o passo de indução
substituindo V por V0 e V1 e g pelas suas restrições, obtendo a decomposição desses
subespaços e, portanto, de V .
Agora, se um dos subespaços V0 ou V1 se anula, esse é necessariamente V0, pois Γ
é nilpotente em V0 e, no entanto,
tr Γ =
n∑
i=1
tr(YiXi) = n,
o que mostra que Γ não é nilpotente em V . Mas se V0 = 0, Γ é inverśıvel e, portanto,
V = im Γ e, como um elemento na imagem de Γ é uma soma de elementos das imagens
de Yi, i = 1, . . . , n, isso mostra que V =
∑
X∈g imX, concluindo a demonstração da
proposição. 2
Com o aux́ılio do teorema de decomposição de Weyl, será fácil mostrar que a soma
que aparece nessa proposição é de fato direta. Na verdade, essa proposição é uma
conseqüência imediata do teorema de Weyl. No entanto, ela vai ser necessária para a
demonstração desse teorema, que será feita no caṕıtulo 5.
Notas
O conceito de seqüência que imita outra é uma adaptação da teoria das réplicas de Chevalley:
as matrizes diagonais cujos autovalores imitam a seqüência dos autovalores de uma matriz
diagonal dada são réplicas dessa última (veja, por exemplo, [46] para um tratamento deta-
lhado dessa teoria).
A forma de Cartan-Killing foi introduzida por E. Cartan em sua tese (1894) como uma
ferramenta fundamental para colocar em bases sólidas as idéias de Killing sobre a classificação
das álgebras simples complexas (veja [19]).
Em muitos textos, uma álgebra de Lie é dita semi-simples se sua forma de Cartan-Killing é
não-degenerada (veja, por exemplo, [20]).
3.4. Exerćıcios 97
3.4 Exerćıcios
1. SejaD uma derivação da álgebra de Lie g de dimensão finita e suponha queX ∈ g
é autovetor de D associado a um autovalor 6= 0. Então, ad (X) é nilpotente.
2. Sejam X e H transformações lineares de um espaço vetorial V tais que trX = 0
e [H,X] = X. Mostre que X é nilpotente.
3. Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita e suponha que g admita uma
derivação inverśıvel. Então, g é nilpotente. (A rećıproca não vale: existem
álgebras de Lie nilpotentes sem derivações inverśıveis, como mostrado em [14]).
4. Demonstre o teorema 3.4 sem a hipótese de que o corpo é algebricamente fechado.
5. Seja g = gλ1 ⊕ · · · ⊕ gλm a decomposição de Jordan de uma derivação de g.
Mostre que 〈gλi
, gλj
〉 = 0, a menos que λi = −λj, onde 〈·, ·〉 denota a forma de
Cartan-Killing de g.
6. Seja i um ideal semi-simples da álgebra de Lie g e denote por i⊥ seu ortogonal em
relação à forma de Cartan-Killing. Mostre que g = i⊕ i⊥. Use isso para mostrar
que se i e g/i são semi-simples então o mesmo ocorre com g.
7. Dê exemplo de uma álgebra solúvel cuja forma de Cartan-Killing não é iden-
ticamente nula e de uma álgebra solúvel, mas não nilpotente, cuja forma de
Cartan-Killing é identicamente nula.
8. Sejam ρ e σ representações irredut́ıveis de g em V e W , respectivamente, e
suponha que o corpo de escalares seja algebricamente fechado.
(a) Se ρ e σ são equivalentes e P,Q : V → W operadores de intercâmbio, então
P = λQ para algum λ no corpo.
(b) Se σ é equivalente a ρ∗ por uma dualidade β (veja 14), que é uma aplicação
bilinear não-degenerada definida em V ×W , e a valores no corpo de escalares
que satisfaz
β (ρ (X) v, w) + β (v, σ (X)w) = 0
para todo v ∈ V , w ∈ W e X ∈ g, então qualquer outra dualidade γ entre
V e W é da forma γ = λβ para algum escalar λ.
9. Se φ : g→ h é um isomorfismo, então 〈φX, φY 〉h = 〈X, Y 〉g, onde 〈·, ·〉∗ denota a
forma de Cartan-Killing de ∗.
10. Se ρ1 e ρ2 são representações de dimensão finita equivalentes de uma mesma
álgebra de Lie g, então, βρ1
= βρ2
.
11. Dê exemplo de uma álgebra de Lie g e de subálgebras i ⊂ h tal que i é ideal de
h mas não de g. Mostre que se h também é ideal isso não ocorre em álgebras
semi-simples.
98 Caṕıtulo 3. Critérios de Cartan
12. Seja i um ideal de uma álgebra de Lie g de dimensão finita. Suponha que i seja
semi-simples. Então, existe um ideal j de g tal que g = i⊕ j.
13. Dê exemplo de um ideal i numa álgebra de Lie de dimensão finita tal que i⊥∩i 6= 0
onde ⊥ denota o ortogonal em relação à forma de Cartan-Killing. Mostre que
em toda álgebra que não é semi-simples existe um ideal desse tipo.
14. As componentes simples de uma álgebra de Lie semi-simples são duas a duas
ortogonais em relação à forma de Cartan-Killing.
15. Dê exemplo de uma derivação interna ad (X) cuja decomposição de Jordan
ad (X) = S +N
é tal que S e N não são derivações internas.
16. Sejam g uma álgebra de Lie simples sobre um corpo algebricamente fechado e β
uma forma bilinear invariante em g, isto é, β satisfaz
β ([X, Y ], Z) + β (Y, [X,Z]) = 0
para todo X, Y, Z ∈ g. Então, β é um múltiplo da forma de Cartan-Killing e,
portanto, β é simétrica e não é degenerada, caso β 6= 0. (Escreva β (X, Y ) =
〈PX, Y 〉 com P : g→ g linear e use o lema de Schur).
17. Use o exerćıcio anterior para escrever a forma de Cartan-Killing das seguintes
álgebras de matrizes na forma
〈X, Y 〉 = c tr (XY )
com c uma constante. (Para se encontrar c, é suficiente calcular 〈X,X〉 e tr (X2)
em um único elemento).
(a) sl (n,C)
(b) so (n,C)
(c) sp (n,C)
Encontre também a forma de Cartan-Killing das álgebras reais correspondentes
e mostre que no caso de so (n,R) a forma é negativa definida. (Compare com a
seção 8.2 do caṕıtulo 8).
18. Suponha que g seja uma álgebra de Lie semi-simples que não é simples e que
o corpo de escalares seja algebricamente fechado. Então, existem em g formas
bilineares invariantes que não são múltiplas da forma de Cartan-Killing.
3.4. Exerćıcios 99
19. Seja g uma álgebra semi-simples sobre um corpo algebricamente fechado. Su-
ponha que β seja uma forma bilinear invariante que g1 e g2 sejam ideais com
g1 ∩ g2 = 0. Então, β (X, Y ) = 0 se X ∈ g1 e Y ∈ g2. Use isso para carac-
terizar as formas bilineares invariantes nas álgebras semi-simples sobre corpos
algebricamente fechados.
20. Considere, numa álgebra simples g sobre um corpo algebricamente fechado, uma
forma bilinear invariante β 6= 0. Tome uma base {X1, . . . , Xn} de g e seja
{Y1, . . . , Yn} a base dual em relação a β:
β (Xi, Yj) = δij .
Então, a transformação linear Γ : g→ g definida por
Γ = ad (X1) ad (Y1) + · · ·+ ad (Xn) ad (Yn)
é um múltiplo não-nulo da identidade.
21. Dada uma representação ρ de g em V a aplicação momento correspondente é
µ : V ⊗ V ∗ → g∗, que é dada por
µ (v ⊗ φ) (X) = φ (ρ (X) v)
v ∈ V , φ ∈ V ∗ e X ∈ g. Se g é semi-simples, µ define uma aplicação momento µ′
a valores em g por
µ (v ⊗ φ) = βρ (µ′ (v ⊗ φ) , ·) .
Então µ′ é um operador de intercâmbio entre ρ ⊗ ρ∗ e a representação adjunta.
Além do mais, identificando V ⊗ V ∗ com o espaço gl (V ) das transformações
lineares de V , ρ (g) fica sendo um subespaço de V ⊗ V ∗. Por essa identificação,
µ′ é nada mais nada menos que a projeção ortogonal de V ⊗ V ∗ sobre ρ (g) em
relação à forma traçoem gl (V ).
22. O objetivo deste exerćıcio é indicar a demonstração do seguinte fato (lema de
Morozov ): seja g uma álgebra semi-simples e seja Y ∈ g tal que ad (Y ) é
nilpotente. Suponha que Y,H ∈ g satisfazem
[H, Y ] = −2Y H ∈ im ad (Y ) .
Então, existe X ∈ g tal que [H,X] = 2X e [X, Y ] = H. (Em outras palavras, H
e Y estão contidos numa álgebra sl (2)).
(a) Seja Z ∈ g tal que [Y, Z] = H. Mostre que
[H,Z] = 2Z +X1
com X1 ∈ z (Y ), o centralizador de Y .
(b) Mostre que z (Y ) é invariante por ad (H).
100 Caṕıtulo 3. Critérios de Cartan
(c) Seja Z como no item anterior e use a notação T = ad (H) e S = ad (Y ).
Mostre que para todo inteiro n ≥ 0
[Sn, ad (Z)] = Sn−1T + Sn−2TS + · · ·+ TSn−1.
(d) Com as mesmas notações, mostre que
[Sn, ad (Z)] = n (T + (n− 1))Sn−1.
(e) Use a fórmula do item anterior para mostrar que
ad (H)
(
z (Y ) ∩ ad (Y )n−1) ⊂ (z (Y ) ∩ ad (Y )n) .
Conclua a partir dáı e da nilpotência de ad (Y ) que a restrição T de ad (H)
a z (Y ) satisfaz
(T +m) (T +m− 1) · · · (T + 1)T = 0
para algum inteiro m ≥ 0.
(f) Mostre que os autovalores da restrição de ad (H) a z (Y ) são inteiros ≥ 0.
Portanto, ad (H)− 2 é inverśıvel em z (Y ).
(g) Seja X1 como no item 1) e tome Y1 ∈ z (Y ) tal que (ad (H)− 2)Y1 = X1.
Mostre que X = Z − Y1 satisfaz as condições do enunciado.
Caṕıtulo 4
Subálgebras de Cartan
Foi visto que se D : g→ g é derivação e
g =
⊕
i
gλi
é a decomposição de g em componentes primárias de D, então [gλi
, gλj
] ⊂ gλi+λj
. Esta
observação é a base para o estudo da estrutura das álgebras de Lie, principalmente
as semi-simples. Para esta classe de álgebras de Lie, toda a estrutura é dada pela
decomposição primária (na verdade espectral) de ad(X) para certos elementos X ∈ g
ditos regulares (veja definição abaixo). No caso em que D = ad(X) é uma derivação
interna, o zero sempre aparece como autovalor, poisX ∈ ker ad(X). Pela relação acima,
g0 é uma subálgebra e [g0, gλi
] ⊂ gλi
e, portanto, a decomposição primária de ad(X)
dá origem a uma decomposição da representação adjunta de g0 em g. Uma subálgebra
de Cartan é exatamente uma subálgebra, como g0, que é o auto-espaço generalizado
associado ao autovalor nulo da adjunta de um elemento regular. O objetivo deste
caṕıtulo é introduzir formalmente os conceitos de subálgebra de Cartan e elemento
regular e discutir a relação existente entre os mesmos. O resultado principal que será
demonstrado é o que garante que se o corpo de escalares é algebricamente fechado,
então duas subálgebras de Cartan são obtidas uma da outra por um automorfismo da
álgebra. Esse resultado permite classificar álgebras de Lie através de sua decomposição
em espaços de pesos. No que segue, o auto-espaço generalizado associado ao autovalor
nulo de ad(X) será indicado por g0(X).
4.1 Subálgebras de Cartan
Definição 4.1 Seja g uma álgebra de Lie. Uma subálgebra de Cartan de g é uma
subálgebra h ⊂ g que satisfaz
1. h é nilpotente e
2. o normalizador de h em g coincide com h. Esta condição é equivalente a
2′. Se [X, h] ⊂ h então X ∈ h.
101
102 Caṕıtulo 4. Subálgebras de Cartan
Sobre esta definição podem-se fazer os seguintes comentários:
1. Uma das razões pelas quais se introduz a noção de subálgebra de Cartan é que
esse tipo de subálgebra é exatamente o que aparece como g0 na decomposição
primária de ad(X) para X genérico (regular) em g. Outra razão vem da se-
guinte observação: o fato de h ser nilpotente garante que sua representação em
g, via a representação adjunta, se decompõe em g = ⊕gλi
com λi os pesos da
representação. O funcional nulo é sempre um peso dessa representação, pois
a representação adjunta de h em si mesma é nilpotente. Além do mais, g0 é
subálgebra e h ⊂ g0. A segunda condição na definição de subálgebra de Cartan
garante que h = g0.
2. Na terminologia usual, os pesos não-nulos da representação adjunta em g de uma
subálgebra de Cartan h são denominados de ráızes .
3. Ao estender o corpo de base de g, as subálgebras de Cartan se estendem em
subálgebras de Cartan, isto é, se K é uma extensão do corpo K dos escalares de
g, e gK é a extensão de g, então a extensão hK de uma subálgebra de Cartan
h também é uma subálgebra de Cartan. Isso se deve a que a extensão de uma
álgebra nilpotente é nilpotente e também porque a propriedade do normalizador
não depende de quais os escalares que se tome. Essas extensões de subálgebras
de Cartan serão úteis principalmente quando se quiser considerar corpos algebri-
camente fechados.
Exemplos:
1. Para g = sl(2),
h = {
(
a 0
0 −a
)
}
é uma subálgebra de Cartan, pois h é abeliana, e se
X =
(
0 1
0 0
)
H =
(
1 0
0 −1
)
Y =
(
0 0
1 0
)
,
então
[H, aX + bH + cY ] = 2aX − 2cY
e este colchete está em h se e só se a = c = 0. Por razões semelhantes, a subálgebra
das matrizes diagonais é de Cartan em sl(n). Este exemplo não funciona se o
corpo de base é de caracteŕıstica dois, pois, nesse caso, a subálgebra das matrizes
diagonais é a álgebra derivada de sl(n), que por sua vez é nilpotente.
2. Ainda em sl(2),
h = {
(
0 −a
a 0
)
}
4.1. Subálgebras de Cartan 103
é subálgebra de Cartan. Essa subálgebra é abeliana. Sejam
S =
(
0 1
1 0
)
H =
(
1 0
0 −1
)
A =
(
0 −1
1 0
)
.
Essas matrizes formam uma base de sl (2) e satisfazem [H,A] = −2S, [H,S] =
−2A e [S,A] = 2H. Portanto,
[A, aS + bH + cA] = −2bS − 2aH
e este colchete está em h se e só se a = b = 0. O mesmo comentário feito no
exemplo anterior, sobre corpos de caracteŕıstica dois, vale aqui.
3. Se g é nilpotente, então sua única subálgebra de Cartan é ela mesma. Isso porque,
se h é uma subálgebra própria, sua representação adjunta em g é nilpotente, o
mesmo ocorrendo então com a representação ρ de h induzida em g/h pela adjunta.
Existe, portanto, v ∈ g/h, v 6= 0 tal que ρ(X)v = 0 para todo X ∈ h. Tomando
um representante Y ∈ g de v, isso significa que Y /∈ h e que [Y, h] ⊂ h, o que
mostra que h não é seu próprio normalizador.
4. Como exemplo de uma subálgebra nilpotente que não é de Cartan, tome a álgebra
das matrizes triangulares superiores em sl(n). As matrizes diagonais normalizam
essa álgebra. 2
Como foi dito acima, a representação adjunta de uma subálgebra de Cartan se
decompõe como a decomposição primária dos elementos regulares de g. Para definir
esses elementos regulares, tome X ∈ g. O polinômio caracteŕıstico de ad(X) denotado
por pX é da forma
pX(λ) = λn + pn−1(X)λn−1 + · · ·+ p1(X)λ+ p0(X)
onde n = dim g e cada pi(·) é um polinômio de grau n− i em X, já que os coeficientes
do polinômio caracteŕıstico são polinômios no espaço das transformações lineares e ad é
linear emX. Em geral, esses coeficientes são dados pelo traço de algum produto exterior
da transformação linear. Por exemplo, pn−1(X) = − tr(ad(X)) e p0(X) = det ad(X).
Este último se anula sempre, pois X ∈ ker ad(X).
Definição 4.2 O posto de uma álgebra de Lie de dimensão finita é o menor ı́ndice i
em que pi não é identicamente nulo, onde pi denota, como acima, os coeficientes dos
polinômios caracteŕısticos. Um elemento X ∈ g é dito regular se pi(X) 6= 0 onde i é o
posto de g.
O conjunto dos elementos regulares é genérico no sentido em que o conjunto dos
elementos não-nulos de um polinômio, que não é identicamente nulo, é genérico. Por
exemplo, no caso em que o corpo de base é o corpo dos reais, tomando a topologia de
espaço euclidiano de g, o conjunto dos elementos regulares é aberto e denso em g. Além
do mais, os elementos regulares de uma álgebra são aqueles em que a multiplicidade
104 Caṕıtulo 4. Subálgebras de Cartan
algébrica do autovalor nulo de suas adjuntas é a menor entre todas as multiplicidades
algébricas posśıveis desses autovalores. Evidentemente, a multiplicidade algébrica do
autovalor nulo de ad(X), para X regular, coincide com o posto de g .
Exemplos:1. Seja sl(2) com a base canônica {X,H, Y }. Tomando Z = aX+bH+cY , a matriz
de sua adjunta nessa base é
ad(Z) =
 2b −2a 0
−c 0 a
0 2c −2b

e, portanto, pZ(λ) = λ3−4(b2 +ac)λ. Dáı que o posto de sl(2) é um e Z é regular
se e só se b2 + ac 6= 0. Em particular, H é um elemento regular e X e Y não são
regulares.
2. Como a representação adjunta de uma álgebra nilpotente é nilpotente, o seu posto
coincide com a dimensão da álgebra e todos os elementos são regulares.
3. Tomando a base {X, Y } com [X,Y ] = Y da álgebra bidimensional não-abeliana,
se Z = aX + bY , então
ad(Z) =
(
0 0
−b a
)
e o polinômio caracteŕıstico é dado por pZ(λ) = λ2 − aλ. Assim, o conjunto dos
elementos que não são regulares coincide com a álgebra derivada. 2
Existe uma ligação bastante forte entre os elementos regulares e as subálgebras de
Cartan. Essa ligação é feita da seguinte forma: o auto-espaço generalizado associado ao
autovalor nulo de um elemento regular é uma subálgebra de Cartan e, reciprocamente,
toda subálgebra de Cartan é dada dessa maneira. A demonstração dessa correspon-
dência é o objeto de praticamente todo o resto deste caṕıtulo. Uma vez mostrada essa
correspondência, fica-se com uma imagem clara do que são as subálgebras de Cartan.
Em particular, a dimensão de toda subálgebra de Cartan coincide com o posto da
álgebra já que a multiplicidade algébrica do autovalor nulo de ad(X) é exatamente a
dimensão de g0(X).
Teorema 4.3 Seja X ∈ g e denote por g0(X) o auto-espaço generalizado associado
ao autovalor nulo na decomposição primária
g = g0(X)⊕ gλ1 ⊕ · · · ⊕ gλk
de ad(X) com λ1, . . . , λk autovalores não-nulos. Então, g0(X) é subálgebra de Cartan
se X for regular.
4.1. Subálgebras de Cartan 105
Demonstração:
1. g0(X) é subálgebra, pois em geral, [gλi
, gλj
] ⊂ gλi+λj
.
2. Tome Y /∈ g0(X) e escreva
Y = Y0 + Y1 + · · ·+ Yk com Y0 ∈ g0(X);Yi ∈ gλi
.
Algum Yi, i = 1, . . . , k é não-nulo. Como os subespaços gλi
são invariantes por
ad(X), a decomposição correspondente para [X, Y ] é dada por
[X, Y ] = [X, Y0] + [X, Y1] + · · ·+ [X, Yk],
o que mostra que [X,Y ] /∈ g0(X). De fato, a restrição de ad(X) a cada gλi
é
inverśıvel já que esses autovalores são diferentes de zero. Portanto, [X, Yi] 6= 0
para algum i = 1, . . . , k. Como X ∈ g0(X), tem-se que Y não normaliza g0(X).
Essa subálgebra coincide, portanto, com seu normalizador.
3. Para verificar que g0(X) é nilpotente usa-se o fato de que X é regular.
O objetivo é mostrar que, para Y ∈ g0(X), ad(Y )|g0(X) é nilpotente e aplicar
o teorema de Engel. Isso, por sua vez, se garante mostrando que o polinômio
caracteŕıstico de ad(Y )|g0(X) é da forma λr onde r é a dimensão de g0(X).
Observe que ad(X)|g0(X) é nilpotente, pois este é o auto-espaço generalizado
associado ao autovalor nulo.
Dessa forma, denote por π0 o polinômio caracteŕıstico de ad(Y )|g0 (X) e suponha,
por absurdo, que esse polinômio não é da forma λr. Então,
π0(λ) = λr + · · ·+ qr−i(Y )λr−i
com i > 0 e qr−i(Y ) 6= 0. Isso garante que qr−i não é um polinômio identica-
mente nulo em g0(X). Como os subespaços gλi
são invariantes por ad(Y ), pois
[g0(X), gλi
] ⊂ gλi
, o polinômio caracteŕıstico de ad(Y ) é dado por
pY (λ) = π0π1 . . . πk
com πi o polinômio caracteŕıstico de ad(Y )|gλi
. O termo constante de πi é dado
por det(ad(Y )|gλi
). Agora, a aplicação di(Z) = det(ad(Z)|gλi
) é um polinômio
em g0(X) e não é identicamente nulo, pois ad(X)|gλi
é inverśıvel. Além do mais,
o termo de menor grau de pY tem por coeficiente o polinômio
qr−i(Y )d1(Y ) . . . dk(Y ),
que não é um polinômio identicamente nulo em Y como o é cada um de seus
fatores. Mas isso contradiz o fato de X ser regular, pois esse termo de menor
grau se anula em X já que qr−i se anula em X, pois ad(X) restrita a g0(X) é
nilpotente. Como essa contradição vem do fato de que qr−i não é um polinômio
identicamente nulo para algum i > 0, tem-se que ad(Y ) é nilpotente em g0(X)
para todo Y ∈ g0(X) e, portanto, essa álgebra é nilpotente.
106 Caṕıtulo 4. Subálgebras de Cartan
Em resumo, g0(X) satisfaz as condições requeridas para uma subálgebra de Cartan,
concluindo a demonstração do teorema. 2
Como os elementos regulares são aqueles que não anulam um polinômio não-nulo,
não há nenhuma dúvida sobre a existência de tais elementos. Por isso,
Corolário 4.4 Existem subálgebras de Cartan em álgebras de Lie de dimensão finita.
Uma outra conseqüência do teorema anterior é que h = g0(X) no caso em que
X ∈ h é um elemento regular e h é uma subálgebra de Cartan. De fato, por ser h
subálgebra de Cartan, h é nilpotente e, portanto, ad(X) dentro de h é nilpotente, e dáı
que h ⊂ g0(X). Mas g0(X) é nilpotente o que implica que h = g0(X) já que h é seu
próprio normalizador. Dito de outra maneira, g0(X) é a única subálgebra de Cartan
que contém X se X é um elemento regular.
O objetivo agora é mostrar a rećıproca do teorema 4.3, isto é, que se h é uma
subálgebra de Cartan, então h = g0(X) para algum elemento regular X. É claro, se
isso ocorre, então X ∈ h, pois X ∈ g0(X). E vice-versa, pelos comentários acima,
h = g0(X) se X ∈ h é um elemento regular. Portanto, a rećıproca ao teorema 4.3 é
conseqüência da seguinte afirmação.
Teorema 4.5 Seja g uma álgebra de dimensão finita e h ⊂ g uma subálgebra de
Cartan. Então, existe um elemento regular X ∈ h.
A demonstração deste teorema é bastante mais envolvente que a do teorema 4.3.
Ela será feita a seguir de duas maneiras diferentes. Uma, espećıfica para álgebras
sobre o corpo dos reais, e que usa métodos de cálculo diferencial, e por isso mais
concreta que a demonstração para corpos arbitrários (de caracteŕıstica zero) que será
feita posteriormente.
Nos dois casos, usa-se o fato de que existe X ∈ h tal que h = g0(X) e se verifica
que X é regular se satisfaz essa igualdade. Por isso, são necessários os seguintes lemas.
Lema 4.6 Seja h uma subálgebra de Cartan e ρ a representação de h em g/h induzida
pela representação adjunta de h em g. Então, se X ∈ h, g0(X) = h se e só se ρ(X) é
inverśıvel.
Demonstração: De fato, ρ(X) é inverśıvel se e só se ker ρ(X) = 0 o que ocorre se
e só se g0(X) ⊂ h, já que ad(X) é nilpotente em g0(X) e ρ(X) é induzida por ad(X).
Como h ⊂ g0(X) para todo X ∈ h, tem-se o lema. 2
Lema 4.7 Seja h uma subálgebra de Cartan. Então, existe X ∈ h tal que h = g0(X).
Demonstração: Para verificar a igualdade para algum X, considera-se o espaço quo-
ciente g/h e a representação ρ de h em g/h induzida pela representação adjunta de h em
g. Tomando a extensão dessa representação ao fecho algébrico do corpo de base, essa
extensão se decompõe em subespaços de pesos, já que h é nilpotente. Como h coincide
4.1. Subálgebras de Cartan 107
com o seu normalizador em g, nenhum desses pesos se anula. De fato, o anulamento
de algum dos pesos da extensão implicaria a existência v ∈ g/h com ρ(X)v = 0 para
todo X ∈ h, o que, por sua vez, significa que existe Y ∈ g\h com [X,Y ] ∈ h para todo
X ∈ h, contradizendo o fato de h ser de Cartan. Sendo assim, existe X ∈ h que não
anula nenhum dos pesos, o que significa que ρ(X) é inverśıvel em g/h. Para esse X o
lema anterior garante que g0(X) = h. 2
No caso em que o corpo de base é real, a idéia para mostrar o teorema 4.5 é a
seguinte: seja φ um automorfismo de g. Então, para X ∈ g, vale
ad(φX) = φ ◦ ad(X) ◦ φ−1,
isto é, φ[X,φ−1Y ] = [φX, Y ] para todo Y ∈ g. Portanto, ad(φX) e ad(X) têm o mesmo
polinômio caracteŕıstico e dáı que X é regular se e só se o mesmo ocorrer com φX.
Baseado nisso, deve-se buscar um automorfismo φ e X ∈ h, tal que φX é regular. Para
isso, considera-se a aplicação ψ : g× h→ g dada por
ψ(Y,X) = ead(Y )X.
A aplicação linear exp ad(Y ) é um automorfismo de g, pois ad(Y ) é uma derivação.
Por outro lado, o conjunto dos elementos regularesde g é aberto e denso em g, já que
é o conjunto dos pontos onde um polinômio não se anula. Portanto, ao mostrar que
a imagem de ψ contém um aberto, conclui-se que essa imagem intercepta o conjunto
dos elementos regulares e dáı que algum X ∈ h é conjugado a um elemento regular e,
portanto, é regular.
Agora, ψ é uma aplicação diferenciável (na verdade anaĺıtica), assim, para mostrar
que sua imagem contém um aberto é suficiente, pelo teorema da Função Impĺıcita,
mostrar que sua diferencial dψ(Y,X) tem posto máximo para algum (Y,X) ∈ g × h.
Tomando Z ∈ g, W ∈ h e Y = 0, tem-se
dψ(0,X)(Z,W ) =
d
dt
ead(tZ)(X + tW )t=0
= − ad(X)Z +W.
(4.1)
Agora, é posśıvel aplicar os lemas acima escolhendo X tal que h = g0(X). Pelo
fato de que a transformação linear induzida por ad(X) em g/h é inverśıvel (lema 4.6),
a imagem de ad(X) complementa h em g. Na fórmula (4.1) Z e W são arbitrários.
Assim, se X é tal que h = g0 (X), então a imagem de dψ(0,X) é sobrejetora. Isso conclui
a demonstração do teorema 4.5, no caso em que o corpo de escalares é R. 2
A partir dessa demonstração do teorema 4.5 para álgebras sobre o corpo dos reais,
é posśıvel obter de maneira rápida o mesmo resultado para álgebras sobre o corpo C
dos complexos. De fato, dada uma álgebra complexa g, sua realificada gR é a álgebra
cujo espaço vetorial subjacente é o espaço vetorial real obtido de g, restringindo os
escalares aos reais. A dimensão de gR é o dobro da dimensão de g e os subespaços
de g são também subespaços de gR e suas dimensões duplicam quando considerados
como espaços reais. Agora, o fato de uma subálgebra h de g ser de Cartan, ou não,
108 Caṕıtulo 4. Subálgebras de Cartan
depende apenas do colchete em g (nilpotente e normalizador) e não dos escalares que se
tome. Dessa forma, uma subálgebra de Cartan h de g é também, quando considerada
como espaço vetorial real, uma subálgebra de Cartan, com dimensão duplicada, de
gR. Aplicando então o teorema 4.5 para as álgebras reais, tem-se que h contém um
elemento regular para gR. Por outro lado, uma transformação linear T de um espaço
vetorial complexo, é também linear sobre R no realificado do espaço. O polinômio
caracteŕıstico de T , considerada como transformação linear sobre C, é da forma
P (z) = (z − λ1)
k1 · · · (z − λs)
ks ,
com λj ∈ C os autovalores de T . Já ao se considerar T como transformação linear
real, seus autovalores passam a ser λj, λj, j = 1, . . . , s, e o polinômio caracteŕıstico fica
sendo
Q(x) = (x− λ1)
k1(x− λ1)
k1 · · · (x− λs)
ks(x− λs)
ks ,
cujo grau é o dobro do de P . Por essa relação entre P e Q, vê-se que a multiplicidade
de uma raiz real de Q é o dobro de sua multiplicidade como raiz de P . Em particular,
isso ocorre com o autovalor nulo de T . Aplicando esse fato aos elementos regulares de
g, chega-se a que o posto de gR é o dobro do posto de g e que X ∈ g é regular se e só
se for regular para gR. Isso, juntamente com os comentários acima, mostra o teorema
4.5 também para álgebras de Lie sobre C. 2
Antes de buscar a demonstração geral (necessariamente algébrica) do teorema 4.5
convém fazer a seguinte discussão sobre subálgebras de Cartan e a ação sobre as mesmas
dos automorfismos da álgebra.
Sejam φ : g→ g um automorfismo e h uma subálgebra de Cartan de g. Como pode
ser verificado sem maiores problemas, o fato de φ ser um automorfismo implica que
a imagem φ(h) de h por φ também é uma subálgebra de Cartan. Duas subálgebras
de Cartan são ditas conjugadas se uma é a imagem da outra por um automorfismo de
g. Como a inversa e a composta de automorfismos são automorfismos, a relação de
conjugação no conjunto das subálgebras de Cartan é uma relação de equivalência.
Essa relação de equivalência no conjunto das subálgebras de Cartan passa ao con-
junto dos elementos regulares por intermédio do teorema 4.3, da seguinte forma: denote
por g o conjunto dos elementos regulares em g. Para X ∈ g, g0(X) é uma subálgebra
de Cartan. Dessa forma, define-se em g a relação X ∼ Y se g0(X) é conjugada de
g0(Y ). Pelas mesmas razões que a relação de conjugação, essa relação em g também é
uma relação de equivalência.
As classes de equivalência de ∼ são invariantes por automorfismos, isto é, X ∼ Y
caso um deles seja a imagem do outro por um automorfismo de g. De fato, se Y = φ(X),
então ad(Y ) = φ ◦ ad(X) ◦ φ−1 e, portanto, g0(Y ) = φ(g0(X)), mostrando que X ∼ Y .
No entanto, como mostra o exemplo das álgebras sl (n) adiante, pode-se ter X ∼ Y sem
que eles sejam levados um no outro por automorfismos de g. Em outras palavras, as
classes de equivalência de ∼ são maiores que as classes dadas pela relação de conjugação
por automorfismos, isto é, pelas órbitas do grupo dos automorfismos de g.
Um fato interessante e bastante útil sobre a relação de conjugação no conjunto das
subálgebras de Cartan, que será mostrado adiante, é que se o corpo de base é algebri-
camente fechado, então existe uma única classe de equivalência, isto é, as subálgebras
4.1. Subálgebras de Cartan 109
de Cartan são conjugadas entre si. Isso tem como conseqüência o teorema 4.5, já que
existem subálgebras de Cartan contendo elementos regulares.
A demonstração da conjugação entre subálgebras de Cartan em álgebras sobre cor-
pos algebricamente fechados arbitrários será feita adiante. No caso das álgebras sobre
os complexos é posśıvel dar uma demonstração por intermédio do cálculo diferencial,
como acima. Essa demonstração é inclúıda aqui, pois, além de ser mais concreta que
a geral, ela fornece uma interpretação geométrica das classes de equivalência por con-
jugação nas álgebras de Lie sobre os reais.
Teorema 4.8 Seja g uma álgebra de Lie sobre R e g o subconjunto, aberto e denso,
dos elementos regulares de g. As componentes conexas de g são abertos em g. Tome
X e Y numa mesma componente conexa. Então X ∼ Y .
Demonstração: O primeiro passo consiste em mostrar que se X é um elemento regu-
lar, então sua classe de equivalência é um aberto que o contém. Para isso, considera-se
a aplicação
ψ(Y1, Y2) = ead(Y1)Y2 ,
com Y1 ∈ g e Y2 ∈ g0(X). Como g0(X) é subálgebra de Cartan, a demonstração feita
acima pode ser aplicada aX e g0(X) para concluir que dψ(0,X) é sobrejetora. O Teorema
da Função Impĺıcita mostra, então, que existe uma vizinhança U de X = ψ(0, X) tal
que todo Z ∈ U é da forma ψ(Y1, Y2) com Y1 ∈ U1, Y2 ∈ U2, onde U1 é uma vizinhança
da origem em g e U2 é uma vizinhança de X em g0(X). Pode-se restringir U2 e
assumir que U2 ⊂ g. Assumindo isso, o fato de existir uma única subálgebra de Cartan
contendo um elemento regular implica que g0(Y2) = g0(X) se Y2 ∈ U2, já que g0(Y2)
é uma subálgebra de Cartan que contém Y2 que, por sua vez, está em g0(X). Dessa
forma,
g0(ψ(Y1, Y2)) = ead(Y1)g0(Y2)
= ead(Y1)g0(X)
e, portanto, para todo Z em uma vizinhança de X, Z ∼ X. Isso mostra que as
classes de equivalência de ∼ são abertas. Como essas classes de equivalência parti-
cionam g, elas são tanto abertas quanto fechadas, e por isso são uniões de componentes
conexas de g e dáı que as componentes conexas estão contidas em uma mesma classe
de equivalência, que é o que se queria mostrar. 2
Por esse teorema, a quantidade de classes de equivalência de ∼ é no máximo o
número de componentes conexas de g. Esse número é sempre finito pois g é o conjunto
dos pontos que não anulam um polinômio não-nulo, e um conjunto desse tipo tem
quantidade finita de componentes conexas. No caso particular das álgebras complexas,
foi visto que se pode tomar a realificação gR sem que se altere as subálgebras de Cartan
nem os elementos regulares. Mas, nem por isso, o conjunto dos elementos regulares
deixa de ser o conjunto dos pontos que não anulam um polinômio com coeficientes
complexos num espaço vetorial complexo. Para esses polinômios, o complementar de
seus zerosé conexo, como mostra a seguinte proposição.
110 Caṕıtulo 4. Subálgebras de Cartan
Proposição 4.9 Seja p : Cn → C um polinômio, que não é identicamente nulo.
Então,
C = {v ∈ Cn : p(v) 6= 0}
é conexo (por caminhos).
Demonstração: É por indução sobre n. Para n = 1, o resultado vale, pois o conjunto
das ráızes de um polinômio é finito e, portanto, seu complementar em C é conexo. Para
n ≥ 2 sejam z = (z1, . . . , zn) e w = (w1, . . . wn) com p(z) 6= 0 6= p(w).
A reta que passa por z e w é o conjunto
r = {xz + (1− x)w : x ∈ C}.
A restrição de p a r define o polinômio q (x) = p (xz + (1− x)w), x ∈ C, que não é
identicamente nulo, pois q (1) = p (z) 6= 0. Portanto, z e w estão na mesma compo-
nente conexa de {q (x) 6= 0} em r, o que implica que eles estão na mesma componente
conexa de {p (x) 6= 0} em Cn. 2
Em resumo,
Teorema 4.10 Em álgebras de Lie complexas as subálgebras de Cartan são conjugadas
entre si.
Exemplos:
1. Na álgebra sl(n,C), seja hβ a subálgebra das transformações lineares cujas ma-
trizes são diagonais na base β de Cn. Cada uma dessas subálgebras é de Car-
tan, pois elas são abelianas e se H é a matriz diagonal H = diag{λ1, . . . , λn} e
A = (ajk) é uma matriz n× n, então ad(H)A é dada pela matriz ((λj − λk)ajk).
Assim, ad(H)A é diagonal para toda matriz diagonal H se e só se A também é
diagonal. Como dim hβ = n − 1, o posto sl(n,C) é n − 1. Ainda pela forma de
ad(H), H ∈ hβ, vê-se que H é regular se e só se λj−λk 6= 0, j 6= k, isto é, se todos
os autovalores de H são distintos. Pelo teorema anterior, duas dessas subálgebras
de Cartan são conjugadas por um automorfismo de sl(n,C). Nesse caso parti-
cular, o automorfismo que conjuga as subálgebras hβ1
e hβ2
é dado pela matriz
de mudança de base entre β1 e β2. Seja P essa matriz. Então, P é inverśıvel
e, portanto, define um automorfismo φ de sl(n,C) dado por φ(A) = PAP−1 e
tem-se evidentemente que φ(hβ1
) = hβ2
.
Vice-versa, toda subálgebra de Cartan de sl(n,C) é da forma hβ para alguma
base β de Cn. Existem duas formas de se verificar isso. Uma delas usa o fato
(que não vai ser provado aqui) de que os automorfismos de sl(n,C) são da forma
φ(A) = PAP−1 ou φ(A) = −PATP−1 para alguma matriz inverśıvel P . Sendo
assim, se h é uma subálgebra de Cartan, ela é conjugada a uma subálgebra hβ
para alguma base β o que mostra que os elementos de h são simultaneamente
diagonalizáveis em alguma base de Cn.
4.1. Subálgebras de Cartan 111
Um outro método para verificar que as subálgebras hβ cobrem todas as subál-
gebras de Cartan de sl(n,C) consiste em verificar diretamente que os elementos
regulares são aqueles cujos autovalores são todos distintos e que são, portanto,
transformações lineares diagonalizáveis. Verificado isso, tem-se que todo elemento
regular está contido em alguma hβ e, portanto, que essas são as únicas subálgebras
de Cartan. Seja então A um elemento de sl(n,C) e considere sua forma canônica
de Jordan. Nessa forma, A se escreve como uma matriz diagonal em blocos como
A =
 A1 0
. . .
0 Ak

com cada bloco Aj triangular superior cujos elementos diagonais são todos iguais.
Por isso, toda matriz diagonal em blocos com os blocos do mesmo tamanho que
os blocos de Jordan de A, e cujos blocos são triangulares superiores, pertence ao
auto-espaço generalizado associado ao autovalor nulo de ad(A). Em particular,
as matrizes diagonais pertencem a esse auto-espaço generalizado e dáı que sua
dimensão é estritamente maior que dim hβ, a menos que os blocos de Jordan de
A sejam todos 1× 1, isto é, que todos os autovalores de A sejam distintos. Como
as subálgebras de Cartan têm a mesma dimensão, a dimensão do auto-espaço
generalizado associado ao autovalor nulo de ad(A) coincide com dim hβ se A é
regular. Portanto, os autovalores de A são todos distintos se A é elemento regular
de sl(n,C) e dáı que suas subálgebras de Cartan são da forma hβ com β base de
Cn e seus elementos regulares são aqueles cujos autovalores são distintos dois a
dois.
2. A análise feita no exemplo anterior das subálgebras de Cartan de sl(n,C) permite
que se compreenda, via complexificação, as subálgebras de Cartan de sl(n,R). De
fato, sl(n,C) é o complexificado de sl(n,R). Por isso, o complexificado de uma
subálgebra de Cartan de sl(n,R) é uma subálgebra de Cartan de sl(n,C) e dáı que
o posto dessas duas álgebras coincidem. Dessa forma, se X é um elemento regular
de sl(n,R), então ele também é regular como elemento de sl(n,C) e, portanto,
existe uma base β de Cn tal que nessa base X é diagonal e seus autovalores são
distintos dois a dois. Porém, X é real e dáı que seus autovalores são da forma
λ1, λ̄1, . . . , λk, λ̄k, µ1, . . . , µs
com 2k + s = n, λj complexo e µj real. Além do mais, pode-se tomar
β = {w1, w̄1, . . . , wk, w̄k, v1, . . . , vs}
com vj ∈ Rn. Assim, se
γ = {Rew1, Imw1, . . . ,Rewk, Imwk, v1, . . . , vs},
112 Caṕıtulo 4. Subálgebras de Cartan
então γ é base de Rn e nessa base X se escreve como
X =

a1 −b1
b1 a1
. . .
ak −bk
bk ak
µ1
. . .
µs

,
onde λj = aj + ibj. Seja h a subálgebra de Cartan de sl(n,R) associada a X e hC
sua complexificada. Então, hC é a subálgebra de Cartan de sl(n,C) associada a X
e coincide com as matrizes diagonais na base β. Como os elementos de h são reais
e diagonais em relação à base β, o fato de v1, . . . , vs serem reais implica que todo
elemento de h se escreve, na base γ, da mesma forma que X com k blocos 2× 2
juntamente com s = n− 2k elementos diagonais. Dessa forma, para cada inteiro
k com 0 ≤ k ≤ n/2 tem-se uma famı́lia de subálgebras de Cartan que são aquelas
em que, em alguma base de Rn, seus elementos se escrevem como acima e essas
são todas as subálgebras de Cartan de sl(n,R). Para k = 0, tem-se a álgebra
das matrizes diagonais e, é claro, para k arbitrário, a dimensão das álgebras é
sempre n − 1. Todas as álgebras dadas por um mesmo k são conjugadas entre
si já que uma se obtém da outra por uma mudança de base. Já duas álgebras
com diferentes valores de k não são conjugadas, pois a quantidade de autovalores
complexos das adjuntas de seus elementos varia, já que essa quantidade depende
de k. Em resumo, o número de classes de conjugação das subálgebras de Cartan
de sl(n,R) é n/2+1 se n é par e (n+1)/2 se n é ı́mpar e cada classe é representada
por uma álgebra de matrizes da forma acima. Duas classes se distinguem pela
quantidade de autovalores complexos de seus elementos. 2
4.2 A abordagem algébrica
A demonstração do teorema 4.10 de conjugação das subálgebras de Cartan em álgebras
complexas não se aplica para álgebras sobre corpos algebricamente fechados em geral,
já que ela recorre ao cálculo diferencial através do teorema da função impĺıcita. Nesta
seção, será demonstrada a conjugação das subálgebras de Cartan por métodos pu-
ramente algébricos. O procedimento aqui consiste em evitar o teorema da função
impĺıcita considerando apenas aplicações polinomiais. Para essas aplicações é posśıvel
desenvolver um cálculo algébrico semelhante ao cálculo diferencial sem, no entanto,
utilizar a noção de limite que requer, para seu uso pleno, a completude do corpo.
No que segue, K denotará um corpo algebricamente fechado de caracteŕıstica zero.
Anteriormente já se considerou, mais de uma vez, polinômios em espaços vetoriais sobre
K. Como esses polinômios aparecem aqui de maneira mais extensiva, é conveniente
4.2. A abordagem algébrica 113
comentar com mais detalhes suas propriedades básicas, assim como a forma de defini-
los.
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre K. Um polinômio em V é uma
aplicação p : V → K que é constante ou pode ser escrita como soma de produtos finitos
de funcionais lineares de V . Em outras palavras, p é da forma
p = λ11 · · ·λ1r1 + · · ·+ λs1 · · ·λsrs
com λij ∈ V ∗. O grau de p é o maior dos ı́ndicesri. Tomando uma base β = {e1, . . . , en}
de V , tem-se que p(x) é uma combinação linear de monômios do tipo
xr1
1 · · ·xrn
n ,
onde (x1, . . . , xn) são as coordenadas de x em relação à base β. Vice-versa, uma
aplicação de V em K dada dessa forma a partir de uma base é evidentemente um
polinômio de V .
O conjunto dos polinômios de V será denotado por K[V ]. Definindo a soma e o
produto de polinômios da forma usual, assim como a multiplicação por escalares em
K, K[V ] se torna uma álgebra associativa com unidade sobre K.
Seja agora W outro espaço vetorial sobre K. Uma aplicação P : V → W é dita
polinomial se λ ◦ P é um polinômio em V para todo funcional linear de W . Fixando
uma base γ = {f1, . . . , fm} de W , P se escreve como
P = p1f1 + · · ·+ pmfm
com p1, . . . , pm polinômios em V . Vice-versa, aplicações desse tipo entre V e W são
aplicações polinomiais. Portanto, as aplicações polinomiais entre V e W são aquelas
cujas coordenadas são polinômios de V . A composta de aplicações polinomiais também
é polinomial.
A demonstração do teorema 4.5 apresentada na seção anterior para as álgebras reais
recorre ao teorema da aplicação aberta, que é utilizado para garantir que a imagem de
uma certa aplicação diferenciável tem interior não-vazio. Numa linguagem puramente
algébrica, um conjunto aberto passa a ser o complementar do conjunto dos zeros de
um polinômio. Nesse sentido o seguinte resultado de geometria algébrica afirma que a
imagem de uma aplicação polinomial, cuja diferencial é sobrejetora, contém abertos do
contra-domı́nio, estendendo o teorema da aplicação aberta a aplicações polinomiais.
Teorema 4.11 Seja P : V → W uma aplicação polinomial e suponha que dPx é
sobrejetora para algum x ∈ V . Seja p um polinômio não-nulo em V . Então, existe
um polinômio q ∈ K[W ] tal que para todo y ∈ W tal que q(y) 6= 0 existe x ∈ V
com p(x) 6= 0 e tal que P (x) = y. (Em outras palavras, a imagem por P do aberto
{p(x) 6= 0} contém o aberto {q(y) 6= 0}.)
Esse teorema será demonstrado a seguir na seção 4.3, que é um apêndice a este
caṕıtulo.
114 Caṕıtulo 4. Subálgebras de Cartan
Para obter conjugações entre subálgebras de Cartan, a idéia é aplicar o teorema
4.11 a transformações do tipo
(X,Y ) 7−→ ead(X)Y,
como foi feito no caso real. Para isso é necessário dar sentido às exponenciais
ead(X) =
∑
k≥0
1
k!
ad(X)k.
Por sorte, será suficiente considerar exponenciais de transformações lineares nilpo-
tentes, para as quais as exponenciais são dadas por somas finitas e, portanto, fazem
sentido num contexto algébrico.
Proposição 4.12 Seja D uma derivação nilpotente de uma álgebra de Lie g. Então,
expD é um automorfismo de g.
Demonstração: Dados X, Y ∈ g, sejam α e β as aplicações de K em g dadas por
α(t) = etD[X, Y ] β(t) = [etDX, etDY ]
Como D é nilpotente, α e β são polinomiais. Calculando derivadas sucessivas em
relação a t, mostra-se por indução que α(k)(0) = β(k)(0) para todo k ≥ 0. Isso im-
plica que α = β e dáı que exp tD é homomorfismo. De maneira semelhante, prova-se
det (exp tD) = 1 para todo t ∈ K, mostrando que exp tD é de fato um automorfismo. 2
Agora, seja h uma subálgebra de Cartan de g. Então, g se decompõe em subespaços
de pesos para a representação adjunta de h em g isto é, em subespaços de ráızes:
g = h +
∑
λi
gλi
.
Tomando X num subespaço de ráızes gλi
, ad(X) é nilpotente. De fato, se Y pertence
a um subespaço de ráızes gλj
qualquer, então [X, Y ] ∈ gλi+λj
, e de maneira mais geral,
ad(X)kY ∈ gλj+kλi
e, como existe apenas um número finito de ráızes, ad(X)kY = 0
para algum k ≥ 0 e dáı que ad(X) é nilpotente.
O teorema anterior será aplicado ao seguinte contexto: sejam {X1, . . . , Xn} uma
base de
∑
gλi
, obtida pela união de bases dos subespaços de ráızes gλi
, e {H1, . . . , Hm}
uma base de h. A aplicação φ : Kn × h→ g definida por
φ(t,H) = exp t1 ad(X1) · · · exp tn ad(Xn) (H) ,
onde t = (t1, . . . , tn) ∈ K é polinomial, pois ad(Xi) é nilpotente para cada i = 1, . . . , n
e φ é linear em H. Tomando derivadas parciais em relação a ti, tem-se
∂φ
∂ti
(0, H) = ad(Xi)(H) = −[H,Xi].
4.3. Apêndice: Teorema da aplicação aberta 115
Complementando essas derivadas parciais com as derivadas na direção de H ∈ h, vê-
se que dφ(0,H) é sobrejetora se λ(H) 6= 0 para toda raiz λ. Portanto, φ satisfaz as
condições do teorema 4.11. A partir dáı, é posśıvel mostrar o teorema 4.5. De fato,
seja i o posto de g e pi(X) o polinômio não-nulo em g que é o coeficiente do termo de
menor grau não-nulo do polinômio caracteŕıstico de ad(X). Então, p = pi ◦ φ é um
polinômio não-nulo em K× h, pois dφ é sobrejetora em pelo menos um ponto. Assim,
pelo teorema 4.11, existe um polinômio q em g tal que se Y = φ(t,H) e q(Y ) 6= 0,
então p(t,H) 6= 0.
Agora, p(t,H) = pi(φ(t,H)) e dáı que Y é regular se q(Y ) 6= 0. Porém
Y = exp t1 ad(X1) · · · exp tn ad(Xn)(H)
e, portanto, H é regular, pois a imagem de elementos regulares por automorfismos são
regulares. Isso mostra que h contém elementos regulares como enunciado no teorema
4.5.
Esse argumento mostra, na verdade que, para uma subálgebra de Cartan dada,
existe um polinômio não-nulo q em g tal que o conjunto
Aq = {Y ∈ g : q(Y ) 6= 0}
é formado por elementos regulares e para todo Y ∈ Aq existe um automorfismo ψ de g
tal que ψ(Y ) ∈ h. Tomando então outra subálgebra de Cartan h1 tem-se um polinômio
q1 com as mesma propriedades. Como qq1 é um polinômio não-nulo, existe Y ∈ g tal
que q(Y ) 6= 0 6= q1(Y ). Para esse Y existem automorfismos ψ e ψ1 tais que ψ(Y ) ∈ h
e ψ1(Y ) ∈ h1, de onde se tira que
ψ1ψ
−1(ψ(Y )) ∈ h1.
Mas ψ(Y ) é um elemento regular em h e dáı que ψ1ψ
−1(h) = h1, o que mostra que
duas subálgebras de Cartan são conjugadas entre si. Em suma,
Teorema 4.13 Numa álgebra sobre um corpo algebricamente fechado, as subálgebras
de Cartan são duas a duas conjugadas por automorfismos.
Por fim, no caso em que o corpo não é algebricamente fechado, é posśıvel que
existam subálgebras de Cartan, que não são conjugadas. Mas, em todo caso, o teorema
4.5 continua valendo. Isso porque, estendendo o corpo de base K ao seu fecho algébrico
K, as subálgebras de Cartan h se estendem a subálgebras de Cartan hK e se pi é
o polinômio que determina os elementos regulares, então pi não se anula em hK e,
portanto, pi não se anula em h, o que mostra que em h existem elementos regulares.
4.3 Apêndice: Teorema da aplicação aberta
O objetivo deste apêndice é apresentar uma demonstração do teorema polinomial da
aplicação aberta, o teorema 4.11.
116 Caṕıtulo 4. Subálgebras de Cartan
Retomando a terminologia do ińıcio da seção 4.2, a composta de duas aplicações
polinomiais se obtém por substituição de polinômios em outros e, portanto, é também
polinomial. Em particular, q ◦P é um polinômio em V se P : V → W é polinomial e q
é um polinômio em W . Essa observação permite interpretar as aplicações polinomiais
como homomorfismos entre as álgebras dos polinômios da seguinte maneira: dada uma
aplicação polinomial P : V → W , sua transposta é definida como
σP : q ∈ K[W ] 7−→ q ◦ P ∈ K[V ].
Como pode ser verificado de maneira imediata, σP é um homomorfismo entre as
álgebras K[W ] e K[V ]. Vice-versa, seja σ : K[W ]→ K[V ] um homomorfismo. Tomando
uma base γ = {f1, . . . , fm} de W , sejam y1, . . . , ym os funcionais lineares que a um ele-
mento de W associa suas coordenadas em relação a γ. Então, σ(yi), i = 1, . . . ,m são
polinômios em V . Definindo pi = σ(yi) e pondo
P = p1f1 + · · ·+ pmfm ,
verifica-se imediatamente que P é uma aplicação polinomial tal que σP = σ.
Dessa forma, P 7→ σP define uma aplicação sobrejetora entre o conjunto das
aplicações polinomiais entre V e W e o conjunto dos homomorfismos entre K[W ] e
K[V ]. Essa aplicação também é injetora, já que v1, v2 ∈ W coincidem se λ(v1) =λ(v2)
para todo funcional linear emW . Portanto, se P e Q são aplicações polinomiais tais
que σP = σQ, então λ ◦ P = λ ◦Q para todo funcional λ e dáı que P = Q.
A identificação entre as aplicações polinomiais e os homomorfismos vai ser útil
para dar um tratamento algébrico à geometria das imagens das aplicações polinomiais.
Além do mais, essa identificação tem como caso particular a seguinte caracterização
dos homomorfismos de K[V ] a valores em K.
Proposição 4.14 Seja τ : K[W ]→ K. Então, existe y ∈ V tal que τ(q) = q(y).
Demonstração: É apenas uma questão de fazer o devido reconhecimento dos objetos
envolvidos: seja V = 0 o espaço vetorial trivial. Então, os polinômios em V são
constantes e, portanto, p ∈ K[V ] se identifica com p(0) ∈ K. Da mesma forma, uma
aplicação polinomial P : V → W depende apenas de P (0) = y ∈ W . Pelos comentários
acima, τ = σP para algum P . Portanto, se q ∈ K[W ], então
τ(q) = q ◦ P
se identifica com q ◦ P (0) = q(y). 2
Agora, fixando uma base β de V , um polinômio é escrito como combinação linear
dos monômios formados pelas coordenadas em relação à base. Para um monômio desse
tipo, suas derivadas parciais são definidas como
∂
∂xi
(xr1
1 · · ·xrn
n ) = rix
r1
1 · · ·x
ri−1
i · · ·xrn
n ,
4.3. Apêndice: Teorema da aplicação aberta 117
as quais se estendem aos polinômios por linearidade. A partir dáı, define-se a diferencial
dpx do polinômio p em x como sendo o funcional linear cuja matriz na base β é dada
por
dpx =
(
∂p
∂x1
(x) · · · ∂p
∂xn
(x)
)
.
De maneira semelhante, define-se a diferencial de uma aplicação polinomial
P = p1f1 + · · ·+ pmfm
através de sua matriz em relação às bases β e γ de V e W , respectivamente, como
sendo
dPx =

∂p1
∂x1
(x) · · · ∂p1
∂pn
(x)
...
...
∂pm
∂x1
(x) · · · ∂pm
∂xn
(x)
 . (4.2)
É posśıvel definir dpx e dPx sem recorrer às bases, utilizando a forma intŕınseca dos
polinômios. Em todo caso, pela expressão (4.2), para dPx vê-se de imediato que x 7→
dPx é uma aplicação polinomial de V a valores no espaço das matrizes m × n. Essas
diferenciais satisfazem virtualmente todas as propriedades usuais utilizadas no cálculo
diferencial. Em particular, pode-se verificar diretamente a partir da definição a validade
da regra da cadeia:
d(P ◦Q)x = dPQ(x) ◦ dQx .
Uma relação entre a diferencial de uma aplicação polinomial e o homomorfismo
correspondente é dada pelo seguinte critério que relaciona a injetividade de σP com o
posto de P .
Proposição 4.15 Seja P : V → W uma aplicação polinomial e suponha que dPx0 seja
sobrejetora para algum x0 ∈ V . Então, a transposta σp : K[W ]→ K[V ] é injetora.
Demonstração: Suponha por absurdo que σP não seja injetora e tome q ∈ kerσp
com q 6= 0 e tal que o grau de q é mı́nimo entre os elementos não-nulos do núcleo de
σP . Então, q ◦ P = 0 e, portanto, d(q ◦ P ) é o polinômio identicamente nulo definido
em V e a valores no espaço das matrizes 1× n. Pela regra da cadeia,
dqP (x) ◦ dPx = 0 (4.3)
para todo x ∈ V . Essa igualdade leva a uma contradição, pois ela implica que o
polinômio x 7→ dqP (x) é identicamente nulo. De fato, suponha que isso não ocorra.
Então, pelo fato de que dPx0 é sobrejetora, tem-se que um de seus menores m ×m é
inverśıvel. Denotando esse menor por A(x), o polinômio detA(x) não é identicamente
nulo e, portanto, existe x̄ tal que os polinômios detA(·) e dqP (·) não se anulam em x̄
(pois se p1, . . . , ps são polinômios não-nulos, então p1 · · · ps é não-nulo, o que implica
que existe x̄ tal que pi(x̄) 6= 0, i = 1, . . . , s), o que contradiz (4.3). Assim, (4.3) implica
118 Caṕıtulo 4. Subálgebras de Cartan
que dqP (x) é identicamente nulo como um polinômio em x. Agora, pela definição de
dq, tem-se que suas entradas são polinômios de grau menor que o grau de q. Mas q foi
tomado como sendo de grau mı́nimo entre os elementos não-nulos de kerσP . Assim,
dq = 0 e, portanto, q é o polinômio constante e, como q ◦ P = 0, q = 0, contradizendo
a escolha de q 6= 0 e mostrando que σP é injetora. 2
Para o próximo teorema será usada a seguinte notação: sejam B uma álgebra
associativa sobre K e A ⊂ B uma subálgebra. Então, A[x1, . . . , xr] denota a subálgebra
de B gerada por A e {x1, . . . , xr} ⊂ B.
Teorema 4.16 Sejam K um corpo algebricamente fechado de caracteŕıstica zero e K
uma extensão de K (em particular K é uma álgebra associativa sobre K). Sejam
também A e B = A[x1, . . . , xr] subálgebras de K. Então, homomorfismos de A a
valores em K se estendem a B. De maneira mais espećıfica:
dado p ∈ B, p 6= 0, existe q ∈ A tal que se σ : A→ K é um homomorfismo que satisfaz
σ(q) 6= 0, então σ se estende a um homomorfismo τ : B → K tal que τ(p) 6= 0.
Demonstração: Como
A[x1, . . . , xr] = A[x1, . . . , xr−1][xr],
um racioćınio simples, por indução, garante que é suficiente considerar o caso em que
r = 1 e B = A[x].
Seja C o subcorpo de K gerado por A. Existem duas possibilidades:
I) x é transcendente sobre C, isto é, não existem polinômios com coeficientes em C
que anulam x. Nesse caso, os elementos de A[x] se escrevem de maneira única
como combinações lineares finitas da forma
a0 + a1x+ · · ·+ asx
s ai ∈ A s ≥ 0.
Em particular,
p = b0 + b1x+ · · ·+ bmx
m
e, é claro, pode-se supor que bm 6= 0. O elemento de A desejado é q = bm. De
fato, seja σ : A→ K um homomorfismo tal que σ(q) 6= 0 e considere o polinômio
P na variável λ e com coeficientes em K dado por
P (λ) = σ(b0) + σ(b1)λ+ · · ·+ σ(bm)λm.
Esse polinômio é não-nulo, pois σ(bm) 6= 0 e, portanto, ele tem exatamente m
ráızes em K e, como esse corpo não é finito, existe c ∈ K tal que P (c) 6= 0. A
partir dáı, defina τ por ∑
aix
i 7−→
∑
σ(ai)c
i.
Então, τ está bem definido pelo fato de que os elementos de A[x] se escrevem de
maneira única como combinações lineares de xi, i ≥ 0. A verificação de que τ é
um homomorfismo que estende σ é imediata. Por fim, τ(p) = P (c) 6= 0, o que
conclui a demonstração do caso transcendente.
4.3. Apêndice: Teorema da aplicação aberta 119
II) x é algébrico sobre C, isto é, existe um polinômio
P (λ) = a0 + a1λ+ · · ·+ amλ
m
com coeficientes em C tal que P (x) = 0. Como C é o subcorpo gerado por
A, pode-se supor que os coeficientes de P estão em A. Tomando P de menor
grau entre os polinômios que anulam x, tem-se que P é irredut́ıvel no anel dos
polinômios C[λ] sobre C.
O primeiro passo consiste em estender a A[x], de maneira arbitrária, homomor-
fismos σ : A → K que satisfazem σ(am) 6= 0. Para isso, considera-se a aplicação
avaliação π de C[λ] em A[x] dada por
π(R) = R(x) R ∈ C[λ].
Este é um homomorfismo sobrejetor e, portanto, através dele se tem
A[x] = C[λ]/ kerπ.
Agora, dado σ com σ(am) 6= 0, considere o polinômio
P σ(λ) = σ(a0) + σ(a1)λ+ · · ·+ σ(am)λm
com coeficientes em K. Então, P σ tem ráızes em K, pois esse corpo é algebrica-
mente fechado. Seja c ∈ K uma raiz de P σ. A partir dessa raiz, pode-se definir
o homomorfismo τ ′ : C[λ]→ K por
τ ′ :
∑
aiλ
i 7−→
∑
σ(ai)c
i,
que é evidentemente bem definido e é uma extensão de σ (quando se considera
A ⊂ C[λ] como sendo o conjunto dos polinômios constantes com coeficientes em
A). Para construir uma extensão de σ a A[x], é suficiente mostrar que τ ′ passa ao
quociente por π, isto é, que τ ′(kerπ) = 0. Seja, então, R um polinômio sobre C
em ker π. Pela definição de π, isto significa que R(x) = 0 e, como P foi escolhido
de grau mı́nimo, tem-se que a−1
m P divide R, isto é,
ak
mR = PS
para algum polinômio S e algum expoente k. Mas τ ′(P ) = P σ(c) = 0 e, portanto,
σ(ak
m)τ ′(R) = 0, de onde se tira que τ ′(R) = 0, pois σ(ak
m) = σ(am)k 6= 0 pela
escolha de σ, o que mostra que esses homomorfismos se estendem a A[x].
Agora, tomando p ∈ A[x], tem-se que p também é algébrico sobre C e, portanto,
existe um polinômio de menor grau
Q = c0 + c1λ+ · · ·+ cnλ
n,
com coeficientes emA, tal que Q(p) = 0. Da mesma forma que P , Q é irredut́ıvel
e, portanto, Q(0) 6= 0. Seja q = Q(0)am = c0am com am como acima. Então q é
120 Caṕıtulo 4. Subálgebras de Cartan
o elemento em A que se procura. De fato, se σ : A→ K satisfaz σ(q) 6= 0, então
σ(am) 6= 0 e pelo que foi discutido, σ se estende a um homomorfismo τ de A[x].
Para concluir a demonstração, só falta verificar que τ(p) 6= 0. Para isso, seja o
polinômio
Qσ(λ) = σ(c0) + σ(c1)λ+ · · ·+ σ(cn)λn.
Aplicando τ à igualdade Q(p) = 0, obtém-se que Qσ(τ(p)) = 0. No entanto,
Qσ(0) = σ(c0) 6= 0 por hipótese e dáı que τ(p) 6= 0. 2
Uma vez feita essa preparação, é posśıvel demonstrar o teorema 4.11, da aplicação
aberta.
Demonstração do Teorema 4.11: Seja σP : K[W ]→ K[V ] o homomorfismo definido
por P . Pela proposição 4.15, σP é injetora. Para aplicar o teorema anterior, sejam
K o corpo das frações racionais de K[V ], que é uma extensão de K, e em K sejam as
subálgebras A = σP (K[W ]) e B = K[V ]. Como B é finitamente gerada e contém A,
tem-se em particular que B é gerada por A e uma quantidade finita de elementos de
K. Essas álgebras estão, portanto, nas condições do teorema anterior. Dessa forma,
tomando p ∈ B como no enunciado, seja q ∈ K[W ] tal que σP (q) ∈ A é um dos
elementos cuja existência é garantida no teorema anterior. Esse q é o polinômio em W
que se procura. De fato, seja y ∈ W tal que q(y) 6= 0. Então y define o homomorfismo
σ : K[W ]→ K dado por
σ : q 7→ q(y),
que pode ser interpretado como um homomorfismo de A, pois esta álgebra é isomorfa
a K[W ]. Como q (y) 6= 0, σ(q) 6= 0 e, portanto, σ se estende a um homomorfismo τ
definido em K[V ] tal que τ(p) 6= 0. No entanto, τ(p) = p(x) para algum x ∈ V (veja
proposição 4.14 acima) e, portanto, p(x) 6= 0. Agora, tomando r ∈ K[W ], tem-se que
r(P (x)) = σP (r)(x) = τ(σP (r)) = σ(σP (r)) = r(y).
Como r é arbitrário, P (x) = y, concluindo a demonstração do teorema. 2
Notas
O artigo recente de Michael [34] fornece uma abordagem alternativa para o teorema de
conjugação das subálgebras de Cartan.
4.4 Exerćıcios
1. Mostre que se duas álgebras de Lie são isomorfas, então seus postos coincidem.
Por outro lado, dê exemplos de álgebras de Lie com o mesmo posto que não são
isomorfas.
4.4. Exerćıcios 121
2. Em g = sl (2,R) o número de componentes conexas do conjunto g é maior que o
de classes de equivalência de subálgebras de Cartan.
3. Sejam X e Y matrizes reais e considere as funções α (t) = exp (t ad (X))Y e
β (t) = exp (tX)Y exp (−tX) com t ∈ R. Verifique que α e β satisfazem uma
mesma equação diferencial com mesma condição inicial α (0) = β (0) e conclua
que
ead(X)Y = eXY e−X .
4. Sejam g uma álgebra de Lie de dimensão finita, que não é nilpotente, e X ∈ g
um elemento regular. Então, existe uma representação de dimensão finita ρ de g
tal que ρ (X) é inverśıvel.
5. Toda subálgebra de Cartan h ⊂ g com dim h > 1, contém elementos não nulos
que não são regulares (descarte o caso patológico em que g é nilpotente).
6. Sejam hi ⊂ gi, i = 1, 2 subálgebras de Cartan. Mostre que h1 ⊕ h2 é subálgebra
de Cartan de g = g1 ⊕ g2. Reciprocamente, sejam πi, i = 1, 2 as projeções de g
em gi. Mostre que se h ⊂ g é uma subálgebra de Cartan, então πih é de Cartan
em cada uma das componentes.
7. Sejam φ um automorfismo e h uma subálgebra de Cartan de g. Se λ é uma raiz
de h em g, então λ ◦ φ−1 é raiz de h1 = φ (h) e vale a relação φ (gλ) = gλ◦φ.
8. Seja K um corpo algebricamente fechado e β1 e β2 bases de Kn tal que β1 6= β2
(como conjuntos e não apenas como bases ordenadas). Se H é diagonal tanto na
base β1 quanto na base β2, então H tem um autovalor com multiplicidade maior
que um. Qual a relação disso com subálgebras de Cartan?
9. Seja V o subespaço
V = {(a1, . . . , an) ∈ C : a1 + · · ·+ an = 0}.
O subconjunto dos elementos (a1, . . . , an) tais que ai 6= aj se i 6= j é conexo. De
novo, qual a relação disso com as subálgebras de Cartan?
10. Se no exerćıcio anterior C é substitúıdo por R, então o conjunto em questão tem
n! componentes conexas.
11. Encontre as subálgebras de Cartan de gl (n,C).
12. Se D : g → g é uma transformação linear nilpotente, então faz sentido, em
qualquer corpo de escalares, escrever
expD =
∑
k≥0
1
k!
Dk
pois a soma no segundo membro é finita. Mostre que se D é nilpotente, então D
é derivação se e só se exp (tD) é automorfismo para todo t.
122 Caṕıtulo 4. Subálgebras de Cartan
13. Mostre que se uma subálgebra de Cartan de g é abeliana, então todas as demais
também são abelianas e, nesse caso, o centro de g coincide com a interseção das
subálgebras de Cartan.
Caṕıtulo 5
Cohomologia
Neste caṕıtulo, serão demonstrados dois teoremas fundamentais da teoria, que são os
teoremas de decomposição de Weyl e de Levi. O teorema de Weyl garante que toda
representação de dimensão finita de uma álgebra de Lie semi-simples é completamente
redut́ıvel. Já o teorema de decomposição de Levi assegura que uma álgebra de Lie
qualquer é o produto semidireto de uma subálgebra semi-simples pelo radical solúvel.
O contexto em que esses teoremas devem ser colocados é o da teoria de cohomologia
de álgebras de Lie aonde eles são obtidos como conseqüências dos lemas de Whitehead
sobre a cohomologia de álgebras semi-simples.
5.1 Definições
Sejam g uma álgebra de Lie e ρ : g→ gl(V ) uma representação de g no espaço vetorial
V. Associados a g e V , considere os espaços An de aplicações multilineares alternadas,
definidos da seguinte forma:
• A0 = V que é interpretado como o espaço das aplicações constantes fv : g→ V ,
fv(X) = v.
• An, n ≥ 1 é o espaço das aplicações n-lineares de g em V
f : gn −→ V
que satisfazem, para toda permutação σ de n-elementos,
f(Xσ(1), . . . , Xσ(n)) = (−1)|σ|f(X1, . . . , Xn),
onde |σ| denota o grau da permutação σ, que é 0 ou 1 dependendo se σ é o
produto de uma quantidade par ou ı́mpar de permutações simples.
No caso em que tanto g quanto V são de dimensão finita, An também é de dimensão
finita e sua dimensão é dada por
dimAn = d
(
m
n
)
, (5.1)
123
124 Caṕıtulo 5. Cohomologia
onde d é a dimensão de V e m é a dimensão de g. Isso porque, ao escolher uma base
de V , pode-se definir um isomorfismo entre An e (∧ng)d através das coordenadas dos
elementos de V em relação à base dada. Uma conseqüência da fórmula da dimensão
(5.1) é que An = 0 se n ≥ m e dáı que a quantidade dos espaços An é finita.
A cohomologia de g em relação à representação ρ é definida a partir do operador
de diferenciação exterior dn : An−1 → An, n ≥ 0, que, por sua vez, é definido pela
fórmula
(df)(X1, . . . , Xn) =
∑
i(−1)i+1ρ(Xi)f(X1, . . . , X̂i, . . . , Xn)
+
∑
i,j(−1)i+jf([Xi, Xj], X1, . . . , X̂i, . . . , X̂j, . . . , Xn).
Nesta fórmula, o śımbolo ̂ significa, como é usual, que o que está sob ele deve ser
omitido. Neste caṕıtulo, a preocupação principal é com as cohomologias de ordem
baixa que envolvem dn apenas para n ≤ 2. As expressões de d para esses valores de n
são:
d0v(X) = ρ(X)v
se v ∈ V e X ∈ g,
d1f(X, Y ) = ρ(X)f(Y )− ρ(Y )f(X)− f([X, Y ])
se f ∈ A1 e X, Y ∈ g e
d2f(X,Y, Z) = ρ(X)f(Y, Z)− ρ(Y )f(X,Z) + ρ(Z)f(X, Y )
−f([X, Y ], Z) + f([X,Z], Y )− f([Y, Z], X)
se f ∈ A2 e X, Y, Z ∈ g.
Para toda f ∈ An, df ∈ An+1 e d2 = 0, isto é, dn+1dn = 0 para todo n ≥ 0. Esses
fatos não serão mostrados aqui. Se n = 0, então, para v ∈ V ,
d1d0v(X, Y ) = ρ(X)ρ(Y )v − ρ(Y )ρ(X)v − ρ([X, Y ])v
e, portanto, d1d0 se anula pelo fato de que ρ é uma representação. Se f ∈ A1, então
d2d1f(X, Y, Z) é dada por uma expressão com dezoito termos que se cancelam mutua-
mente pela identidade de Jacobi e pelo fato de que ρ é uma representação.
Exemplo: Seja f : g × g → g dada pelo colchete, f(X,Y ) = [X, Y ]. Sem dúvida,
f ∈ A2. Tomando a representação adjunta ρ = ad, df = 0. Esta igualdade pode ser
verificadadiretamente (ela é equivalente à identidade de Jacobi) ou pelo fato de que
f = dh onde h é a identidade de g. De fato,
dh(X, Y ) = ρ(X)h(Y )− ρ(Y )h(X)− h[X, Y ]
= [X, Y ]− [Y,X]− [X, Y ]
= [X, Y ]
= f(X, Y )
e, portanto, df = d2h = 0. 2
5.1. Definições 125
Definição 5.1 1. Cn = ker dn ⊂ An
2. Fn = im dn−1. Tem-se, pela proposição anterior, que Fn ⊂ Cn.
3. Hn = Cn/Fn para n ≥ 1.
Os elementos de Cn são chamados de cociclos e os de Fn de cofronteiras e Hn,
n ≥ 1 são os espaços de cohomologia da representação. A rigor, Hn deveria ser escrito
como Hn(g, ρ) assim como An, Cn, Fn. Deve-se ressaltar que Hn e Cn se anulam se
n > dim g.
Exemplos:
1. Sejam g uma álgebra abeliana de dimensão finita, V = K, o corpo de escalares e
ρ uma representação em V , isto é, ρ é um funcional linear em g.
2. Como g é abeliana,
df(X1, . . . , Xn) =
n∑
i=1
(−1)i+1ρ(Xi)f(X1, . . . , X̂i, . . . , Xn).
Distinguem-se dois casos,
(a) ρ = 0. Neste caso, d = 0 e, portanto, Fn = 0 , Cn = An e Hn = An e sua
dimensão é dada por
(
dim g
n
)
.
(b) ρ 6= 0. Para encontrar o H1 neste caso, seja f = dv ∈ F1. Então, f(X) =
ρ(X)v com v ∈ K e, portanto,
F1 = {f : f = vρ, v ∈ K} = Kρ,
isto é, F1 é o subespaço de g∗ gerado por ρ. Seja f ∈ A1. Então, df(X, Y ) =
ρ(X)f(Y )−ρ(Y )f(X) e, portanto, f ∈ C1 se e só se ρ(X)f(Y ) = ρ(Y )f(X).
Tomando Y tal que ρ(Y ) 6= 0,
f(X) =
f(Y )
ρ(Y )
ρ(X)
para todo X. Dáı que F1 = C1 e, portanto, H1 = 0.
3. Seja g a álgebra de Heisenberg com base {X,Y, Z}, [X,Y ] = Z. Considere a
representação trivial ρ = 0 unidimensional. Então,
F1 = {f : f(W ) = ρ(W )v = 0 para todo W} = 0.
Quanto a C1, f ∈ C1 se e só se para todo X1, X2 ∈ g,
ρ(X1)f(X2)− ρ(X2)f(X1)− f [X1, X2] = 0
126 Caṕıtulo 5. Cohomologia
isto é, f [X1, X2] = 0 com X1 e X2 arbitrários. Esta igualdade é equivalente a
f(Z) = 0. Portanto,
C1 = {f : f(Z) = 0}
e dáı que dim C1 = 2 e, como H1 = C1, dimH1 = 2.
Quanto a H2, se f ∈ A2, para encontrar df é suficiente encontrar df(X, Y, Z). O
qual, por sua vez, é dado por
df(X, Y, Z) = −f([X,Y ], Z) + f([X,Z], Y )− f([Y, Z], X)
= −f(Z,Z)
= 0
e dáı que C2 = A2. Para encontrar F2, seja β ∈ F2. Então, β(X1, X2) =
f [X1, X2] para algum f ∈ A1. Como [X1, X2] é um múltiplo de Z, conclui-se que
β é um múltiplo de γ onde
γ(X1, X2) = f0[X1,X2],
sendo que f0(X) = f0(Y ) = 0 e f0(Z) = 1. Dáı que dimF2 = 1 e, portanto,
dimH2 = 2.
Já H3 = A3 cuja dimensão é 1. Isso porque F3 = 0, pois d2 = 0, como foi
verificado acima, e C3 = A3, pois d3 = 0, já que A4 = 0.
4. Seja g = sl(2,R) e ρ a representação trivial de dimensão um. Usando a base
{X,H, Y } de sempre,
• d0v(·) = ρ(·)v = 0.
• d1f(X,H) = −f [X,H] = 2f(X).
d1f(X,Y ) = −f [X, Y ] = −f(H).
d1f(H, Y ) = −f [H, Y ] = 2f(Y ).
Dessas igualdades, tira-se que dimF2 = 3 = dimA2, isto é, F2 = A2. De
fato, variando f na base {α, β, γ} dual de {X,H, Y }, df percorre a base
{α ∧ β, α ∧ γ, β ∧ γ} de ∧2g.
• d2 = 0 pois
d2f(X,H, Y ) = −f([X,H], Y ) + f([X, Y ], H)− f([H, Y ], X)
= 2f(X, Y ) + 2f(Y,X)
= 0.
• d3 = 0 pois A4 = 0.
Dessas observações sobre d, tira-se que H1 = 0, H2 = 0, H3 = A3 e Hn = 0 para
n ≥ 4.
O fato de que H1 e H2 se anulam será generalizado logo mais para representações
arbitrárias de álgebras semi-simples quaisquer, como é o caso de sl(2,R).
5.1. Definições 127
5. Sejam W um espaço vetorial e h ⊂ gl(W ) uma subálgebra de Lie e considere
o espaço vetorial V = h ⊕W . Seja g = W visto como álgebra abeliana. Seja
também ρ a representação de g em V dada por
ρ(u)(A, v) = (0, Au) u ∈ W,A ∈ h, v ∈ W. (5.2)
O fato de ρ ser uma representação segue das igualdades
ρ[u, v] = 0, pois g é abeliana
e
[ρu, ρv](A,w) = (ρu)(ρv)(A,w)− (ρv)(ρu)(A,w)
= (ρu)(0, Av)− (ρv)(0, Au)
= 0,
pois ρ(u)(0, w) = 0.
Para encontrar H1 desta representação, seja f : W → h ⊕ W = V e escreva
f = (f1, f2) com f1 : W → h e f2 : W → W. A partir dessa decomposição dos
elementos de A1, vale a seguinte decomposição de A1: definindo
A1
1 = {f ∈ A1 : f1 = 0} = gl(W )
e
A1
2 = {f ∈ A1 : f2 = 0} = L(W, h)
Evidentemente
A1 = A1
1 ⊕A1
2.
Com esta decomposição, fica posśıvel encontrar d:
Para d0, seja f = (A, v) ∈ V = h⊕W . Então,
(d0f)(u) = ρ(u)(A, v) = (0, Au) A ∈ h, u ∈ W.
Portanto, F1 ⊂ A1
1 e, como A ∈ h, F1 = h ⊂ gl(W ).
Para d1, tome em primeiro lugar f ∈ A1
1. Então,
(d1f)(u, v) = ρ(u)f(v)− ρ(v)f(u) = 0,
pois tanto f (u) quanto f(v) são da forma (0, ∗) e ρ(u) ou ρ(v) se anula quando
aplicado num elemento deste tipo. Isso mostra que A1
1 ⊂ C1 e, como F1 ⊂ A1
1, a
primeira cohomologia se decompõe como
H1 = (A1
1/F1)⊕ (A1
2 ∩ C1).
O quociente que aparece no primeiro termo desta soma é gl(W )/h (quociente de
espaços vetoriais) e, portanto, é dado juntamente com h. De fato, A1
1 = gl(W )
e F1 = h, como já foi visto. Já a segunda parcela da soma é dada pelos cociclos
128 Caṕıtulo 5. Cohomologia
em A1
2. Para encontrá-los, tome f ∈ A1
2. Então, f = (f1, 0) com f1 : W → h.
Tem-se,
d1f(u, v) = ρ(u)(f1(v), 0)− ρ(v)(f1(u), 0)
= f1(v)u− f1(u)v
(5.3)
e, portanto,
C1 ∩ A1
2 = {f : W → h : f(u)v = f(v)u todo u, v}.
Se h é uma subálgebra de gl(W ), o espaço das aplicações f : W → h que são
cociclos, como em (5.3), é denominado de prolongamento de h e é denotado por
h(1). A cohomologia H1, da representação (5.2), é, portanto, (gl (W ) /h)⊕ h(1).
Eis alguns exemplos de prolongamentos
(a) Seja h = so(n,R) ∈ gl(Rn). Então, h(1) = 0. De fato, sejam f ∈ h(1) e
u, v, w ∈ Rn. Então, se 〈·, ·〉 denota o produto interno canônico,
〈f(u)v, w〉 = −〈v, f(u)w〉 = −〈v, f(w)u〉
= 〈f(w)v, u〉 = 〈f(v)w, u〉
= −〈w, f(v)u〉 = −〈w, f(u)v〉
e dáı que 〈f(u)v, w〉 = 0 para todo u, v, w e, conseqüentemente, f = 0.
(b) Da mesma forma, pode-se verificar que (so(p, q))(1) = 0. 2
5.2 Interpretações de H1 e H2
Em geral, o anulamento de algum dos espaçosHn está ligado, de uma forma ou de outra,
à existência de complementares de subespaços em espaços de representações. Como
será visto adiante, esta relação entre a cohomologia e a existência de complementares é
o que permitirá demonstrar dois resultados bastante úteis que são o teorema de Weyl,
que garante a redutibilidade completa das representações de álgebras semi-simples, e o
teorema de Levi, que decompõe uma álgebra arbitrária como soma direta de seu radical
solúvel e uma álgebra semi-simples.
5.2.1 Existência de complementares e H1
Sejam ρ uma representação de g em V, de dimensão finita, e W um subespaço de V
que seja invariante por g. Seja também P o conjunto das projeções de V cuja imagem
é W. Isto é,
P = {P ∈ gl(V ) : P 2 = P e imP = W}.
O núcleo de cada projeção P ∈ P é um subespaço complementar a W , pois o
núcleo e a imagem de uma projeção são complementares. Reciprocamente, dada uma
decomposição V = W ⊕W ′, a aplicação v = v1+v2 ∈ V 7→ v1 ∈ W , com v1 ∈ W e v2 ∈
W ′, define uma projeção com núcleo W ′ e imagem W . Portanto, os complementares
5.2. Interpretações de H1 e H2 129
W ′ de W são descritos pelas projeções com imagem em W . Um complementar W ′
é invariante se e só se a projeção correspondente comuta com todos os elementos da
imagem de ρ: [ρ(X), P ] = 0 para todo X ∈ g. De fato, tome v ∈ kerP e X ∈ g. Então,
Pρ(X)v = ρ(X)Pv + [P, ρ(X)]v = 0 e, portanto, ρ(X)v ∈ kerP se [ρ(X), P ] = 0
e kerP é invariante. Por outro lado, a mesma igualdade mostra que [ρ(X), P ]v = 0
se kerP é invariante. Além do mais, se w ∈ W,Pw = w e ρ(X)w ∈ W e dáı que
[ρ(X), P ]w = 0, o que mostra que [ρ(X), P ] = 0. Algebricamente, portanto, a existência
de um complementar invariante é descrito pela comutatividade da projeção com os
elementos da álgebra. Essa comutatividade tem uma interpretação cohomológica da
seguinte forma:
O conjunto P das projeções sobre W é um subespaço afim do espaço dos endo-
morfismos de V. Seu subespaço vetorial paralelo é o espaço das transformações cuja
imagem é W e que se anulam em W
E = {T ∈ gl (V ) : T(W ) = 0 e T (V ) ⊂ W}.
Para ver isso, tome P,Q ∈ P . Então, P e Q coincidem em W e, portanto, P −Q se
anula em W e como a imagem está em W , P −Q ∈ E . Isso mostra que P está contido
num subespaço afim paralelo a E . Por outro lado, dados P ∈ P , T ∈ E , P + T ∈ P ,
pois sua imagem está em W , como segue direto das definições, sua restrição W é a
identidade pelo fato de T se anular em W e
(P + T )2 = P 2 + PT + TP + T 2 = P + T,
pois P 2 = P , T 2 = 0, TP = 0 e PT = T , como decorre do fato de que a imagem de T
está contida em W e a restrição de P a W é a identidade.
Em suma, para qualquer projeção P ∈ P , P = P + E . Dessa forma, os subespaços
complementares a W são descritos pelos elementos de E tão logo uma projeção P0 ∈ P
for fixada.
Voltando à questão da existência de complementares invariantes, fixando P0 ∈ P ,
e tomando T ∈ E , o subespaço complementar associado a P = P0 + T é invariante se
e só se [ρ(X), P ] = 0 para todo X ∈ g o que, por sua vez, ocorre se e só se
[ρ(X), T ] = [ρ(X),−P0] (5.4)
para todo X ∈ g. Por outro lado, esta igualdade pode ser interpretada como sendo a
igualdade que garante que um certo cociclo de uma representação de g em E é uma
cofronteira, isto é, como uma igualdade cohomológica. De fato, seja ρ̃ : g → gl(E) a
aplicação dada por
ρ̃(X)T = [ρ(X), T ].
Esta aplicação define uma representação de g em E . De fato, ρ̃ é nada mais nada
menos que a restrição a E da composta da representação adjunta de gl (V ) pela repre-
sentação ρ. O fato de que essa restrição é posśıvel é devido a que E é invariante pelas
adjuntas de ρ (X), X ∈ g, já que a imagem da aplicação
ρ (X)T − Tρ (X)
130 Caṕıtulo 5. Cohomologia
é um subespaço contido em W , e o núcleo dessa aplicação contém W , pois este subes-
paço é invariante por ρ (X).
Uma vez tendo esta representação, a igualdade (5.4) se interpreta da seguinte
maneira. O primeiro membro é nada mais nada menos que ρ̃(X)T, isto é, dT. Já
o segundo membro é f(X) onde f : g → E é dada por f(X) = [ρ(X), P0]. Essa f é
linear e, portanto, um elemento de A1. Mais que isso, f é um cociclo já que
df(X, Y ) = ρ̃(X)f(Y )− ρ̃(Y )f(X)− f [X, Y ]
= [ρ(X), [ρ(Y ),−P0]]− [ρ(Y ), [ρ(X),−P0]]− [[ρ(X), ρ(Y )],−P0]
= 0
pela identidade de Jacobi em gl (E).
Em suma, o subespaço complementar associado a T é invariante se dT coincide com
o cociclo f(X) = [ρ(X), P0].
Para verificar, então, se o subespaço invariante W admite ou não complementar
invariante é suficiente verificar se um determinado cociclo é ou não uma cofronteira.
O interessante desta afirmação está no fato de que se a representação ρ̃ tem H1 = 0,
então W admite subespaço invariante complementar. Isso merece ser destacado.
Proposição 5.2 Com as notações acima, W admite subespaço invariante complemen-
tar no caso em que H1(g, ρ̃) = 0.
Vai ser mostrado adiante que se g é semi-simples, então, para todas suas repre-
sentações de dimensão finita, H1 = 0. Isso, juntamente com a proposição anterior,
garante que as representações de dimensão finita de álgebras semi-simples são comple-
tamente redut́ıveis.
5.2.2 Extensões abelianas e H2
Uma extensão da álgebra de Lie g consiste de uma álgebra g juntamente com um
homomorfismo sobrejetor π : g→ g. Em outras palavras, uma extensão de g é qualquer
álgebra que admite g como quociente g ≈ g/ kerπ. Uma das perguntas principais que
se faz sobre as extensões de g é a da existência ou não de uma subálgebra h ⊂ g tal
que h ≈ g e g = kerπ ⊕ h. Isto é, se g pode ou não ser realizada como subálgebra
de g. Deve-se observar que esta realização é posśıvel no caso em que g é um produto
direto em que um dos fatores é isomorfo a g. Nesse caso, g se realiza em g não apenas
como subálgebra mas como um ideal de g. Essa questão de realizar um quociente na
álgebra é levantada com o intuito de decompor a extensão g. Uma situação em que
uma tal decomposição vai aparecer adiante é o caso do quociente g ≈ g/r(g) da álgebra
g pelo seu radical solúvel. A possibilidade de realizar g em g fornece o teorema de
decomposição de Levi, que garante que uma álgebra arbitrária pode ser escrita como
de soma de seu radical por uma álgebra semi-simples.
Não serão consideradas aqui extensões arbitrárias, mas apenas extensões abelia-
nas, isto é, extensões para as quais kerπ é um ideal abeliano de g. O teorema de
decomposição de Levi pode ser reduzido a extensões deste tipo.
5.2. Interpretações de H1 e H2 131
Para olhar a realização de g na extensão abeliana de dimensão finita g, a primeira
observação que se faz é que os subespaços de g complementares a ker π são descritos
pelas seções σ : g → g que são as transformações lineares que satisfazem πσ = 1.
De fato, dado um subespaço W ⊂ g, complementar a kerπ, a restrição de π a W é
inverśıvel e sua inversa define uma seção de g em g. Vice-versa, a imagem de uma
seção é um subespaço que complementa ker π, já que σ é injetora (por admitir inversa
à esquerda) e sua imagem intercepta kerπ apenas na origem.
Denote por V o núcleo de π.
Com o objetivo de descrever os complementares que são subálgebras em termos de
σ, considera-se a aplicação fσ : g× g→ V dada por
fσ(X,Y ) = [σX, σY ]− σ[X, Y ].
O fato de que fσ, definida dessa forma, assume valores em V , é devido a que
πfσ(X, Y ) = π[σX, σY ]− πσ[X,Y ] = 0.
Esta igualdade permite provar que as afirmações abaixo são equivalentes.
i) fσ = 0.
ii) σ é homomorfismo.
iii) A imagem de σ é uma subálgebra.
De fato, a equivalência entre i) e ii) é imediata. Já iii) é conseqüência de ii) pelo
fato de que a imagem de um homomorfismo é uma subálgebra. Por outro lado, se
a imagem de σ é subálgebra, o segundo membro na definição de fσ pertence a essa
imagem e, portanto, é necessariamente nulo.
Em vista disso, a questão de encontrar um complementar que é subálgebra se reduz
à questão de encontrar uma seção σ tal que fσ = 0.
Agora, dada uma seção σ, todas as outras seções são descritas como σ′ = σ − p
onde p : g → V é uma transformação linear arbitrária. De fato, dada uma seção σ′,
σ′ − σ assume valores em V pois π(σ′ − σ) = πσ′ − πσ = 0 e, portanto, σ′ = σ − p
com p = σ − σ′. Vice-versa, σ − p é uma seção, pois π(σ − p) = πσ = 1. A existência
de complementar que é subálgebra se garante mostrando que fσ é uma cofronteira da
seguinte representação de g em V : seja ρ : g→ gl(V ) definida por
ρ(X)v = [σ(X), v]
onde o colchete é tomado em g. Observe que ρ(X)v ∈ V , pois V é um ideal de g.
Então, ρ define uma representação, pois
ρ[X, Y ]v = [σ[X,Y ], v]
= [σ[X,Y ] + [σX, σY ]− σ[X, Y ], v],
132 Caṕıtulo 5. Cohomologia
já que [σX, σY ]− σ[X, Y ] ∈ V e V é uma álgebra abeliana. Dáı que
ρ[X, Y ] = [[σX, σY ], v]
= [ρX, ρY ]v
e, portanto, ρ é um homomorfismo (a definição dessa representação independe da seção
σ fixada pois [σ′(X) − σ(X), v] = 0 já que V é uma álgebra abeliana). Voltando a
fσ, ela é claramente anti-simétrica. Além do mais, ela é um cociclo da representação ρ
pois
dfσ(X, Y, Z) = [σX, [σY, σZ]]− [σY, [σX, σZ]] + [σZ, [σX, σY ]]
−[σ[X, Y ], σZ] + [σ[X,Z], σY ]− [σ[Y, Z], σX]
−[σX, σ[Y, Z]] + [σY, σ[X,Z]]− [σZ, σ[X, Y ]]
+σ[[X, Y ], Z]− σ[[X,Z], Y ] + σ[[Y, Z], X]
e esta expressão se anula da seguinte forma: os três primeiros e os três últimos pela
identidade de Jacobi e os seis intermediários se cancelam dois a dois. Suponha que
além de cociclo, fσ seja uma cofronteira (o que ocorre se H2(ρ) = 0). Então, fσ = dp
para algum p : g→ V . Tome a seção σ′ = σ − p. Então, por ser V álgebra abeliana,
fσ′(X, Y ) = fσ(X, Y )− ([σX, pY ]− [σY, pX]− p[X, Y ])
= fσ(X, Y )− dp(X, Y )
= 0
e σ′ está associada a uma subálgebra complementar de kerπ. Dáı que
Proposição 5.3 Com as notações acima, suponha que H2 da representação ρ de g em
V se anule. Então, existe uma subálgebra h ⊂ g tal que g = ker π ⊕ h.5.2.3 Representações afins
A álgebra afim af(V ) do espaço vetorial V é a álgebra que tem por espaço subjacente
o produto gl(V )× V , sendo que o colchete é dado por
[(A, v), (B,w)] = ([A,B], Aw −Bv) A,B ∈ gl(V ); v, w ∈ V.
Isso significa que af(V ) é o produto semi-direto de gl(V ) por V , dado pela repre-
sentação canônica.
Seja g uma álgebra de Lie. Uma representação afim de g em V é um homomorfismo
α : g → af(V ). Escrevendo α em coordenadas como α(X) = (ρ(X), v(X)) com
ρ : g → gl(V ) e v : g → V aplicações lineares, a condição para que α seja um
homomorfismo vem das igualdades
α[X, Y ] = (ρ[X,Y ], v[X, Y ])
e
[αX,αY ] = [(ρ(X), v(X)), (ρ(Y ), v(Y ))]
= ([ρ(X), ρ(Y )], ρ(X)v(Y )− ρ(Y )v(X)).
5.2. Interpretações de H1 e H2 133
Dáı que α é uma representação afim se, e só se, ρ[X,Y ] = [ρX, ρY ], isto é, ρ é uma
representação linear usual e
v[X,Y ] = ρ(X)v(Y )− ρ(Y )v(X).
Essa igualdade, por sua vez, é equivalente a
ρ(X)v(Y )− ρ(Y )v(X)− v[X, Y ] = 0,
o que significa que v é um cociclo para ρ. Portanto, uma representação afim consiste
de um par formado por uma representação linear e por um cociclo da representação.
Nesse sentido, é posśıvel distinguir representações afins equivalentes por intermédio da
primeira cohomologia da representação linear ρ.
Duas representações afins, α1, α2 : g→ af(V ), são equivalentes se existe um auto-
morfismo ψ de af (V ) tal que α1 (X) = ψ (α2 (X)). Os automorfismos de af (V ) são
da forma
ψ (A, v) =
(
PAP−1, Pv − PAP−1a
)
com P : V → V linear inverśıvel e a ∈ V (veja o exerćıcio 3, ao final do caṕıtulo).
Portanto, escrevendo as representações em coordenadas como αi = (ρi, vi), as repre-
sentações são equivalentes se, e só se, existem P e a tal que para todo X ∈ g,
ρ1(X) = Pρ2(X)P−1
v1(X) = Pv2(X)− Pρ2(X)P−1a.
Essas condições ocorrem se, e só se, ρ1 e ρ2 são equivalentes como representações
lineares e v1 e Pv2 são cociclos cohomólogos para ρ1, uma vez que o último termo da
segunda igualdade é uma co-fronteira (Observe que Pv2 é também um cociclo para
ρ1.) Isso permite distinguir as representações afins através da primeira cohomologia
das representações lineares.
Em primeiro lugar a equivalência das representações lineares é condição necessária
para a equivalência das representações afins. O que leva a considerar o caso em que
ρ1 = ρ2 = ρ. Nesse caso, dois cociclos v1 e v2 definem representações afins equivalentes
se, e só se, existe P com ρ (·) = Pρ (·)P−1 tal que v1 e Pv2 são cohomólogos. Em
particular, se H1 (ρ) = 0, então todas as representações afins com parte linear ρ são
equivalentes entre si e equivalentes à própria ρ, que corresponde ao cocilo nulo.
Em geral, deve-se conhecer o grupo das transformações P que comutam com a
imagem de ρ e olhar suas órbitas em H1 (ρ) ou, mais precisamente, no espaço projetivo
de H1 (ρ). Isso se dá da seguinte forma: seja Gl (V ) o conjunto das transformações
lineares inverśıveis P : V → V e denote por
Z (ρ) = {P ∈ Gl (V ) : ∀X ∈ g, Pρ (X)P−1 = ρ (X)}
o centralizador de ρ (g) em Gl (V ). Valem as seguintes propriedades:
1. Z (ρ) é um grupo.
134 Caṕıtulo 5. Cohomologia
2. Z (ρ) contém o subgrupo das transformações escalares P = xid, x ∈ K,, x 6= 0.
3. Se α ∈ Ak e P ∈ Z (ρ), então Pα é um novo elemento de An e essa expressão
define ações de Z (ρ) e cada um dos espaços An.
4. Um cálculo direto, usando a comutatividade Pρ (X) = ρ (X)P , mostra que
dnPα = Pdnα. Essa igualdade garante que tanto Cn = ker dn quanto Fn =
im dn−1 são invariantes por cada P ∈ Z (ρ). Portanto, cada P ∈ Z (ρ) induz uma
aplicação linear em Hn (ρ), o que define uma ação de Z (ρ) em Hn (ρ).
5. Denote por PH1 (ρ) o espaço projetivo de H1 (ρ), isto é, o conjunto das retas
passando pela origem deH1 (ρ), e por af (ρ) o conjunto das classes de equivalência
de representações afins cuja parte linear é ρ. Então, existe uma aplicação bem
definida f : PH1 (ρ) → af (ρ), que à reta r ∈ PH1 (ρ) associa a representação
afim definida por 1–cociclo que representa qualquer gerador de r. A aplicação
é bem definida, pois dois cociclos determinam representações afins equivalentes
se eles são cohomólogos ou se um é multiplo do outro (pois Z (ρ) contém as
transformações escalares).
6. A aplicação f : PH1 (ρ) → af (ρ) satisfaz a igualdade f (r1) = f (r2) se, e só se,
existe P ∈ Z (ρ) tal que r2 = P (r1). Isso vem do fato de que dois cociclos não
nulos v1 e v2 definem representações afins equivalentes se, e só se, existe P ∈ Z (ρ)
tal que v1 e Pv2 são cohomólogos.
Em suma,
Proposição 5.4 O conjunto das classes de equivalência das representações afins cuja
parte linear é ρ está em bijeção com o conjunto das órbitas de Z (ρ) em PH1 (ρ) jun-
tamente com {0}, que corresponde à própria ρ.
Por exemplo, suponha que ρ seja irredut́ıvel e o corpo dos escalares seja algebri-
camente fechado. Então, pelo lema de Schur, Z (ρ) é o conjunto das transformações
escalares. Portanto, o conjunto das classes de equivalência das representações afins
está em bijeção com PH1 (ρ) ∪ {0}.
5.3 Lemas de Whitehead
Os lemas a que se refere o t́ıtulo desta seção, estão embutidos no seguinte teorema. O
plural é para cada uma das cohomologias H1 e H2.
Teorema 5.5 Sejam g uma álgebra de Lie semi-simples de dimensão finita e ρ uma
representação de g em V também de dimensão finita. Então H1(ρ) e H2(ρ) se anulam.
A demonstração deste teorema é feita em duas partes; uma para cada um dos
espaços de cohomologia.
5.3. Lemas de Whitehead 135
Para H1, seja ρ̃ a representação canônica de g em A1, vista como subespaço de
V ⊗ g∗. Para f ∈ A1, e X ∈ g, ρ̃(X)f é dada por
(ρ̃(X)f)(Y ) = ρ(X)f(Y )− f [X, Y ].
O objetivo é mostrar que C1 = F1, sendo que esses dois espaços são subespaços
de A1, isto é, do espaço da representação de ρ̃. Seja f ∈ C1. Uma comparação entre
as expressões de ρ̃(X)f e df mostra que ρ̃(X)f(Y ) = ρ(Y )f(X). De onde se tira
que ρ̃(X)f = d(f(X)) e, portanto, que ρ̃(X)f é uma cofronteira. Isso significa que
ρ̃(X)C1 ⊂ F1 para todo X ∈ g. Como F1 ⊂ C1, isso mostra que C1 é invariante por
ρ̃. Denote por ρ̄ a restrição de ρ̃ a C1. O fato de que ρ̃(X)C1 ⊂ F1, para todo X ∈ g,
mostra que ∑
X∈g
im ρ̄(X) ⊂ F1.
Por outro lado, foi mostrado no caṕıtulo 3 (veja proposição 3.20) que, para qualquer
representação de uma álgebra semi-simples, a soma das imagens dos elementos de g
complementa a interseção de seus núcleos. Em particular para ρ̄,
C1 =
⋂
X∈g
ker ρ̄(X) ⊕
∑
X∈g
im ρ̄(X).
Como o primeiro termo do segundo membro desta expressão está contido em F1, para
mostrar então que F1 = C1, é suficiente mostrar que
⋂
X∈g ker ρ̄(X) = 0.
Seja então f ∈ C1 tal que ρ̃(X)f(Y ) = 0 para todo X, Y ∈ g. Então, para todo
X, Y ∈ g, ρ(Y )f(X) = 0, o que fornece, invertendo as posições deX e Y , que f [X, Y ] =
0 para todo X, Y ∈ g. Isto é, f se anula no derivado g′ de g. Como g é semi-simples,
g′ = g o que mostra que f = 0 concluindo que H1 = 0.
Antes de passar ao segundo lema, deve-se observar que o anulamento de H1 mostra
de imediato o teorema de decomposição de Weyl e, portanto, que o espaço V de qual-
quer representação ρ de g se decompõe em soma direta como
V =
⋂
X∈g
ker ρ(X)⊕
∑
X∈g
im ρ(X)
(veja o corolário 5.7 na próxima seção).
Considerando agora H2, seja, da mesma forma, ρ̃ a representação canônica de g em
A2 visto como subespaço de V ⊗
∧2
g∗. De maneira expĺıcita, ρ̃ é dada por
(ρ̃(X)f)(Y, Z) = ρ(X)f(Y, Z)− f([X, Y ], Z)− f(Y, [X,Z]).
Como no caso da primeira cohomologia, ρ̃(X)f ∈ F2 se f é um cociclo. De fato,
neste caso ρ̃(X)f = dfX onde fX(Y ) = f(X, Y ), como pode ser verificado diretamente
a partir da fórmula da diferencial exterior. Portanto, ρ̃(X)C2 ⊂ F2 o que mostra, em
particular, que C2 é invariante por ρ̃. Denotando por ρ̄ a restrição de ρ̃ a C2, vale
também que ∑
X∈g
im ρ̄(X) ⊂ F2.
136 Caṕıtulo 5. CohomologiaPortanto, para concluir que C2 = F2 é suficiente, da mesma maneira, mostrar que⋂
X∈g ker ρ̄(X) ⊂ F2 pois
C2 =
⋂
X∈g
ker ρ̄(X) ⊕
∑
X∈g
im ρ̄(X).
Seja então f ∈ C2 tal que para todo X, Y, Z ∈ g, ρ̃(X)f(Y, Z) = 0. O que se deseja é
mostrar que f ∈ F2, isto é, f = dg para algum g ∈ A1.
Para isso, será usada a primeira parte do teorema. Para X ∈ g, seja fX(Y ) =
f(X, Y ).
Evidentemente, fX ∈ A1. Tem-se, além do mais, que fX ∈ C1. De fato, a partir
das definições, vê-se de imediato que
df(X,Y, Z) = ρ̄(X)f(Y, Z)− dfX(Y, Z)
e, como f é um cociclo, dfX = 0. Como H1 = 0 pela primeira parte, fX ∈ F1 para
todo X ∈ g.
Portanto, dado X, existe v(X) ∈ V tal que fX = d(v(X)), isto é,
f(X, Y ) = ρ(Y )v(X) para todo X, Y ∈ g.
A idéia agora é mostrar que
a) pode-se escolher v(X) de tal forma que X 7→ v(X) é linear, isto é, v ∈ A1 e que
b) v satisfaz a igualdade ρ(X)v(Y ) = v[X,Y ] para todo X, Y .
Essas afirmações implicam, por um lado, que
dv(X, Y ) = ρ(X)v(Y )− ρ(Y )v(X)− v[X, Y ]
= −v[X, Y ]
por (b). Por outro lado,
f(X, Y ) = ρ(Y )v(X)
= −v[X, Y ].
Portanto, f = dv.
Para mostrar as duas afirmações acima sobre v, tome todas as permutações ćıclicas
de ρ̄(X)f(Y, Z). Então,
0 = ρ̄(X)f(Y, Z) = ρ(X)f(Y, Z)− f([X, Y ], Z)− f(Y, [X,Z])
0 = ρ̄(Z)f(X, Y ) = ρ(Z)f(X, Y )− f([Z,X], Y )− f(X, [Z, Y ])
0 = ρ̄(Y )f(Z,X) = ρ(Y )f(Z,X)− f([Y, Z], X)− f(Z, [Y,X]).
Somando essas três igualdades e levando em conta que df = 0, chega-se a
f([X, Y ], Z)− f([X,Z], Y ) + f([Y, Z], X) = 0
5.4. Teoremas de Weyl e Levi 137
que, substituindo na expressão de ρ̄(X)f(Y, Z), mostra que
ρ̄(X)f(Y, Z) = ρ(X)f(Y, Z)− f(X, [Y, Z]).
Portanto,
ρ(X)f(Y, Z) = f(X, [Y, Z]). (5.5)
Com esta igualdade é posśıvel mostrar as propriedades de v enunciadas acima. Para
isso, a primeira observação que se faz é que, como g′ = g, todo elemento de g′ pode ser
escrito como combinação linear de colchetes e, portanto, f assume valores em
VI =
∑
X∈g
im ρ(X).
Porém, este subespaço é invariante por ρ, definindo uma representação de g. Como
f assume valores neste espaço, ela pode ser vista como um cocadeia para a repre-
sentação de g em VI . Essa cocadeia é, na verdade, um cociclo, como pode ser visto,
considerando df como aplicação a valores em VI . Assim, da mesma forma que acima,
o anulamento da primeira cohomologia garante que v(X) pode ser escolhido em VI .
Agora, suponha que existam v1, v2 ∈ VI tais que f(X, Y ) = ρ(Y )v1 = ρ(Y )v2 para
todo Y ∈ g. Então, v1−v2 ∈ VN =
⋂
X∈g ker ρ(X) e, como VI∩VN = 0, isso mostra que
v(X) é escolhido de maneira única em VI . Dessa unicidade, tira-se de maneira imediata
a linearidade de X 7→ v(X) ∈ VI , mostrando a primeira das afirmações acima.
Juntando agora (5.5) com o fato de que fX = d (v(X)), obtém-se
ρ (X) ρ (Y ) v (Z) = ρ (X) f (Z, Y )
= f (X, [Z, Y ])
= f ([Y, Z], X)
= ρ (X) (v[Y, Z]) .
Isso implica que
ρ(X)(ρ(Y )v(Z)− v[Y, Z]) = 0 para todo X, Y, Z ∈ g.
Portanto, ρ(Y )v(Z) − v[Y, Z] ∈ VN para todo Y, Z. Usando novamente a transversa-
lidade de VI com VN , chega-se a que ρ(Y )v(Z) = v[Y, Z] para todo Y, Z ∈ g, que é o
que se queria mostrar.
5.4 Teoremas de Weyl e Levi
5.4.1 Teorema de decomposição de Weyl
Teorema 5.6 Seja g uma álgebra de Lie semi-simples de dimensão finita e ρ uma
representação de dimensão finita g em V . Então, ρ é completamente redut́ıvel, isto é,
V se decompõe como
V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vk
com cada Vi invariante e irredut́ıvel.
138 Caṕıtulo 5. Cohomologia
Esse resultado é conseqüência imediata de que a primeira cohomologia de uma repre-
sentação qualquer de uma álgebra semi-simples se anula e que a completa redutibilidade
de ρ está associada ao anulamento de H1 para uma representação obtida de ρ.
Uma conseqüência do teorema de decomposição é o seguinte fato que foi utilizado
na demonstração do segundo lema de Whitehead.
Corolário 5.7 Seja ρ uma representação de dimensão finita da álgebra semi-simples
g em V . Então,
V =
⋂
X∈g
ker ρ(X)⊕
∑
X∈g
im ρ(X).
Demonstração: Suponha, em primeiro lugar, que ρ é irredut́ıvel e não-nula. Então,
V coincide com o segundo termo do segundo membro, pois a soma das imagens dos
elementos de g é um subespaço invariante não-nulo.
O caso geral sai dáı, aplicando esse fato às componentes irredut́ıveis de V , fornecidas
pela decomposição de Weyl. A soma das componentes irredut́ıveis em que a representa-
ção de g não se anula coincide com as somas das imagens dos elementos de g, enquanto
que ⋂
X∈g
ker ρ(X)
é o subespaço em que todos os elementos de g se anulam e, portanto, é a soma das
componentes irredut́ıveis de dimensão 1 na decomposição de Weyl. 2
5.4.2 Teorema de decomposição de Levi
Teorema 5.8 Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita e r(g) o seu radical solúvel.
Então, existe uma subálgebra s de g tal que g = r(g)⊕ s. Como s ≈ g/r(g), s é semi-
simples.
A soma que aparece nesse enunciado é uma soma direta de subespaços de g. Ela
não significa que g é o produto direto de r(g) com s. Dito de outra maneira, s não é,
em geral, um ideal de g. No entanto, a decomposição acima exibe g como o produto
semidireto de s por r(g), com a representação de s em r(g) sendo a representação ad-
junta. Como foi comentado no parágrafo sobre extensões, a álgebra s que complementa
r(g) não é, em geral, única. Qualquer desses complementos é chamado de componente
de Levi da álgebra.
A demonstração desse teorema está impĺıcita nas seções anteriores no caso em que
o radical r(g) é abeliano. De fato, nesse caso, a existência de complementar isomorfo a
g/r(g) é conseqüência do anulamento da segunda cohomologia de uma representação da
álgebra quociente, que nesse caso é semi-simples. O que falta fazer então para concluir
a demonstração do teorema de Levi é mostrar o procedimento para reduzir o caso geral
ao caso em que o radical é abeliano.
A álgebra derivada r(g)′ de r(g) é um ideal de g e o radical de g/r(g)′ é isomorfo
a r(g)/r(g)′ e é, portanto, abeliano. Os resultados anteriores se aplicam a g/r(g)′ e
5.5. Álgebras redut́ıveis 139
dáı que existe uma subálgebra s0 tal que g/r(g)′ = (r(g)/r(g)′) ⊕ s0. Denote por
π : g → g/r(g)′ a projeção canônica e seja q = π−1(s0). Essa subálgebra de g contém
r(g)′ e q/r(g)′ é isomorfo a s0. No entanto, s0 é semi-simples e como r(g)′ é solúvel,
esta última é o próprio radical solúvel de q. Agora, existem duas possibilidades: se
r(g)′ é abeliano, então q se decompõe como q = r(g)′ ⊕ s e s é isomorfo a s0 que é
complementar a r(g)/r(g)′, de onde se tira que s é complementar a r(g), mostrando o
teorema. Já no caso em que r(g)′ não é abeliano, repete-se o procedimento tomando
q no lugar de g. Como r(g)(n) = 0 para algum n, o processo de indução termina em
algum momento.
5.5 Álgebras redut́ıveis
Uma álgebra de Lie g é dita redut́ıvel se ela pode ser escrita como
g = s⊕ z(g),
onde z(g) é o centro de g e s é semi-simples. Em outras palavras, uma álgebra é redut́ıvel
se o seu radical é abeliano e a componente semi-simples na decomposição de Levi é
um ideal. Essas álgebras surgem nas representações irredut́ıveis: como será provado
logo mais, uma subálgebra de transformações lineares é redut́ıvel se sua representação
canônica for irredut́ıvel. Antes disso, é conveniente acrescentar as seguintes informações
adicionais sobre álgebras derivadas.
Proposição 5.9 Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita e g = r(g) ⊕ s uma
decomposição de Levi de g. Então,
g′ ∩ r(g) = [g, r(g)].
Demonstração: A álgebra derivada g′ se escreve
g′ = [s, s]⊕ [g, r(g)]
sendo que a soma é direta pelo fato de que [s, s] ⊂ s e [g, r(g)] ⊂ r(g), de onde se tira
de imediato a igualdade do enunciado. 2
Proposição 5.10 Seja g ⊂ gl(V ) uma álgebra de Lie. Então, X é nilpotente para
todo X ∈ n = [g, r(g)].
Demonstração: Pode-se supor, sem perda de generalidade, que o corpo de base é
algebricamente fechado.Assumindo isso, V se decompõe em subespaços de pesos de
n, já que, como foi mostrado ao final do caṕıtulo 2, esse ideal é nilpotente por estar
contido no nil-radical de g. Pretende-se mostrar que o único peso dessa representação é
o peso nulo. Sejam λ1, . . . , λs os pesos da representação de n em V e Vλi
os correspon-
dentes espaços de pesos. Denote por ρ a representação adjunta de g em gl(V ). Então,
140 Caṕıtulo 5. Cohomologia
tomando uma base β de V que é a união de bases dos subespaços Vλi
, o subespaço de
peso, associado ao peso nulo de ρ, é formado pelas matrizes em relação a β que são
diagonais em blocos, com os blocos correspondendo às bases dos subespaços Vλi
. Como
a representação adjunta de n em g é nilpotente, g está contido no subespaço associado
ao peso nulo e, portanto, seus elementos se escrevem em blocos diagonais da mesma
forma. Mas isso significa que Vλi
é g-invariante para todo peso λi e, portanto, g se
representa em cada um desses subespaços de pesos. Seja ρi essa representação. Então,
tr ρi(X) = λi(X) dimVλi
se X ∈ n. Mas tr ρi(X) = 0, pois X ∈ g′ e, portanto, λi(X) = 0, o que mostra que os
pesos são todos nulos. 2
Sabendo-se que as restrições das representações de g a [g, r(g)] são nilpotentes, é
posśıvel mostrar que no caso de representações irredut́ıveis elas se anulam.
Teorema 5.11 Seja g ⊂ gl(V ) uma subálgebra de Lie e suponha que sua representação
canônica em V seja irredut́ıvel. Então, g é redut́ıvel.
Demonstração: Como a representação de [g, r(g)] em V é nilpotente, o subespaço
W = {v ∈ V : Xv = 0 para todo X ∈ [g, r(g)]}
é diferente de zero. Sejam Y ∈ g, v ∈ W e X ∈ [g, r(g)]. Então,
XY v = Y Xv + [X, Y ]v = 0
e, portanto, W é g-invariante. Como a representação é irredut́ıvel e W 6= 0, conclui-se
que [g, r(g)] = 0, isto é, r(g) está no centro de g. Tomando então uma decomposição
de Levi, vê-se de imediato que g é redut́ıvel. 2
Este teorema fornece o seguinte critério: se g é uma álgebra de Lie de transformações
lineares cuja representação canônica é irredut́ıvel, então g é semi-simples se e só se o
centro de g é trivial. Em particular, se o corpo de base é algebricamente fechado, o
lema de Schur garante que z(g) = 0, isto é, que g é semi-simples se e só se g não contém
múltiplos da identidade.
Notas
Existe uma relação bastante estreita entre a cohomologia de álgebras de Lie, um conceito
algébrico, e a cohomologia de grupos de Lie (topologia): se um grupo de Lie é compacto,
então sua cohomologia de De Rham coincide com a cohomologia de sua álgebra de Lie na
representação trivial (ρ = 0 em dimensão um).
A demonstração do teorema de Weyl usando cohomologia de álgebras de Lie não é a ori-
ginal devida a H. Weyl. Originalmente, Weyl demonstrou que uma representação de uma
5.6. Exerćıcios 141
álgebra semi-simples complexa é completamente redut́ıvel utilizando o método denominado
de transcendental, que consiste em utilizar o truque unitário de Weyl, que associa a uma
álgebra semi-simples complexa um grupo de Lie compacto (veja as formas reais compactas
no caṕıtulo 12); as representações de uma álgebra semi-simples complexa coincidem com as
representações de um grupo compacto; é fácil mostrar que representações de grupos com-
pactos são completamente redut́ıveis, pois um grupo desses admite uma medida invariante
finita (medida de Haar) de onde se tira que seus elementos são transformações ortogonais
em relação a um produto interno no espaço da representação. O termo transcendental é
empregado para esse método pela mesma razão que são denominadas de transcendentais as
funções reais não racionais como seno, cosseno, exponencial etc.; a integração de Haar em um
grupo compacto envolve essencialmente integrais de funções trigonométricas. A demonstração
cohomológica (algébrica) apresentada no texto não se restringe ao corpo dos complexos.
Um teorema complementar ao teorema de Levi é o teorema de Malcev que descreve as compo-
nentes de Levi de uma álgebra de Lie, isto é, as componentes semi-simples que complementam
o radical. O teorema de Malcev pode ser encontrado no livro de Varadrajan [46].
5.6 Exerćıcios
1. A cohomologia da soma de representações é a soma das cohomologias. De maneira
mais precisa, sejam g uma álgebra e ρi, i = 1, . . . , n, representações de g em Vi.
Escrevendo
ρ = ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρn
tem-se Hk (g, ρ) ≈
∑
iHk (g, ρi) para todo k. (Escreva os elementos de A em
suas componentes em cada um dos Vi).
2. Os espaços de cohomologia das representações nulas das álgebras abelianas não
são triviais e, no entanto, todas essas representações são completamente re-
dut́ıveis.
3. Considere a álgebra de Lie afim af (V ) = gl (V ) × V do espaço vetorial de di-
mensão finita V . Dados P : V → V linear inverśıvel e a ∈ V , verifique que a
transformação φ (A, v) = (PAP−1, Pv − PAP−1a) é um automorfismo de af (V ).
Os itens a seguir mostram que todo automorfismo ψ de af (V ) é dessa forma:
(a) Mostre que todo ideal de af (V ) contém V (= {0} × V ). (Encontre esses
ideais.)
(b) Mostre que ψ (V ) = V e denote por P a restrição de ψ a V .
(c) Calcule ψ[(A, 0) , (0, v)] e conclua que ψ (A, 0) = (PAP−1, θ (A)) com θ :
gl (V )→ V .
(d) Mostre que θ[A,B] = PAP−1θ (B) − PBP−1θ (A) e, portanto, θ (A) =
PAP−1θ (id). (Calcule ψ[(A, 0) , (B, 0)].)
142 Caṕıtulo 5. Cohomologia
4. Mostre que gl (n,K) tem uma única componente de Levi, isto é, uma única sub-
álgebra semi-simples que complementa o seu radical.
5. Dê exemplos de álgebras que admitem mais de uma componente de Levi (con-
sidere álgebras reais e automorfismos da forma exp tX com X no radical).
6. Seja g uma álgebra de Lie e r seu radical. Mostre que [g, r] é o menor ideal i tal
que g/i é redut́ıvel.
7. Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita e ρ uma representação irredut́ıvel
de g em V não-trivial (ρ 6= 0). Mostre que⋂
X∈g
ker ρ(X) = 0 e
∑
X∈g
im ρ(X) = V.
Use isso para mostrar que se g é semi-simples e
V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs
é a decomposição em componentes irredut́ıveis (garantida pelo teorema de Weyl),
então
V =
∑
X∈g
im ρ(X)
se dimVi > 1 para todo i. Mostre também que, numa representação qualquer de
g,
⋂
X∈g ker ρ (X) é a soma das componentes irredut́ıveis de dimensão um:⋂
X∈g
ker ρ (X) = {v ∈ V : ρ (X) v = 0 para todo X ∈ g}
enquanto que
∑
X∈g im ρ (X) é a soma das componentes não-triviais de tal forma
que
V =
⋂
X∈g
ker ρ (X)⊕
∑
X∈g
im ρ (X) .
Dê exemplo de uma representação de uma álgebra (não semi-simples) tal que essa
soma não é direta.
8. Uma vez mostrado o teorema de Weyl, pode-se mostrar que Hk (g, ρ) = 0 para
todo k se g é semi-simples e ρ é uma representação irredut́ıvel não-trivial (ρ 6= 0).
Isso pode ser feito da seguinte maneira:
(a) Os elementos de Ak são transformações multilineares alternadas de gk a
valores em V e, portanto, eles podem ser vistos como transformações lineares
de
∧k
g a valores em V . Dessa forma, Ak é um subespaço de V ⊗
∧k
g∗. A
álgebra g se representa nesse espaço por
ρ̃ = ρ⊗ ad∗⊗ · · · ⊗ ad∗ .
5.6. Exerćıcios 143
Verifique que, para f ∈ Ak,
(ρ̃ (X) f) (X1, . . . , Xk) = ρ (X) f (X1, . . . , Xk)
+
∑k
i=1
(−1)i f
(
[X,Xi], X1, . . . , X̂i, . . . , Xk
)
.
(b) A fórmula para ρ̃ (X) f mostra que se f ∈ Ck, então ρ̃ (X) f = dfX , onde
fX ∈ Ak−1 é definida por
fX (X2, . . . , Xk) = f (X,X2, . . . , Xk) .
(c) O item anterior mostra que para todo X ∈ g, ρ̃ (X) Ck ⊂ Fk ⊂ Ck e,
portanto, g se representa em Ck. Denote por ρ̄ essa representação. Mostre
que
{f ∈ Ck : ρ̄f = 0} ⊂ Fk.
9. (Demonstração do teorema de Weyl sem cohomologia) Seja g uma álgebra semi-
simples e ρ uma representação de dimensão finita de g em V .
(a) Se W ⊂ V é invariante e dimW = 1, então a restrição de ρ a W se anula.
Além do mais, W admite um complementar invariante. (Use a decomposição
de V dada por ∩ ker ρ (X) e∑
im ρ (X) e indução sobre dimV ).
(b) Sejam W um subespaço invariante e {v1, . . . , vk} uma base de W . Então,
o subespaço W k de dimensão um do k-ésimo produto exterior gerado por
v1 ∧ · · · ∧ vk é invariante pela representação de g induzida por ρ.
(c) Seja F um subespaço do produto exterior complementar a W k. Denote por
U o conjunto dos elementos v ∈ V tais que se w1, . . . , wk−1 são elementos
de W , então v ∧ w1 ∧ · · · ∧ wk−1 ∈ F . Mostre que U é um subespaço de V
complementar a W . Mostre também que se F é invariante, então U também
é invariante. Conclua a partir dáı o teorema de Weyl.
10. Mostre que g é redut́ıvel se e só se g′ é semi-simples.
11. Mostre que uma álgebra de Lie é redut́ıvel se e só se o seu centro coincide com o
seu radical nilpotente.
12. Seja g uma álgebra de Lie sobre um corpo algebricamente fechado com radical r.
Mostre que se ρ é uma representação irredut́ıvel de g, então ρ (X) é um escalar
(múltiplo da identidade) para todo X ∈ r.
13. Seja g uma álgebra semi-simples e ρ uma representação irredut́ıvel de g em V e
considere o produto semidireto h = g × V . Mostre que o centro de h é trivial,
h′ = h e que h não é o produto direto de uma álgebra semi-simples por um ideal
solúvel.
144 Caṕıtulo 5. Cohomologia
14. Dada uma álgebra de Lie g, denote por g∞ a interseção de suas álgebras derivadas.
Mostre que g/g∞ é solúvel e que (g∞)′ = g∞. Mostre também que g é o produto
direto de uma álgebra simples por uma solúvel se e só se g∞ é semi-simples.
15. Um ideal h de g é dito minimal se h 6= 0 e os únicos ideais de g contidos em h
são o próprio e 0. Mostre que para um ideal minimal h, ou h ⊂ r – e nesse caso
dim h = 1 – ou h ∩ r = 0 e, nesse caso, h é semi-simples.
16. Numa álgebra de Lie g, considere a seqüência crescente de ideais ij definida
indutivamente por
(a) i0 = 0
(b) ij+1/ij é um ideal abeliano maximal em g/ij.
Mostre que se ip = ip+1 = · · ·, então ip é o radical solúvel de g.
17. Para uma álgebra de Lie de transformações lineares g ⊂ gl (V ) seja U (g) a álgebra
associativa gerada por g, isto é, U (g) é a álgebra associativa de transformações
lineares de V – com o produto dado pela composta – obtida tomando produtos
sucessivos de elementos de g. Mostre que para v ∈ V o subespaço
U (g) v = {Xv : X ∈ U (g)}
é invariante por g. Conclua que se g é irredut́ıvel, então para cada par v, w ∈ V
existe X ∈ U (g) tal que Xv = w.
18. Seja g uma álgebra de dimensão finita e ρ uma representação de g em V (de
dimensão finita) e suponha que V admita uma decomposição em componentes
irredut́ıveis por ρ como
V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs
Denote por πi : V → Vi a projeção sobre Vi ao longo das demais componentes.
Seja W ⊂ V um subespaço invariante e tome X ∈ W com X 6= 0. Escreva
X = X1 + · · ·+Xs
a decomposição de X de acordo com a decomposição acima de V . Mostre que
se Xi 6= 0, então πi(W ) = Vi. (Use o exerćıcio anterior e o fato de que πi(W ) é
invariante por U (g)).
19. Considere duas representações ρ1 e ρ2 de uma mesma álgebra g. Os espaços das
representações são V1 e V2. Suponha que P : V1 → V2 seja um operador de
intercâmbio entre as representações, isto é,
Pρ1 (X) = ρ2 (X)P X ∈ g.
Se ρ1 é irredut́ıvel, então P é injetora, e se ρ2 é irredut́ıvel, então P é sobre.
5.6. Exerćıcios 145
20. Dê exemplo de uma extensão abeliana π : g → g tal que kerπ admite comple-
mentar e, no entanto, a representação de g em ker π dada por seções de π não
tem H2 trivial.
21. Dê exemplo de uma álgebra de Lie g que não é semi-simples e que satisfaz g′ = g.
22. Mostre que se a representação canônica de g ⊂ gl (V ) é completamente redut́ıvel,
então g é redut́ıvel.
23. Seja
so (n) = {A ∈ sl (n) : A+ At}
a álgebra das matrizes anti-simétricas sobre um corpo K algebricamente fechado.
Mostre que so (n) é semi-simples. (Uma vez verificado que a representação
canônica de so (n) é irredut́ıvel, é fácil verificar que as matrizes escalares não
pertencem a so (n)).
24. O mesmo que o anterior substituindo so (n) por
sp (n) = {A ∈ sl (2n) : AJ + JAt},
onde J é a matriz 2n× 2n escrita em blocos 2n× 2n como
J =
(
0 −1
1 0
)
.
Caṕıtulo 6
Álgebras semi-simples
Neste caṕıtulo, inicia-se a apresentação da teoria de Killing e Cartan das álgebras
semi-simples sobre corpos algebricamente fechados. A essência desta teoria consiste
numa análise detalhada da representação adjunta das subálgebras de Cartan. Toda a
estrutura da álgebra é dada pelos colchetes entre os espaços associados aos pesos (ráızes)
dessa representação. Esses colchetes, por sua vez, dependem das somas das ráızes
correspondentes e essas são completamente determinadas pelos valores que assume a
forma de Cartan-Killing nas ráızes. Como se verá, a forma de Cartan-Killing, restrita
a uma subálgebra de Cartan (ou melhor, ao subespaço racional gerado pelas ráızes), é
positiva definida, ou seja, é um produto interno. Dessa forma, toda estrutura de uma
álgebra semi-simples é desvendada pelas relações mútuas entre um número finito de
elementos em um espaço vetorial com um produto interno (sistema de ráızes), sendo
posśıvel, a partir dáı, obter uma classificação dessas álgebras. As álgebras semi-simples
mais palpáveis são as álgebras sl(n). Por isso, elas serão utilizadas para ilustrar os
conceitos e resultados sobre álgebras semi-simples em geral. Ao longo deste caṕıtulo,
supõe-se que o corpo de escalares K é algebricamente fechado e de caracteŕıstica zero.
6.1 Representações de sl(2)
Um dos fatos principais sobre as álgebras semi-simples sobre corpos algebricamente
fechados é que a toda raiz da representação de uma subálgebra de Cartan está associada
uma subálgebra de dimensão três isomorfa a sl(2,K). A representação adjunta dessa
subálgebra na álgebra desempenha um papel fundamental na compreensão das ráızes
e dos espaços de ráızes associados à subálgebra de Cartan. Por essa razão, antes de
iniciar o estudo das álgebras semi-simples, é necessário fazer uma análise completa
das representações da álgebra sl(2,K), que será denotada por sl(2) apenas. Uma base
desta álgebra é {X,H, Y }, onde
X =
(
0 1
0 0
)
H =
(
1 0
0 −1
)
Y =
(
0 0
1 0
)
.
Os colchetes entre os elementos da base são
[H,X] = 2X [H, Y ] = −2Y [X, Y ] = H.
147
148 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
Como sl(2) é simples, o teorema de Weyl permite reconstruir suas representações de
dimensão finita a partir daquelas que são irredut́ıveis. Seja então ρ uma representação
irredut́ıvel e de dimensão finita de sl(2) em V . Suponha que v ∈ V é um autovetor de
ρ(H) associado ao autovalor λ. Então,
ρ(H)ρ(X)v = ρ[H,X]v + ρ(X)ρ(H)v
= (2 + λ)ρ(X)v
e, portanto, ρ(X)v é autovetor de ρ(H) associado ao autovalor λ+2 se ρ(X)v 6= 0. De
maneira simétrica, se ρ(Y )v é não-nulo, ele é um autovetor de ρ(H), mas associado ao
autovalor λ− 2. A partir dáı, obtém-se
ρ(H)ρ(X)kv = (λ+ 2k)ρ(X)kv
ρ(H)ρ(Y )kv = (λ− 2k)ρ(X)kv.
Portanto, iterações das ações de ρ(X) dão origem a autovetores de ρ(H) associados a
autovalores em ordem crescente, o mesmo ocorrendo com ρ(Y ), mas com autovetores
associados a autovalores em ordem decrescente. É dessa observação que se tira a
seguinte caracterização das representações irredut́ıveis de sl(2).
Teorema 6.1 Seja ρ uma representação irredut́ıvel de sl(2) em V com dimV = n+1.
Então, existe uma base {v0, . . . , vn} de V tal que para i = 0, . . . , n
ρ(X)vi = i(n− i+ 1)vi−1
ρ(H)vi = (n− 2i)vi
ρ(Y )vi = vi+1,
(6.1)
onde v−1 = vn+1 = 0. Essas expressões mostram que, em relação à base dada, ρ(X)
é triangular superior, ρ(H) é diagonal (com autovalores inteiros) e ρ(Y ) é triangular
inferior.
Demonstração: Seja v um autovetor de ρ(H) associado ao autovalor λ. Pelos
comentários acima, ρ(X)iv é autovetor associado ao autovalor λ + 2i se ρ(X)iv 6= 0.
Como os autovetores associadosa autovalores distintos são linearmente independentes
e V é de dimensão finita, existe i0 ≥ 1 tal que ρ(X)i0v = 0 e ρ(X)i0−1v 6= 0. Tomando
i0 dessa forma, seja v0 = ρ(X)i0−1v. Então, v0 é um autovetor de ρ(H), pois v0 é obtido
de um autovetor de ρ(H) por aplicações sucessivas de ρ(X). O autovalor associado será
denotado por λ0. Fixado v0 defina, para i ≥ 1,
vi = ρ(Y )iv0.
Seja k o primeiro inteiro tal que vk+1 = 0. A existência desse k deve-se a que V é de
dimensão finita. O conjunto {v0, . . . , vk} é linearmente independente pois
ρ(H)vi = (λ0 − 2i)vi
6.1. Representações de sl(2) 149
e, portanto, é um conjunto de autovetores de ρ(H) associados a autovalores diferentes.
A ação de ρ(X) nesses vetores é dada por
ρ(X)vi = i(λ0 − i+ 1)vi−1. (6.2)
Esta igualdade segue por indução sobre i: para i = 0, ρ(X)v0 = 0 pela definição de v0
e evidentemente o segundo membro de (6.2) se anula. Para i ≥ 1,
ρ(X)vi = ρ(X)ρ(Y )vi−1
= ρ[X, Y ]vi−1 + ρ(Y )ρ(X)vi−1.
Mas [X, Y ] = H. Portanto,
ρ[X, Y ]vi−1 = ρ(H)ρ(Y )i−1v0
= (λ0 − 2(i− 1))vi−1.
Por outro lado, o passo de indução mostra que
ρ(Y )ρ(X)vi−1 = ρ(Y )(i− 1)(λ0 − i+ 2)vi−2
= (i− 1)(λ0 − i+ 2)vi−1.
Somando essas duas igualdades, chega-se a
ρ(X)vi = (i(λ0 − i+ 2)− i)vi−1
= i(λ0 − i+ 1)vi−1 ,
que é a expressão para ρ (X) em (6.2). Essa igualdade mostra que o espaço gerado
por {v0, . . . , vk} é invariante por ρ(X) e como ele é claramente invariante por ρ(H) e
ρ(Y ), ele coincide com V , já que a representação é irredut́ıvel. Portanto, k = n e dáı
que para concluir a demonstração do teorema é suficiente mostrar que λ0 = n. Por um
lado,
ρ(H)vn = (λ0 − 2n)vn .
No entanto,
ρ[X,Y ]vn = ρ(X)ρ(Y )vn − ρ(Y )ρ(X)vn
= −ρ(Y )(n(λ0 − n+ 1)vn−1)
= −n(λ0 − n+ 1)vn
e, portanto,
λ0 − 2n = −n(λ0 − n+ 1)
o que implica que λ0 = n. 2
Sobre este teorema, valem as seguintes observações:
1. Na demonstração, a hipótese de que o corpo de escalares é algebricamente fechado
só foi usada para garantir a existência de autovetores de ρ(H). Dessa forma, é
suficiente que isso ocorra para que a representação seja como no enunciado.
150 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
2. Convém ressaltar a forma da matriz de ρ(H) em relação à base {v0, . . . , vn}
que aparece nesse teorema. Ela é diagonal, os seus autovalores são inteiros e
formam uma progressão aritmética decrescente de razão −2. O maior autovalor é
n = dimV −1 e o menor deles é−n, e todos eles têm a mesma paridade. Portanto,
a dimensão da representação fornece os autovalores de ρ(H) e, reciprocamente,
os autovalores de ρ(H) determinam a dimensão da representação irredut́ıvel.
O fato de os autovalores de ρ(H) serem inteiros dará um caráter “aritmético”
às álgebras semi-simples, no sentido de que muitas de suas propriedades serão
descritas em termos de subespaços, bases etc. sobre o corpo dos racionais e não
sobre o corpo de origem.
A partir do teorema anterior, é quase imediato obter a seguinte classificação das
representações irredut́ıveis de sl(2).
Teorema 6.2 Para cada n ≥ 0 existe uma única (a menos de isomorfismo) repre-
sentação irredut́ıvel de dimensão n + 1 de sl(2) e essas representações cobrem todas
suas representações de dimensão finita.
Demonstração: Dado um espaço vetorial V de dimensão n+1, seja {v0, . . . , vn} uma
base de V . Defina ρ(X), ρ(H) e ρ(Y ) pelas expressões do teorema anterior. Então, ρ
é uma representação de sl(2) em V . Para ver isto, é suficiente verificar que a relação
entre os colchetes é satisfeita quando eles são avaliados nos elementos da base de V .
Por exemplo,
ρ[H, Y ]vi = −2ρ(Y )vi = −2vi+1 = [ρ(H), ρ(Y )]vi
pela forma como são definidos ρ(H) e ρ(Y ). O fato de ρ ser irredut́ıvel vem de que os
subespaços invariantes são, em particular, invariantes por ρ(H). Como os autovalores
de ρ(H) são todos distintos, os únicos subespaços invariantes são somas de auto-espaços
de ρ(H) e, pela forma como ρ(X) e ρ(Y ) foram definidos, vê-se que não existem
subespaços invariantes próprios.
Isso mostra a existência de representações irredut́ıveis de dimensão n + 1. Já a
unicidade é obtida definindo o isomorfismo entre duas representações irredut́ıveis de
mesma dimensão pela transformação linear que faz corresponder entre si as bases cujas
existências são garantidas pelo teorema anterior. 2
6.2 Subálgebras de Cartan
Seja g uma álgebra semi-simples sobre K e h uma subálgebra de Cartan de g. A álgebra
se decompõe como
g = h⊕ gα1 ⊕ · · · ⊕ gαk
com α1, . . . , αk os pesos não-nulos da representação adjunta de h em g. Seguindo a
terminologia usual, esses pesos serão denominados ráızes de h em relação a g e o seu
conjunto será denotado por Π. Os espaços gαi
serão denominados espaços de ráızes.
6.2. Subálgebras de Cartan 151
Como o corpo é algebricamente fechado, a representação de h dentro de cada gαi
é
dada por matrizes da forma
ad(H) =
 αi(H) ∗
. . .
αi(H)

para todo H ∈ h. Além do mais,
[gαi
, gαj
] ⊂ gαi+αj
.
A estrutura desta decomposição é descrita pelos resultados apresentados a seguir.
Como em caṕıtulos anteriores, a forma de Cartan-Killing de g será denotada por 〈·, ·〉.
Lema 6.3 Sejam α e β dois pesos de h (ráızes ou o peso nulo). Se X ∈ gα e Y ∈ gβ
então,
〈X, Y 〉 = 0,
a menos que β = −α.
Demonstração: Seja Z ∈ gγ. Então,
ad(X)Z ∈ gα+γ
ad(Y ) ad(X)Z ∈ gα+β+γ .
Assim, tomando uma base de g adaptada à decomposição em espaços de ráızes, ne-
nhum elemento da base contribui para o traço de ad(X) ad(Y ), a menos que α+β = 0,
o que mostra o lema. 2
Este lema, juntamente com o fato de que a forma de Cartan-Killing não é degene-
rada, tem as seguintes conseqüências interessantes.
Corolário 6.4 1. A restrição de 〈·, ·〉 a h é não-degenerada.
2. Se α é raiz, então −α também é raiz.
3. Para todo X ∈ gα existe Y ∈ g−α tal que 〈X, Y 〉 6= 0.
Demonstração:
1. Seja H ∈ h. Como 〈·, ·〉 não é degenerada, existe X ∈ g tal que 〈H,X〉 6= 0.
Escrevendo
X = H1 +X1 + · · ·+Xk H1 ∈ h, Xi ∈ gαi
,
o lema anterior garante que 〈H,Xi〉 = 0 e, portanto, 〈H,H1〉 6= 0, o que mostra
que a restrição não é degenerada.
2. Seja X ∈ gα. Como existe Y ∈ g tal que 〈X, Y 〉 6= 0, o lema anterior implica que
g−α 6= 0, isto é, −α é raiz.
152 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
3. De fato, se 〈X, Y 〉 = 0 para todo Y ∈ g−α, então o lema anterior implica que
〈X,Z〉 = 0 para todo Z ∈ g, o que contradiz o fato de que a forma de Cartan-
Killing não é degenerada. 2
Proposição 6.5 Para todo H ∈ h e todo peso α, ad(H)|gα
= α(H) id e as trans-
formações lineares ad(H), H ∈ h são simultaneamente diagonalizáveis.
Demonstração: A restrição de ad (H) a um subespaço de ráızes é da forma
ad(H)|gα
=
 α(H) ∗
. . .
α(H)
 .
Seja a decomposição H = HS + HN com ad(HS) semi-simples, ad(HN) nilpotente e
com H,HS e HN comutando dois a dois. Então, ad(HS) é a parte diagonal de ad(H).
Portanto, restrito a gα, ad(HN) é da forma 0 ∗
. . .
0
 .
Tomando em particular α = 0 (isto é, gα = h), isso mostra que ad(HN)h ⊂ h e
dáı que HN ∈ h pois h é subálgebra de Cartan. Por outro lado, para todo H ′ ∈ h,
ad(HN) ad(H ′) é triangular superior com zeros na diagonal. Portanto, 〈HN , H
′〉 = 0,
o que mostra que HN = 0, já que a forma de Cartan-Killing é não-degenerada em h.
Portanto, ad(H) é diagonal. 2
Proposição 6.6 h é abeliana.
Demonstração: Pela proposição anterior, se H1, H2 ∈ h então,
ad[H1, H2] = [adH1, adH2] = 0
Como a representação adjunta é fiel, segue-se que h é abeliana. 2
Proposição 6.7 O conjunto Π das ráızes gera o dual h∗ de h, isto é, H = 0 se
β(H) = 0 para toda raiz β.
Demonstração: Pela proposição 6.5, ad(H) = 0 se β(H) = 0 para toda raiz β.
Como o núcleo da representação adjunta se anula, isso mostra que H = 0 se β(H) = 0
para toda raiz β. 2
6.2. Subálgebras de Cartan 153
Antes de prosseguir, é necessário definir o correspondente àforma de Cartan-Killing
no dual h∗ de h. Como 〈·, ·〉 é uma forma bilinear, ela define uma aplicação h→ h∗ por
H 7−→ αH(·) = 〈H, ·〉.
Como a restrição da forma de Cartan-Killing a h não é degenerada, essa aplicação é
um isomorfismo entre h e h∗. Para α ∈ h∗, sua imagem pela inversa desse isomorfismo
será denotada por Hα, isto é, Hα é definido pela igualdade
〈Hα, H〉 = α(H) para todo H ∈ h.
Usando esse isomorfismo, pode-se “passar” a forma de Cartan-Killing a h∗, definindo
〈α, β〉 = 〈Hα, Hβ〉 = α(Hβ) = β(Hα)
se α e β são funcionais lineares em h. Essa é uma forma bilinear simétrica e não-
degenerada em h∗. Ela também será denominada de forma de Cartan-Killing (observe
que não foi alterada a notação ao passar da forma em h à forma em h∗).
Pelo isomorfismo entre h e h∗ definido a partir da forma de Cartan-Killing, as ráızes
α ∈ Π definem um número finito de elementos especiais Hα em h. Como o conjunto
das ráızes gera h∗, o conjunto {Hα : α é raiz} gera h.
O seguinte lema fornece uma primeira descrição da decomposição de g em espaços
de ráızes de h.
Lema 6.8 1. Se X ∈ gα e Y ∈ g−α, então [X, Y ] = 〈X,Y 〉Hα.
2. Para todo X ∈ gα, existe Y ∈ g−α tal que [X, Y ] = Hα.
3. Sejam α e β ráızes. Então,
〈β, α〉 = qβα〈α, α〉.
com qβα racional. (Nessa igualdade α e β não são simétricos. É claro que
〈β, α〉 = qαβ〈β, β〉, mas em geral, qαβ 6= qβα).
4. Para toda raiz α, 〈α, α〉 é um racional estritamente positivo. Portanto, 〈α, β〉 ∈ Q
para qualquer par de ráızes α, β.
5. dim gα = 1 para toda raiz α.
6. Os únicos múltiplos inteiros de uma raiz α que são ráızes são α e −α.
Demonstração:
1. O colchete [X, Y ] pertence a gα−α = h. Seja H ∈ h arbitrário. Então,
〈H, [X, Y ]〉 = 〈[H,X], Y 〉
= α(H)〈X, Y 〉
= 〈X, Y 〉〈H,Hα〉
= 〈H, 〈X, Y 〉Hα〉.
Como 〈·, ·〉 não é degenerada e H é arbitrário, segue-se que [X, Y ] = 〈X, Y 〉Hα.
154 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
2. Pelo item anterior, é suficiente mostrar que dado X ∈ gα existe Y ∈ g−α com
〈X, Y 〉 = 1. Seja Y ′ ∈ g−α tal que 〈X, Y ′〉 6= 0. Então,
〈X, 1
〈X,Y ′〉
Y ′〉 = 1,
o que mostra o que se deseja.
3. Seja V o subespaço de g dado pela soma direta
· · · ⊕ gβ−2α ⊕ gβ−α ⊕ gβ ⊕ gβ+α ⊕ gβ+2α ⊕ · · ·
onde se adota que gβ+kα = 0 se β + kα não é raiz e, é claro, gβ+kα = h se
β + kα = 0. Essa soma é finita, pois existe apenas um número finito de ráızes.
Sejam X ∈ gα e Y ∈ g−α com [X,Y ] = Hα, como foi garantido no item anterior.
Pela definição de V , ad(X)V ⊂ V e ad(Y )V ⊂ V . Além do mais,
ad(Hα)|V = ad[X, Y ]|V = [adX|V , adY|V ].
Portanto,
tr(ad(Hα)|V ) = 0,
já que o traço de qualquer comutador se anula. Esta é a igualdade que, devi-
damente expandida, mostra que qβα é racional. De fato, seja dk = dim gβ+kα.
Então,
tr(ad(Hα)|V ) =
∑
k
dk(β + kα)(Hα)
=
∑
k
dk(〈β, α〉+ k〈α, α〉)
= 〈β, α〉
∑
k
dk + 〈α, α〉
∑
k
kdk
= 0.
Mas
∑
k dk > 0 pois d0 = dim gβ > 0. Portanto,
〈β, α〉 = −
∑
kdk∑
dk
〈α, α〉
e dáı que
qβα = −
∑
kdk∑
dk
é racional.
4. Pelo item anterior, se 〈α, α〉 = 0, então 〈β, α〉 = 0 para toda raiz β, isto é,
β(Hα) = 0 para toda raiz β, o que contradiz o fato de que o conjunto das ráızes
gera o dual h∗ de h. Isso mostra que 〈α, α〉 6= 0 para toda raiz α. No entanto,
〈α, α〉 = 〈Hα, Hα〉
= tr(ad(Hα)2)
=
∑
β raiz
dββ(Hα)2,
6.2. Subálgebras de Cartan 155
onde dβ = dim gβ. Pela fórmula do item anterior,
〈α, α〉 =
∑
β raiz
dβq
2
βα〈α, α〉2
= 〈α, α〉2
∑
β raiz
dβq
2
βα .
Como 〈α, α〉 6= 0,
〈α, α〉 =
1∑
dβq2
βα
é um racional positivo.
5. Sejam X ∈ gα e Y ∈ g−α tais que [X, Y ] = Hα. O subespaço V gerado por Y, h e∑
k≥1
gkα
é invariante por ad(X), pois [X, Y ] ∈ h e ad(X)gkα ⊂ g(k+1)α (com g0 = h).
Ele é invariante também por ad(Y ), já que ad(Y )gkα ⊂ g(k−1)α para k ≥ 1 e
[H, Y ] = −α(H)Y para todo H ∈ h. Como Hα = [X, Y ],
tr(ad(Hα)|V ) = 0.
Mas,
tr(ad(Hα)|V ) = −α(Hα) +
∑
k≥1
dkkα(Hα)
= −〈α, α〉+
∑
k≥1
dkk〈α, α〉,
onde dk = dim gkα. Cancelando 〈α, α〉, fica
1 = d1 + 2d2 + 3d3 + · · ·
O que só é posśıvel se d1 = 1 e di = 0 para i ≥ 2.
6. Pela demonstração do item anterior, dim gkα = 0 se k ≥ 2 e dáı que o único
múltiplo inteiro positivo de α que é raiz é a própria α. O mesmo argumento se
aplica a −α por ser esta uma raiz. 2
Exemplo: Como foi verificado no caṕıtulo 4, a subálgebra h das matrizes diagonais de
traço nulo é uma subálgebra de Cartan de sl(n). Para i, j = 1, . . . , n seja Eij = (ars)r,s
a matriz n × n cuja única entrada não-nula é aij = 1. O conjunto das matrizes Eij e
Eii − Ejj, i 6= j é uma base de sl(n). Dado H ∈ h, pode-se escrever
H = diag{a1, . . . , an}
156 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
com a1 + · · ·+ an = 0 e, portanto,
ad(H)(Eij) = (ai − aj)Eij .
Esta igualdade mostra que as ráızes de h são os funcionais lineares αij = λi−λj, i 6= j,
onde λi é dado por
λi : diag{a1, . . . , an} 7−→ ai . (6.3)
e os espaços de ráızes correspondentes são os subespaços unidimensionais gerados por
Eij, i 6= j. Tomando H ∈ h, como em (6.3),
〈H,H〉 =
∑
i6=j
(ai − aj)
2 = 2
∑
i<j
(ai − aj)
2,
que pode ser reescrito como
〈H,H〉 = 2
∑
i<j
(a2
i + a2
j)− 4
∑
i<j
aiaj .
No primeiro termo do segundo membro, cada a2
i é somado n − 1 vezes, já o segundo
termo coincide com 2
∑
i a
2
i pois
∑
ai = 0. Portanto,
〈H,H〉 = 2n
n∑
i=1
a2
i .
Esta igualdade, juntamente com a fórmula de polarização, que relaciona uma forma
quadrática com a forma bilinear associada, fornece a forma de Cartan-Killing restrita
a h:
〈H,H ′〉 = 2n(a1b1 + · · ·+ anbn),
onde H ′ = diag{b1, . . . , bn}. Devido a essa expressão,
Hαij
=
1
2n
(Eii − Ejj)
e, portanto, os valores da forma de Cartan-Killing nas ráızes são os racionais
〈αij, αrs〉 =
1
2n
(δir − δis − δjr + δjs),
onde δij = 1 se i = j e 0 caso contrário. Em particular,
〈αij, αij〉 =
1
n
.
Os valores de 〈·, ·〉 nos elementos dos espaços de ráızes são dados por 〈Eij, Ers〉 = 0 se
(r, s) 6= (j, i). Como
[Eij, Eji] = Eii − Ejj = 2nHαij
,
segue que 〈Eij, Eji〉 = 2n. 2
6.3. A fórmula de Killing 157
6.3 A fórmula de Killing
A partir do último lema da seção anterior, é posśıvel considerar em g subálgebras
isomorfas a sl(2): dada uma raiz α, seja h(α) o subespaço de h gerado por Hα. Então,
o subespaço
g(α) = g−α ⊕ h(α)⊕ gα
é uma subálgebra de dimensão três, pois [gα, g−α] ⊂ h(α) e cada uma das componentes
na soma tem dimensão um.
Proposição 6.9 g(α) é isomorfa a sl(2).
Demonstração: Seja H ′
α ∈ h(α) definido por
H ′
α =
2
〈α, α〉
Hα.
Pelo lema 1, existem Xα ∈ gα e Y−α ∈ g−α tal que
〈Xα, Y−α〉 =
2
〈α, α〉
.
Como α(H ′
α) = 2, os colchetes entre esses elementos são
[H ′
α, Xα] = α(H ′
α)Xα = 2Xα
[H ′
α, Yα] = −α(H ′
α)Yα = −2Yα
[Xα, Y−α] = 〈Xα, Y−α〉Hα = H ′
α.
Isso mostra que g(α) é isomorfa a sl(2) com o isomorfismo dado por
X ←→ Xα H ←→ H ′
α Y ←→ Y−α
com {X,H, Y } a base canônica de sl(2). 2
O isomorfismo da demonstração acima não é único, pois existe uma liberdade na
escolha deXα e Y−α. Já a escolha deH ′
α é determinada por α(H ′
α) = 2, pois é necessário
que os autovalores de ad(H ′
α) coincidam com os autovalores de ad(H) em sl(2).
Pela proposição anterior, cada raiz α define uma representação de sl(2) em g através
da representação adjunta de g(α) em g. Com essas representações, os resultados obtidos
sobre as representações irredut́ıveis de sl(2) permitem fazer um análise detalhada dos
produtos [gα, gβ] para duas ráızes α e β.
Para isso, considera-se a seguinte seqüência de elementos de h∗
. . . , β − 2α, β − α, β, β + α, β + 2α, . . .
que será denominada de α-seqüência iniciada em β . Para entender o colchete em g,
deseja-se saber quais os elementos dessa seqüência que são pesos. A resposta é dada
pela fórmula de Killing:
158 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
Teorema 6.10 Os elementos da α-seqüência iniciada em β que são pesos formam um
intervalo contendo β, isto é, existem inteiros p, q ≥ 0 tal que
β − pα, . . . , β − α, β, β + α, . . . , β + qα
são os únicos pesosda forma β + kα com k inteiro. Além do mais, vale a seguinte
fórmula (de Killing)
p− q =
2〈β, α〉
〈α, α〉
. (6.4)
A respeito deste teorema, valem os seguintes comentários:
1. Na fórmula de Killing α e β não são simétricos. Para a β-seqüência iniciada em
α, são outros os valores de p e q que definem o intervalo dos pesos.
2. A fórmula (6.4) mostra, em particular, que a expressão que aparece no segundo
membro é um inteiro. Esse fato, a prinćıpio surpreendente, é devido à relação
entre as dimensões das representações irredut́ıveis de sl(2) e os autovalores de H
nessas representações; o segundo membro de (6.4) é nada mais nada menos que
um autovalor de H numa representação de sl(2).
3. O inteiro
2〈β, α〉
〈α, α〉
é denominado número de Killing associado às ráızes α e β.
Demonstração: Suponha, em primeiro lugar, que β é múltiplo inteiro de α, isto é,
β = 0 ou ±α. Então, a α-seqüência iniciada em β é
−α, 0, α
e o número de Killing entre α e β é 0 ou ±2, de onde se tira a fórmula de Killing.
Uma vez verificado esse caso particular, assume-se para o resto da demonstração,
que β não é múltiplo inteiro de α, ou o que é a mesma coisa, β + kα 6= 0 para todo k.
Tomando g(α) ≈ sl(2) como acima, seja o subespaço
Vβ,α = · · · ⊕ gβ−α ⊕ gβ ⊕ gβ+α ⊕ · · ·
Esta soma é finita, pois existe apenas um número finito de pesos. A representação
adjunta de g(α) em g deixa Vβ,α invariante pois
ad(Xα)gβ+kα ⊂ gβ+(k+1)α
ad(Y−α)gβ+kα ⊂ gβ+(k−1)α
ad(H ′
α)gβ+kα ⊂ gβ+kα.
Portanto, g(α) se representa em Vβ,α. Essa representação é irredut́ıvel. Para ver isso,
seja
Vβ,α = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs
6.3. A fórmula de Killing 159
a decomposição de Vβ,α em componentes irredut́ıveis, garantida pelo teorema de Weyl.
Pela classificação das representações irredut́ıveis de sl(2), os autovalores de H ′
α (≈ H)
dentro de Vi são da forma mi − 2j com mi = dimVi − 1 e 0 ≤ j ≤ mi. Portanto,
esses autovalores são inteiros e são ou todos pares ou todos ı́mpares. No entanto, os
autovalores de H ′
α dentro de Vβ,α são dados por
(β + kα)(H ′
α) =
2
〈α, α〉
β(Hα) +
2k
〈α, α〉
α(Hα)
= 2
〈β, α〉
〈α, α〉
+ 2k.
.
Essa igualdade mostra de imediato que
2〈β, α〉
〈α, α〉
é inteiro. Mais ainda, como
2〈β, α〉
〈α, α〉
+ 2k
tem a mesma paridade que
2〈β, α〉
〈α, α〉
, os diferentes autovalores de H ′
α dentro de Vβ,α têm
todos a mesma paridade. Isso mostra que as dimensões dos subespaços Vi são todas
pares ou todas ı́mpares, o mesmo ocorrendo com mi.
Por outro lado, os autovalores de H ′
α são todos simples, pois os auto-espaços são da
forma gβ+kα e estes têm dimensão um, já que β + kα 6= 0. A partir dáı, obtém-se a
irredutibilidade de Vβ,α. De fato, suponha que na decomposição acima s 6= 1. Então,
existem i, j tal que mj = mi + 2k com k ≥ 0, o que contradiz o fato de mi ser um
autovalor simples, pois então ele apareceria como autovalor em Vi e em Vj.
A irredutibilidade de Vβ,α e o fato que (β + kα)(H ′
α) varia de dois em dois, quando
se varia k, garantem que
Vβ,α = gβ−pα ⊕ · · · ⊕ gβ+qα ,
o que mostra que o conjunto dos pesos na α-seqüência iniciada em β é um intervalo.
Agora, o maior autovalor de H ′
α dentro de Vβ,a é dado por
(β + qα)(H ′
α) =
2〈β, α〉
〈α, α〉
+ 2q.
Como dimVβ,α = p+ q + 1,
p+ q =
2〈β, α〉
〈α, α〉
+ 2q,
isto é,
p− q =
2〈β, α〉
〈α, α〉
,
que é a fórmula de Killing. 2
No que segue, o termo α-seqüência iniciada em β será usado para designar apenas
o intervalo dos pesos da forma β + kα.
Como conseqüência da fórmula de Killing, tem-se:
160 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
Proposição 6.11 Os únicos múltiplos de uma raiz α que são ráızes são ±α.
Demonstração: Suponha β = cα com c 6= 0 e β, α ráızes. Então,
2〈β, α〉
〈α, α〉
= 2c
e
2〈β, α〉
〈β, β〉
=
2
c
.
Sejam n = 2c e m = 2/c. Então, m,n são inteiros e mn = 4. Isso só é posśıvel se
n = ±1,±2 ou ±4, isto é, c = ±1
2
,±1 ou ±2 e, portanto, c = ±1, pois como já foi
mostrado, os únicos múltiplos inteiros de uma raiz são ela mesma e sua oposta. 2
Proposição 6.12 Sejam α e β ráızes e suponha que α + β seja raiz (α + β 6= 0).
Então,
[gα, gβ] = gα+β .
Demonstração: Se α + β é raiz, então na α-seqüência iniciada em β o valor de q é
≥ 1. Dáı que, a expressão de X nas representações irredut́ıveis de sl(2) mostra que
ad(Xα)gβ = gα+β ,
onde Xα ∈ gα é escolhido como acima. Essa igualdade mostra a proposição. 2
Exemplo: Continuando o exemplo da seção anterior, para uma raiz αij a subálgebra
g(αij) é gerada por Eij, Eji e Eii −Ejj e, portanto, ela se identifica com a álgebra das
transformações lineares de traço zero do subespaço gerado por ei e ej onde {e1, . . . , en}
é a base utilizada para escrever as matrizes. As expressões dadas para a forma de
Cartan-Killing mostram que para duas ráızes αij e αrs o número de Killing é o inteiro
2〈αij, αrs〉
〈αij, αij〉
= δir − δis − δjr + δjs ,
enquanto que
H ′
αij
= Eii − Ejj .
Para a αij-seqüência iniciada em αrs, existem as possibilidades
1. {i, j} ∩ {r, s} = ∅. Então, a seqüência consiste de αrs apenas, pois αrs + αij e
αrs − αij não são ráızes, já que esses funcionais não são da forma λa − λb. Além
do mais, a expressão acima mostra que o número de Killing associado às ráızes
se anula.
6.4. Sistemas simples de ráızes 161
2. {i, j}∩{r, s} tem um elemento. Então, na soma que fornece o número de Killing,
apenas uma das parcelas não se anula e dáı que
2〈αij, αrs〉
〈αij, αij〉
= ±1
e a seqüência é formada por αrs e αrs + αij ou αrs − αij, pois esses são os únicos
funcionais posśıveis da forma λa − λb.
3. {i, j} = {r, s}. Então, αij = ±αrs e a seqüência é formada por ±αij e 0.
Os posśıveis números de Killing são 0, ±1 e ±2, sendo que este último caso só
ocorre se as ráızes são múltiplas uma da outra. 2
6.4 Sistemas simples de ráızes
Como foi visto, o conjunto Π das ráızes de uma subálgebra de Cartan h gera o dual
h∗ da álgebra. Da mesma forma, os elementos Hα, α ∈ Π, duais das ráızes em relação
à forma de Cartan-Killing, geram h. O objetivo desta seção é selecionar, dentro do
conjunto das ráızes, bases especiais de h e h∗ (sistemas simples de ráızes).
Essas bases serão escolhidas de tal maneira que, em relação a elas, os elementos
de Π serão escritos com coordenadas inteiras. Por essa razão, é mais conveniente
trabalhar sobre os subespaços racionais de h∗ e h, gerados pelas ráızes e seus duais,
ao invés de considerar todo h (a razão pela qual isso é posśıvel se deve a que a forma
de Cartan-Killing assume valores racionais quando avaliada nas ráızes). Como o corpo
de escalares K é de caracteŕıstica zero, ele contém o corpo Q dos racionais. Por isso,
h pode ser considerado como um espaço vetorial sobre Q. No que segue, o subespaço
racional de h gerado por Hα, α ∈ Π será denotado por hQ :
hQ = {a1Hα1 + · · ·+ akHαk
: ai ∈ Q e αi ∈ Π}.
Como o conjunto das ráızes é finito, hQ é um espaço vetorial de dimensão finita sobre
os racionais. De maneira mais precisa,
Proposição 6.13 dim hQ = dim h.
Demonstração: Como {Hα : α ∈ Π} gera h, existe {α1, . . . , αl} ⊂ Π tal que
B = {Hα1 , . . . , Hαl
}
é base (sobre K) de h. Em particular, B é linearmente independente sobre K e, por-
tanto, linearmente independente sobre Q. Dáı que dim hQ ≥ dim h.
Para mostrar que as dimensões coincidem, é suficiente mostrar que B gera hQ (com
coeficientes em Q). Dada uma raiz α, pode-se escrever
Hα = a1Hα1 + · · ·+ alHαl
162 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
com ai ∈ K. Os coeficientes dessa combinação linear são necessariamente racionais. De
fato, uma maneira de encontrar esses coeficientes é resolvendo em ai o sistema linear
l × l
l∑
i=1
〈Hαi
, Hαj
〉ai = 〈Hα, Hαj
〉 j = 1, . . . , l.
Esse sistema tem uma única solução, pois a matriz de seus coeficientes é a matriz da
forma não-degenerada 〈·, ·〉 em relação à base B. Além do mais, os coeficientes do
sistema são todos racionais e dáı que cada aié racional, o que mostra que B gera,
sobre os racionais, o dual Π e, portanto, hQ, concluindo a demonstração. 2
Por restrição, a forma de Cartan-Killing define em hQ uma forma bilinear simétrica,
pois 〈·, ·〉 assume valores racionais em Π. Como as dimensões de h e hQ coincidem, a
forma restrita também não é degenerada. Sobre essa restrição, no entanto, pode-se
dizer mais do que isso. De fato:
Proposição 6.14 A forma de Cartan-Killing restrita a hQ é um produto interno.
Demonstração: Só falta mostrar que é positiva definida. Para isso, seja H ∈ hQ.
Então,
〈H,H〉 = tr
(
ad (H)2) =
∑
α∈Π
α(H)2 =
∑
α∈Π
〈Hα, H〉2
e, portanto, 〈H,H〉 ≥ 0. Além do mais, 〈H,H〉 = 0 se e só se 〈Hα, H〉 = 0 para todo
α ∈ Π, o que ocorre se e só se H = 0, pois Π gera h∗. 2
A construção do espaço racional pode ser feita também no dual h∗ de h: procedendo
como na discussão acima, mostra-se que o subespaço racional h∗Q gerado pelas ráızes
tem a dimensão de h e se identifica com o dual de hQ. Da mesma maneira, a forma de
Cartan-Killing é um produto interno em h∗Q.
Como hQ é um espaço vetorial racional, ele pode ser estendido a um espaço vetorial,
de mesma dimensão, hR sobre o corpo dos reais. O produto interno em hQ, definido
pela forma de Cartan-Killing, estende-se também a um produto interno em hR. Em
geral, hR não está relacionado com h, mas no caso em que K é o corpo dos complexos,
toda a construção feita acima poderia ter sido feita sobre R ao invés de Q, obtendo
dessa forma hR como um subespaço vetorial real de h. Quando os escalares são números
complexos é conveniente trabalhar com hR no lugar de hQ (veja o caṕıtulo 9 para mais
comentários nessa direção).
No que segue, o espaço vetorial hQ com o produto interno, dado pela forma de
Cartan-Killing, vai desempenhar um papel fundamental. A classificação das álgebras
semi-simples (ou melhor, simples) é feita em cima da geometria das ráızes (ou de seus
correspondentes Hα) em relação a esse produto interno. A classificação é posśıvel
porque essa geometria é bastante ŕıgida, como será exposto adiante.
O objetivo agora é construir os sistemas simples de ráızes. O primeiro passo consiste
numa discussão sobre as ordens lexicográficas em espaços vetoriais.
6.4. Sistemas simples de ráızes 163
Seja V um espaço vetorial sobre Q e {v1, . . . , vl} uma base ordenada de V . Sejam
v, w ∈ V escritos em coordenadas como
v = a1v1 + · · ·+ alvl
w = b1v1 + · · ·+ blvl.
A ordem lexicográfica em V em relação a essa base é definida por v ≤ w se v = w ou se
ai < bi, onde i é o primeiro ı́ndice em que as coordenadas de v e w são diferentes. Essa
relação define de fato uma ordem que é compat́ıvel com a estrutura de espaço vetorial
(isto é, v ≤ w ⇒ v + u ≤ w + u e xv ≤ xw se x > 0 e v ≤ w).
Quando V é munido de um produto interno, a ordem lexicográfica em V satisfaz
a propriedade enunciada no lema seguinte, que será utilizada para construir sistemas
simples de ráızes.
Lema 6.15 Tomando a ordem lexicográfica dada pela base ordenada {v1, . . . , vl}, seja
{w1, . . . , wm} um subconjunto de V satisfazendo
a) wi > 0 para todo i = 1, . . . ,m,
b) 〈wi, wj〉 ≤ 0 para i 6= j.
Então, {w1, . . . , wm} é l.i. (e, em particular, m ≤ l).
Demonstração: Suponha por absurdo que, por exemplo,
wm = a1w1 + · · ·+ am−1wm−1.
Se todos os coeficientes são ≤ 0 então wm ≤ 0, pois wi > 0 e, portanto, aiwi ≤ 0 se
ai ≤ 0. Portanto, a) garante que pelo menos um dos coeficientes é positivo. Seja a
decomposição
wm = w+ + w−,
onde w+ é a soma dos elementos na combinação acima em que os coeficientes são
positivos e w− a soma daqueles em que os coeficientes são negativos. Então, w+ 6= 0.
No entanto,
〈wm, w
+〉 =
∑
i
ai〈wm, wi〉 ≤ 0,
pois nessa soma os coeficientes ai (que aparecem em w+) são > 0 e 〈wm, wi〉 ≤ 0,
devido a b). Por outro lado,
〈wm, w
+〉 = 〈w+ + w−, w+〉
= |w+|2 + 〈w−, w+〉.
O último termo desta expressão é estritamente positivo, pois |w+|2 > 0 e 〈w−, w+〉 ≥ 0,
já que se w+ =
∑
biwi e w− =
∑
cjwj, então
〈w−, w+〉 =
∑
bicj〈wi, wj〉
164 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
e bi > 0, cj ≤ 0 e 〈wi, wj〉 ≤ 0. Essa contradição mostra que o conjunto é linearmente
independente. 2
A partir de agora, fixa-se uma ordem lexicográfica dada por uma base de h∗Q.
Definição 6.16 Uma raiz α ∈ Π é simples – em relação à ordem fixada – se
i) α > 0
ii) Não existem β, γ ∈ Π tal que β e γ são positivas e
α = β + γ.
O conjunto das ráızes simples será denotado por Σ.
O objetivo dos lemas a seguir é mostrar que Σ forma uma base de h∗Q. O primeiro
passo consiste em mostrar que Σ é não-vazio. Isso é necessário para aplicar o lema
6.15, em cujo enunciado está impĺıcito que o conjunto {w1, . . . , wm} é não-vazio.
Lema 6.17 Σ 6= ∅.
Demonstração: Seja α uma raiz positiva minimal, isto é, tal que não existe β ∈ Π
com β > 0 e β < α. A existência de uma raiz desse tipo vem de que −γ ∈ Π se γ ∈ Π
e, portanto, existem ráızes positivas e, como Π é um conjunto finito, existem ráızes
positivas minimais. Uma raiz α, satisfazendo essas propriedades, é simples. De fato,
se α = β + γ com β, γ > 0 e β, γ ∈ Π então, α > β > 0 pois γ > 0 contradizendo a
escolha de α. 2
Lema 6.18 〈α, β〉 ≤ 0 se α, β ∈ Σ e α 6= β.
Demonstração: Será usada a fórmula de Killing. A primeira observação que se faz
é que se α 6= β são ráızes simples, então β − α /∈ Π. Isso porque se β − α fosse raiz,
então
i) β − α ≤ 0, pois β = α+ (β − α) e β é simples e
ii) β − α ≥ 0, pois α = β + (α− β) e α é simples,
o que é uma contradição.
Portanto, na α-seqüência iniciada em β, p = 0. Pela fórmula de Killing
0 ≥ −q =
2〈β, α〉
〈α, α〉
e dáı que 〈α, β〉 ≤ 0 se α 6= β são ráızes simples. 2
6.4. Sistemas simples de ráızes 165
Lema 6.19 Σ é l.i.
Demonstração: É conseqüência imediata do lema anterior e do lema 6.15. 2
O conjunto (finito) das ráızes simples será escrito como
Σ = {α1, . . . , αl}.
Lema 6.20 Seja β ∈ Π com β > 0. Então, β se escreve de maneira única como
β = n1α1 + · · ·+ nlαl
com n1, . . . , nl inteiros ≥ 0. Em particular, Σ gera h∗Q.
Demonstração: Se β é simples, β = αi para algum i. Caso contrário existem ráızes
postivas β1 e β2 tal que β = β1 + β2 e essa soma fornece a decomposição para β se β1
e β2 são simples. Se uma dessas ráızes não é simples, ela pode ser decomposta como
soma de ráızes positivas (por exemplo β1 = γ1 +γ2 com γ1, γ2 ráızes positivas) e assim
sucessivamente. Como em cada decomposição se obtêm ráızes estritamente menores
que as anteriores, esse processo termina em ráızes para as quais não existe nenhuma
raiz positiva menor que as mesmas. Essas ráızes são simples, como foi mostrado no
lema 6.17. Dessa forma, β se escreve como soma (com posśıveis repetições) de ráızes
simples, isto é, β é uma combinação linear com coeficientes inteiros ≥ 0, como no
enunciado. 2
Corolário 6.21 a) Seja γ uma raiz positiva que não é simples. Então, existe α ∈ Σ
tal que 〈γ, α〉 > 0 e γ − α é raiz positiva.
b) Toda raiz positiva γ pode ser escrita como
γ = αi1 + · · ·+ αik
com αij raiz simples de tal maneira que as somas parciais
αi1 + · · ·+ αis
s = 1, . . . , k são ráızes.
Demonstração:
a) Se 〈γ, α〉 ≤ 0 para toda raiz simples α, então o lema 6.15 garante que Σ ∪ {γ} é
linearmente independente, contradizendo o lema anterior. Já o fato de que γ−α
é raiz vem da fórmula de Killing, uma vez que na α-seqüência iniciada em γ,
p > 0 pois 〈γ, α〉 > 0.
b) A afirmação é imediata se γ é uma raiz simples. Por outro lado, se γ não é
simples, então existe α ∈ Σ tal que γ−α é raiz positiva. Como γ = (γ − α) +α,
o resultado segue por indução. 2
166 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
A conclusão dessa discussão é que, se
Σ = {α1, . . . , αl}
é o conjunto das ráızes simples em relação a uma ordem lexicográfica, então
a) Σ é uma base de h∗Q e
b) toda raiz β pode ser escrita como
β = n1α1 + · · ·+ nlαl
com coeficientesinteiros e todos eles de mesmo sinal.
A afirmação em b) vem do último lema: se uma raiz é positiva, ela se escreve como
uma combinação linear em que os coeficientes são todos inteiros ≥ 0. Por outro lado,
se β não é positiva, então −β é positiva, e dáı que todos os coeficientes de β em relação
a Σ são ≤ 0.
Baseado nesses fatos, introduz-se o seguinte conceito.
Definição 6.22 Um subconjunto Σ = {α1, . . . , αl} satisfazendo a) e b) acima é deno-
minado sistema simples de ráızes.
É claro que o conjunto das ráızes simples definidas a partir de uma ordem lexi-
cográfica em h∗Q é um sistema simples de ráızes. Vice-versa, partindo de um sistema
simples de ráızes Σ, pode-se definir em h∗Q a ordem lexicográfica definida por Σ, que é
uma base de h∗Q. Em relação a essa ordem, o conjunto das ráızes simples é exatamente
Σ. De fato, se nessa ordem β é uma raiz positiva, sua primeira coordenada não-nula
em relação à base Σ é positiva e, portanto, todas essas coordenadas são positivas por
b). Por essa razão, é imposśıvel escrever αi = β + γ com β e γ ráızes positivas o que
mostra que os elementos de Σ são ráızes simples. Como o conjunto das ráızes simples
é uma base, Σ coincide com esse conjunto.
Não existe um único sistema simples de ráızes. Por exemplo, se Σ é um sistema
simples, o mesmo ocorre com −Σ = {−α1, . . . ,−αl}. A quantidade de tais sistemas
(que é evidentemente finita) é dada pela ordem do grupo de Weyl. Esse é o grupo de
transformações lineares de h∗Q gerado por rα : h∗Q → h∗Q, α ∈ Π, onde rα é a reflexão
definida pelo hiperplano ortogonal à raiz α, isto é
rα(β) = β − 2〈β, α〉
〈α, α〉
α.
O grupo de Weyl será estudado no caṕıtulo 9.
Fixando um sistema simples de ráızes (ou uma ordem lexicográfica), pode-se definir
Π+ = {α ∈ Π : α > 0} Π− = −Π+ = {α ∈ Π : α < 0}.
6.5. Matrizes de Cartan e diagramas de Dynkin 167
Sejam
n+ =
∑
α∈Π+
gα n− =
∑
α∈Π−
gα .
Então,
g = n+ ⊕ h⊕ n−
e n+ e n− são duais pela forma de Cartan-Killing, pois 〈gα, g−a〉 6= 0 e 〈gα, gβ〉 = 0 se
β 6= −α. Além do mais, h é auto-dual, pois a restrição de 〈·, ·〉 a h não é degenerada.
Essa é a estrutura básica das álgebras semi-simples e que imita a de sl(2) onde essa
decomposição é dada pela base {X,H, Y }. A álgebra n+ é nilpotente, pois se X ∈
gα, então, ad(X)kgβ ⊂ gkα+β, o mesmo ocorrendo com n− que é isomorfa a n+. A
subálgebra de Cartan h normaliza tanto n+ quanto n−. Assim, b = h ⊕ n+ é uma
subálgebra e, como n+ é um ideal de b, essa subálgebra é solúvel. A subálgebra b é
conhecida como subálgebra de Borel .
Exemplo: Entre as ráızes αij da subálgebra de Cartan h de sl(n), o conjunto
Σ = {α12, . . . , αn−1,n}
é um sistema simples. Isso decorre de que se αij é uma raiz com i < j, então
αij = αi,i+1 + · · ·+ αj−1,j
(pois αij = λi−λj) e, portanto, αij se escreve como combinação linear dos elementos de
Σ com todos os coeficientes iguais a um. Como αji = −αij e o número de elementos de
Σ coincide com a dimensão de h, isso garante que Σ é um sistema simples. O conjunto
das ráızes positivas é
Π+ = {αij : i < j}
e, portanto, n+ é a subálgebra das matrizes triangulares superiores com zeros na dia-
gonal, sendo que n− é a subálgebra das matrizes triangulares inferiores.
Nessa escolha de Σ está subentendida uma ordem na base de Kn que diagonaliza
os elementos de h. Reordenando essa base, obtém-se um outro sistema simples cujas
álgebras n+ e n− passam a ser a das matrizes triangulares superiores ou inferiores em
relação à nova base ordenada. Uma das coisas que vai ser mostrada no caṕıtulo 9 é
que todos os sistemas simples de h são obtidos dessa maneira por diferentes ordens na
base de Kn. Como ficou claro no caṕıtulo 4, para escolher uma subálgebra de Cartan
de sl(n,K), é suficiente que se escolha uma base de Kn. Por outro lado, para selecionar
um sistema simples no conjunto de todos esses sistemas, nas diferentes subálgebras de
Cartan, basta que se tome uma base ordenada de Kn. 2
6.5 Matrizes de Cartan e diagramas de Dynkin
6.5.1 Matrizes de Cartan
Foi mostrado que se Σ é um sistema simples de ráızes, então toda raiz positiva é
combinação linear de Σ com coeficientes inteiros positivos ou, o que é o mesmo, é uma
168 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
soma – com posśıveis repetições – dos elementos de Σ. Dessa forma, para encontrar as
ráızes positivas (e, portanto, todas as ráızes, já que Π = Π+ ∪−Π+) deve-se encontrar
quais as somas de elementos de Σ que são ráızes. Isso é feito com a ajuda da fórmula
de Killing, passo a passo, considerando a quantidade de ráızes simples que aparece na
expressão de uma raiz positiva: seja
Σ = {α1, . . . , αl}
o sistema simples. Se β é uma raiz positiva, então
β = n1α1 + · · ·+ nlαl
com os coeficientes inteiros não-negativos. A altura de β é o inteiro positivo n1+· · ·+nl.
Por exemplo, as ráızes positivas de altura 1 são exatamente as ráızes simples.
Já as ráızes positivas de altura 2 são as da forma αi + αj com i 6= j (pois para
uma raiz α, 2α não é raiz). A fórmula de Killing para αi e αj permite encontrar quais
destas somas são ráızes. De fato, se αj − pαi, . . . , αj + qαi é a αi-seqüência iniciada em
αj então p = 0 pois αi − αj não é raiz. Portanto,
−q =
2〈αi, αj〉
〈αi, αi〉
e dáı que q > 0 (isto é, αi + αj é raiz) se, e só se,
2〈αi, αj〉
〈αi, αi〉
< 0
(convém lembrar que 〈α, β〉 ≤ 0 se α e β são ráızes simples distintas). Dessa forma,
para decidir quais são as ráızes de altura dois, basta olhar a tabela
2〈αi, αj〉
〈αi, αi〉
i, j = 1, . . . , l
dos números de Killing associados às ráızes simples.
Seja agora β uma raiz de altura 3. Pelo corolário 6.21, β = α+αk com α de altura
dois e αk ∈ Σ, isto é,
β = αi + αj + αk
com i 6= j. A fórmula de Killing para a αk-seqüência iniciada em αi + αj é
p− q =
2〈αi + αj, αk〉
〈αk, αk〉
.
Com isso, existem as seguintes possibilidades:
a) i 6= k 6= j. Neste caso, p = 0 pois αi +αj−αk não é raiz por ser uma combinação
linear em que aparecem tanto coeficientes positivos quanto negativos. Dáı que
partindo de αi +αj ∈ Π+, os valores de k para os quais αi +αj +αk é raiz positiva
são aqueles em que
2〈αi, αk〉
〈αk, αk〉
< 0 ou
2〈αj, αk〉
〈αk, αk〉
< 0.
6.5. Matrizes de Cartan e diagramas de Dynkin 169
b) k = i ou k = j. Por exemplo, k = j. Neste caso, a αk-seqüência iniciada em
αi + αj faz parte da αj-seqüência iniciada em αi. Como αi − αj não é raiz, para
decidir se αi + 2αj é raiz basta olhar
2〈αi, αj〉
〈αj, αj〉
.
Em cada um desses casos, os números de Killing correspondentes às ráızes simples
determinam as ráızes de altura três.
Em geral, procede-se por indução da mesma forma. Pelo corolário 6.21, as ráızes de
altura n+ 1 são da forma α+ αk com α raiz de altura n e αk raiz simples. A fórmula
de Killing mostra quais dessas somas são ráızes: a αk-seqüência iniciada em α é dada
por p e q com
p− q =
2〈α, αk〉
〈αk, αk〉
.
Por indução, p é conhecido, pois α − αk, α − 2αk, . . ., se são ráızes são positivas (pois
os coeficientes de α são positivos) e de altura menor que n. Se
α = n1α1 + · · ·+ nlαl ,
então
2〈α, αk〉
〈αk, αk〉
= n1
2〈α, α1〉
〈α1, α1〉
+ · · ·+ nl
2〈α, αl〉
〈αl, αl〉
e novamente q (e, portanto, o fato de α+αk ser ou não raiz) é encontrado a partir dos
números de Killing correspondentes aos elementos de Σ.
Essa discussão permite que se convença que os números de Killing associados aos
elementos de um sistema simples determinam todas as ráızes de h e, portanto, a estru-
tura da álgebra semi-simples. Isso será mostrado com detalhes no caṕıtulo 8 por um
método que elabora devidamente os comentários acima.
Os números associados às ráızes simples são colocados em forma de matriz l × l
como
C =
(
2〈αi, αj〉
〈αi, αi〉
)
i,j
.
Essa matriz recebe o nome de Matriz de Cartan do sistema simples de ráızes.
Os elementos diagonais dessa matriz são todos iguais a 2 e os elementos de fora da
diagonal sãointeiros negativos. A proposição seguinte mostra que as possibilidades
para os elementos de fora da diagonal são bastante restritas.
Proposição 6.23 Sejam α e β ráızes.
a) Se θ denota o ângulo entre α e β (ou entre Hα e Hβ) então,
cos θ = 0,±1,±
√
3
2
,±
√
2
2
,±1
2
,
isto é, θ = kπ/6 ou kπ/4.
170 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
b) Os posśıveis valores para os números de Killing são
2〈β, α〉
〈α, α〉
= 0,±1,±2,±3.
Demonstração:
a) Como
2〈β, α〉
〈α, α〉
e
2〈β, α〉
〈β, β〉
são inteiros,
4 cos 2θ =
4〈α, β〉2
〈α, α〉〈β, β〉
é inteiro. Portanto,
4 cos 2θ = 0, 1, 2, 3, 4
e dáı que cos θ é como no enunciado.
b) Pelo item anterior,
2〈β, α〉
〈α, α〉
2〈β, α〉
〈β, β〉
é um dos inteiros 0, 1, 2, 3, 4 e cada um dos fatores é um inteiro. Além do mais,
se um deles se anula, então 〈α, β〉 = 0 e, portanto, o outro também se anula. Dáı
que cada um dos fatores do produto acima pode assumir apenas os valores
0,±1,±2,±3,±4
sendo que ±4 não ocorre. De fato, se por exemplo
2〈β, α〉
〈α, α〉
= ±4,
então
4 cos 2θ = 4
〈β, α〉2
〈α, α〉〈β, β〉
= 4
e cos θ = ±1, isto é, β é múltiplo de α. Dáı que β = ±α e
2〈β, α〉
〈α, α〉
= ±2,
o que é uma contradição. 2
Esta proposição mostra que os elementos de fora da diagonal da matriz de Cartan
assumem apenas os valores 0,−1,−2 ou −3. Ela mostra também que se θ é o ângulo
entre duas ráızes simples αi e αj, então θ = 0◦ (se as ráızes coincidem) ou θ = 90◦,
6.5. Matrizes de Cartan e diagramas de Dynkin 171
120◦, 135◦ ou 150◦, se as ráızes simples são distintas. Além do mais, o fato de que
cos 2θ < 1 para i 6= j garante que se
2〈αi, αj〉
〈αi, αi〉
= −2 ou − 3,
então, necessariamente,
2〈αj, αi〉
〈αi, αi〉
= −1
pois o produto desses dois números de Killing coincide com 4 cos 2θ. Em outras
palavras, se uma entrada cij, i 6= j da matriz de Cartan é −2 ou −3, então a entrada
cji é −1. Da mesma forma, se cij = 0, o mesmo ocorre com cji. Em resumo:
Proposição 6.24 Seja C = (cij) a matriz de Cartan de um sistema simples de ráızes.
Então,
1. cii = 2 para todo i,
2. cij = 0,−1,−2 ou −3,
3. cji = −1 se cij = −2 ou −3 e
4. cij = 0 se e só se cji = 0.
Nem todas as matrizes l × l satisfazendo essas quatro propriedades são efetiva-
mente matrizes de Cartan de algum sistema simples de ráızes. As matrizes de Cartan
serão encontradas posteriormente através dos diagramas de Dynkin. Antes disso, é
conveniente ver alguns exemplos dessas matrizes.
Exemplos:
1. A matriz (
2 −1
−1 2
)
é a matriz de Cartan de sl(3). As ráızes simples são α1 = α12 e α2 = α23, que
satisfazem
2〈α1, α2〉
〈α1, α1〉
=
2〈α1, α2〉
〈α2, α2〉
= −1.
Na α1-seqüência iniciada em α2 tem-se que p = 0 e, portanto, q = 1. O mesmo
ocorre com a α2-seqüência iniciada em α1. Dáı que α1 +α2 é a única raiz positiva
já que α1 +2α2 e 2α1 +α2 não são ráızes e, portanto, não existem ráızes de altura
3.
2. A matriz  2 −1 0
−1 2 −1
0 −1 2

é a matriz de Cartan de sl(4). As ráızes positivas são obtidas da matriz de Cartan
da seguinte forma.
172 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
(a) As ráızes de altura um são as ráızes simples α1 = α12, α2 = α23 e α3 = α34.
(b) As ráızes de altura dois são α1 + α2 e α2 + α3. A soma α1 + α3 não é raiz,
pois
2〈α1, α3〉
〈α1, α1〉
= 0.
(c) A única raiz de altura três é α1 + α2 + α3, já que αi + 2αj não é raiz para
nenhum par de ráızes simples αi e αj.
Não existem ráızes de altura quatro, já que na αi-seqüência iniciada em α1 +α2 +
α3, p = 1 se i = 1 ou 3 e p = 0 se i = 2, já que as ráızes de altura dois são α1 +α2
e α2 + α3. Pela matriz de Cartan, vê-se que esses valores coincidem com
2〈αi, α1 + α2 + α3〉
〈αi, αi〉
e, portanto, q = 0.
3. Em geral, a matriz de Cartan de sl(n) é
2 −1
−1 2
0
. . .
0
2 −1
−1 2
 ,
pois 〈αi,i+1, αi+1,i+2〉 = −1 e os outros produtos entre as ráızes simples se anulam.
As ráızes positivas de altura h são dadas por αi,i+h com i variando entre 1 e n−h.
Já as matrizes dos espaços de ráızes correspondentes têm entradas não-nulas
apenas na h-ésima diagonal secundária acima da diagonal principal e, variando
i, os espaços de ráızes cobrem essa diagonal.
4. A matriz (
2 −3
−1 2
)
é uma matriz de Cartan. As ráızes de altura h são dadas por
(a) as ráızes simples são α1, α2. A α1-seqüência iniciada em α2 tem p = 0 e
q = 1, enquanto que a α2-seqüência iniciada em α1 tem p = 0 e q = 3.
(b) α1 + α2 é a única raiz de altura dois.
(c) α1 + 2α2 é a única raiz de altura 3. Isso porque 2α1 + α2 não é raiz, pelo
fato de que a α1-seqüência iniciada em α2 tem q = 1.
(d) α1 + 3α2 é a única raiz de altura 4. Somando ráızes simples à raiz de altura
três, a outra possibilidade seria 2α1 + 2α2, que não é raiz por coincidir com
2(α1 + α2).
6.5. Matrizes de Cartan e diagramas de Dynkin 173
(e) 2α1 + 3α2 é a única raiz de altura cinco. Isso porque, para a α1-seqüência
iniciada em α1 + 3α2, vale a fórmula
p− q =
2〈α1, α1 + 3α2〉
〈α1, α1〉
= −1
e p = 0 pois 3α2 não é raiz. Dáı que q = 1 e 2α1 + 3α2 é de fato raiz. Por
outro lado, a outra possibilidade seria α1 + 4α2 que não é raiz, como pode
ser visto a partir da α2-seqüência iniciada em α1.
Não existem ráızes de altura seis. Somando ráızes simples à raiz de altura cinco,
as possibilidades são 3α1+3α2 e 2α1+4α2, que não são ráızes por serem múltiplos
de ráızes. Com isso, ficam determinadas todas as ráızes positivas. Elas são de
altura no máximo cinco e sua quantidade é seis. Portanto, o número total de
ráızes é doze e, como a subálgebra de Cartan tem dimensão dois, a álgebra semi-
simples associada à matriz de Cartan acima tem dimensão 14. 2
6.5.2 Diagramas de Dynkin
O diagrama de Dynkin é um diagrama (grafo) que contém as mesmas informações que
a matriz de Cartan. Ele é definido a partir de um sistema simples de ráızes fixado:
Σ = {α1, . . . , αl}.
O diagrama contém l pontos (vértices) representando cada uma das ráızes. Os vértices
são ligados ou não por um, dois ou três segmentos (arestas) de acordo com as seguintes
instruções.
1. Se
2〈αi, αj〉
〈αi, αi〉
=
2〈αi, αj〉
〈αj, αj〉
= 0
não existe ligação:e
αi
e
αj
2. Se
2〈αi, αj〉
〈αi, αi〉
=
2〈αi, αj〉
〈αj, αj〉
= −1,
αi e αj são ligadas por um segmento:e
αi
e
αj
3. Se
2〈αi, αj〉
〈αi, αi〉
ou
2〈αi, αj〉
〈αj, αj〉
174 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
é −2 (respectivamente −3) então os vértices são ligados por dois (respectivamente
três) segmentos:e
αi
e
αj
e
αi
e
αj
A idéia do diagrama de Dynkin é poder utilizá-lo para obter a matriz de Cartan.
Seja C = (cij) essa matriz. Se o diagrama for constrúıdo de acordo com as regras
acima, então cij = cji = 0 quando as ráızes αi e αj não são ligadas e cij = cji = −1
se essas ráızes são ligadas por apenas um segmento. No entanto, quando a ligação é
feita por dois ou três segmentos, não fica claro qual das entradas cij ou cji da matriz
de Cartan é −2 ou −3. Para distinguir isso, orienta-se a ligação na direção da raiz αj
se
cji =
2〈αi, αj〉
〈αj, αj〉
= −2 ou − 3
(e, portanto, cij = −1). Obtém-se dessa forma as ligações orientadas:e
αi
e
αj
A
�
e
αi
e
αj
A
�
O número de ligações entre duas ráızes no diagrama de Dynkin tem a seguinte
interpretação geométrica. Se θ é o ângulo entre αi e αj então,
4 cos 2θ =
2〈αi, αj〉
〈αi, αi〉
2〈αi, αj〉
〈αj, αj〉
e, portanto, este valor é o número de arestas que ligam as ráızes já que, se um dos
fatores deste produto é nulo, o mesmo ocorre com o outro e, caso contrário, pelo menos
um deles é um. Dessa forma, o número de ligações entre duas ráızes simples e o ângulo
θ que elas formam entre si estão relacionados pela seguinte tabela
e e θ = 90o
e e θ = 120o
e e θ = 1350
e e θ = 150o
No caso de ligações com dois ou três segmentos, a direção convencionada para a ligação
está associada ao comprimento relativo entre as ráızes. De fato, o quociente entre os
números de Killing correspondentes é
2〈αi, αj〉/〈αi, αi〉
2〈αi,αj〉/〈αj, αj〉
=
〈αj, αj〉
〈αi, αi〉
. (6.5)
6.5. Matrizes de Cartan e diagramas de Dynkin 175
Portanto, se duas ráızes são ligadas por um único segmento então elas têm o mesmo
comprimento enquanto que, se elas forem ligadas por dois ou três segmentos, o quadrado
de seus comprimentos relativos é dois e três, respectivamente. Por (6.5) se vê que a
direção de uma ligação múltipla foi escolhida de tal forma que ela aponta para a raiz
de menor comprimento entre as duas ráızes da ligação.
Exemplos:
1. A matriz de Cartan (
2 −3
−1 2
)
define o diagrama
e eA
�
2. A matriz de Cartan de sl(n) define o diagrama
e e . . . e e
3. A matriz de Cartan 
2 −1 0 0
−1 2 −1 0
0 −2 2 −1
0 0 −1 2

e o diagrama
e e e eA
�
estão associados entre si. 2
Notas
A história do desenvolvimento da teoria das álgebras simples é relatada em detalhes em
Hawkins [19]; desde os trabalhos de W. Killing, que elaborou os fundamentos conceituais
da teoria, até o desfecho brilhante de E. Cartan. O teorema final de classificação (veja os
próximos caṕıtulos) foi enunciado por W. Killing (1888-90), apresentando uma demonstração
com falhas, que foram cobertas por E. Cartan em sua tese (1894). Nas palavras de E. Cartan:
“No que diz respeito aos grupos cont́ınuos e finitos, os prinćıpios da teoria foram assentados
por S. Lie e M. Engel. Em uma série de artigos importantes, Killing deu um grande avanço
à teoria e, em particular, determinou todos os grupos simples com parâmetros complexos.
Mas suas demonstrações continham diversas lacunas e passagens inexatas. Em minha Tese
(1894) me propus a ordená-los com rigor. Mesmo assim obtive independentemente de Killing
diversos resultados novos” [6].
176 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
O termo raiz para indicar os autovalores das adjuntas dos elementos de uma subálgebra de
Cartan foi utilizado por W. Killing para indicar as ráızes do polinômio caracteŕıstico das
adjuntas dos elementos da subálgebra de Cartan.
A abordagem às álgebras semi-simples via as subálgebras de Cartan é a adotada hoje em dia.
Com Killing e Cartan, a ênfase era dada aos elementos regulares. As subálgebras de Cartan
passaram a ser consideradas principalmente depois dos trabalhos de H. Weyl sobre grupos
compactos.
A teoria desenvolvida neste caṕıtulo não se restringe a álgebras sobre corpos algebricamente
fechados desde que existam elementos regulares cujas adjuntas tenham autovalores no corpo
em questão. Exemplos de álgebras que satisfazem essa condição são as formas reais normais,
discutidas no caṕıtulo 12.
6.6 Exerćıcios
Nos exerćıcios a seguir, o corpo de escalares é suposto algebricamente fechado e de
caracteŕıstica zero, exceto nos casos em que se menciona explicitamente ao contrário.
1. Mostre que o teorema sobre as representações de sl (2) sobre corpos algebrica-
mente fechados vale também para sl (2,R).
2. As representações de sl (2,K) são realizadas nos espaços de polinômios sobre
K2: denotando por (x, y) as coordenadas em relação a uma base fixa, seja p um
polinômio em (x, y). Para A ∈ sl (2), seja q = Ap a derivada direcional (formal)
de p na direção de A (x, y). Mostre que q é um polinômio de mesmo grau que p
e que p 7→ Ap define uma representação de sl (2) em cada espaço dos polinômios
homogêneos. Mostre também que essas representações são irredut́ıveis.
3. Uma subálgebra de uma álgebra de Lie é dita abeliana maximal se ela for abeliana
e não estiver contida propriamente em nenhuma subálgebra abeliana. Mostre que
numa álgebra semi-simples uma subálgebra h abeliana maximal é de Cartan se e
só se ad(H) é semi-simples para todo H ∈ h. (Tome o fecho algébrico do corpo
de escalares e faça a decomposição em subespaços de pesos da extensão de h). Dê
exemplo de uma álgebra abeliana maximal numa álgebra semi-simples que não é
de Cartan.
Numa álgebra qualquer se h é subálgebra de Cartan e ad(H) é semi-simples, para
todo H ∈ h, então h é abeliana.
4. Mostre que numa álgebra semi-simples existem subálgebras de Cartan h1 e h2
com h1 ∩ h2 = 0.
5. Numa álgebra semi-simples, se h é uma subálgebra de Cartan então existe H ∈ h
tal que se X é um autovetor de ad (H) associado a um autovalor não-nulo, então
X gera um subespaço de ráızes de h.
6.6. Exerćıcios 177
6. O suporte de uma raiz α é o conjunto das ráızes simples que aparecem (com
coeficiente não-nulo) na combinação linear de α. Mostre que o suporte de toda
raiz é um subconjunto conexo do diagrama de Dynkin e que todo subconjunto
conexo é o suporte de alguma raiz.
7. Para duas ráızes quaisquer α e β, a α-seqüência iniciada em β tem no máximo
quatro elementos.
8. Para ráızes simples α, β sejam Xα e Xβ nos espaços de ráızes correspondentes.
Mostre que
ad (Xα)1−kα,β Xβ = 0,
onde kα,β =
2〈β, α〉
〈α, α〉
é o número de Killing entre as ráızes.
9. Com as mesmas notações do exerćıcio anterior, assuma que 〈Xα, X−α〉 = 1 e
mostre que
[X−α, [Xα, Xβ]] = q(p+ 1)
〈α, α〉
2
Xβ .
10. Dada uma raiz α, mostre que
∑
β〈α, β〉2 = 〈α, α〉 onde a soma se estende a todas
as ráızes.
11. Mostre que numa álgebra semi-simples g existem dois elementos X, Y ∈ g que
geram a álgebra.
12. Compare a matriz de Cartan C com a matriz da forma de Cartan-Killing em h
em relação à base formada pelas ráızes simples. Conclua que detC > 0.
13. Sejam g uma álgebra semi-simples e Σ um sistema simples de ráızes da subálgebra
de Cartan h. Tome um subconjunto Θ ⊂ Σ e denote por Π (Θ) o subconjunto
das ráızes cujos coeficientes em relação a Σ são nulos para β /∈ Θ, isto é, se
α ∈ Π (Θ), então o suporte de α está contido em Θ. Mostre que para α ∈ Θ
existem ráızes α1, . . . , αn ∈ Θ tal que α1 + · · ·+ αi é raiz para todo i = 1, . . . , n
e α = α1 + · · ·+ αn.
14. O objetivo deste exerćıcio é indicar uma demonstração para o seguinte fato (teo-
rema de Jacobson-Morozov ): Se g é uma álgebra de Lie semi-simples e Y ∈ g é
tal que ad (Y ) é nilpotente, então existem H,X ∈ g tais que
[H,X] = 2X [H, Y ] = −2Y [X,Y ] = H,
isto é, Y está contido numa álgebra sl (2). (Não é necessário que o corpo de
escalares seja algebricamente fechado).
(a) Suponha que g ⊂ gl (V ) via uma representação fiel (por exemplo a adjunta).
Mostre que existe um subespaço U ⊂ gl (V ), invariante pela adjunta de g,
tal que gl (V ) = g⊕ U .
178 Caṕıtulo 6. Álgebras semi-simples
(b) Encontre H ′, X ′ ∈ gl (V ) tais que
[H ′, X ′] = 2X ′ [H ′, Y ] = −2Y [X ′, Y ] = H ′.
(Escreva a forma canônica de Jordan de Y como transformação linear de V
e defina X ′ e H ′, como no teorema 6.1).
(c) Suponha que H ′ = H1 + H2 com H1 ∈ g e H2 ∈ U e mostre que H1 e Y
satisfazem as condições do exerćıcio 22 do caṕıtulo 3.
Caṕıtulo 7
Diagramas de Dynkin
O objetivo deste caṕıtulo é encontrar todos os posśıveis diagramas de Dynkin. A
partir desses diagramas, será feita a classificação das álgebras semi-simples sobre corpos
algebricamente fechados.
Os diagramas de Dynkin foram constrúıdos a partir de sistemas simples de ráızes
que, em última instância, são bases de espaços vetoriais racionais com produto interno.
A maneira como se associou um diagrama a uma base dependeu apenas da estrutura
geométrica da base, isto é, dos comprimentos e dos ângulos entre seus elementos.
Dessa forma, os diagramas podem ser considerados sem fazer alusão aos sistemas de
ráızes e, assim, encontrar todos os diagramas significa encontrar todas as bases de Ql,
l ≥ 1, cujos elementos formam entre si ângulos de 90◦, 120◦, 135◦ ou 150◦ e tal que
os quadrados dos comprimentos relativos entre dois vetores da base que formam um
ângulo de 135◦ ou 150◦ seja dois ou três, respectivamente. Por isso, este caṕıtulo é
independente dos demais e o que será feito aqui é encontrar as bases
{u1, . . . , ul}
de Ql, l ≥ 1, satisfazendo essas condições. Os diagramas serão pensados como sinôni-
mos para essas bases.
Para encontrar os diagramas de Dynkiné suficiente encontrar os que são conexos,
isto é, aqueles em que duas ráızes quaisquer podem ser conectadas por um caminho de
arestas do diagrama. Um diagrama qualquer é sempre uma união disjunta de diagramas
conexos. Dessa forma, conhecendo-se os conexos obtêm-se todos os diagramas. Como
será discutido no próximo caṕıtulo, os diagramas conexos são aqueles associados a
sistemas de ráızes em álgebras de Lie simples, sendo que as componentes conexas de
um diagrama para uma álgebra semi-simples correspondem aos diagramas de suas
componentes simples.
7.1 Classificação dos diagramas
O procedimento para encontrar os digramas de Dynkin consiste em eliminar uma série
de possibilidades e verificar ao final que os diagramas restantes são de fato provenientes
179
180 Caṕıtulo 7. Diagramas de Dynkin
de bases de Ql. Nesse processo, são considerados, em primeiro lugar, apenas os ângulos
entre os elementos da base, deixando de lado seus comprimentos. Em termos dos
diagramas, isso significa considerar apenas a quantidade de arestas entre os vértices,
sem se preocupar com suas orientações. Para lidar apenas com os ângulos é conveniente
trabalhar com bases normalizadas, o que não pode ser feito diretamente em Ql, pois
as normas dos vetores não presam ser racionais.
Dessa forma,
{u1, . . . , ul}
é uma base de Rl, l ≥ 1, em que os ângulos entre seus elementos são de 90◦, 120◦, 135◦
ou 150◦ que são normalizadas, isto é, |ui| = 1, i = 1, . . . , l. Para uma base normalizada,
o cosseno do ângulo entre dois de seus elementos ui e uj é dado por 〈ui, uj〉 e, portanto,
esse produto interno assume apenas os valores 0, −1
2
, −
√
2
2
, −
√
3
2
. Além do mais, o
número de arestas que liga os vértices ui e uj é dado por 4〈ui, uj〉2.
Lema 7.1 Ao retirar de um diagrama alguns vértices juntamente com todas as arestas
incidentes a esses vértices, o que se obtém ainda é um diagrama, denominado de sub-
diagrama.
Demonstração: De fato, o processo de retirar os vértices e as arestas incidentes
significa, em termos da base associada ao diagrama, que se retiram os elementos da
base que correspondem aos vértices retirados. Dessa forma, o diagrama que fica está
associado ao conjunto de vetores linearmente independentes restantes. 2
Lema 7.2 Num diagrama com l vértices, a quantidade de pares conectados, isto é, que
não são ortogonais, é < l.
Demonstração: Suponha que o diagrama é dado pela base
{u1, . . . , ul}
com |ui| = 1. Um par (ui, uj) é conectado se 〈ui, uj〉 < 0. Seja
u = u1 + · · ·+ ul .
Então, u 6= 0 e
0 < |u|2 = 〈
∑
i
ui,
∑
j
uj〉
=
l∑
i=1
|ui|2+2
∑
i<j〈ui, uj〉
= l +
∑
i<j
2〈ui, uj〉
e, portanto, ∑
i<j
−2〈ui, uj〉 < l.
7.1. Classificação dos diagramas 181
Seja θij o ângulo entre ui e uj. Então, cos θij = 〈ui, uj〉. Pelos posśıveis valores de θij,
tem-se que
−2〈ui, uj〉 = 0, 1,
√
2,
√
3
e dáı que −2〈ui, uj〉 ≥ 1 se 〈ui, uj〉 6= 0. Pela desigualdade acima, tem-se então que
a quantidade de pares que não são ortogonais é menor que l. Como essa quantidade
coincide com a de pares ligados isso mostra o lema. 2
A partir desses dois lemas, retiram-se de imediato alguns grafos que não são dia-
gramas: um ciclo é um pedaço de diagrama que se fecha. Por exemplo,
e e e
...e e e
Lema 7.3 Um diagrama não contém ciclos.
Demonstração: Um ciclo contido num diagrama também é um diagrama, pois ao
retirar do diagrama original os vértices não contidos no ciclo juntamente com as arestas
incidentes a eles obtém-se o ciclo. No entanto, pelo lema anterior, um ciclo não é um
diagrama de Dynkin, pois os pares de elementos ligados num ciclo de l elementos é
exatamente l. 2
Lema 7.4 A quantidade de arestas incidentes a um vértice de um diagrama é ≤ 3.
Demonstração: Sejam u um vértice e v1, . . . , vk os vértices que se ligam a u. O
número de arestas ligando vi a u é 4〈vi, u〉2 (= 4 cos 2θ onde θ é o ângulo entre vi e u).
Dáı que o número de arestas incidentes a u é dado por
4〈v1, u〉2 + · · ·+ 4〈vk, u〉2.
Esse número é estritamente menor que 4. De fato, sejam U e V os subespaços gerados
por {u, v1, . . . , vk} e {v1, . . . , vk}, respectivamente. O complementar ortogonal a V
dentro de U é de dimensão um, pois {u, v1, . . . , vk} é linearmente independente. Seja
w com |w| = 1 um gerador desse complementar ortogonal. Tem-se
〈u,w〉 6= 0
pois u /∈ V . Além do mais, 〈vi, vj〉 = 0 para todo i, j = 1, . . . , k pois, caso contrário,
algum vi seria ligado a algum vj e, como ambos são ligados a u, o diagrama conteria
ciclos. Portanto, {w, v1, . . . , vk} é uma base ortonormal de U . Dáı que
u = 〈u,w〉w + 〈u, v1〉v1 + · · ·+ 〈u, vk〉vk
182 Caṕıtulo 7. Diagramas de Dynkin
e
|u|2 = 〈u,w〉2 + 〈u, v1〉2 + · · ·+ 〈u, vk〉2 = 1,
de onde se conclui que
〈u, v1〉2 + · · ·+ 〈u, vk〉2 < 1,
demonstrando o lema. 2
Esse lema mostra que ligações do tipo
e e e
e
e
l
l
,
,
e,,
l
l
e
e
e e,,
l
l
e
e
não ocorrem em um diagrama, já que em cada uma delas existem quatro arestas in-
cidentes a um único vértice. O lema mostra também que a única possibilidade para
um diagrama de Dynkin conter uma ligação tripla é dada pelo seguinte diagrama com
apenas dois vértices
G2
e e
Este diagrama define a matriz de Cartan que aparece no exemplo 4 da página 172.
Para o próximo lema, será utilizado o termo cadeia simples para indicar um dia-
grama ou um pedaço de diagrama do tipoe e . . . e e
isto é, um diagrama em que os vértices são ligados sucessivamente por apenas uma
aresta.
Lema 7.5 Suponha que um diagrama contém uma cadeia simples. Então, contraindo
a cadeia simples a um vértice e mantendo a esse vértice as ligações com a cadeia
simples, o que se obtém ainda é um diagrama.
Um exemplo da contração descrita no enunciado é
e e e . . . e e - e e e
Demonstração: Sejam {v1, . . . , vk} o conjunto dos vértices correspondentes à cadeia
simples e {u1, . . . , ur} seu complementar na base que define o diagrama. Seja também
v = v1 + · · ·+ vk .
7.1. Classificação dos diagramas 183
Então, {v, u1, . . . , uk} é uma base cujo diagrama é o obtido por contração da cadeia
simples, como no enunciado. De fato, tem-se em primeiro lugar que
〈v, v〉 = 〈
∑
i
vi,
∑
j
vj〉
=
∑
i
|vi|2 + 2
∑
i<j
〈vi, vj〉
= k + 2
∑
i<j≤k
〈vi, vj〉
e, como os vértices vi formam uma cadeia simples,
|v|2 = k + 2
k−1∑
i=1
〈vi, vi+1〉.
Agora, o ângulo entre vi e vi+1 é de 120◦ pois existe apenas um segmento ligando-os.
Portanto, 2〈vi, vi+1〉 = −1 e dáı que a igualdade acima mostra que
|v|2 = k − (k − 1) = 1.
Para ver a ligação de v com os vértices fora da cadeia simples, o que se observa é que
um vértice ui se liga no máximo a um vj, já que num diagrama não existem ciclos. Isso
significa que cada ui não é ortogonal a no máximo um dos vértices vj. Dáı que dado i,
〈v, ui〉 = 〈vj, ui〉
para algum vj. Isso mostra que no conjunto linearmente independente
{v, u1, . . . , ur}
os ângulos entre os seus elementos estão de acordo com os requeridos para definir um
diagrama. Além do mais, o fato de que o ângulo entre v e cada ui coincide com o ângulo
entre algum vj e ui implica que o diagrama definido por esse conjunto é exatamente o
diagrama obtido do original por contração de {v1, . . . , vk} a v. 2
A partir desses lemas, é posśıvel obter a seguinte classificação preliminar dos dia-
gramas de Dynkin.
184 Caṕıtulo 7. Diagramas de Dynkin
Proposição 7.6 Os únicos diagramas conexos (não-orientados) posśıveis são os se-
guintes
e e . . . e e . . . e e
...
e
e e . . . e e e . . . e e
G2
e e
Al
e e . . . e e
Demonstração: O primeiro dos diagramas acima (cadeia simples) é o único que não
apresenta ligações múltiplas (ligações com duas ou três arestas entre vértices sucessivos)
ou bifurcações (vértices ligados a mais de dois vértices distintos). Já o segundo dos
diagramas é o único que apresenta ligações triplas. Agora, se um diagrama apresenta
uma ligação dupla ou uma bifurcação,então, a partir de uma das extremidades da
ligação dupla ou do ponto de bifurcação, inicia-se uma cadeia simples. Se ao final
dessa cadeia simples existe uma ligação dupla ou um bifurcação, pode-se realizar uma
das seguintes contrações
e e e . . . e e - e e e
e
e
l
l
,
,
e e . . . e,,
l
l
e
e
- e
e
e
l
l
,
,
,
,
l
l
e
e
e e e . . . e,,
l
l
e
e
- e e,,
l
l
e
e
Como os resultados obtidos não estão contidos em diagramas, conclui-se que se um
diagrama contém uma ligação dupla ele não contém uma bifurcação nem outra ligação
dupla. Da mesma forma, um diagrama que contém uma bifurcação não contém uma
7.1. Classificação dos diagramas 185
ligação dupla nem outra bifurcação. Portanto, se um diagrama não é uma cadeia sim-
ples e nem contém uma ligação tripla, ele é como o terceiro diagrama do enunciado
(se contiver uma ligação dupla) ou como o quarto (se contiver uma bifurcação). Essa
afirmação conclui a demonstração da proposição. 2
Agora é feita a análise de quais são os posśıveis diagramas em que aparecem ligações
duplas ou bifurcações. Tem-se
Proposição 7.7 Os posśıveis diagramas que contêm ligações duplas são
BCl
e e . . . e (l-vértices, l ≥ 2)e
F4
e e e e (4 vértices)
Demonstração: Existem inteiros p, q ≥ 1 tal que o diagrama se escreve comoe
u1
e
u2
. . . e
up−1
e
up
e
vq
e
vq−1
. . . e
v2
e
v1
Será mostrado que q = 1 ou 2 e que para q = 1 não existe restrição a p enquanto
que para q = 2 se tem necessariamente p = 1 ou 2. Essas duas possibilidades fornecem
os dois diagramas do enunciado. O truque todo está em tomar
u =
p∑
i=1
iui e v =
q∑
i=1
ivi
e aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwartz a esses dois vetores. Fazendo as contas,
tem-se
〈u, u〉 = 〈
p∑
i=1
iui,
p∑
j=1
juj〉
=
p∑
i=1
i2|ui|2 + 2
∑
i<j
〈iui, juj〉
=
p∑
i=1
i2 −
p−1∑
i=1
i(i+ 1),
pois |ui|2 = 1 e 2〈ui, ui+1〉 = −1, já que o ângulo é 120◦. Essa igualdade pode ser
reescrita como
|u|2 =
p∑
i=1
i2 −
p−1∑
i=1
(i2 + i)
= p2 −
p−1∑
i=1
i
= p2 − p(p− 1)
2
=
p2 + p
2
,
186 Caṕıtulo 7. Diagramas de Dynkin
isto é,
|u|2 =
p(p+ 1)
2
.
Da mesma forma,
|v|2 =
q(q + 1)
2
.
Por outro lado,
〈u, v〉 = 〈
p∑
i=1
iui,
q∑
j=1
jvj〉
= 〈pup, qvq〉
= pq〈up, vq〉,
pois ui é ortogonal a vj se i < p ou j < q. Como a ligação entre up e vq é dupla,
〈up, vq〉2 = 1
2
e dáı que
〈u, v〉2 =
1
2
p2q2.
A desigualdade de Cauchy-Schwartz aplicada a u e v fornece, então,
1
2
p2q2 <
p(p+ 1)
2
q(q + 1)
2
.
Essa desigualdade é estrita, pois u e v são linearmente independentes, já que u pertence
ao espaço gerado por {u1, . . . , up} e v ao espaço gerado por {v1, . . . , vq}. Tem-se então
que
pq − p− q + 1 < 2,
isto é,
(p− 1)(q − 1) < 2.
Agora, consideram-se os diferentes casos.
a) q = 1. Então, não existe restrição a p.
b) q = 2. Então, p− 1 < 2, isto é, p = 1 ou p = 2.
c) q ≥ 3. Então, q− 1 ≥ 2 e, portanto, p = 1. Invertendo os papéis entre p e q, este
caso é o mesmo que a).
Com isso, todos os casos estão cobertos, demonstrando assim a proposição. 2
Por fim, são determinados os diagramas com bifurcação.
7.1. Classificação dos diagramas 187
Proposição 7.8 Os posśıveis diagramas que admitem bifurcação são
Dl
e e . . . e,,
l
l
e
e (l vértices, l ≥ 4)
E6
e e e e e
e
(6 vértices)
E7
e e e e e e
e
(7 vértices)
E8
e e e e e e e
e
(8 vértices)
Demonstração: Como na proposição anterior, o truque da demonstração é um
verdadeiro achado. Para inteiros p, q, r > 1 o diagrama pode ser escrito como
e
u1
e
u2
. . . e
up−1
e
z
e
vq−1
. . . e
v2
e
v1
ewr−1
...
ew2
ew1
A partir dáı, define-se
u =
p−1∑
i=1
iui v =
q−1∑
i=1
ivi w =
r−1∑
i=1
iwi
que são dois a dois ortogonais, pois pertencem a espaços gerados por vetores mutua-
mente ortogonais. Da mesma forma que na proposição anterior,
|u|2 =
p(p− 1)
2
|v|2 =
q(q − 1)
2
|w|2 =
r(r − 1)
2
.
A relação desejada entre p, q e r vai aparecer ao olhar os ângulos que u, v e w formam
com z. Sejam θ1, θ2, θ3 esses ângulos. Como |z| = 1 e u, v, w são ortogonais dois a
dois, a norma da projeção ortogonal de z sobre o espaço V gerado por {u, v, w} é
cos 2θ1 + cos 2θ2 + cos 2θ3. No entanto, z /∈ V pois {u, v, w} está contido no espaço
gerado por {ui, vi, wi} o que não ocorre com z. Dáı que
cos 2θ1 + cos 2θ2 + cos 2θ3 < 1.
188 Caṕıtulo 7. Diagramas de Dynkin
Por outro lado,
〈u, z〉 = 〈
p−1∑
i=1
iui, z〉
= 〈(p− 1)up−1, z〉
=
1− p
2
,
pois ui é ortogonal a z se i < p− 1 e up−1 forma um ângulo de 120◦ com z. Juntando
esta igualdade com a expressão acima para |u|2, tem-se que
cos 2θ1 =
(p− 1)2/4
p(p− 1)/2
=
1
2
(1− 1
p
).
Da mesma forma,
cos 2θ2 =
1
2
(1− 1
q
) cos 2θ3 =
1
2
(1− 1
r
).
A partir dessas expressões para os cossenos e da desigualdade acima, obtém-se então
que
1
p
+
1
q
+
1
r
> 1.
Essa desigualdade estabelece as restrições necessárias aos diagramas com bifurcações.
Para descrever essas restrições, supõe-se, sem perda de generalidade, que p ≥ q ≥ r > 1.
Existem os casos:
1. r = 2.
(a) q = 2. Então,
1
p
> 0
e não há restrição a p. Os diagramas são como Dl do enunciado.
(b) q = 3. Então,
1
p
+
5
6
> 1
e p < 6, isto é, p = 3, 4 ou 5 que dão origem aos diagramas com E6, E7 e
E8 que aparecem no enunciado.
(c) q ≥ 4. Então,
1 <
1
p
+
1
q
+
1
2
≤ 1
p
+
3
4
e dáı que p < 4, o que contradiz a hipótese de que p ≥ q. Portanto, não
existem diagramas com esses valores de q e r.
7.1. Classificação dos diagramas 189
2. r ≥ 3. Como q ≥ r ≥ 3, tem-se
1 <
1
p
+
1
q
+
1
r
≤ 1
p
+
2
3
e p < 3, contradizendo a hipótese de que p ≥ q. Portanto, não existem diagramas
quando r ≥ 3.
Como estes cobrem todos os casos, vê-se que os únicos diagramas posśıveis são os
enunciados. 2
Com esta proposição, ficam determinados todos os diagramas provenientes de bases
normalizadas, isto é, aqueles que não são dirigidos. A partir dáı, fica fácil encontrar
quais são os diagramas dirigidos. Isso porque, entre os diagramas acima, os únicos que
apresentam ligações múltiplas são G2, F4 e BCl e é posśıvel ver diretamente quais são
as formas de se colocar uma direção nessas ligações. Nos casos G2 e F4, é indiferente
qual a direção que se tome, pois o diagrama é simétrico em relação à ligação múltipla.
O mesmo ocorre com BC2. Já para os diagramas BCl, existem dois diagramas dirigidos
posśıveis se l ≥ 3. Com isso, a classificação dos diagramas de Dynkin está conclúıda.
Teorema 7.9 Os diagramas de Dynkin conexos são
Al, l ≥ 1 e e . . . e e
α1 α2 αl−1 αl
Bl, l ≥ 2 e e . . . e eA
�α1 α2 αl−1 αl
Cl, l ≥ 3 e e . . . e�
A
e
α1 α2 αl−1 αl
Dl, l ≥ 4 e
α1
e
α2
. . . e
αl−2
,
,
l
l
eαl−1
eαl
G2
e eA
�α1 α2
F4
e
α1
e
α2
e
α3
A
�
e
α4
E6
e e e e e
e
α1 α2 α3 α4 α5
α6
E7
e e e e e e
e
α1 α2 α3 α4 α5 α6
α7
E8
e e e e e e e
e
α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7
α8
190 Caṕıtulo 7. Diagramas de Dynkin
De acordo com a discussão feita até o momento, estes são os únicos diagramas de
Dynkin posśıveis. Pela forma como este teorema está enunciado, sua demonstração está
ainda incompleta no sentido em que falta verificar que os cinco diagramas especiais G2,
F4, E6, E7 e E8 e as quatro classes Al, Bl, Cl e Dl são de fato diagramas de Dynkin,
isto é, são definidos a partir de bases de Ql, normalizadas em Rl. Isso será feito
apresentando explicitamente bases de Ql que são associadas a esses diagramas, isto é,
serão apresentadas as
7.2 Realizações dos diagramas
As realizações dos diagramas dadas a seguir são provenientes das realizações das álge-
bras correspondentes que serão feitas posteriormente.
Nos diferentes casos, denota-se por {e1, . . . , el} a base canônica de Ql.
Al Em Ql+1, l ≥ 1, seja El o subespaço de dimensão l dado por
El = {(x1, . . . , xl+1) : x1 + · · ·+ xl+1 = 0}.
O conjunto
Σl = {e1 − e2, e2 − e3, . . . , el − el+1}
é uma base de El. Todos os elementosde Σl têm comprimento
√
2 e o ângulo
entre os elementos sucessivos de Σl é 120◦, enquanto quaisquer outros pares de
elementos são ortogonais. Por isso, Al, l ≥ 1, é o diagrama de Σl.
Bl Em Ql, seja
Σl = {e1 − e2, . . . , el−1 − el, el}.
Então, Σl é uma base de Ql e os primeiros l − 1 elementos de Σl têm o mesmo
padrão de comprimentos e ângulos que Al−1. Além do mais,
|el−1 − el|2 = 2 = 2|el|2
e o ângulo entre el−1 − el e el é de 135◦. Por isso, o diagrama de Σl é Bl, l ≥ 2.
Cl Da mesma forma que no caso anterior, verifica-se que a base
Σl = {e1 − e2, . . . , el−1 − el, 2el}
de Ql é uma realização de Cl, l ≥ 3.
Dl Uma realização é dada pela base
Σl = {e1 − e2, . . . , el−2 − el−1, el−1 − el, el−1 + el}
de Ql, l ≥ 4. O vértice de bifurcação é el−2 − el−1 que forma um ângulo de 120◦
com ei − ei+1, i = l − 3, l − 1 e com el−1 + el.
7.2. Realizações dos diagramas 191
G2 Qualquer base de Q2 cujos elementos formam um ângulo de 150◦ e têm comprimento
relativo igual a
√
3 é uma realização deG2. Uma base deste tipo não existe quando
se considera o produto interno canônico em Q2, pois essa base seria da forma
{(x, y), (−3
2
x±
√
3
2
y,
√
3
2
x± 3
2
y)}
que não pode ser obtida sobre os racionais. Uma forma de evitar isso é tomar
subespaços de dimensão dois em espaços de dimensão maior, com o produto
interno canônico. Por exemplo, o par de vetores
(0,
1
6
,−1
6
) (− 1
18
,− 1
18
,
2
18
)
de Q3 tem G2 por diagrama com o primeiro dos vetores o de comprimento maior.
Essa realização é a que aparece na construção da álgebra de Lie G2.
Cabe aqui o comentário de que uma realização de G2 em R2 se obtém facilmente
por
Σ = {(1, 0), (−3
2
,
√
3
2
)}
e que a insistência em uma realização racional é mais ou menos fict́ıcia e se deve
ao contexto em que os diagramas de Dynkin vêm sendo tratados. No caṕıtulo 9
será feita uma discussão detalhada sobre a relação entre os diagramas definidos
a partir de bases em espaços racionais e reais.
F4 Esse diagrama é realizado pela base de Q4 dada por
{e1 − e2, e2 − e3, e3,
1
2
(−e1 − e2 − e3 + e4)}
em que o comprimento dos elementos maiores é
√
2 e dos menores é 1 e a ligação
dupla é feita entre e2 − e3 e e3.
E6, E7 e E8 Uma realização de E8 é a base do subespaço
E8 = {(x1, . . . , x9) ∈ Q9 : x1 + · · ·+ x9 = 0}
de Q9 dada por
Σ8 = {e2 − e3, e3 − e4, . . . , e8 − e9, v},
onde v é a projeção ortogonal de − (e2 + e3 + e4) sobre E8 que é
v = −2
3
(e2 + e3 + e4) +
1
3
(e1 + e5 + e6 + e7 + e8 + e9) .
O vértice de bifurcação é dado por e4 − e5 que se liga a v e a e5 − e6 e o lado
maior da base do diagrama começa em e8 − e9.
Os diagramas E6 e E7 são subdiagramas de E8 e, portanto, são realizados reti-
rando os primeiros vértices de E8 que são e8 − e9 e e7 − e8.
192 Caṕıtulo 7. Diagramas de Dynkin
7.3 Exerćıcios
1. Construa as matrizes de Cartan correspondentes a cada um dos diagramas de
Dynkin.
2. Mostre diretamente que o diagramae e e
não é um diagrama de Dynkin.
3. Mostre que um diagrama conexo Σ se decompõe de forma única como Σ = Θ∪Υ
com Θ ∩Υ = ∅ de tal forma que u e v são ortogonais se u, v ∈ Θ ou se u, v ∈ Υ.
Caṕıtulo 8
Álgebras semi-simples.
Complementos
No caṕıtulo 6 foi estabelecida a relação entre as álgebras semi-simples e os diagramas
de Dynkin. Foi mencionado, então, que as álgebras são completamente determinadas
pelos diagramas, de tal forma que a classificação dos diagramas que foi apresentada no
caṕıtulo 7 é também a classificação das álgebras semi-simples. O objetivo deste caṕıtulo
é completar a classificação das álgebras via os diagramas de Dynkin. A classificação
consiste em mostrar que existe uma relação biuńıvoca que associa a cada classe de
equivalência de álgebras semi-simples um único diagrama e vice-versa. Um dos pontos
relevantes dessa discussão é a construção de modelos concretos de álgebras semi-simples
associadas a cada um dos diagramas. A construção desses modelos vai ocupar boa parte
deste caṕıtulo. Ela é interessante não apenas do ponto de vista teórico (garantindo que
os diagramas são de fato provenientes de álgebras de Lie) mas também por permitir
uma manipulação efetiva das álgebras.
8.1 Álgebras isomorfas
A partir de uma álgebra semi-simples, foi constrúıda uma matriz de Cartan, que por
sua vez deu origem a um diagrama de Dynkin. Para essa construção foram feitas duas
escolhas na álgebra. Em primeiro lugar, foram tomados, de maneira arbitrária, uma
subálgebra de Cartan e posteriormente um sistema simples de ráızes da subálgebra.
Assim, para garantir que um diagrama é determinado a partir de uma álgebra semi-
simples, é necessário verificar que todos os sistemas simples em todas as subálgebras
de Cartan de uma álgebra dada têm o mesmo diagrama de Dynkin. Colocando isso de
forma mais esquemática, seja g uma álgebra semi-simples. Um diagrama fica determi-
nado a partir de g se forem verificados os seguintes fatos:
A) Se Σ1 e Σ2 são sistemas simples de ráızes para uma mesma subálgebra de Cartan h
de g, então os diagramas a eles associados coincidem. Dessa forma, h determina,
sem ambigüidade, um diagrama de Dynkin.
193
194 Caṕıtulo 8. Álgebras semi-simples. Complementos
B) Os diagramas associados a duas subálgebras de Cartan de g coincidem.
Uma vez verificados esses dois fatos, fica faltando garantir que o diagrama depende
na verdade das classes de equivalência das álgebras. Isso é feito mostrando que
C) os diagramas associados a g1 e g2 coincidem se essas álgebras são isomorfas.
Em direção contrária, é necessário verificar que
D) cada um dos diagramas Al, Bl, Cl, Dl, G2, F4, E6, E7 e E8 é o diagrama de Dynkin
de alguma álgebra de Lie semi-simples.
Por fim, o quadro se completa mostrando que álgebras que têm o mesmo diagrama
pertencem à mesma classe de equivalência, isto é,
E) se g1 e g2 têm o mesmo diagrama, então essas álgebras são isomorfas.
O item (A) será discutido com detalhes no próximo caṕıtulo, que trata dos grupos
de Weyl de um conjunto de ráızes. A questão é que o diagrama definido por um
sistema simples de ráızes depende apenas dos ângulos e dos comprimentos relativos
entre as ráızes quando esses são medidos em relação ao produto interno na subálgebra
de Cartan, dado pela forma de Cartan-Killing. Assim, dois sistemas simples definem
o mesmo diagrama se um deles for obtido do outro por uma aplicação ortogonal (ou
isometria) em relação ao produto interno. No próximo caṕıtulo será provado que o
grupo de Weyl é um grupo de transformações ortogonais cuja ação é transitiva no
conjunto dos sistemas simples de ráızes, isto é, dois sistemas simples arbitrários são
obtidos um do outro por uma transformação do grupo de Weyl. Portanto, dois sistemas
simples de uma mesma subálgebra de Cartan definem um mesmo diagrama.
Tendo garantido que uma subálgebra de Cartan define, sem ambigüidades, um
diagrama de Dynkin, o fato de que duas subálgebras de uma mesma álgebra determi-
nam o mesmo diagrama vem da discussão do caṕıtulo 4 sobre a conjugação entre as
subálgebras de Cartan. De fato, sejam h1 e h2 duas subálgebras de Cartan de g. Como
o corpo de escalares é algebricamente fechado, existe um automorfismo φ de g tal que
φ(h1) = h2.
Isso implica que os diagramas de h1 e h2 coincidem. De fato, sejam Π1 e Π2 os
conjuntos das ráızes de h1 e h2 respectivamente. Tomando α ∈ Π1, existe, por definição,
X 6= 0 tal que
[H,X] = α(H)X
para todo H ∈ h1. Aplicando φ a essa igualdade e usando o fato de que φ é um
automorfismo, chega-se a
[H,φ(X)] = α(φ−1(H))φ(X)
para todo H ∈ h2. Isso mostra que φ∗α = α ◦ φ−1 é uma raiz para h2 e dáı que
φ∗(Π1) ⊂ Π2. Mas φ é automorfismo e tanto Π1 quanto Π2 são finitos, portanto
8.1. Álgebras isomorfas 195
φ∗(Π1) = Π2. Tomando então um sistema simples Σ1 ⊂ Π1, os elementos de Π1
são combinações lineares de Σ1 com coeficientesinteiros, todos eles de mesmo sinal.
Aplicando φ∗ a essas combinações lineares, vê-se que o mesmo ocorre com Π2 e φ∗ (Σ1).
Dáı que φ∗ (Σ1) é um sistema simples para h2. Por outro lado, a forma de Cartan-Killing
é invariante por φ e φ∗ é uma isometria entre as formas de Cartan-Killing em h∗1 e h∗2.
Portanto, Σ1 e φ∗ (Σ1) têm o mesmo diagrama, mostrando que diferentes subálgebras
de Cartan de uma mesma álgebra definem um mesmo diagrama, concluindo a discussão
do item (B).
Para verificar que duas álgebras isomorfas definem um mesmo diagrama como em
(C), o procedimento é como no item (B): um isomorfismo entre duas álgebras aplica
subálgebras de Cartan em subálgebras de Cartan e é uma isometria entre as formas de
Cartan-Killing das álgebras.
Antes de examinar os demais itens, é conveniente discutir a relação entre as com-
ponentes conexas dos diagramas e a decomposição da álgebra simples em componentes
simples.
Proposição 8.1 Seja g uma álgebra semi-simples e
g = g1 ⊕ · · · ⊕ gs
sua decomposição em componentes simples. Então, o diagrama de g se decompõe na
união disjunta dos diagramas de g1, . . . , gs, que não estão ligados entre si.
Demonstração: Tome subálgebras de Cartan hi de gi. Então,
h = h1 ⊕ · · · ⊕ hs
é uma subálgebra de Cartan de g (veja o exerćıcio 6 do caṕıtulo 4). Além do mais, se
Πi denota o conjunto das ráızes de gi em relação a hi, então α ∈ Πi pode ser estendido
a um funcional linear em h, colocando α (hj) = 0 para j 6= i. Por essas extensões,
Π = Π1 ∪ · · · ∪ Πs fica sendo o conjunto das ráızes de g em relação a h.
Se α ∈ Πi então α (hj) = 0 para j 6= i. Por outro lado, as componentes simples
de g são duas a duas ortogonais em relação à forma de Cartan-Killing fazendo com
que a mesma relação subsista com as subálgebras de Cartan hi. A partir dessas duas
observações tira-se que Hα ∈ hi se α ∈ Πi e Hα coincide com o dual de α em relação
à forma de Cartan-Killing de gi. Dessa forma, 〈Hα, Hβ〉 = 0 se α ∈ Πi e β ∈ Πj,
i 6= j. Isso mostra que no diagrama de Π as partes correspondentes a Πi e a Πj não
são ligadas, concluindo a demonstração da proposição. 2
Como complemento a essa decomposição dos diagramas das álgebras semi-simples,
deve-se mostrar que os diagramas das álgebras simples são conexos, tirando dáı que
as componentes conexas dos diagramas de uma álgebra semi-simples são os diagramas
associados a seus ideais simples. A demonstração disso depende do seguinte lema.
Lema 8.2 Seja h uma subálgebra de Cartan de g e tome Σ um sistema simples de
ráızes de h. Suponha que Σ se decomponha como uma união disjunta Σ = Σ1∪Σ2 com
196 Caṕıtulo 8. Álgebras semi-simples. Complementos
Σ1 6= ∅ 6= Σ2 e tal que 〈α, β〉 = 0 se α ∈ Σ1 e β ∈ Σ2. Sejam h∗1 e h∗2 os subespaços de
h∗Q gerados por Σ1 e Σ2 respectivamente. Então, Π ⊂ h∗1 ∪ h∗2 onde Π é o conjunto das
ráızes.
Demonstração: Suponha por absurdo que existam ráızes que não estão nem em h∗1
nem em h∗2. Existem então ráızes positivas nessas condições. Escolha uma raiz positiva
β /∈ h∗1 ∪ h∗2 cuja altura seja mı́nima entre as ráızes positivas que não estão em h∗1 ∪ h∗2.
Essa raiz não é simples, pois, por construção, Σ ⊂ h∗1 ∪ h∗2. Portanto, existe uma raiz
simples α ∈ Σ tal que β − α é raiz positiva. Pela escolha de β, β − α ∈ h∗1 ∪ h∗2.
Suponha, para fixar as idéias, que β − α ∈ h∗1. Isso implica que α ∈ h∗2, pois se α ∈ h∗1,
então β = (β − α) + α ∈ h∗1.
A contradição aparece ao ser examinada a α-seqüência iniciada em β − α. Como
β é raiz positiva, sua expressão como combinação linear das ráızes simples mostra que
β − 2α é raiz negativa se e só se β = α, o que não ocorre, pois β não é simples. Por
outro lado, β− 2α /∈ h∗1 ∪ h∗2, já que se β− 2α ∈ h∗1, então α = (β − α)− (β − 2α) ∈ h∗1
e se β− 2α ∈ h∗2, então β−α = (β − 2α) +α ∈ h∗2. Portanto, a escolha de β como raiz
de altura mı́nima implica que β − 2α não é raiz. Dáı que a α-seqüência iniciada em
β − α é da forma
β − α, β, . . .
Então, na fórmula de Killing p = 0 e q > 0, o que mostra que 〈β − α, α〉 < 0. Isso
contradiz o fato de que β − α ∈ h∗1 e α ∈ h∗2. 2
Proposição 8.3 Suponha que g seja simples. Então, seu diagrama é conexo.
Demonstração: Seja h uma subálgebra de Cartan de g, Π o conjunto de ráızes
correspondente e Σ um sistema simples em Π. Suponha por absurdo que o diagrama
associado não seja conexo. Isso significa que Σ se decompõe numa união disjunta
Σ = Σ1 ∪ Σ2 com Σ1 6= ∅ 6= Σ2 e 〈α, β〉 = 0 se α ∈ Σ1 e β ∈ Σ2. Sejam h∗1 e h∗2 os
subespaços de h∗Q gerados por Σ1 e Σ2, respectivamente. Como Σ é base, h∗Q = h∗1⊕ h∗2.
Defina Πi = Π ∩ h∗i , i = 1, 2. Pelo lema anterior, Π = Π1 ∪ Π2. Defina
gi = hi ⊕
∑
α∈Πi
gα i = 1, 2
onde hi é o subespaço de h gerado por Hα, α ∈ Πi. Então, g1 e g2 são ideais de g. De
fato, para α, β ∈ Π1, [gα, gβ] ⊂ h1 se β = −α e [gα, gβ] = gα+β se α + β é raiz. Nesse
último caso, α + β ∈ Π1, o que mostra que g1 é uma subálgebra. Por outro lado, se
γ ∈ Π2 então [gα, gγ] = 0, já que α + γ não é raiz, pois α + γ /∈ h∗1 ∪ h∗2. Além do
mais, h2 é o complementar ortogonal de h1 em h e dáı que [h2, g1] = 0. Com isso fica
mostrado que g1 é um ideal, contradizendo a hipótese de que g é simples. 2
Voltando à questão da classificação das álgebras a partir dos diagramas, a existência
das álgebras como em (D) será discutida em outras seções deste caṕıtulo, quando
serão apresentadas realizações concretas de álgebras para cada um dos diagramas da
8.1. Álgebras isomorfas 197
classificação. O resto desta seção é dedicado à questão da unicidade enunciada no item
(E). O objetivo é demonstrar o teorema 8.8 abaixo.
Para discutir a unicidade, serão necessárias algumas informações adicionais sobre os
colchetes entre os diferentes espaços de ráızes gα, α ∈ Π associados a uma subálgebra
de Cartan h de g.
Escolha de uma vez por todas uma base de g formada por uma base de h e por
Xα ∈ gα, de tal forma que
〈Xα, X−α〉 = 1. (8.1)
Como dim gα = 1, Xα gera gα e dáı que [Xα, Xβ] é múltiplo de Xα+β se α+ β for raiz.
No que segue, será usada a notação mα,β para designar o coeficiente de [Xα, Xβ] em
relação a Xα+β, isto é, mα,β é definido por
[Xα, Xβ] = mα,βXα+β
se α+ β é raiz e mα,β = 0 se α+ β não é raiz. Evidentemente, mβ,α = −mα,β.
Proposição 8.4 Sejam α e β ráızes e
β − pα, . . . , β, . . . , β + qα
a α-seqüência iniciada em β. Então,
[X−α, [Xα, Xβ]] = q(p+ 1)
〈α, α〉
2
Xβ .
Demonstração: Seja g(α) a álgebra isomorfa a sl(2) gerada por gα, g−α e Hα. Para
obeter o isomorfismo entre g (α) e sl (2) deve-se escolherXα ∈ gα arbitrário e Y−α ∈ g−α
tal que
〈Xα, Y−α〉 =
2
〈α, α〉
.
Pela escolha de X−α em (8.1),
Y−α =
2
〈α, α〉
X−α .
Uma vez feita a identificação de sl (2) com g (α), considere sua representação no sub-
espaço
V = gβ−pα ⊕ · · · ⊕ gβ+qα .
Pelo teorema da fórmula de Killing, essa representação é irredut́ıvel. Como a dimensão
da representação é p+ q + 1, existe uma base {v0, . . . , vp+q} tal que
[Xα, vi] = i(p+ q − i+ 1)vi−1 [Y−α, vi] = vi+1 .
Essa base satisfaz vi ∈ gβ+(q−i)α e, portanto, vq ∈ gβ e
[Y−α, [Xα, vq]] = q(p+ 1)vq .
Como Xβ é múltiplo de vq, a mesma igualdade é satisfeita com Xβ no lugar de vq. A
proposição é então conseqüência de que Y−α =
2
〈α, α〉
X−α. 2
198 Caṕıtulo 8. Álgebras semi-simples. Complementos
Lema 8.5 Sejam α e β ráızes e
β − pα, . . . , β, . . . , β + qα
a α-seqüência iniciada em β. Então,
mα,βm−α,−β = −q(p+ 1)
〈α, α〉
2
.
Demonstração: Pela definição de mα,β,
〈[Xα, Xβ], [X−α, X−β]〉 = 〈mα,βXα+β,m−α,−βX−(α+β)〉
= mα,β m−α,−β .
Por outro lado, a anti-simetria de ad(X−α) em relação à forma de Cartan-Killing mostra
que
〈[Xα, Xβ], [X−α, X−β]〉 = −〈[X−α, [Xα, Xβ]], X−β〉
de onde tira-se, a partir da proposição anterior, que
mα,β m−α,−β = −q(p+ 1)
〈α, α〉
2
,
concluindo a demonstração do lema. 2
Lema 8.6 Sejam α, β e γ ráızes e suponha que α+ β + γ = 0. Então,mα,β = mβ,γ = mγ,α .
Demonstração: Observe antes de mais nada que as ráızes são duas a duas linear-
mente independentes, pois os únicos múltiplos de uma raiz são ela mesma e sua oposta.
A aplicação da identidade de Jacobi a [Xα, [Xβ, Xγ]] fornece
mβ,γ[Xα, Xβ+γ] = mα,β[Xα+β, Xγ] +mα,γ[Xβ, Xα+γ]. (8.2)
Por hipótese β + γ = −α. Portanto, [Xα, Xβ+γ] = Hα, pois 〈Xδ, X−δ〉 = 1 para toda
raiz δ. Substituindo da mesma forma α+ β e α+ γ no segundo membro de (8.2), essa
igualdade fica sendo equivalente a
mβ,γHα = mα,βH−γ +mα,γHβ .
Substituindo agora −γ = α+ β, chega-se a
mβ,γHα = mα,β(Hα +Hβ) +mα,γHβ .
Como α e β são linearmente independentes, isso implica que
mβ,γ = mα,β = −mα,γ = mγ,α ,
mostrando o lema. 2
8.1. Álgebras isomorfas 199
Lema 8.7 Sejam α, β, γ e δ ráızes e suponha que nenhuma é a oposta da outra. Su-
ponha também que
α+ β + γ + δ = 0.
Então,
mα,βmγ,δ +mβ,γ mα,δ +mγ,α mβ,δ = 0.
Demonstração: Suponha em primeiro lugar que β + γ é raiz. Então, faz sentido
escrever mα,β+γ e vale a igualdade
[Xa, [Xβ, Xγ]] = mα,β+γ mβ,γXα+β+γ
= mα,β+γ mβ,γX−δ ,
pois −δ = α + β + γ. Pelo lema 8.6 aplicado às ráızes α, β + γ, δ, mα,β+γ = mδ,α, que
substitúıdo na igualdade acima fornece
[Xα, [Xβ, Xγ]] = −mα,δ mβ,γX−δ . (8.3)
Observe que esta igualdade faz sentido e é válida mesmo que β + γ não seja raiz, pois,
nesse caso, o primeiro membro se anula pelo fato de que [Xβ, Xγ] = 0 e o segundo pelo
fato de que mβ,γ = 0. Agora, aplicando a identidade de Jacobi ao primeiro membro de
(8.3), obtém-se a partir do segundo membro, fazendo permutações ćıclicas de α, β, γ,
que
(mα,δ mβ,γ +mγ,δ mα,β +mβ,δ mγ,α)X−δ = 0,
que implica a igualdade do enunciado. 2
A partir desses lemas, é posśıvel mostrar o seguinte teorema que é essencialmente
o item (E).
Teorema 8.8 Suponha que g1 e g2 sejam álgebras simples e tome subálgebras de Car-
tan h1 ⊂ g1 e h2 ⊂ g2. Denote por Π1 e Π2 os conjuntos de ráızes correspondentes e
sejam h1Q e h2Q os subespaços racionais gerados pelas ráızes. Suponha que exista uma
transformação linear (sobre os racionais) inverśıvel φ : h1Q → h2Q tal que φ(Π1) = Π2.
Então, φ se estende a um isomorfismo φ̃ : g1 → g2.
Demonstração: O primeiro passo consiste em garantir que φ é uma isometria entre
as formas de Cartan-Killing de h1Q e h2Q. A demonstração disso está baseada na
proposição 9.9 do próximo caṕıtulo, que afirma que 〈α, β〉 = c〈φ (α) , φ (β)〉 para um
escalar c 6= 0. Como
〈α, β〉 =
∑
γ∈Π1
γ (Hα) γ (Hβ)
=
∑
γ∈Π1
〈γ, α〉〈γ, β〉
= c2
∑
γ∈Π1
〈φ (γ) , φ (α)〉〈φ (γ) , φ (β)〉
= c2〈φ (α) , φ (β)〉,
conclui-se que c2 = c e, portanto, c = 1 e φ é uma isometria.
200 Caṕıtulo 8. Álgebras semi-simples. Complementos
O procedimento para construir a extensão φ̃ é o seguinte: para cada α ∈ Π1, escolha
Xα ∈ g1
α de tal forma que
〈Xα, X−α〉 = 1.
Como acima, será usada a notação [Xα, Xβ] = mα,βXα+β. O objetivo é encontrar
Yφ(α) ∈ g2
φ(α) tal que 〈Yφ(α), Y−φ(α)〉 = 1 e
[Yφ(α), Yφ(β)] = mα,βYφ(α)+φ(β) .
Feito isso, o isomorfismo é dado pela igualdade das constantes de estrutura das bases
{Xα} e {Yφ(α)}.
A definição de Yφ(α) é feita por indução em relação a uma ordem em Π. Por isso, é
conveniente introduzir um sistema simples Σ ⊂ Π com a ordem correspondente em Π.
Por simplicidade de notação φ (α) será indicado por α′.
A construção de Yα′ é por indução sobre a altura de α se α > 0 e pela relação
〈Yα′ , Y−α′〉 = 1 se α < 0.
As ráızes positivas de altura 1 são as ráızes simples. Para essas ráızes, escolha
elementos não-nulos arbitrários Yα′ ∈ g2
α′ e tome Y−α′ de tal forma que 〈Yα′ , Y−α′〉 = 1.
Passando às ráızes de altura n > 1, seja Πn o conjunto das ráızes α tais que α ou
−α é de altura ≤ n, dependendo se α é positiva ou negativa. A hipótese de indução é
que Yα′ está definido para toda raiz α ∈ Πn−1 e se β, γ e β + γ estão em Πn−1, então
[Yβ′ , Yγ′ ] = mβ,γYβ′+γ́′ .
Seja δ uma raiz positiva de altura n. Para definir Yδ′ escolha uma decomposição
δ = α + β com α raiz simples e β raiz positiva. Como α + β é raiz, mα,β 6= 0 e,
portanto, pode-se definir Yδ′ pela igualdade
mα,βYδ′ = [Yα′ , Yβ′ ],
e, a partir dáı, Y−δ′ é dado por 〈Yδ′ , Y−δ′〉 = 1.
Uma vez definidos esses elementos, pode-se escrever
[Yγ′ , Yδ′ ] = nγ,δYγ′+δ′
se γ, δ e γ + δ estão Πn. Para concluir a demonstração do teorema falta mostrar que
nγ,δ = mγ,δ. Tomando duas dessas ráızes, devem-se considerar os seguintes casos:
1. γ, δ e γ + δ estão em Πn−1. Então, nγ,δ = mγ,δ pela hipótese de indução.
2. γ + δ é uma raiz positiva de altura n. Nesse caso, γ e δ são ráızes positivas e,
portanto, estão em Πn−1. Como foi definido acima γ + δ = α + β com α raiz
simples e
mα,βYγ′+δ′ = [Yα′ , Yβ′ ].
Em vista desta igualdade, pode-se supor que γ e δ são diferentes de α e β. Dessa
forma, o lema 8.7 se aplica às ráızes α, β, −γ e −δ, mostrando que
mα,βm−γ,−δ = −mβ,−γmα,−δ −m−γ,αmβ,−δ . (8.4)
8.1. Álgebras isomorfas 201
Da mesma forma, o lema 8.7 se aplica às ráızes α′, β′, −γ′ e −δ′ fornecendo a
igualdade
nα,βn−γ,−δ = −nβ,−γnα,−δ − n−γ,αnβ,−δ . (8.5)
Os segundos membros de (8.4) e (8.5) coincidem pela hipótese de indução já que
α, β, γ e δ são ráızes positivas. Portanto,
mα,βm−γ,−δ = nα,βn−γ,−δ .
No entanto, mα,β = nα,β 6= 0 pela definição de Yγ′+δ′ . Portanto, n−γ,−δ = m−γ,−δ.
A partir desta igualdade, mostra-se que n−α,−β = m−α,−β usando o fato de que φ
é uma isometria. Tomando a α-seqüência iniciada em β, o lema 8.5 garante que
mα,βm−α,−β = −q(p+ 1)
〈α, α〉
2
.
Por outro lado, a α
′
-seqüência iniciada em β′ tem os mesmos parâmetros p e q
que a α-seqüência inicada em β, pois φ aplica ráızes em ráızes. Dáı que
nα,βn−α,−β = −q(p+ 1)
〈α′, α′〉
2
e, como φ é isometria, segue-se que n−α,−β = m−α,−β, concluindo a demonstração
desse caso.
3. γ + δ é raiz negativa e − (γ + δ) é de altura n. Então, a primeira parte da
demonstração do caso anterior aplicada às ráızes −γ e −δ mostra que mγ,δ = nγ,δ.
(Em virtude da falta de simetria nas definições de Xγ+δ e X−γ−δ o caso anterior
não pode ser obtido por simetria a partir deste).
4. Uma das ráızes γ ou δ é de altura ±n. Por exemplo, suponha que −γ é de
altura n. Então, δ é positiva pois γ + δ ∈ Πn. Dessa forma, as ráızes δ e
− (γ + δ), cuja soma é −γ, estão nas condições do segundo caso. Por essa razão,
nδ,−γ−δ = mδ,−γ−δ. Agora, aplicando o lema 8.6 com γ, δ e − (γ + δ), tem-se
que mδ,−γ−δ = mγ,δ. Aplicando o mesmo lema a γ′, δ′ e − (γ′ + δ′), chega-se a
nδ,−γ−δ = nγ,δ, mostrando a igualdade entre mγ,δ e nγ,δ.
Esses casos cobrem todas as possibilidades, concluindo a construção de uma base
de g2 com as mesmas constantes de estrutura que a base dada de g1. As álgebras são,
portanto, isomorfas. 2
Com esse teorema fica mostrado que se duas álgebras têm sistemas simples com
o mesmo diagrama, então elas são isomorfas, pois a transformação linear que associa
os elementos correspondentes dos sistemas simples se estende, primeiro a uma trans-
formação linear entre os conjuntos de ráızes e depois a um isomorfismo entre as álgebras
de Lie.
Para completar toda a discussão, falta verificar que a cada um dos diagramas corres-
ponde alguma álgebra simples. Essas álgebras serão constrúıdas adiante, distinguindo
202 Caṕıtulo 8. Álgebras semi-simples. Complementos
as séries Al, Bl, Cl e Dl – que estão associadas a álgebras concretas de matrizes,
conhecidas como álgebras clássicas – dos demais diagramas que estão associados às
chamadas álgebras excepcionais.
8.2 Álgebras clássicas
As álgebras clássicas são representantes das álgebras associadas aos diagramas Al (l ≥
1), Bl (l ≥ 2), Cl (l ≥ 3) e Dl ( l ≥ 4). Os detalhes da construção dessas álgebras
serão apresentados a seguir. Em cada um dos casos, é feita uma escolha canônica de
uma subálgebra de Cartan e de um sistema simples de ráızes.
Al Como foi verificado ao longo do caṕıtulo 6, o diagrama
Al, l ≥ 1 e e . . . e e
α1 α2 αl−1 αl
estáassociado à álgebra sl(l + 1). Em resumo,
• uma subálgebra de Cartan é a álgebra das matrizes diagonais de traço zero.
• As ráızes são λi − λj, i 6= j, onde λi é dado por
λi : diag{a1, . . . , al+1} 7−→ ai.
• Um sistema simples de ráızes é
Σ = {λ1 − λ2, . . . , λl − λl+1}.
• As ráızes positivas em relação a esse sistema simples são
{λi − λj : i < j}.
Usando a notação Σ = {α1, . . . , αl} essas ráızes positivas são dadas como
combinação linear por
{αi + αi+1 + · · ·+ αj : 1 ≤ i ≤ j ≤ l}.
• A álgebra nilpotente n+, soma dos espaços de ráızes associados às ráızes
positivas, é a subálgebra das matrizes triangulares superiores com zeros na
diagonal.
• dimAl = (l+ 1)2− 1 = l(l+ 2). A restrição a h da forma de Cartan-Killing
é
〈H,H ′〉 = 2n tr (HH ′) .
8.2. Álgebras clássicas 203
Bl O diagrama
Bl, l ≥ 2 e e . . . e eA
�α1 α2 αl−1 αl
é o diagrama de Dynkin da álgebra de matrizes anti-simétricas em dimensão
ı́mpar
so(2l + 1) = {A ∈ sl(2l + 1) : At + A = 0}
cuja dimensão é
(2l + 1)2l
2
= l(2l + 1).
Essas álgebras são semi-simples (veja o exerćıcio 23 do caṕıtulo 5). O fato de
que elas são na verdade álgebras simples será verificado a partir do diagrama de
Dynkin. Para encontrar uma subálgebra de Cartan de so (2l + 1) é mais conve-
niente escrever esta álgebra da seguinte forma: as matrizes de so(n) são matrizes
de transformações lineares anti-simétricas em relação à forma quadrática não-
degenerada, definida pela matriz identidade. Como o corpo de escalares é alge-
bricamente fechado, duas formas quadráticas não-degeneradas são equivalentes,
o que acarreta que as álgebras de matrizes anti-simétricas em relação a formas
quadráticas não-degeneradas distintas são isomorfas. De fato, suponha que J1 e
J2 são matrizes simétricas que definem formas quadráticas equivalentes. Então,
existe uma matriz inverśıvel g tal que J1 = gtJ2g. Para i = 1, 2, defina
gi = {A ∈ sl(2l + 1) : AtJi + JiA = 0}.
Então, é imediato verificar que A ∈ g2 se e só se gAg−1 ∈ g1. Em outras palavras,
gg2g
−1 = g1 e as álgebras são isomorfas. Portanto, existem diferentes maneiras
de realizar so(2l + 1), escolhendo diferentes formas quadráticas.
A forma quadrática mais conveniente para descrever uma subálgebra de Cartan
de so(2l + 1) é dada pela matriz J , escrita em blocos como
J =
 1 0 0
0 0 1l
0 1l 0

onde 1l indica a matriz identidade l× l. Essa matriz é simétrica e não-degenerada
e se
g =
1√
2
 √2i 0 0
0 i1l 1l
0 1l i1l

onde i =
√
−1 então gtg = J . Portanto, a álgebra das matrizes anti-simétricas
em relação a J é isomorfa a so (2l + 1).
204 Caṕıtulo 8. Álgebras semi-simples. Complementos
Escrevendo uma (2l + 1)× (2l + 1)-matriz A em blocos do mesmo tamanho que
os blocos de J e usando a condição AJ + JAt = 0, A ∈ so(2l + 1) se e só se A é
da forma
A =
 0 β γ
−γt a b
−βt c −at
 (8.6)
com β e γ matrizes 1 × l, as demais l × l e com b e c anti-simétricas. Uma
subálgebra de Cartan h é a subálgebra de dimensão l das matrizes diagonais em
so(2l + 1), isto é, H ∈ h se e só se H é da forma
H =
 0
Λ
−Λ
 (8.7)
com Λ uma matriz l × l diagonal arbitrária. A verificação disto é imediata. Se
α é uma raiz, então α (H) é uma diferença de autovalores de H. Sejam λj,
j = 1, . . . , l os funcionais
λj : Λ = diag{a1, . . . , al} 7−→ aj .
Então, os autovalores de H são 0 e ±λj(H), j = 1, . . . , l, e dáı que os posśıveis
valores que uma raiz de h assume em H são ±λj(H) e ±λj(H) ± λk(H) para
j, k = 1, . . . , l. No entanto, ±2λj(H), j = 1, . . . , l, não aparece como autovalor
de ad(H), pois as matrizes no auto-espaço correspondente teriam suas entradas
não-nulas ao longo das diagonais de c ou de b (onde c e b são definidas em (8.6)),
que são anti-simétricas. Mas a diagonal de uma matriz anti-simétrica é nula,
portanto ±2λj não é raiz. Os demais funcionais lineares são de fato ráızes de h.
Assim, as ráızes, com os espaços de ráızes correspondentes, são dadas por
• λj, j = 1, . . . , l, com o espaço de ráızes formado pelas matrizes A da forma
(8.6) em que a = b = c = 0, β = 0 e γ = (0, . . . , xj, . . . , 0).
• −λj, j = 1, . . . , l com o espaço de ráızes dado por a = b = c = 0, γ = 0 e
β = (0, . . . , xj, . . . , 0).
• λi − λj com i 6= j com o espaço das ráızes dado por β = γ = 0, b = c = 0 e
a uma matriz l × l cuja única entrada não-nula é a i, j.
• λi + λj com i 6= j com o espaço de ráızes dado por β = γ = 0, a = c = 0 e b
uma matriz anti-simétrica cujas únicas entradas não-nulas estão nas posições
i, j e j, i.
• −(λi +λj) com i 6= j com o espaço de ráızes dado pelas matrizes transpostas
do anterior.
Cada um desses espaços de ráızes é de dimensão um e H = 0 se α(H) = 0 para
toda raiz α, como é de se esperar para uma álgebra semi-simples.
8.2. Álgebras clássicas 205
Um sistema simples de ráızes é dado por
Σ = {λ1 − λ2, . . . , λl−1 − λl, λl}.
Isso porque Σ tem o mesmo número de elementos que a dimensão de h e toda
raiz pode ser escrita como uma soma, com repetições, de elementos de Σ ou de
−Σ. De fato, para cada j = 1, . . . , l,
λj = (λj − λj+1) + · · ·+ (λl−1 − λl) + λl
e, portanto, essas ráızes são positivas e suas opostas −λj são negativas. Além do
mais, se i < j. então
λi + λj = (λi − λi+1) + · · ·+ (λj−1 − λj) + 2(λj − λj+1) + · · ·+ 2λl
e, portanto, essas ráızes também são positivas sendo que suas opostas são nega-
tivas. Por fim,
λi − λj = (λi − λi+1) + · · ·+ (λj−1 − λj),
como no caso Al.
Para encontrar a restrição da forma de Cartan-Killing a h seja H como em (8.7)
com
Λ = diag{a1, . . . , al}.
A lista das ráızes dada acima mostra que
〈H,H〉 = 2
l∑
i=1
a2
i +
∑
i6=j
(ai − aj)
2 +
∑
i6=j
(ai + aj)
2.
Portanto,
〈H,H〉 = 2
l∑
i=1
a2
i + 4
∑
i<j
(a2
i + a2
j).
Como
∑
i<j(a
2
i + a2
j) = 2(l − 1)
∑
i a
2
i ,
〈H,H〉 = 2(2l − 1)
l∑
i=1
a2
i .
Finalmente, pela fórmula de polarização
〈H,H ′〉 = 2(2l − 1)
l∑
i=1
aia
′
i
se H ′ é dada da mesma forma por Λ′ com
Λ′ = diag{a′1, . . . , a′l}.
206 Caṕıtulo 8. Álgebras semi-simples. Complementos
O exerćıcio 1, ao final do caṕıtulo, apresenta uma forma alternativa para encon-
trar a forma de Cartan-Killing.
Denote por Λα a matriz diagonal l × l que define Hα, o dual da raiz α. Então,
Λλi
=
1
2(2l − 1)
diag{0, . . . , 1i, . . . , 0},
Λλi−λj
=
1
2(2l − 1)
diag{0, . . . , 1i, . . . ,−1j, . . . , 0},
Λλi+λj
=
1
2(2l − 1)
diag{0, . . . , 1i, . . . , 1j, . . . , 0}.
A partir dessas expressões, é imediato concluir que o diagrama de Σ é Bl. A raiz
de comprimento menor que as demais é λl, já que
〈λi − λj, λi − λj〉 =
2(2l − 1)
22(2l − 1)2
2 =
1
2l − 1
e
〈λl, λl〉 =
2(2l − 1)
22(2l − 1)
=
1
2(2l − 1)
.
Portanto, so(2l+1) é um representante das álgebras que têm diagrama Bl, l ≥ 2
e, em particular, essas álgebras são simples, pois o diagrama é conexo.
Uma forma alternativa para encontrar o diagrama de Σ é através da fórmula de
Killing: como são dadas expressões expĺıcitas para as ráızes, é posśıvel determinar
os números de Killing pela α-seqüência iniciada em β, para duas ráızes simples
α e β.
Quando l = 1, so(3) é isomorfa a sl(2). O isomorfismo pode ser visto tanto pelo
diagrama – neste caso a única raiz simples é λ1 – ou pela representação adjunta
de sl(2). A imagem dessa representação é uma subálgebra de so(3), pois ela deixa
invariante a forma de Cartan-Killing que é simétrica e não-degenerada. Mas, as
duas álgebras têm a mesma dimensão e, como a representação adjunta é fiel, ela
é um isomorfismo entre as álgebras.
Cl O diagrama
Cl, l ≥ 3 e e . . . e�
A
e
α1 α2 αl−1 αl
8.2. Álgebras clássicas 207
é o diagrama de Dynkin da álgebra sp(l) constrúıda da seguinte forma. Seja J a
matriz anti-simétrica 2l × 2l escrita em blocos l × l como
J =
(
0 −1
1 0
)
,
onde 1 representa a identidade l × l. Essa matriz define uma forma bilinear
anti-simétrica não-degenerada