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Questao de algebra linear

2) (2,5 pontos) Dado o sistema
S: {2x+4y-2z=4
    {4x-8y-3z=6
faça o que se pede:

a) Use o Método de Gauss-Jordan para escalonar a matriz ampliada A’ (use no máximo 3 operações elementares sobre as linhas da matriz).

b) Faça a discussão completa do sistema usando o Teorema do Posto.

c) Mostre, se possível, a solução única (se for o caso) ou uma sequência que represente as
infinitas soluções do sistema (com o grau de liberdade). Caso não haja solução, justifique a resposta.

 

Eu resolvi aqui e deu uma valor estranho, ja que não tem o gabarito alguém poderia resolver pra ver se bate com o que eu fiz?


4 resposta(s)

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Lucas

Há mais de um mês

  • a)

Após proceder o escalonamento da matriz ampliada A' pelo método de Gauss-Jordan (Fazendo as operações elementares -2L1+L2 e 4L1+L2) você chegará em z=-2 e x=-2y

2  4 -2  4                              2   4  -2   4                           2   4  -2  4 
4 -8 -3  
6       -2L1+L2 -->   0 -16  1  -2        4L1+L2-->  0   0  -7  14

 

  • b)  

    1)Segundo o Teorema do Posto, um sistema Ax=b com n incógnitas tem solução única se, e somente se, a matriz A e a sua aumentada A'=[Ab] tem o mesmo posto r

Lembrando que o posto de uma matriz retangular é r, quando e somente quando, A tem alguma submatriz rxr com det difrente de 0 e todas as matrizes quadradas de ordem maior tem det=0

rank(A)=2 e rank(A')=2

ou seja, posto de A = posto de A'

concluímos que há solução para esse sistema

2) Se r=n, em que r é o posto da matriz A e n é o seu número de incógnitas, então o sistema terá uma única solução

Nesse caso, n= número de incógnitas=3
                  r= posto da matriz A      =2
                  

3 é diferente de 2, portanto, o sistema não apresenta apenas 1 solução

3) Se r<n, o sistema tem infinitas soluções; como r variáveis dependentes, no caso r=2, então teremos 2 variáveis dependentes (x e y)

 

  • c)  z=-2 e x=-2y

    para y=1, a solução é x=-2, y=1 e z=-2
    para y=2, a solução é x=-4, y=2 e z=-2
    ...

  • a)

Após proceder o escalonamento da matriz ampliada A' pelo método de Gauss-Jordan (Fazendo as operações elementares -2L1+L2 e 4L1+L2) você chegará em z=-2 e x=-2y

2  4 -2  4                              2   4  -2   4                           2   4  -2  4 
4 -8 -3  
6       -2L1+L2 -->   0 -16  1  -2        4L1+L2-->  0   0  -7  14

 

  • b)  

    1)Segundo o Teorema do Posto, um sistema Ax=b com n incógnitas tem solução única se, e somente se, a matriz A e a sua aumentada A'=[Ab] tem o mesmo posto r

Lembrando que o posto de uma matriz retangular é r, quando e somente quando, A tem alguma submatriz rxr com det difrente de 0 e todas as matrizes quadradas de ordem maior tem det=0

rank(A)=2 e rank(A')=2

ou seja, posto de A = posto de A'

concluímos que há solução para esse sistema

2) Se r=n, em que r é o posto da matriz A e n é o seu número de incógnitas, então o sistema terá uma única solução

Nesse caso, n= número de incógnitas=3
                  r= posto da matriz A      =2
                  

3 é diferente de 2, portanto, o sistema não apresenta apenas 1 solução

3) Se r<n, o sistema tem infinitas soluções; como r variáveis dependentes, no caso r=2, então teremos 2 variáveis dependentes (x e y)

 

  • c)  z=-2 e x=-2y

    para y=1, a solução é x=-2, y=1 e z=-2
    para y=2, a solução é x=-4, y=2 e z=-2
    ...

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Lucas

Há mais de um mês

é verdade... bom, então não sei como resolvê-la : (

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Leonardo

Há mais de um mês

Man, pelo metodo de Gauss Jordan a matriz não teria que ficar com o elemento a11=1 e o elemento a21=1? e no caso que vc fez ai o grau de liberdade (gl=n-P(a)) o gl=1 então o sitema esta sobrando apenas uma variavel!

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos estudantes