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Geometria Analítica e Álgebra Linear 8,0

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Relatório de prova de Álgebra Linear com questões objetivas sobre matrizes (produto, inversa, determinantes), números complexos (produto e argumento), espaços vetoriais, bases e dependência, polinômios P2 e transformações lineares; inclui respostas e pontuação por questão.

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Alecx Wanubio Mendes

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Questões resolvidas

Sabendo-se que as matrizes $A, X$ e $B$ são definidas como:

$$A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right]$$
encontre os valores das variáveis $x$ e $y$, de modo que a equação matricial $A X=B$ seja satisfeita.
a. $x=2 / 3$ e $y=3 / 7$.
b. $x=-1$ e $y=-4$.
c. $x=3 / 2$ e $y=-1$.
d. $x=1$ e $y=-1$.
e. $x=2$ e $y=3$.

Para que $(6-3) \cdot(k+6 i)$ seja um número real, o valor de $k$ deverá ser:
a. $k=-18$
b. $k=0$
c. $k=12$
d. $k=-12$
e. $k=18$

Se $F$ é o espaço das matrizes $2 \times 2$ de coeficientes reais e $u$ pertence a $F$, assinale a afirmação correta sobre as leis de $F$ em $F$.
a. $E(u)=u^{T}$ é uma transformação não linear.
b. Fixado $v \in F, C(u)=u \cdot v$ é uma transformação linear.
c. Fixado $v \in F, B(u)=u+v$ é uma transformação linear.
d. $A(u)=u \cdot u^{T}$ é uma transformação linear.
e. $D(u)=u^{-1}$ é uma transformação linear.

Os conceitos de dependência e independência linear estão relacionados à geometria de espaços gerados, como na relação de paralelismo. Determine qual dos pares de vetores a seguir é um par de vetores paralelos.
a. $\binom{1}{2} e\binom{-2}{1}$
b. $\binom{1}{2} e\binom{2}{1}$
c. $\binom{1}{2} e\binom{2}{3}$
d. $\binom{1}{2} e\binom{\frac{1}{2}}{1}$
e. $\binom{1}{0} e\binom{0}{3}$

$\mathbf{P}_{2}$ é o espaço vetorial formado pelos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais com as operações naturais de soma de polinômios e multiplicação por número real. Se $u(x)=2-x+3 x^{2}$ e $v(x)=1-x^{2}$, então podemos afirmar que $p(x)=8-2 x+2 x^{2}$ pertence a ger? Qual é a combinação linear que permite escrever a partir de $u$ e $v$?
a. $p(x)$ pertence a ger e $p=2 u-4 v$.
b. $p(x)$ pertence a ger e $p=-2 u+4 v$.
c. $p(x)$ pertence a ger e $p=-2 u-4 v$.
d. $p(x)$ não pertence a ger.
e. $p(x)$ pertence a ger e $p=2 u+4 v$.

Dada a matriz:

$$B=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right]$$
encontre a matriz inversa de $B$ aplicando operações elementares sobre o arranjo $[B] /]$.
a. $\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]$
b. $\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 / 2 & 0 \end{array}\right]$
c. $\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{array}\right]$

Seja $E$ o conjunto das matrizes $2 \times 2$ com coeficientes reais. Dados:

$$\begin{aligned} & u \in R, \\ & u=\left[\begin{array}{ll} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{array}\right], \quad \text { quais condições não são válidas se admitirmos } \\ & v=\left[\begin{array}{ll} v_{11} & v_{12} \\ v_{21} & v_{22} \end{array}\right] \in E \end{aligned}$$em $E$ a soma

$$(u+v)=\left[\begin{array}{ll} u_{11}+v_{11} & u_{21}+v_{21} \\ u_{12}+v_{12} & u_{22}+v_{22} \end{array}\right] \text { e a multiplicação por }$$número real $a u=\left[\begin{array}{ll}a u_{11} & a u_{21} \\ a u_{12} & a u_{22}\end{array}\right]$
a. $u+v=v+u$.
b. $a v \in E$.
c. $1 u=u$.
d. $\left(a^{2}-a\right) u \in E$.
e. $u+v \in E$.

Se $F$ é o subespaço vetorial de $\mathbf{R}^{3}$ formado pelos vetores $v=(x, y, z)$ que satisfazem $x-2 y+3 z=0$ e $S x+2 y+z=0$, dê uma base de $F$ e a dimensão desse subespaço.
a. Uma base de $F$ é $\left\{\left(\frac{-4}{8}, \frac{7}{8}, \frac{1}{8}\right)\right\}$, e a dimensão desse subespaço é 1.
b. Não existe subespaço de $R^{3}$ que atenda a essas condições.
c. Uma base de $F$ é $\{(4,-7,-6)\}$, e a dimensão desse subespaço é 1.
d. Uma base de $F$ é $\{(1,-2,3),(5,2,1)\}$, e a dimensão desse subespaço é 2.
e. Uma base de $F$ é $\{(4,-7,-6)\}$, e a dimensão desse subespaço é 2.

Considere $\mathbf{P}_{2}$ o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais e a transformação linear $\mathbf{B}: \mathbf{P}_{2} \rightarrow \mathbf{R}^{3}$, tal que $B\left(a x^{2}+b x+c\right)=\left(a-b+2 c, 2 a+b-c, a+2 b-3 c\right)$. Pode-se afirmar sobre a Imagem de $B$:
a. $\operatorname{Im}(B)$ é um subespaço de dimensão 4.
b. $\operatorname{Im}(B)$ é um subespaço de dimensão 2.
c. $\operatorname{Im}(B)=$.
d. $\operatorname{Im}(B)=R^{3}$.
e. $\operatorname{Im}(B)$ é um subespaço de dimensão 1.

Conjuntos geradores têm papel importante em álgebra linear. Sobre os assuntos estudados nesse tópico, determine qual afirmação a seguir é correta.
a. O conjunto contendo apenas o vetor nulo não é um subespaço de $R^{n}$.
b. Se $\vec{u} \in U=\operatorname{ger}\left\{\overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}\right\}$, então $U=\operatorname{ger}\left\{\overrightarrow{v_{1}}, \vec{u}\right\}$
c. Os vetores-coluna da matriz $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right]$ formam um conjunto gerador para o plano.
d. Se $U$ é um subespaço de $R^{n}$ e $r \vec{v}$ pertence a $U$ para todo $r \in R$, então $\vec{v} \in R$
e. Se $U$ é um subespaço de $R^{n} r \vec{v}$ pode não pertencer a $U$ para todo $r \in R$, então $\vec{v} \in R$.

Para a matriz simétrica

$$A=\left[\begin{array}{rrrr} -3 & 2 & -2 & 0 \\ 3 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & 3 & 8 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 41 \end{array}\right]$$
calcule o determinante da submatriz principal $A_{3}$.
a. $\operatorname{det}\left(A_{3}\right)=+3$.
b. $\operatorname{det}\left(A_{3}\right)=-3$.
c. $\operatorname{det}\left(A_{3}\right)=-1$.
d. $\operatorname{det}\left(A_{3}\right)=+1$.
e. $\operatorname{det}\left(A_{3}\right)=0$.

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Questões resolvidas

Sabendo-se que as matrizes $A, X$ e $B$ são definidas como:

$$A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right]$$
encontre os valores das variáveis $x$ e $y$, de modo que a equação matricial $A X=B$ seja satisfeita.
a. $x=2 / 3$ e $y=3 / 7$.
b. $x=-1$ e $y=-4$.
c. $x=3 / 2$ e $y=-1$.
d. $x=1$ e $y=-1$.
e. $x=2$ e $y=3$.

Para que $(6-3) \cdot(k+6 i)$ seja um número real, o valor de $k$ deverá ser:
a. $k=-18$
b. $k=0$
c. $k=12$
d. $k=-12$
e. $k=18$

Se $F$ é o espaço das matrizes $2 \times 2$ de coeficientes reais e $u$ pertence a $F$, assinale a afirmação correta sobre as leis de $F$ em $F$.
a. $E(u)=u^{T}$ é uma transformação não linear.
b. Fixado $v \in F, C(u)=u \cdot v$ é uma transformação linear.
c. Fixado $v \in F, B(u)=u+v$ é uma transformação linear.
d. $A(u)=u \cdot u^{T}$ é uma transformação linear.
e. $D(u)=u^{-1}$ é uma transformação linear.

Os conceitos de dependência e independência linear estão relacionados à geometria de espaços gerados, como na relação de paralelismo. Determine qual dos pares de vetores a seguir é um par de vetores paralelos.
a. $\binom{1}{2} e\binom{-2}{1}$
b. $\binom{1}{2} e\binom{2}{1}$
c. $\binom{1}{2} e\binom{2}{3}$
d. $\binom{1}{2} e\binom{\frac{1}{2}}{1}$
e. $\binom{1}{0} e\binom{0}{3}$

$\mathbf{P}_{2}$ é o espaço vetorial formado pelos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais com as operações naturais de soma de polinômios e multiplicação por número real. Se $u(x)=2-x+3 x^{2}$ e $v(x)=1-x^{2}$, então podemos afirmar que $p(x)=8-2 x+2 x^{2}$ pertence a ger? Qual é a combinação linear que permite escrever a partir de $u$ e $v$?
a. $p(x)$ pertence a ger e $p=2 u-4 v$.
b. $p(x)$ pertence a ger e $p=-2 u+4 v$.
c. $p(x)$ pertence a ger e $p=-2 u-4 v$.
d. $p(x)$ não pertence a ger.
e. $p(x)$ pertence a ger e $p=2 u+4 v$.

Dada a matriz:

$$B=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right]$$
encontre a matriz inversa de $B$ aplicando operações elementares sobre o arranjo $[B] /]$.
a. $\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]$
b. $\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 / 2 & 0 \end{array}\right]$
c. $\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{array}\right]$

Seja $E$ o conjunto das matrizes $2 \times 2$ com coeficientes reais. Dados:

$$\begin{aligned} & u \in R, \\ & u=\left[\begin{array}{ll} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{array}\right], \quad \text { quais condições não são válidas se admitirmos } \\ & v=\left[\begin{array}{ll} v_{11} & v_{12} \\ v_{21} & v_{22} \end{array}\right] \in E \end{aligned}$$em $E$ a soma

$$(u+v)=\left[\begin{array}{ll} u_{11}+v_{11} & u_{21}+v_{21} \\ u_{12}+v_{12} & u_{22}+v_{22} \end{array}\right] \text { e a multiplicação por }$$número real $a u=\left[\begin{array}{ll}a u_{11} & a u_{21} \\ a u_{12} & a u_{22}\end{array}\right]$
a. $u+v=v+u$.
b. $a v \in E$.
c. $1 u=u$.
d. $\left(a^{2}-a\right) u \in E$.
e. $u+v \in E$.

Se $F$ é o subespaço vetorial de $\mathbf{R}^{3}$ formado pelos vetores $v=(x, y, z)$ que satisfazem $x-2 y+3 z=0$ e $S x+2 y+z=0$, dê uma base de $F$ e a dimensão desse subespaço.
a. Uma base de $F$ é $\left\{\left(\frac{-4}{8}, \frac{7}{8}, \frac{1}{8}\right)\right\}$, e a dimensão desse subespaço é 1.
b. Não existe subespaço de $R^{3}$ que atenda a essas condições.
c. Uma base de $F$ é $\{(4,-7,-6)\}$, e a dimensão desse subespaço é 1.
d. Uma base de $F$ é $\{(1,-2,3),(5,2,1)\}$, e a dimensão desse subespaço é 2.
e. Uma base de $F$ é $\{(4,-7,-6)\}$, e a dimensão desse subespaço é 2.

Considere $\mathbf{P}_{2}$ o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais e a transformação linear $\mathbf{B}: \mathbf{P}_{2} \rightarrow \mathbf{R}^{3}$, tal que $B\left(a x^{2}+b x+c\right)=\left(a-b+2 c, 2 a+b-c, a+2 b-3 c\right)$. Pode-se afirmar sobre a Imagem de $B$:
a. $\operatorname{Im}(B)$ é um subespaço de dimensão 4.
b. $\operatorname{Im}(B)$ é um subespaço de dimensão 2.
c. $\operatorname{Im}(B)=$.
d. $\operatorname{Im}(B)=R^{3}$.
e. $\operatorname{Im}(B)$ é um subespaço de dimensão 1.

Conjuntos geradores têm papel importante em álgebra linear. Sobre os assuntos estudados nesse tópico, determine qual afirmação a seguir é correta.
a. O conjunto contendo apenas o vetor nulo não é um subespaço de $R^{n}$.
b. Se $\vec{u} \in U=\operatorname{ger}\left\{\overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}\right\}$, então $U=\operatorname{ger}\left\{\overrightarrow{v_{1}}, \vec{u}\right\}$
c. Os vetores-coluna da matriz $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right]$ formam um conjunto gerador para o plano.
d. Se $U$ é um subespaço de $R^{n}$ e $r \vec{v}$ pertence a $U$ para todo $r \in R$, então $\vec{v} \in R$
e. Se $U$ é um subespaço de $R^{n} r \vec{v}$ pode não pertencer a $U$ para todo $r \in R$, então $\vec{v} \in R$.

Para a matriz simétrica

$$A=\left[\begin{array}{rrrr} -3 & 2 & -2 & 0 \\ 3 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & 3 & 8 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 41 \end{array}\right]$$
calcule o determinante da submatriz principal $A_{3}$.
a. $\operatorname{det}\left(A_{3}\right)=+3$.
b. $\operatorname{det}\left(A_{3}\right)=-3$.
c. $\operatorname{det}\left(A_{3}\right)=-1$.
d. $\operatorname{det}\left(A_{3}\right)=+1$.
e. $\operatorname{det}\left(A_{3}\right)=0$.

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Iniciado em quarta-feira, 16 abr. 2025, 13:19 Estado Finalizada Concluída em quarta-feira, 16 abr. 2025, 14:06 Tempo 47 minutos 5 segundos empregado Notas 8,01/10,00 Avaliar 8,00 de um máximo de 10,00(80,03%) Questão 1 Correto Atingiu 0,67 de 0,67 Sabendo-se que as matrizes A, X e B são definidas como: A= 2 1 [ y B = 2 3 encontre os valores das variáveis xey, de modo que a equação matricial AX = B seja satisfeita. Escolha uma opção: a. b. C. d. e.Questão 2 Correto Atingiu 0,67 de 0,67 Para que seja um número real, valor de k deverá ser: Escolha uma opção: a. b. k=0 C. d. e. k=18 Questão 3 Correto Atingiu 0,67 de 0,67 Qual o argumento do número complexo Escolha uma opção: a. 3 b. C. 2 d. 1 e. 3 Questão 4 Correto Atingiu 0,67 de 0,67 Se E é o espaço das matrizes 2 2 de coeficientes reais e u pertence a F, assinale a afirmação correta sobre as leis de em F. Escolha uma opção: a. E(u) = é uma transformação não linear. b. Fixado uma transformação linear. C. Fixado V F, uma transformação linear. d. A(u) = u é uma transformação linear. e. = transformação linear.Questão 5 Correto Atingiu 0,67 de 0,67 Os conceitos de dependência e independência linear estão relacionados à geometria de espaços gerados, como na relação de paralelismo. Determine qual dos pares de vetores a seguir é um par de vetores paralelos. Escolha uma opção: a. 1 - 2 e 2 1 b. 1 2 e 2 1 C. 1 2 e 2 1 d. 1 1 2 e 2 1 e. 1 0 e 0 3 Questão 6 Correto Atingiu 0,67 de 0,67 P2 é o espaço vetorial formado pelos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais com as operações naturais de soma de polinômios e multiplicação por número real. afirmar que p(x) = 8 2x + 2x2 pertence a ger? Qual é a combinação linear que permite escrever a partir de u e Escolha uma opção: a. p(x) pertence a ger b. p(x) pertence a ger C. p(x) pertence a ger d. p(x) não pertence a ger. e. p(x) pertence a gerQuestão 7 Correto Atingiu 0,67 de 0,67 Dada a matriz: B= 0 1 1 Encontre a matriz inversa de B aplicando operações elementares sobre o arranjo [B|/]. Escolha uma opção: a. 1 1 0 b. 1 17 C. - 10 2 11/2] e. 1 -2Questão 8 Incorreto Atingiu 0,00 de 0,67 Seja E o conjunto das matrizes 2 x 2 com coeficientes reais. Dados: aER, U12 u quais condições não são válidas se admitirmos U21 U22 V11 = V21 em E a soma + V11 U21 + e a multiplicação por + U22 + V22 au = número real Escolha uma opção: a. b. av E. C. d. e. Questão 9 Correto Atingiu 0,68 de 0,68 Se Fé o subespaço vetorial de formado pelos vetores V = que satisfazem - uma base de F e a dimensão desse subespaço. Escolha uma opção: a. Uma base de é e a dimensão desse subespaço é 1. b. Não existe subespaço de R3 que atenda a essas condições. C. Uma base de F é {(4,-7,-6)}, e a dimensão desse subespaço d. Uma base de F é {(1,-2,3), (5,2,1)}, e a dimensão desse subespaço é 2. e. Uma base de F é {(4,-7,-6)}, e a dimensão desse subespaço é 2.Questão 10 Correto Atingiu 0,67 de 0,67 Considere P2 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais e a transformação linear tal que afirmar sobre a Imagem de B: Escolha uma opção: a. Im(B) é um subespaço de dimensão 4. b. Im(B) é um subespaço de dimensão 2. C. Im(B) d. Im(B) = e. Im(B) é um subespaço de dimensão 1. Questão 11 Correto Atingiu 0,67 de 0,67 Conjuntos geradores têm papel importante em álgebra linear. Sobre os assuntos estudados nesse tópico, determine qual afirmação a seguir é correta. Escolha uma opção: a. conjunto contendo apenas o vetor nulo não é um subespaço de Rn. b. Se C. 1 2 Os vetores-coluna da matriz A = formam um conjunto 2 4 gerador para o plano. d. Se U é um subespaço de Rn e r pertence a U para todo r E R então ER e. Se um subespaço de Rn pode não pertencer a U para todo r E então ERQuestão 12 Correto Atingiu 0,67 de 0,67 Para a matriz simétrica -3 2 -2 0 2 -1 3 1 A = - -2 3 8 -1 calcule o determinante da submatriz principal A3. Escolha uma opção: a. det(A3) = +3. b. det(A3) = -3. C. d. det(A3) = +1. e. det(A3) = O. Questão 13 Incorreto Atingiu 0,00 de 0,67 Para o sistema de equações lineares abaixo: { 1 3 = 5 a matriz inversa dos coeficientes e a matriz solução do sistema são, respectivamente: Escolha uma opção: a. 2 1 -1 0 1 1 -1 , -1 3 -4 2 1 b. 3 -8 3 -6 -1 7 -3 , 5 0 2 1 -1 C. 0 1 0 3 0 - 1 1 , 2 1 4 -3 -2 d. 1 0 0 1 - 1 7 -3 , 5 0 -2 1 -1 e. 22 013 , 18 5Questão 14 Incorreto Atingiu 0,00 de 0,67 Determine a matriz inversa dos coeficientes e a matriz solução do seguinte sistema de equações lineares: 2y + 3z = 5 2x + 5y+ 3z = 3 x + 8z = 17 Escolha uma opção: a. 5 17 010 , 3 001 b. [ 3 -2 -1 1 C. 1 13 -40 -2 -5 16 -3 -1 9 -1 5 d. - 13/5 1 1 7 2 3 -1 2 , 0 5 -1 -2 e. 1 0 0 5 -2 1 0 -7 , 5-2 -1 2Questão 15 Correto Atingiu 0,67 de 0,67 Dadas as matrizes abaixo: 3 2 A= e B = encontre a matriz inversa do produto entre isto é, Escolha uma opção: a. b. C. d. 7 6 9 8 e.

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