Apostila Matemática Financeira (1)

Prévia do material em texto

Matemática Financeira 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UBERLÂNDIA-MG 
 2013 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
2
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
O problema econômico decorre da escassez, ou seja, do fato de que as necessidades das 
pessoas são satisfeitas por bens e serviços cuja oferta de bens é limitada. Ao longo do 
processo de desenvolvimento das sociedades, o problema de satisfazer as necessidades 
foi solucionado através da especialização e através do processo de trocas que é a moeda. 
Assim o preço passou a ser o denominador comum de medida para o valor dos bens e a 
moeda um meio para acumular valor e constituir riqueza ou capital. 
Constatou-se que os bens poderiam ser consumidos ou guardados para consumo futuro. 
Caso o bem fosse consumido ele desapareceria e, caso houvesse acumulação, o estoque 
de bens poderia servir para gerar novos bens e/ou riqueza através do processo produtivo. 
A noção de juro decorre do fato de que a maioria das pessoas prefere consumir seus 
bens no presente e não no futuro. Em outras palavras, havendo uma preferência 
temporal para consumir, as pessoas querem uma recompensa pela abstinência. Este 
prêmio para que não haja consumo é o juro. 
O juro também pode ser entendido como sendo o custo do crédito ou a remuneração do 
capital aplicado. Isto é, o juro é o pagamento pelo uso de poder aquisitivo por um 
determinado período de tempo. Associa-se então o juro à preferência temporal das 
pessoas, que é o desejo de efetuar o consumo o mais cedo possível. Nestas condições, a 
taxa de juros mede o custo da unidade de capital no período a que se refere à taxa. 
A MF trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, com o 
objetivo básico de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída 
de $ de caixa em diferentes momentos. 
1.1 TAXA DE JUROS 
 
A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do 
fator capital utilizado durante certo período de tempo. 
As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano, etc.) 
e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa 
unitária. 
Taxa Percentual: refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada 
centésima parte do capital. 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
3
Exemplo: Capital aplicado de R$ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juros, ao 
final deste período: 
 
Juro = R$ 1.000,00 x 20 
 100 
 
Juro = R$ 10,00 x 20 = R$ 200,00 
 
O Capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração 
total da aplicação no período é, portanto, de R$ 200,00. 
Taxa Unitária: centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade 
de capital em certo período de tempo. 
No exemplo acima, a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 
(20%/100) por unidade de capital aplicada. 
 
Juro = R$ 1.000,00 x 20 
 100 
 
Juro = R$ 1.000,00 x 0,20 = R$ 200,00 
 
A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela divisão 
da notação em percentual por 100. Para transformação inversa, basta multiplicar a taxa 
unitária por 100. 
Exemplos: 
Taxa Percentual Taxa Unitária 
2,5% 0,025 
9% 0,09 
26% 0,26 
97% 0,97 
151% 1,51 
1300% 13,0 
 
Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a 
taxa unitária de juros. Os enunciados e as respostas dos exercícios estão sempre 
indicados pela taxa percentual. 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
4
1.2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA 
 
A MF se preocupa com o estudo das várias relações dos movimentos monetários ao 
longo do tempo. 
Estes movimentos são identificados temporalmente através de um conjunto de entradas 
e saídas de caixa definido como Fluxo de Caixa. 
 
 
A linha horizontal registra a escala do tempo. O ponto zero indica momento inicial, e os 
demais pontos representam os períodos de tempo (datas). 
As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas (ou recebimentos) de 
dinheiro, e as setas para baixo da linha indicam saídas (ou aplicações) de dinheiro. 
1.3 REGRAS BÁSICAS 
 
Nas fórmulas de MF, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem 
necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo. 
Se uma aplicação, por exemplo, foi efetuada pelo prazo de um mês, mas os juros 
definidos em taxa anual, não há coincidência nos prazos. 
É indispensável para o uso das fórmulas financeiras transformar a taxa de juro para o 
intervalo de tempo definido pelo prazo da operação, ou vice-versa, o que for 
considerado mais apropriado para os cálculos. 
Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo podem 
ser efetuados através das regras de juros simples e de juros compostos. 
1.4 CRITÉRIOS DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS 
 
Os critérios (regimes) de capitalização demonstram como os juros são formados e 
sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Podem-se identificar dois 
regimes de capitalização dos juros: simples (ou linear) e composto (ou exponencial). 
Regime de Capitalização Simples – os juros crescem de forma linear ao longo do tempo. 
Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação 
ou empréstimo), não se registrando juros sobre os saldos acumulados, ou seja, juros 
sobre juros. 
Entradas 
de Caixa (+) + + + + +
Saídas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (Tempo)
de Caixa (-) -
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
5
Exemplo: admita um empréstimo de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5 anos pagando-se a 
juros simples á razão de 10% ao ano. 
Observe abaixo a evolução desta operação: 
 
Regime de Capitalização Composta – incorpora ao capital somente os juros referentes a 
cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior. 
É um comportamento equivalente a uma progressão geométrica no qual os juros 
incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspondente (e não 
unicamente sobre o capital inicial). 
Admitindo-se no exemplo anterior, que a dívida de $ 1.000,00 deve ser paga em juros 
compostos à taxa de 10% ao ano, têm-se os resultados ilustrados no quadro a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Saldo no ínicio Juros apurados Saldo devedor ao Crescimento anual 
de cada ano para cada ano final de cada ano do saldo devedor
Ínicio do 1º ano - 1.000,00 -
Fim do 1º ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00 100,00 
Fim do 2º ano 1.100,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.200,00 100,00 
Fim do 3º ano 1.200,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.300,00 100,00 
Fim do 4º ano 1.300,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.400,00 100,00 
Fim do 5º ano 1.400,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.500,00 100,00 
Ano
Saldo no ínicio Juros apurados Saldo devedor ao
de cada ano para cada ano final de cada ano
Ínicio do 1º ano - 1.000,00 
Fim do 1º ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00 
Fim do 2º ano 1.100,00 0,10 x 1.100,00 = 110,00 1.210,00 
Fim do 3º ano 1.210,00 0,10 x 1.210,00 = 121,00 1.331,00 
Fim do 4º ano 1.331,00 0,10 x 1.331,00 = 133,10 1.464,10Fim do 5º ano 1.464,10 0,10 x 1.464,10 = 146,41 1.610,51 
Ano
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
6
2 JUROS SIMPLES 
2.1 FÓRMULAS 
O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão: 
J = C x i x n 
Onde: 
 J = valor dos juros expressos em unidades monetárias 
 C = capital. É o valor (em $) representativo de determinado momento 
 i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária. 
n = período de tempo 
Esta formula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores financeiros 
mediante simples dedução algébrica: 
 
C = J i = J n = J 
 i x n C x n C x i 
 
EXEMPLOS 
1- Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. 
Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período. 
C = R$ 80.000,00 J = C x i x n 
i = 2,5% ao mês (0,025) J = 80.000,00 x 0,025 x 3 
n = 3 meses J = $ 6.000,00 
J = ? 
 
2- Um negociante tomou um empréstimo pagando taxa de juros simples de 6% ao mês 
durante nove meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o total dos 
juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. 
C = ? 
i = 6% ao mês (0,06) 
n = 9 meses 
J = R$ 270.000,00 
C = j 
 i x n 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
7
C= 270.000,00 = 270.000,00 = R$ 500.000,00 
 0,06 x 9 0,54 
 
3- Um capital de R$ 40.000,00 fica aplicado num fundo de poupança por 11 meses, 
produzindo um rendimento financeiro de R$ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de 
juros oferecida por esta operação. 
 
C = R$ 40.000,00 
i = ? 
n = 11 meses 
J = R$ 9.680,00 
 
i = j 
 C x n 
C= 9.680,00 = 9.680,00 = 0,022 ou 2,2% ao mês 
 40.000,00 x 11 440.000,00 
 
4- Uma aplicação de R$ 250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês 
produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$ 27.000,00. Calcule o 
prazo da aplicação. 
 
C = R$ 250.000,00 
i = 1,8% ao mês (0,018) 
n = ? 
J = R$ 27.000,00 
 
n = j 
 C x i 
n = 27.000,00 = 27.000,00 = 6 meses 
 
 
 
250.000,00 x 0,018 4.500,00 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
8
 
Exercícios 
1. Qual valor dos juros correspondentes a um empréstimo de $ 10.000,00, pelo prazo 
de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 
2. Um capital de $ 25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de $ 7.875,00. 
Determinar a taxa correspondente. 
3. Uma aplicação de $ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $ 
8.250,00. Qual a taxa anual Correspondente a essa aplicação? 
4. Sabendo-se que os juros de $ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de $ 7.500,00, 
à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. 
5. Qual o capital que, a taxa de 4% ao mês, rende juros de $ 9.000,00 em 12 meses? 
6. Calcular o juro simples referente a um capital de $ 1.000,00 aplicados á uma taxa de 
juros de 15% ao ano, durante 12 meses. 
 
2.2 MONTANTE E CAPITAL 
Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa de juro por determinado tempo, 
produz um valor acumulado denominado de montante, e identificado em juros simples 
por M. Em outras palavras, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado 
dos juros, isto é: 
M = C + J 
 
Sabemos que: J = C x i x n 
Substituindo esta expressão básica na fórmula do montante supra, e colocando-se C em 
evidência: 
M = C + C x i x n 
M = C (1+ i x n) 
 
Desta maneira, para acharmos o valor de C nesta fórmula, fazemos a seguinte 
transformação algébrica: 
 
C = M 
 (1+ i x n) 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
9
A expressão (1 + i x n) é definida como fator de capitalização (ou de valor faturo) dos 
juros simples. Ao multiplicar um capital por este fator, corrige-se o seu valor para uma 
data futura, determinando o montante. O Inverso, ou seja, 1/ (1 + i x n) é denominado 
de fator de atualização (ou de valor presente). Ao se aplicar o fator sobre um valor 
expresso em uma data futura, apura-se o seu equivalente numa data atual. 
 
1- Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 á taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. 
Determinar o valor acumulado ao final deste período. 
C = R$ 18.000,00 M = C ( 1 + i x n) 
i = 1,5% ao mês (0,015) M = 18.000,00 (1 + 0,015 x 8) 
n = 8 meses M = 18.000,00 x 1,12 
M = ? M = R$ 20.160,00 
 
2- Uma dívida de R$ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um 
desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. 
Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida. 
 
M = R$ 900.000,00 
i = 7% ao mês (0,07) 
n = 4 meses 
C = ? 
C = M 
 (1+ i x n) 
C= 900.000,00 = 900.000,00 = R$ 703.125,00 
 (1 + 0,07 x 4) 1,28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
10
Exercícios 
1. Calcular o montante de $ 85.000,00 aplicado por 7 meses à taxa linear de 2,5% ao 
mês. 
2. Uma nota promissória de valor nominal de $ 140.000,00 é resgatada dois meses 
antes de seu vencimento. Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de 
juros simples é de 1,9% ao mês? 
3. Se uma pessoa necessitar de $100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela 
depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 1% ao mês? 
4. Uma pessoa aplicou $ 12.000 numa instituição financeira resgatando, após 7meses, 
o montante de $13.008,00. Qual a taxa de juros mensal que o aplicador recebeu? 
5. Em quanto tempo um capital de $ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano pelo regime 
linear renderá $1.940,00? 
6. Um capital emprestado gerou $ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de 
aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% a.m., calcular o valor do 
montante. 
 
2.3 TAXA PROPORCIONAL E EQUIVALENTE 
Para se compreender mais claramente o significado destas taxas deve-se reconhecer que 
toda operação envolve dois prazos: 
• prazo a que refere-se a taxa de juros 
• prazo de capitalização (ocorrência) dos juros 
Por exemplo: vamos admitir um empréstimo bancário a uma taxa (custo) nominal de 
24% ao ano. O prazo a que se refere especificamente a taxa de juros é anual. 
A seguir deve-se identificar a periodicidade de ocorrência dos juros. Ao se estabelecer 
que os encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos 
considerados são coincidentes. 
Mas em inúmeras operações estes prazos não são coincidentes. Outro exemplo: 
A Caderneta de Poupança paga aos seus depositantes uma taxa de juros de 6% ao ano, a 
qual é agregada (capitalizada) ao principal todo mês através de um percentual 
proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, então, dois prazos – prazo da taxa: ano e prazo de 
capitalização: mês. 
Mas conforme abordamos anteriormente, é necessário expressar estes prazos 
diferentes na mesma base de tempo. Ou transforma-se o prazo específico da taxa para 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
11
o de capitalização ou, de maneira inversa, o período de capitalização passa a ser 
expresso na unidade de tempo da taxa de juros. 
No regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, esta transformação é 
processada pela denominada taxa proporcional de juros também denominada de taxa 
linear ou nominal. 
Esta taxa proporcional é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação 
e o número de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de 
capitalização). 
 
Exemplos: 
1) Para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalização for definida mensalmente 
(ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o percentual de juros que incidirá 
sobreo capital a cada mês será: 
Taxa Proporcional = 18% = 1,5% ao mês 
 12 
 
2) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: 
a) 60% ao ano 
i = 60% x 6 = 30% a. s. 
 12 
b) 9% ao trimestre 
i = 9% x 6 = 18% a. s. 
 3 
3) Calcular a taxa anual proporcional a: 
a) 6% ao mês 
i = 6% x 12 = 72% ao ano 
b) 10% ao bimestre 
i = 10% x 6 = 60% ao ano. 
As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital 
e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros. 
Por exemplo: em juros simples um capital de R$ 500.000,00, se aplicado pelo prazo de 
um ano a 2,5% ao mês ou 15% ao semestre, produz o mesmo montante linear de juros. 
Isto é: 
• J (2,5% a.m.) = R$ 500.00,00 x 0,025 x 12 = R$ 150.000,00 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
12
• J (15% a.s.) = R$ 500.00,00 x 0,15 x 2 = R$ 150.000,00 
Os juros produzidos pelas duas taxas lineares de juros são iguais, logo são definidas 
como equivalentes. 
No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas 
equivalentes são consideradas a mesma coisa. 
 
Exercícios 
1. Calcular a taxa mensal proporcional de: 
a) 14,4% ao ano 
b) 6,8% ao trimestre 
c) 11,4% ao semestre 
d) 110,4% ao ano 
2. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de: 
a) 120% ao ano 
b) 3,2% ao quadrimestre 
c) 1,5% ao mês 
3. Determinar a taxa de juros anual proporcional à seguintes taxas: 
a) 2,5% ao mês 
b) 56% ao quadrimestre 
c) 12,5% para 5 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
13
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES JUROS SIMPLES 
 
1) Uma dívida é composta de três pagamentos no valor de $ 2.800,00, $ 4.200,00 e $ 
7.000,00, vencíveis em 60, 90 e 150 dias, respectivamente. Sabe-se ainda que a taxa 
de juros simples de mercado é de 4,5% a.m. Determinar o valor da dívida se o 
devedor liquidar os pagamentos no dia de hoje. 
2) Uma calculadora está sendo vendida a prazo nas seguintes condições: $ 128,00 de 
entrada, $ 192,00 em 30 dias e $ 192,00 em 60 dias. Sendo de 1,1% ao mês a taxa 
linear de juros, pede-se calcular até que preço é interessante comprar a máquina à 
vista. 
3) Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 50,4% ao ano, durante dois anos e 
três meses, produz um montante de $ 600.000,00. 
4) Determinar o número de meses necessário para um capital dobrar de valor, com uma 
taxa de 2% ao mês, no regime de juros simples. 
5) Uma loja oferece um computador por $3.000,00 a vista ou por 20% do valor a vista 
como entrada e mais um pagamento de $ 2.760,00 após 6 meses. Qual a taxa mensal 
de juros cobrada? 
6) Uma pessoa contrai um empréstimo de $ 75.000,00 à taxa linear de 3,3% ao mês. 
Em determinada data liquida este empréstimo pelo montante de $ 92.325,00 e 
contrai nova dívida no valor de $40.000,00 pagando uma taxa de juros simples mais 
baixa. Este último empréstimo é resgatado 10 meses depois pelo montante de 
$49.600,00. 
Calcule: 
a) o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos. 
b) a taxa simples de juros mensal e anual cobrada no segundo empréstimo. 
 
7) João emprestou $20.000,00 de Carlos para paga-los após 2 anos. A taxa ajustada foi 
de 30% a.a. Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 meses antes do vencimento da 
dívida João quisesse resgatá-la e se nesta época o dinheiro valesse 25% a.a.? 
8) Se tenho um título com valor nominal de $15.000,00 com vencimento daqui 2 anos 
e a taxa de juros correntes é de 28%a.a., qual é o valor atual deste título nas 
seguintes condições: 
a) Hoje. 
b) daqui um ano. 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
14
c) 4 meses antes do seu vencimento. 
 
9) Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um 
empréstimo de $ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre? 
 
10) Uma aplicação de $ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros 
simples de 26% a.a. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 
18% ao ano para se obter o mesmo rendimento financeiro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
15
3 JUROS COMPOSTOS 
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são 
acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Esse 
montante, por sua vez passará render juros no período seguinte formando um novo 
montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros 
formados em períodos anteriores), e assim por diante. 
Esse processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples, 
onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros 
formados em períodos anteriores. 
 
3.1 FÓRMULAS DE JUROS COMPOSTOS 
No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juros 
periodicamente. 
Aqui usaremos as siglas PV (Valor Presente), que corresponde ao Capital estudado em 
Juros Simples, e FV (Valor Futuro) correspondente ao Montante. 
Fórmulas: 
FV= PV (1 + i)n e PV= FV 
 (1 + i)n 
 
onde (1 + i)n é o fator de capitalização (ou de valor futuro) a juros compostos, e 1/(1 + 
i)n o fator de atualização (ou de valor presente) a juros compostos. 
Por outro lado, sabe-se que o valor monetário dos juros (J) é apurado pela diferença 
entre o montante (FV) e o capital (PV), podendo-se obter o seu resultado também pela 
seguinte expressão: 
 
J = FV – PV 
 
Como: FV = PV (1 + i)n , colocando-se PV em evidência: 
 
 J = PV [(1 + i)n - 1] 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
16
EXEMPLOS 
 
1. Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela 
depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao 
mês? 
FV = $ 27.500,00 
n = 1 ano (12 meses) 
i = 1,7% a.m. 
PV = ? 
 
 
 
 
 
Utilizando a HP-12C: 
27500 CHS FV 
1,7 i 
12 n 
PV 
22.463,70 
 
2. Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 em um título pelo prazo de 
8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.? 
PV = $ 12.000,00 
n = 8 meses 
i = 3,5% a.m. 
FV = ? 
 
FV = PV (1 + i)n 
FV = 12.000,00 (1 + 0,035)8 
FV = 12.000,00 x 1,316809 = $15.801,71 
 
 
 
PV= FV 
 (1 + i)n 
 
PV= 27.500,00 = 27.500,00 
 (1 + 0,017)12 (1,017)12 
 
PV= 27.500,00 = $ 22.463,70 
 1,224197 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
17
Utilizando a HP-12C: 
12000 CHS PV 
3,5 i 
8 n 
FV 
15.801,71 
 
3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $40.000,00 que 
produz um montante de $43.894,63 ao final de um quadrimestre. 
PV = $40.000,00 
FV = $43.894,63 
n = 4 meses 
i = ? 
FV = PV (1 + i)n 
 
FV = (1 + i)n 
PV 
 
43.894,63 = (1 + i)4 
40.000,00 
 
1,097366 = (1 + i) 4 1,097366 = (1 + i) 4 
1 + i = 1,0235 i = 0,0235 ou 2,35% a.m. 
Utilizando a HP-12C: 
 
40000 CHS PV 
43894,63 FV 
4 n 
i 
2,35% 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
18
4. Uma aplicação de $22.000,00 efetuada em certa data produz, á taxa composta de 
juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o 
prazo da operação. 
PV = 22.000,00 
FV = 26.596,40 
i = 2,4% a.m. 
n = ? 
FV = PV (1 + i)n 
 
FV = (1 + i)n 
PV 
 
26.596,40 = (1,024)n 
22.000,001,208927273 = (1,024)n , aplicando-se logaritmos, tem-se: 
log 1,208927273 = n x log 1,024 
 
n = log 1,208927273 = 0,189733415 
 log 1,024 0,023716527 
 n = 8 meses 
Utilizando a HP-12C: 
 
220000 CHS PV 
26.596,40 FV 
2,4 i 
n 
8 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
19
5. Determinar o juro pago de um empréstimo de $88.000,00 pelo prazo de 5 meses à 
taxa composta de 4,5% ao mês. 
J =? 
PV = 88.000,00 
n = 5 meses 
i = 4,5% a.m. 
J = PV [(1 + i) n – 1] 
J = 88.000 [(1,045) 5 – 1] 
J = 88.000 (0,246182) = $ 21.664,02 
Exercícios 
1. Determinar o Valor Futuro, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um 
capital de $ 100.000,00, à taxa de 3,75% ao mês. 
2. Um banco lança um título pagando 6% a.t. Se uma pessoa necessitar de 58.000,00 
daqui a 12 trimestres, quanto deverá aplicar neste título? 
3. Em que prazo uma aplicação de $374.938, à taxa de 3,25% a.m., gera um resgate de 
$500.000. 
4. Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $ 68.700,00 que produz um 
montante de $ 82.084,90 ao final de 8 meses. 
5. Calcular o juro de uma aplicação de $300.000 nas seguintes condições de prazo e 
taxa, i = 2,5% a.m. e n = 1 semestre. 
 
3.2 TAXAS EQUIVALENTES 
Ao se tratar de juros simples, foi comentado que a taxa equivalente é a própria taxa 
proporcional da operação. Por exemplo, a taxa de 3% ao mês e 9% ao trimestre são ditas 
proporcionais. 
São também equivalentes, pois promove a igualdade dos montantes de um mesmo 
capital ao final de certo período de tempo. 
Por exemplo, em juros simples um capital de $80.000,00 produz o mesmo montante em 
qualquer data se capitalizado a 3% a.m. e 9% a.t. 
n = 3 meses 
FV (3% a.m.) = 80.000,00 ( 1 + 0,03 x 3) = $ 87.200,00 
FV (9% a.t.) = 80.000,00 (1 + 0,09 x 1) = $ 87.200,00 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
20
O conceito enunciado de taxa equivalente permanece válido para o regime de juros 
compostos diferenciando-se, no entanto, a fórmula de cálculo da taxa de juros. 
Podemos utilizar a seguinte fórmula para encontrar a taxa equivalente: 
i quero = [(1 + i)quero/tenho – 1] x 100 
 
Exemplo: 2% ao mês e 26,82% ao ano são Equivalentes: 
i anual = [(1,02)360/30 – 1] x 100 
i anual = [(1,02)12 – 1] x 100 
i anual = [1,2682 – 1] x 100 
i anual = 0,2682 x 100 
i anual = 26,82% 
Utilizando a HP-12C: 
1,02 enter 
360 (quero) enter 
30 (tenho) divide 
y x 
1 – 
100 x 
Exercícios 
1. Capitalizar as seguintes taxas: 
a) 2,3% ao mês para um ano 
b) 0,14% ao dia para 23 dias 
c) 7,45% ao trimestre para um ano 
d) 6,75% ao semestre para um ano 
e) 1,87% equivalente a 20 dias para um ano 
f) 1,8% ao mês para um trimestre 
2. Calcular a taxa composta a 34% ao ano para os seguintes prazos: 
a) 1 mês 
b) 1 quadrimestre 
c) 1 semestre 
d) 5 meses 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
21
2.3 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
TAXA NOMINAL - é aquela consignada nos contratos relativos a operações 
financeiras. É também conhecida como taxa contratada ou taxa oferecida. 
Na taxa nominal emprega-se uma unidade de tempo que não coincide com a unidade de 
tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é quase sempre fornecida em 
termos anuais. Assim, por exemplo: 
• 12% ao ano, com capitalização mensal; 
• 24% ao ano, com capitalização semestral; 
• 10% ao ano, com capitalização trimestral; 
• 18% ao ano, capitalizados diariamente; 
A taxa nominal é muito utilizada no mercado, quando da formalização dos negócios. 
Não é, porém, utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder, de fato, ao 
ganho/custo financeiro do negócio. 
 
TAXA EFETIVA – A Taxa Nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, 
que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. E essa taxa é 
sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples. 
Nos exemplos anteriores as taxas efetivas que estão implícitas nos enunciados das taxas 
nominais são: 
• 12% ao ano = 12% a.a. / 12 meses = 1% a.m. 
• 24% ao ano = 24% a.a. / 2 semestres = 12% a.s. 
• 10% ao ano = 10% a.a. / 4 trimestres = 2,5% ao trimestre 
• 18% ao ano = 18% a.a. / 360 dias = 0,050% ao dia 
 
Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos os cálculos 
financeiros, no regime de juros compostos. 
A taxa anual equivalente a esta taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal 
que lhe deu origem, pois esta equivalência é sempre feita no regime de juros compostos. 
 
Fórmula Taxa Efetiva: if = (1 + i/q)q – 1 
• 12% a.a. = (1 + 0,12/12)12 – 1 = (1,01)12 – 1 = 12,68% a.a. 
• 24% a.a. = (1 + 0,24/2)2 – 1 = (1,12)2 – 1 = 25,44% a.a. 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
22
• 10% a.a. = (1 + 0,10/4)4 – 1 = (1,025)4 – 1 = 10,38% a.a. 
• 18% a.a. = (1 + 0,18/360)360 – 1 = (1,0005)360 – 1 = 19,72% a.a. 
 
Exemplo: A caderneta de poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal a 
base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicação financeira. 
Taxa Efetiva: if = (1 + i/q)q – 1 = (1 + 0,06/12)12 –1 = (1,005)12 = 6,17% a.a. 
Exercícios 
1- Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, calcular o 
custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja: 
a) mensal 
b) trimestral 
c) semestral 
 
1- Para cada taxa nominal apresentada a seguir, pede-se calcular a taxa efetiva anual: 
a) 9% a.a. capitalizados mensalmente 
b) 14% a.a. capitalizados trimestralmente 
c) 15% a.a. capitalizados semestralmente 
d) 12% a.a. capitalizados anualmente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
23
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES JUROS COMPOSTOS 
1) Um sítio é posto a venda por $50.000,00 de entrada e $100.000,00 em 1 ano. Como 
opção o vendedor pede $124.000,00 á vista. Se a taxa de juros de mercado é de 
2,5% a.m., qual a melhor alternativa? 
2) Uma empresa obtém um empréstimo de $ 700.000 que será liquidado, de uma só 
vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, 
calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado. 
3) Um Certificado de Depósito Bancário (CDB) equivalente a $ 500,00 rende juros de 
15% ao ano. Sendo seu prazo de 243 dias, calcular o valor de resgate. 
4) Admita que uma pessoa irá necessitar de $33.000,00 em 11 meses e $47.000,00 em 
14 meses. Quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de investimento que 
oferece uma taxa efetiva de rentabilidade de 17% a.a.? 
5) A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de 
$820.000 no final de 1 ano e três meses. Calcular o valor dos juros. 
6) Um investidor aplicou a quantia de R$150.000,00 em um título de renda fixa 
resgatável no final do prazo de 12 meses. A taxa de juros composta aplicada ao título é 
4% ao mês. 
 
O valor de resgate do título no final do 12º mês é: 
a) R$ 222.000,00. 
b) R$ 240.154,83. 
c) R$ 294.230,77. 
d) R$ 306.000,00. 
7) Uma dívida apresenta as seguintes condições de pagamento: $ 6.200,00 vencíveis 
em certa data e $ 9.600,00 vencíveis 4 meses após. O devedor propõe uma 
renegociação da dívida nas seguintes condições: $3.000,00 após 3 meses do 
vencimento do primeiro pagamento original; $4.500,00 daí a 3 meses e o restante 5 
meses depois deste último pagamento. Para uma taxa efetiva de juros de 2,9% a.m., 
calcular o saldo a pagar. 
8) Capitalizar as seguintes taxas: 
a) 2,3% ao mês para um semestre 
b) 0,19% ao dia para um trimestre 
c) 7,45% ao trimestre para um mês 
9) Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicaçãode $ 68.700,00 que produz um 
montante de $ 82.084,90 ao final de 8 meses. 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
24
10) Em que prazo uma aplicação de $374.938, à taxa de 3,25% a.m., gera um resgate de 
$500.000. 
 
4 DESCONTOS 
Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título 
em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da 
operação. 
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma 
recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, o desconto 
pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor 
atualizado apurado n períodos antes do seu vencimento. 
Por outro lado, o valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, 
sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja: 
Valor Descontado = Valor Nominal – Desconto 
As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples 
como no de juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em 
operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para as operações de 
longo prazo. 
4.1 DESCONTO SIMPLES 
4.1.1 DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO” 
É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um 
compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento. 
Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal. 
Valor Descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto. 
N: Valor nominal (ou montante ou valor futuro) 
Vr: Valor atual ( ou valor descontado racional) 
n: Número de períodos antes do vencimento 
i: Taxa de desconto 
Dr: Valor do desconto 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
25
Temos: Vr = N 
 1 + i x n 
Tem-se: Dr = N – Vr 
Dr = N - N Dr = N (1+ i x n) – N 
 1 + i x n 1 + i x n 
Dr = N x i x n 
 1 + i x n 
Esta fórmula permite que seja obtido o valor do desconto racional, calculado para um 
dado valor nominal (N), a uma taxa de juros (i) e para um prazo de antecipação (n). 
O valor do desconto “por dentro” também é obtido multiplicando-se o Capital (ou Valor 
Presente) pela taxa de desconto i, e esse produto pelo prazo da operação n: 
Dr = C x i x n 
Como o valor presente é sempre incógnita, sendo normalmente conhecido o Valor 
Nominal, normalmente utilizaremos a fórmula citada anteriormente. 
O valor descontado de acordo com a definição, é dado por: 
 Vr = N – Dr 
Vr = N - 
N x i x n 
 Dr = N (1+ i x n) – N x i x n 
 1 + i x n 1 + i x n 
Vr = N 
 1 + i x n 
 
OBSERVE-SE QUE, EM JUROS SIMPLES, O VALOR DESCONTADO É O 
PRÓPRIO VALOR ATUAL. 
 
Exemplo: Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu 
vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40%a.a., qual o desconto e 
quanto vai obter? 
Temos: N = 5.500,00 
n = 3 meses 
i = 40% a.a. / 3,3333% a.m. 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
26
Calcular: 
a) O desconto: 
Dr = N x i x n 
 1 + i x n 
Dr = 5.500,00 x 0,033 x 3 5.500,00 x 0,10 550,00 
 1 + 0,033 x 3 1 + 0,10 1,10 
 Dr = $ 500,00 
 
b) Valor Descontado 
 Vr = 5.500,00 – 500,00 = $ 5.000,00 
ou 
Vr = N 5.500,00 5.500,00 $ 5.000,00 
 1 + i x n 1 + 0,10 1,10 
 
 
Exercícios 
1. Determinar o desconto racional das hipóteses seguintes: 
a) Valor Nominal: $ 10.000,00 / Taxa: 23% a.a. / Prazo: 3 meses 
b) Valor Nominal: $ 7.500,00 / Taxa: 29% a.a. / Prazo: 100 dias 
 
2. Determinar o valor atual racional dos seguintes títulos: 
a) Valor Nominal: $ 20.000,00 / Taxa: 15,9% a.a. / Prazo: 50 dias 
b) Valor Nominal: $ 12.500,00 / Taxa: 21% a.a. / Prazo: 125 dias 
 
3. Quanto devo pagar por um título no valor nominal de $ 15.000,00 com vencimento 
em 150 dias se quero ganhar 36% a.a.? 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
27
4.1.2 DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO “POR FORA” 
É aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valo nominal do 
compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento. 
Observe que, ao contrário dos juros “por dentro”, que calculam os encargos sobre 
o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, sobre o valor presente, o 
critério “por fora” apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais ao 
tomador de recursos. 
Dc: desconto comercial 
Vc: valor atual (ou valor descontado comercial) 
Obtém-se o valor do desconto comercial aplicando-se a definição: 
Dc = N x i x n 
 
E o valor descontado comercial: 
Vc = N – Dc Vc = N - N x i x n 
Vc = N (1 – i x n) 
 
Exemplo: Consideraremos o exemplo do item anterior, em que o título de $ 5.500,00 
é descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antes do vencimento. 
a) Desconto Comercial 
Dc = N x i x n 
Dc = 5.500,00 x 0,0333 x 3 = $ 550,00 
 
b) Valor Descontado Comercial 
Vc = N (1 – i x n) 
Vc = 5.500,00 x (1 - 0,0333 x 3) 
Vc = 5.500,00 x 0,9 
Vc = $ 4.950,00 
Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto comercial, que é menos que os $ 
5.000,00 que receberia se o desconto fosse racional. 
É evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comercial a taxa de desconto 
utilizada não é mais igual à taxa de juros simples capaz de reproduzir o montante. 
Observa-se que, se o banco ganha $550,00 sobre um valor de $ 4.950,00, em 3 
meses, a taxa de juros da operação é: 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
28
i = 550,00 = 0,111 ao trimestre 
 4.950,00 
ou i = 0,044 ao ano 
Note-se então que, no desconto comercial, é preciso distinguir entre a taxa de 
desconto utilizada na operação e a taxa implícita que é cobrada de fato. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Calcular o desconto comercial das hipóteses seguintes: 
a) Valor Nominal: $ 12.500,00 / Taxa: 37% a.a. / Prazo: 250 dias 
b) Valor Nominal: $ 18.000,00 / Taxa: 35% a.a. / Prazo: 3 meses 
 
2. Se o desconto comercial for de $ 1.125,00, qual será o valor nominal, se a taxa 
considerada for de 27% a.a. e o prazo de antecedência 100 dias? 
 
3. Uma nota promissória foi descontada 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 
26% a.a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de $ 18.266,67, qual seria seu 
valor nominal ? 
 
4. O valor atual de um título é de $ 23.600,00, considerando-se a taxa de 28% a.a. 
e o prazo de antecipação de 72 dias. Pergunta-se: Qual o desconto comercial? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
29
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DESCONTO SIMPLES 
 
1. Um título cujo resgate foi efetuado 145 dias antes do vencimento foi negociado à 
taxa de 23% a.a. Qual era o valor nominal do título, uma vez que o valor atual 
racional recebido foi de $ 1.921,95? 
2. Valor nominal de uma promissória com vencimento em 15/11/2003 é de $ 2.700,00. 
Se o dinheiro valer 36% a.a. e a promissória for saldada dia 19/08/2003, de quanto 
será o desconto por dentro obtido? Qual o valor atual? 
3. Se a taxa de juros corrente for de 30% a.a., qual será o valor atual comercial se o 
desconto de um título no valor de $ 18.000,00 ocorrer 90 dias antes de seu 
vencimento? 
5 FLUXO DE CAIXA (ANUIDADES) 
 
Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se 
estima ocorrer em determinado intervalo de tempo. 
É bastante comum, na prática defrontar-se com operações financeiras que se 
representam por um fluxo de caixa. Por exemplo, empréstimos e financiamentos de 
diferentes tipos costumam envolver uma seqüência de desembolsos periódicos de caixa. 
Demaneira idêntica, têm-se os fluxos de pagamento/recebimentos de aluguéis, de 
prestações oriundas de compras a prazo, etc. 
Existem dois modelos de fluxo de caixa: 
• Uniforme – que representa uma característica de formação - padrão. É entendido 
como o modelo - padrão de uma sucessão de pagamentos e recebimentos. 
• Não - convencionais 
Os termos dos fluxos de caixa são genericamente simbolizados por PMT, sendo para as 
demais variáveis empregadas a mesma simbologia adotada anteriormente (PV, FV, n, i). 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
30
5.1 UNIFORME (MODELO – PADRÃO) 
Os fluxos de caixa podem ser representados sob diferentes formas e tipos exigindo cada 
um deles um tratamento específico em termos de formulações. 
Esquematicamente, os fluxos de caixa são identificados com base nas seguintes 
Classificações: 
 Postecipados 
1. Período de Ocorrência Antecipados 
 
Diferidos 
2. Periodicidade Periódicos 
 
Não periódicos 
3. Duração Limitados (Finitos) 
 
Indeterminados (Indefinidos) 
4. Valores Constantes 
 Variáveis 
O modelo – padrão de um fluxo de caixa, é verificado quando os termos de uma 
sucessão de pagamentos ou recebimentos apresentam, ao mesmo tempo, as seguintes 
classificações: 
a) Postecipados: indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a 
ocorrer ao final do primeiro pagamento. 
b) Limitados: o prazo total do fluxo de caixa é conhecido a priori, sendo finito o 
número de termos (pagamentos e recebimentos). 
c) Constantes – indica que os valores dos termos que compõe o fluxo de caixa são 
iguais entre si. 
d) Periódicos: é quando os intervalos entre os termos do fluxo são idênticos entre si. 
Ou seja, o tempo entre um fluxo e outro é constante. 
Graficamente, o fluxo de caixa uniforme (padrão) é representado da forma seguinte: 
 
 
 
 
 
PV PMT
0 n (tempo)1 2 3 n - 1
PMT PMT PMTPMT
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
31
5.1.1 VALOR PRESENTE 
O Valor presente de um fluxo de caixa uniforme, conforme discutido no item 
precedente, para uma taxa periódica de juros, é determinado pelo somatório de valores 
presentes de cada um de seus valores. 
Reportando-se à representação gráfica do fluxo - padrão apresentado, tem-se: 
 
Logo: 
PV = PMT + PMT + PMT + ......... PMT + PMT 
 (1+i) (1+1)2 (1+i)3 (1+i)n-1 (1+i)n 
 
 
 
Fórmula Valor Presente Fluxo de Caixa Uniforme: 
PV = PMT x 1 – (1 + i) -n 
 i 
Exemplo: Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e 
consecutivos de $ 4.000,00. Para uma taxa de juros de 2,6% a.m., até que preço 
compensa adquirir o bem à vista? 
PMT = $ 4.000,00 
i = 2,6% a.m. 
n = 7 
PV = ? 
PV = PMT x 1 – (1+i) –n 4.000,00 x 1 – (1,026)-7 
 i 0,026 
 PV = 4.000,00 x 6,325294 = $ 25.301,17 
 
 
 
 
PMT
PV
0 n (tempo)
PMT PMT PMT PMT
1 2 3 n - 1
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
32
Utilizando a HP-12C: 
4000 CHS PMT 
2,6 i 
7 n 
PV 
25.301,17 
 
5.1.2 VALOR FUTURO 
O valor futuro, para determinada taxa de juros por período, é a soma dos montantes de 
cada um dos termos da série de pagamentos/recebimentos. Graficamente tem-se a 
seguinte representação: 
 
 
O valor futuro pelo padrão ocorre junto com o último termo do fluxo de caixa. 
Capitalizando-se cada um dos valores da série, apura-se a seguinte expressão: 
 
FV = PMT + PMT x (1+i) + PMT x (1+i)2 + PMT x (1+i)3 +...+ PMT x (1+i)n-1 
 
Fórmula Valor Futuro (Montante) de um Fluxo de Caixa uniforme 
 
FV = PMT x (1 + i)n -1 
 
 
 
 
i 
 
 
 
PMT
FV
0 n (tempo)1 2 3 n - 1
PMT PMT PMT PMT
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
33
Exemplo: Calcular o Valor Futuro (montante) acumulado ao final do 7º mês de uma 
seqüência de 7 depósitos mensais e sucessivos, no valor de $ 800,00 cada, numa conta 
de poupança que remunera a uma taxa de juros de 2,1% a.m. 
n = 7 
i = 2,1% a.m. 
PMT = $800,00 
FV = ? 
 
FV = PMT x (1+i)n -1 800,00 x (1,021)7 - 1 
 i 0,021 
 FV = 800,00 x 7,456763 = $ 5.965,41 
 
Utilizando a HP-12C: 
800 CHS PMT 
2,1 i 
7 n 
FV 
5.965,41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
34
Exercícios 
1. Que montante obterá uma pessoa que deposite periodicamente $100,00, conforme 
prazos e taxas a seguir: 
a) 24 meses – 1% a.m. 
b) 10 trimestres – 15% a.t. 
c) 20 semestres – 20% a.s. 
2. Um terreno é vendido por $ 10.000,00 de entrada e 36 prestações mensais de $ 
500,00. Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado é de 2,5% a.m., até que 
preço vale a pena comprar o terreno à vista? 
3. Calcular a prestação referente a uma mercadoria, cujo preço a vista é de $ 
10.000,00, caso ocorram as seguintes hipóteses sobre as taxas e respectivos prazos: 
a) Taxa Juros: 2,5% a.m. / Prazo: 12 meses 
b) Taxa Juros: 3% a.m. / Prazo: 12 meses 
4. Numa seção de classificados anuncia-se uma casa por R$ 250.000,00 a vista ou em 
4 prestações trimestrais de $ 77.600,00. Qual a melhor opção de compra, uma vez 
que a taxa de juros correntes é de 10% a.t. 
5. Um sítio é posto a venda por $ 300.000,00 a vista, ou a prazo nas seguintes 
condições: 10% de entrada e o restante em 50 meses, juros de 3% a.m. Qual o valor 
das prestações? 
6. Uma loja de eletrodomésticos oferece o seguinte plano na venda de um refrigerador: 
a) Entrada = $ 1.000,00 mais 6 prestações mensais de $ 181,55 
b) Entrada = $ 500,00 mais 12 prestações mensais de $ 148,01 
Sendo a taxa de mercado 2% a.m., qual a melhor alternativa? 
7. Certa agência de viagens diz financiar a juros de 1,2% a.m. Sua sistemática no 
financiamento de $ 10.000,00 em 12 meses é a seguinte: 
1,2% x 12 meses = 14,4% a.a. 
10.000 x (1,144) = $ 11.440,00 
11.440 : 12 = $ 953,33 
Portanto, o cliente irá pagar 12 prestações de $ 953,33. A taxa de juros é realmente de 
1,2% a.m.? Se não for, qual seria então o valor da prestação nesta taxa? 
8. Em quantas prestações mensais de $ 1.004,62 será pago um título de um clube de 
campo, se seu valor a vista for de $ 10.000,00 e a taxa contratada for de 3% a.m.? 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
35
9. Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se 
processando nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00. Considerar que a instituição 
paga 2,5% a.m. sobre o saldo credor. 
 
10. Certo executivo, pretendendo viajar durante 12 meses, resolve fazer 6 depósitos 
mensais em uma financeira, para que sua esposa possa efetuar 12 retiradas mensais 
de $ 20.000,00, durante o período de sua viagem. A primeira retirada ocorrerá 1 mês 
após o último depósito. Se a financeira paga 3% a.m., de quanto devem ser os 
depósitos? 
 
11. Uma empresa está analisando a melhor opção para aquisição de uma máquina. 
As seguintes opções estão sendo analisadas: 
 
Opção 1 Adquirir a máquina do Fornecedor A, à vista, por R$200.000,00. Para 
tanto, a empresa terá que obter um empréstimo de R$200.000,00 com 
juros compostos de 2%a.m. no Banco X, a ser pago em três parcelas de 
igual valor, vencendo a primeira parcela um mês após a data da 
liberação do empréstimo. 
 
Opção 2 Adquirir a máquina do Fornecedor B, em três parcelas mensais 
sucessivas de R$70.000,00, vencendo a primeira parcela um mês após 
a data da compra. 
 
Com base nos dados informados, é CORRETO afirmar que: 
 
a) É mais vantajosa a opção 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco 
X é igual a R$69.350,93. 
 
b) É mais vantajosa a opção 1, umavez que a parcela mensal a ser paga ao Banco 
X é igual a R$68.000,00. 
 
c) É mais vantajosa a opção 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco 
X é igual a R$70.747,20. 
 
d) É mais vantajosa a opção 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao BancoX é 
igual a R$70.666,67. 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
36
5.2 NÃO CONVENCIONAIS 
PERÍODO DE OCORRÊNCIA 
 
� Diferimento (Carência) 
 
O diferimento indica que os termos da série começam a ocorrer após o final do primeiro 
período, conforme ilustrado no gráfico. 
Em suma, a base de comparação para se definir uma carência é o final do primeiro 
período. 
A determinação do montante de um fluxo de caixa com carência segue a formulação 
desenvolvida do modelo – padrão. Deve ser ressaltado que nesse caso n representa o 
número de termos da série, e não o seu prazo total. 
A formulação do valor presente, no entanto, requer um pequeno ajuste, de forma a ser 
expresso na data zero, ou seja: 
 
PV = PMT x 1 – (1 + i) -n x ( 1+i) -c 
 
 
i 
 
Exemplo: 
 
Observe que o fluxo de caixa apresenta um prazo total de 9 períodos, sendo o número 
de termos igual a 7 (n = 7), e a carência de 2 períodos ( c = 2). 
Para uma taxa de juros de 2,2% por período, têm-se os seguintes resultados: 
 
 
 
0 1 n (tempo)
PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT
2 3 4 5 6 7
Carência
0 1 9 (tempo)
100,00
8
Carência ( C=2)
100,00 100,00 100,00
2 3 4 5 6 7
100,00 100,00100,00
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
37
Valor Presente: 
PV = 100,00 x 1 – (1,022)-7 x (1,022) –2 
 0,022 
 PV = 100 x 6,4225 x 0,957410 = $614,90 
 
Valor Futuro: 
FV = 100,00 x (1,022)7 – 1 
 0,022 
 FV = 100,00 x 7.4793 = $747,93 
 
VALORES 
 
No que se refere aos valores, os termos de caixa podem ser constantes, se os fluxos de 
caixa apresentarem-se sempre iguais, ou variáveis, se os fluxos não forem sempre iguais 
entre si. 
Para os fluxos não - convencionais, os valores de caixa apresentam-se desiguais e 
portanto seu valor presente calculado pela soma dos valores atualizados de cada um de 
seus termos. O valor futuro, por seu lado, é determinado pelo somatório dos montantes 
de cada um dos termos ou, ainda, capitalizando-se o valor presente para a data futura. 
Por exemplo: admita o seguinte fluxo de caixa, para uma taxa de juros de 4% a.a., 
durante 5 anos: 
 
Valor Presente: 
PV = 80,00 + 126,00 + 194,00 + 340,00 + 570,00 
 (1,04) (1,04)² (1,04)3 (1,04)4 (1,04)5 
 PV = 76,92 + 116,49 + 172,46 + 290,63 + 468,50 
 PV = $ 1.125,00 
 
 
 
 
570,00
0 1 5 (tempo)2 3 4
80,00 126,00 194,00 340,00
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
38
Valor Futuro: 
 FV = 570,00 + 340,00(1,04) + 194,00(1,04)² + 126,00(1,04)3 + 80,00(1,04)4 
 FV = 570,00 + 353,60 + 209,83 + 141,73 + 93,59 
 FV = $1.368,80 
ou FV = 1.125,00 x (1,04)5 = $1.368,80 
 
Na HP 12c – Valor Presente 
0 g Cfo 
80 g Cfj 
126 gCfj 
194 gCfj 
340gCfj 
570 gCfj 
4 i 
f PV 
1.125,01 
 
Na HP 12c – Valor Futuro 
1.125,01 CHS PV 
4 i 
5 n 
FV 
1.368,75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
39
 PERIODICIDADE 
 
� Não periódicos 
Se os termos se verificarem em intervalos irregulares (diferentes entre si), tem–se o que 
se denomina de fluxos de caixa não - periódicos. 
O gráfico a seguir ilustra um fluxo de caixa não periódico, onde os valores não se 
verificam uniformemente em termos de periodicidade. 
 
 
Tanto o calculo do valor presente, como do valor futuro, devem ser processados, 
respectivamente, pela somatória da atualização e capitalização de cada um dos termos. 
Ilustrativamente, admita o seguinte fluxo de caixa não periódico: 
 
Para uma taxa de juros de 1,9% a.m., tem-se: 
 
Valor Presente: 
PV = 100,00 + 100,00 + 100,00 + 100,00 + 100,00 
 (1,019)³ (1,019)4 (1,019)8 (1,019)10 
 PV = 100,00 + 94,51 + 92,75 + 86,02 + 
82,84 
 PV = 456,12 
 
Valor Futuro: 
 FV = 100,00 + 100,00(1,019)2 + 100,00(1,019)6 + 100,00(1,019)7 + 100,00(1,019)10 
 FV = 100,00 + 103,84 + 119,96 + 114,08 + 120,71 
 FV = $550,58 
ou FV = 456,12 x (1,019)10 = $550,58 
 
 
0 1 10 (tempo)6
3 períodos 2 períodos 4 períodos
4
PMT PMT PMT 100,00
0 10
100,00100,00
3 4 8
100,00100,00 100,00
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
40
 
Na HP 12c – Valor Presente 
100 g Cfo 
0 g Cfj 
2 gNj 
100gCfj 
100 gCfj 
0 gCfj 
3 gNj 
100 g Cfj 
0 gCfj 
100 g Cfj 
1,9 i 
f PV 
456,12 
 
Na HP 12c – Valor Futuro 
456,12 CHS PV 
1,9 i 
10 n 
FV 
550,58 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
41
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOS 
1- Um financiamento no valor de $ 6.800,00 é concedido para pagamento em 10 
prestações mensais e iguais com 2 meses de carência. Sendo de 3,6% a.m. a taxa de 
juros, calcular o valor de cada pagamento mensal. 
2- Em um anúncio de uma loja de vendas a crédito informa-se que, pela compra de 
certo televisor, o cliente pagará 12 prestações mensais de $ 119,96, vencendo a primeira 
prestação no fim do 6º mês. Qual será o preço a vista deste aparelho, se a taxa de juros 
for de 3% a.m.? 
3- De quanto deve ser a prestação mensal de um eletrodoméstico, cujo preço a vista é 
de R$ 5.000,00, se a primeira prestação ocorrer 3 meses após a compra? Considerar a 
taxa de 2% a.m. e um total de 22 prestações. 
4- Pedro vende a seu amigo um carro usado, permitindo que este lhe pague conforme 
puder no prazo de uma ano, sendo cobrados juros de 1% a.m. sobre o saldo devedor. 
João recebe os seguintes pagamentos: $5.000,00 de entrada, $4.000,00 a 1 mês, 
$6.000,00 a 2 meses, $1.000,00 a 3 meses e $3.000,00 a 4 meses. Qual é o valor do 
carro a vista, uma vez que todos estes pagamentos saldaram toda a dívida? 
5- Determinar o valor presente (PV) do fluxo identificado a seguir. Admita uma taxa de 
juros de 2,9% ao mês: 5 prestações mensais e sucessivas de, respectivamente, $ 
4.200,00, $ 5.300,00, $ 7.700,00, $ 10.900,00 e $ 15.000,00. 
6- Em uma instituição que paga 2,5% a.m. foram feitos 6 depósitos mensais, que pela 
ordem cronológica foram: $ 300,00, $ 100,00, $ 50,00, $ 500,00, $200,00 e $ 400,00. 
Qual o montante após o último depósito? 
7- Determinar o valor presente (PV) do fluxo identificado a seguir. Admita uma taxa de 
juros de 2,9% ao mês: 6 prestações iguais de $ 1.200,00 cada, com vencimentos, 
respectivamente, no 3º mês, 7º mês, 11º mês, 25º mês, 28º mês e 33º mês 
8- Um terreno é vendido mediante entrada de $ 10.000,00 e 3 parcelas, sendo a primeira 
de $ 2.000,00 para 3 meses, a Segunda de $ 6.000,00 para 8 meses e a última de $ 
20.000,00 para 12 meses. Sabendo-se que a taxa vigente no mercado é de 35% a.a., qual 
o preço a vista do terreno? 
9- Uma pessoa abre uma conta em uma instituição financeira que paga 2% a.m. sobre o 
saldo credor, depositando $15.000,00. Após 6 meses, necessitando de dinheiro, retira 
$7.000,00. Nos dois meses seguintes, deposita, sendo $1.000,00 no primeiro e 
$2.000,00 no segundo. Trinta dias após o último depósito, o correntista efetua um saque 
de $5.000,00. Qual é o saldo desta conta, um ano após sua abertura? 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
42
10- Uma imobiliária oferece, em lançamento, uma pequena chácara nas seguintes 
condições: 
$20.000,00 de entrada, mais 36 prestações mensais de $ 1.000,00 e, após estas, 
mais 6 parcelas semestrais de $ 4.000,00 
Qual o preço a vista da chácara, uma vez que a taxa de mercado é de 3% ao mês? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
43
6 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 
 
Os Sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de 
empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do 
principal e encargos financeiros. 
Para cada sistema de amortização é construída uma planilha financeira, a qual relaciona 
dentro de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos. 
São consideradas também modalidades de pagamento com e sem carência. Na carência, 
não há pagamento do principal, sendo amortizado somente os juros. 
 
6.1 DEFINIÇÕES BÁSICAS 
Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam, basicamente, da 
forma pela qual o principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor do 
capital. 
Vamos definir os principais termos empregados nas operações de empréstimos e 
financiamento. 
Encargos (Despesas) Financeiros – representam os juros da operação, caracterizando-
se como custo para o devedor e retorno para o credor. 
Amortização – a amortização refere-se exclusivamente ao pagamento do principal 
(capital emprestado), o qual é efetuado, geralmente, mediante parcelas periódicas. 
Saldo devedor – representa o valor do principal da dívida, em determinado momento, 
após a dedução do valor já pago ao credor a título de amortização. 
Prestação – é composto do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos 
em determinado período de tempo. Assim: 
Prestação = Amortização + Encargos financeiros 
Carência – corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o 
pagamento da primeira amortização. Durante o prazo de carência, portanto, o tomador 
do empréstimo só paga os juros. É possível também que as partes concordem em que os 
juros devidos no prazo de carência sejam capitalizados e pagos posteriormente. Neste 
caso, não haverá desembolso de juros durante a carência. 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
44
6.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
O Sistema de Amortização Constante (SAC), como o próprio nome indica, tem como 
característica básica serem as amortizações do principal sempre iguais (ou constantes) 
em todo o prazo da operação. O valor da amortização é facilmente obtido mediante a 
divisão do capital emprestado pelo número de prestações. 
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o 
pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos. 
Admita que um empréstimo de $100.000,00 deva ser pago, dentro de um prazo de 5 
anos, em 10 prestações semestrais e taxa de 30% a.a. . Desconsiderando inicialmente a 
existência de um prazo de carência, pode-se elaborar a seguinte planilha financeira para 
a operação de empréstimo. 
 
Conforme foi comentado, o SAC determina que a restituição do principal (capital 
emprestado) seja efetuada em parcelas iguais. Assim, o valor de cada amortização, 
devida semestralmente é calculado pela simples divisão entre o principal ($100.000,00) 
e o número fixado de prestações (10 semestres), ou seja: 
Amortização = Valor do Empréstimo = $100.000,00 = $10.000,00/semestre 
 nº de prestações 10 
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente anterior, apresentam 
valores aritmeticamente decrescentes. Para o final do primeiro semestre, os encargos 
financeiros somam: 14,0175% x 100.000,00 = $14.017,50; para o final do segundo 
semestre: 14,0175% x 90.000,00 = $12.615,75 e assim por diante. 
Somando-se, para cada período, o valor da amortização do principal com os respectivos 
encargos financeiros , tem-se o valor da prestação semestral do financiamento. Assim, 
para o primeiro semestre a prestação atinge:$10.000,00 + $14.017,50 = $24.017,50; 
P eríodo S aldo A m ort iz aç ão Juros P res taç ão
S em es tres Devedor
0 $100.000,00
1 $90.000,00 $10.000,00 $14.017,50 $24.017,50
2 $80.000,00 $10.000,00 $12.615,75 $22.615,75
3 $70.000,00 $10.000,00 $11.214,00 $21.214,00
4 $60.000,00 $10.000,00 $9.812,25 $19.812,25
5 $50.000,00 $10.000,00 $8.410,50 $18.410,50
6 $40.000,00 $10.000,00 $7.008,75 $17.008,75
7 $30.000,00 $10.000,00 $5.607,00 $15.607,00
8 $20.000,00 $10.000,00 $4.205,25 $14.205,25
9 $10.000,00 $10.000,00 $2.803,50 $12.803,50
10 $0,00 $10.000,00 $1.401,75 $11.401,75
To ta l $100.000,00 $77.096,25 $177.096,25
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
45
para o segundo semestre: $10.000,00 + $12.615,75 = $22.615,75; e assim 
sucessivamente. 
 
6.1.1 SAC com Carência 
Conforme foi comentado, a ilustração desenvolvida não previu a existência de prazo de 
carência para a amortização do empréstimo. Ao se supor uma carência de 2 anos 
(contada a partir do final do primeiro semestre), podemos ter a seguinte situação: 
Aqui os juros são pagos durante a carência estipulada. Assim, ao final dos quatro 
primeiros semestres, a prestação, constituída unicamente dos encargos financeiros, 
atinge $14.017,50, ou seja, 14,0175% x $100.000,00. A partir do quinto semestre, tendo 
sido encerrada a carência de 2 anos (4 semestres), inicia-se a amortização (devolução) 
do principal emprestado, sendo o fluxo de prestações, deste momento em diante, 
idêntico ao desenvolvido anteriormente. 
 
 
6.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (SAF) 
O sistema de Amortização Francês (SAF), amplamente adotado no mercado financeiro 
do Brasil, estipula, que ao contrário do SAC, que as prestações devem ser iguais, 
periódicas e sucessivas. 
Equivalem, em outras palavras, ao modelo - padrão de fluxos de caixa. 
P e ríod o S a ld o A m o rt iz a ç ã o Ju ro s P re s ta ç ã o
S e m e s t res D e ved o r
0 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 
1 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 1 4 .0 1 7 ,5 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 
2 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 1 4 .0 1 7 ,5 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 
3 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 1 4 .0 1 7 ,5 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 
4 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 - 1 4 .0 1 7 ,5 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 
5 9 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 4 .0 1 7 ,5 0 2 4 .0 1 7 ,5 0 
6 8 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 2 .6 1 5 ,7 5 2 2 .6 1 5 ,7 5 
7 7 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 1 .2 1 4 ,0 0 2 1 .2 1 4 ,0 0 
8 6 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 9 .8 1 2 ,2 5 1 9 .8 1 2 ,2 5 
9 5 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 8 .4 1 0 ,5 0 1 8 .4 1 0 ,5 0 
1 0 4 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 7 .0 0 8 ,7 5 1 7 .0 0 8 ,7 5 
1 1 3 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 5 .6 0 7 ,0 0 1 5 .6 0 7 ,0 0 
1 2 2 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 4 .2 0 5 ,2 5 1 4 .2 0 5 ,2 5 
1 3 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 0 .0 0 0 ,0 0 2 .8 0 3 ,5 0 1 2 .8 0 3 ,5 0 
1 4 1 0 .0 0 0 ,0 0 1 .4 0 1 ,7 5 1 1 .4 0 1 ,7 5 
T o ta l 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 1 3 3 .1 6 6 ,2 5 2 3 3 .1 6 6 ,2 5 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
46
Os juros por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de 
amortização assumem valores crescentes. A soma destas parcelas permanece sempre 
igual ao valor da prestação. 
Com o intuito de melhor desenvolver a compreensão do sistema francês, vamos 
considerar o exemplo proposto anteriormente. O quadro a seguir, identifica a planilha 
financeira deste sistema, a qual é mais bem elaborada partindo-se da última coluna para 
a primeira. Isto é, calcula-se inicialmente as prestações e, posteriormente, para cada 
período, os juros e, por diferença,as parcelas de amortização e o respectivo saldo 
devedor. 
 
As prestações semestrais são determinadas pela aplicação a fórmula de valor presente 
do modelo-padrão: 
 
PV = PMT x 1 – (1 + i) -n 
 i 
Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação, tem-se: 
 
100.000,00 = PMT x 1 – (1,140175)-10 
 0,140175 
 
100.000,00 = PMT x 5,212555 
 
PMT = 100.0000,00 = $19.184,45/semestre 
 5,212555 
P e ríod o S a ld o A m o rt iz a ç ã o Ju ro s P re s ta ç ã o
S e m e s t res D e ved o r
0 $ 1 0 0 .0 0 0 ,0 0
1 $ 9 4 .8 3 3 ,0 5 $ 5 .1 6 6 ,9 5 $ 1 4 .0 1 7 ,5 0 $ 1 9 .1 8 4 ,4 5
2 $ 8 8 .9 4 1 ,8 2 $ 5 .8 9 1 ,2 3 $ 1 3 .2 9 3 ,2 2 $ 1 9 .1 8 4 ,4 5
3 $ 8 2 .2 2 4 ,8 0 $ 6 .7 1 7 ,0 3 $ 1 2 .4 6 7 ,4 2 $ 1 9 .1 8 4 ,4 5
4 $ 7 4 .5 6 6 ,2 1 $ 7 .6 5 8 ,5 9 $ 1 1 .5 2 5 ,8 6 $ 1 9 .1 8 4 ,4 5
5 $ 6 5 .8 3 4 ,0 8 $ 8 .7 3 2 ,1 3 $ 1 0 .4 5 2 ,3 2 $ 1 9 .1 8 4 ,4 5
6 $ 5 5 .8 7 7 ,9 2 $ 9 .9 5 6 ,1 6 $ 9 .2 2 8 ,2 9 $ 1 9 .1 8 4 ,4 5
7 $ 4 4 .5 2 6 ,1 6 $ 1 1 .3 5 1 ,7 6 $ 7 .8 3 2 ,6 9 $ 1 9 .1 8 4 ,4 5
8 $ 3 1 .5 8 3 ,1 6 $ 1 2 .9 4 3 ,0 0 $ 6 .2 4 1 ,4 5 $ 1 9 .1 8 4 ,4 5
9 $ 1 6 .8 2 5 ,8 8 $ 1 4 .7 5 7 ,2 8 $ 4 .4 2 7 ,1 7 $ 1 9 .1 8 4 ,4 5
1 0 ($ 0 ,0 0 ) $ 1 6 .8 2 5 ,8 8 $ 2 .3 5 8 ,5 7 $ 1 9 .1 8 4 ,4 5
T o ta l $ 1 0 0 .0 0 0 ,0 0 $ 9 1 .8 4 4 ,4 9 $ 1 9 1 .8 4 4 ,4 9
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
47
Os demais valores da planilha são mensurados de forma seqüencial em cada um dos 
períodos. Assim, para o primeiro semestre, tem-se: 
 
• Juros (calculado sobre o saldo devedor imediatamente anterior): 
14,0175% x $100.000,00 = $14.017,50 
• Amortização (obtida pela diferença entre o valor da prestação e o dos juros 
acumulados para o período): 
$19.184,45 - $14.017,50 = $5.166,95 
• Saldo devedor (Saldo anterior no momento zero – Parcela de amortização do 
semestre): 
$100.000,00 - $5.166,95 = $94.833,05 
 
Para o segundo semestre, os cálculos são os seguintes: 
• Juros: 14,0175% x 94.833,05 = $13.293,22 
• Amortização: $19.184,45 - $13.293,22 = $5.891,23 
• Saldo Devedor: $94.833,05 - $5.891,23 = $88.941,82 
e assim por diante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
48
6.2.1 SAF (Com carência) 
Identicamente aos demais sistemas, no SAF podem verificar-se períodos de carência, 
nos quais os encargos financeiros são pagos durante a carência. 
 
O sistema francês, com carência e pagamento dos juros no período, conforme ilustrado 
no quadro acima, segue basicamente o mesmo esquema anterior (SAF sem carência), 
diferenciando-se unicamente nas prestações dos quatro primeiros semestres (carência). 
Nestes períodos estão previstos somente pagamentos de $14.017,50 referentes aos juros 
do principal não amortizado (14,0175% x $100.000,00). Para os demais semestres, o 
raciocínio é idêntico ao formulado anteriormente, apurando-se prestações com valores 
constantes, juros decrescentes e amortizações crescentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Período Saldo Amortização Juros Prestação
Semestres Devedor
0 $100.000,00 $0,00
1 $100.000,00 $0,00 $14.017,50 $14.017,50
2 $100.000,00 $0,00 $14.017,50 $14.017,50
3 $100.000,00 $0,00 $14.017,50 $14.017,50
4 $100.000,00 $0,00 $14.017,50 $14.017,50
5 $94.833,05 $5.166,95 $14.017,50 $19.184,45
6 $88.941,82 $5.891,23 $13.293,22 $19.184,45
7 $82.224,80 $6.717,03 $12.467,42 $19.184,45
8 $74.566,21 $7.658,59 $11.525,86 $19.184,45
9 $65.834,08 $8.732,13 $10.452,32 $19.184,45
10 $55.877,92 $9.956,16 $9.228,29 $19.184,45
11 $44.526,16 $11.351,76 $7.832,69 $19.184,45
12 $31.583,16 $12.943,00 $6.241,45 $19.184,45
13 $16.825,88 $14.757,28 $4.427,17 $19.184,45
14 ($0,00) $16.825,88 $2.358,57 $19.184,45
Total 100.000,00 147.914,49 247.914,49 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
49
Exercícios 
1) Um empréstimo no valor de $420.000,00 foi concedido a uma empresa nas 
seguintes condições: 
• Taxa de juros: 5% a.t. 
• Amortização: pagamentos trimestrais 
• Prazo de Amortização: 3 anos. 
Pede-se: elaborar a planilha financeira para amortização pelo sistema SAC. 
 
a) Sem carência 
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
TOTAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
50
b) Com carência de 2 trimestres 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
51
2) Com base no exercício número 1, monte uma planilha financeira usando o sistema 
de amortização francês, admitindo que: 
a) Sem carência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
52
b) Com carência de 2 trimestres 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
53
3) Um banco concede um financiamento de $660.000,00 para ser liquidado em 8 
pagamentos mensais pelo sistema SAC. A operação é realizada com uma carência de 3 
meses, sendo somente os juros pagos neste período. Para uma taxa efetiva de juros de 
2,5% ao mês, elaborar a planilha de desembolsos deste financiamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Jausson Monteiro Vicente 
 
Matemática Financeira 
 
54
4) Um equipamento no valor de $1.200.000,00 está sendo financiado por um banco 
pelo prazo de 6 anos. A taxa de juros contratada é de 15% ao ano, e as amortizações 
anuais são efetuadas pelo sistema francês. O banco concede ainda uma carência de 2 
anos para início dos pagamentos, sendo os juros cobrados neste intervalo de tempo. 
Elaborar a planilha financeira deste empréstimo.