EP10 gabarito

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Álgebra Linear I 
Exercícios Programados 10 – EP10 
Aulas 18 e 19 
Resolução 
 
1. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso verdadeiras justifique, 
caso contrário dê um contra-exemplo. 
 
(a) Se 22: T é a translação definida por    21  y,xy,xT , então T é uma 
transformação linear. 
(b) Uma transformação linear leva o vetor nulo do domínio ao vetor nulo do 
contradomínio. 
(c) Se nnT : é uma transformação linear tal que   vuT  então   vuT  . 
Solução. 
(a) Falsa. 
  )0,0()2,1(0,0 T
. 
(b) Verdadeira. Considere 
U0
 o elemento neutro de U e 
V0
 o elemento neutro de V. 
Então, 
      .uT.u.TT VU 0000 
 
(c) Falsa. 
        .vuTu.TuT  11
 
2. Verifique se as transformações abaixo são lineares: 
(a) 
23: T
 tal que 
)yx,z()z,y,x(T 
. 
(b) 
2: T
 definida por 
)1,()( xxT 
. 
(c) 
22: xMT
 definida por 
  AAT det
. 
(d) 
32: PPT 
 tal que 
  cxbxaxcbxaxT  232
. 
Solução. 
(a) Utilizando a definição 1 da aula 18: 
 Sejam 
   c,b,a,z,y,x
 vetores de 
 e3
 
 ))c,b,a()z,y,x((T  )bayx,cz()cz,by,ax(T
 
).c,b,a(T)z,y,x(T)ba,c()yx,z( 
 
 ))z,y,x((T  )z,y,x(T 
).z,y,x(T)yx,z())yx(,z()yx,z(   
Logo T é linear. 
(b) T não é uma transformação linear. Observe, por exemplo, que 
           361232316623 ,,.T.,T.T 
. 
(c) T não é linear, pois se considerarmos, por exemplo, a matriz 






43
21
22xM
e 
2
, 
.4
43
21
.28
86
42
43
21
2 

































TTT
 
(d) T é linear: 
 Sejam 
,2 cbxax   fexdx2
 P2. 
T((
 )2 cbxax  ))(
2 fexdx  ))()()(( 2 fcxebxdaT
 xfcxebxda )()()( 23  )( 23 cxbxax  )( 23 fxexdx
 
= T(
 )2 cbxax
T
)( 2 fexdx 
 
 Seja 
 cbxax2
 P2 e 

. 
 ))(( 2 cbxaxT    cbxaxT  2  cxbxax  23  )( 23 cxbxax
).(. 2 cbxaxT 
 Logo T é linear. 
3. Considere a base 
},,{ 321 vvvS 
 de 3 dada por 
),1,1,1(1 v
 
)0,1,1(2 v
e 
)0,0,1(3 v
. 
Seja 23: T a transformação linear tal que 
),0,1()( 1 vT )1,2()( 2 vT
 e 
).3,4()( 3 vT
 
Determine a expressão de 
 z,y,xT
; depois a use para calcular 
 532 ,,T 
. 
Solução. 
Expresse 
 z,y,x
 como combinação linear dos vetores 
21,vv
 e 
3v
. 
Escrevendo 
  321 cvbvavz,y,x 
. Equacionando temos, 








za
yba
xcba
 então 
yxc,zyb,za 
 e portanto 
         0,0,10,1,11,1,1,, yxzyzzyx 
. 
Assim, 
        )0,0,1()()0,1,1()()1,1,1()0,0,10,1,11,1,1(),,( TyxTzyzTyxzyzTzyxT 
Logo, 
           zyxzyxyxzyzzyxT  43,243,41,20,1,,
. 
A partir da expressão de T obtemos 
   .,,,T 239532 
 
4. O traço de uma matriz quadrada 
nxnji ]a[A 
 é a soma dos elementos da diagonal 
principal e é denotado por 
trA
: 
tr(
A
) = 
nn
n
i
ii aaaa  

2211
1
. 
Exemplo: Dada, 













111
050
1312
A
, 
)(Atr
 = 12 + (-5) + 1 = 8. 
Mostre que a transformação 
)(:
n
MT
, definida por 
)(AT
 
)(Atr
, é linear. 
Solução: Utilizando a Definição 1 da aula 18, vamos verificar se 
)()()( BTATBAT 
 e 
se 
)(.).( ATkAkT 
, em que 
A
 e 
B
 são matrizes quadradas de ordem n e 
k
 é um escalar. 
 Dadas 
A
 e 
B
 em 
)(nM
, 
 )( BAT      .)()(
1 11
BTATBtrAtrbaba
n
i
n
i
ii
n
i
iiiiii  
 
 
 Seja A em 
)(nM
 e k real, 
).( AkT    .)(
11
AkTAktrakkakAtr
n
i
ii
n
i
ii  

 
Logo T é linear. 
5. Vale a recíproca da propriedade vi) da aula 19? Isto é, dada 
WVT :
 e 
},...,,{ 21 nvvv
 
um conjunto LI em V, então 
)(),...,(),( 21 nvTvTvT
 são vetores LI em W? 
Solução: Não vale a recíproca da propriedade vi) da aula 19. 
De fato, considere a transformação linear T do exercício 3. T é linear e 
),0,1()1,1,1( T )1,2()0,1,1( T e ).3,4()0,0,1( T
 
 
O conjunto {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} é LI mas {(1,0),(2,-1),(4,3)} é LD.