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Problemas de otimização Os problemas de determinação de valores máximos e mínimos se encontram entre as aplicações mais comuns do Cálculo. De fato, lembre-se com que freqüência escutam-se ou lêem-se termos como lucro máximo, custo mínimo, tempo mínimo, diferença de potencial máximo, tamanho ótimo, potência máxima ou distância máxima. A teoria que desenvolvemos para determinação de extremos de funções pode ser aplicada na resolução de tais problemas. Estes, podem ser descritos verbalmente ou enunciados por escrito. Para resolvê-los, é necessário converter as afirmações em linguagem matemática, mediante a introdução de fórmulas, funções ou equações. Os tipos de aplicação são ilimitados, tornando-se, assim, difícil enunciar regras específicas para a determinação de soluções. É possível, entretanto, desenvolver uma estratégia geral para abordar tais problemas. De modo geral, vale a orientação seguinte: 1. Leia o problema cuidadosamente, várias vezes, meditando sobre os fatos e as quantidades não conhecidas que devem ser determinadas. 2. Se possível, esboce um diagrama, rotulando-o convenientemente, introduzindo variáveis para representar estas quantidades. Expressões, tais como “o que” , “determine” , “quanto” , “quão longe” ou “quando” , devem alertá-lo para as quantidades incógnitas. 3. Faça uma lista dos fatos conhecidos juntamente com quaisquer relações que envolvam as variáveis. Uma relação, em geral, pode ser descrita por uma equação de algum tipo. 4. Após analisar a lista em 3, determine a variável que deve ser extremada e exprima esta variável em função de uma das outras variáveis. 5. Determine os valores críticos da função obtida em 4 e teste-os quanto a máximos e mínimos. 6. Verifique se ocorrem máximos ou mínimos nos pontos extremos do intervalo de domínio da função obtida em 4. 7. Não se desencoraje se não conseguir resolver determinado problema. A proficiência na resolução de problemas aplicados exige considerável esforço e prática. Continue tentando ! Exemplo Deve-se construir uma caixa com base retangular, usando um retângulo de cartolina com 16cm de largura e 21cm de comprimento, cortando-se um quadrado em cada canto. Determine as dimensões desse quadrado para que a caixa tenha o volume máximo possível. Comecemos por fazer um desenho da peça de cartolina, onde introduziremos a variável x para denotar o comprimento do quadrado a ser cortado de cada canto. Nosso objetivo é maximizar o volume V da caixa a ser construída, dobrando-se a cartolina após retirar, de cada canto, um quadrado de lado x. É importante perceber que existe, no contexto do problema, uma infinidade de caixas que podem ser fabricadas com a peça de cartolina, em questão. Você deve se perguntar que forma a caixa deve ter para que isto seja possível. Ela deve ser alta, baixa, ou quase cúbica? Você pode até calcular alguns volumes bastando, para isto, lembrar que suas dimensões são x , 21 � 2x e 16 � 2x , para conseguir desenvolver uma visão intuitiva de quais são as dimensões procuradas. Por exemplo: Se x � 2 teremos V � 2 � 17 � 12 � 408 cm3 Se x � 0,7 teremos V � 0,7 � 19,6 � 14,6 � 200, 312 cm3 Se x � 2,8 teremos V � 2,8 � 15,4 � 10,4 � 448 ,448 cm3 Lembre-se de que você não está pronto a resolver um problema até que você entenda 42 claramente qual é o problema. De forma genérica, o volume V da caixa na figura (ii) é dado por: V � x�16 � 2x��21 � 2x� � 2�168x � 37x2 � 2x3� . Esta equação exprime V como função de x. Passemos à determinação dos valores críticos de V: DxV � 2�168 � 74x � 6x2� � 4�3x � 28��x � 3�. Os valores críticos são, portanto, 283 e 3 . Como 28 3 está fora do domínio de x, resta o valor crítico 3 . Aplicamos o Teste da derivada primeira e, como: V ��0� � 336 � 0 � V é crescente à esquerda de 3 V ��4� � �64 � 0 � V é decrescente à direita de 3 , concluímos que o máximo de V ocorre em x � 3. Verifiquemos, finalmente, a existência de máximos e mínimos nos pontos extremos. Como o domínio da função é o intervalo �0; 8� , e, como V � 0 se x � 0 ou x � 8, o máximo de V não ocorre em nenhum dos pontos extremos do domínio. Conseqüentemente, deve-se cortar de cada canto um quadrado de 3cm de lado para se obter a caixa de volume máximo. Resolva os seguintes problemas, procurando seguir as orientações dadas: 1) Uma área retangular deve ser limitada por uma cerca. Temos 120 m de cerca disponíveis. Determine a maior área possível que pode ser cercada. 2) A altura de um projétil, disparado verticalmente para cima, é dada pela seguinte equação: s � 1200t � 16t2 (a velocidade inicial é 1200 m/seg). Determine a altura máxima que o projétil alcançará (desprezando a resistência do ar). 3) Quer-se dividir o número 56 em duas partes x e y, tais que o seu produto seja máximo. Determine-as. 4) A carga transmitida através de um circuito varia de acordo com a equação q � t4 � 4t3 coulombs. Determine o tempo t quando a corrente i � dqdt atinge um mínimo. 5) O custo total C para fazer x unidades de um certo artigo é dado por C � 0,005x3 � 0,45x2 � 12,75x. Todas as unidades feitas são vendidas a R$ 36,75 por unidade. O lucro P é, então, dado por P � 36,75x � C. Determine o número de unidades que devem ser feitas de modo a obter o lucro máximo. 6) Determine o ponto da curva y � x que está mais próximo do ponto �1,0�. Obs.: Lembre que a distância entre dois pontos �x1,y1� e �x2,y2� , do plano, é dada por d � �x1 � x2�2 � �y1 � y2�2 . 7) Um fazendeiro deseja cercar uma área de 3000 m2. Esta área deverá ser dividida em duas faixas de três lotes cada uma, todos de igual área. Que dimensões destes lotes possibilitarão uma quantidade mínima de cerca ? 8) Uma página retangular contém 24 polegadas quadradas de área impressa. As margens no topo e na parte inferior da página são de 1 12 polegada cada. As margens laterais são de 1 polegada cada. Que dimensões a página deve ter para que o consumo de papel seja mínimo ? 43 9) Uma lata cilíndrica de estanho (sem tampa) tem volume de 5 ml. Determine suas dimensões se a quantidade de estanho para fabricação da lata deve ser mínima. 10) Há algumas semanas o Departamento de Estradas vem registrando a velocidade do trânsito em certa saída de uma auto-estrada. Os dados indicam que, em um dia normal, entre 13 horas e 18 horas, a velocidade do trânsito é de, aproximadamente, v�t� � t3 � 10,5t2 � 30t � 20 km/h, onde t representa o número de horas transcorridas após o meio-dia. A que horas (entre 13 h e 18 h) o trânsito flui mais rapidamente ? E mais vagarosamente ? 11) Quando tossimos, o raio de nossa traquéia diminui, afetando a velocidade do ar que passa nesse órgão. Sendo r0 e r , respectivamente, o raio da traquéia na situação normal e no momento da tosse, a relação entre a velocidade v e r é dada por v�r� � ar2�r0 � r� , onde a é uma constante positiva. Calcule o raio r que permite a maior velocidade v. 12) Um estudo da eficiência dos operários do turno da manhã de uma fábrica (das 8 às 12 horas) indica que um operário médio, iniciando suas atividades às 8 horas, monta Q�t� � �t3 � 6t2 � 15t aparelhos após t horas de trabalho. (a) Em que instante da manhã o operário trabalha com maior eficiência ? (b) Em que instante da manhã o operário trabalha com menor eficiência ? 13) O trabalho realizado por um solenóide ao mover um induzido varia de acordo com W � 2t3 � 3t4 joules. Determine a maior potência desenvolvida. (Potência p � dWdt ). 14) Determine a maior corrente num capacitor com capacitância C igual a 43 � 10�6 farads, se a voltagem aplicada for dada por V � 250t2 � 200t3 volts �i � C dVdt �. 15) Uma janela deve ter a forma de um retângulo superposto por um triângulo eqüilátero. Se o perímetro da janela é 12 pés, determine as dimensões do retângulo que proporcionam vão máximo. 44
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