Lista4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 - UERJ 2015,1 Física

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IME 508 - CDI I T12 (2015-1)
UFRRJ - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO RIO DE JANEIRO
IME - INSTITUTO DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA
ANMAT - DEPARTAMENTO DE ANA´LISE MATEMA´TICA
Prof.a Cristiane Oliveira de Faria
LISTA 4 DE CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Continuidade
1. Verifique se a func¸a˜o dada e´ cont´ınua nos pontos indicados. Justifique a resposta
(a) f(x) =

√
x− 1
x− 1 , x 6= 1
2 , x = 1
em x = 1
(b) f(x) =
√
x2 + 1
x6 + x2 + 2
em qualquer x ∈ R
(c) f(x) =
{
x3 cos(
1
x
) se x 6= 0
1 se x = 0
em x = 0
(d) f(x) =
 1−
√
t
1− 3√t ) se t 6= 1
3/2 se t = 1
em t = 1
2. Para a func¸a˜o f definida por f(x) =
 −
√
2− x , x < 1
ax + b , 1 ≤ x < 2
|x2 − 7x + 12| , x ≥ 2
(a) Determine os valores de a e b para que f seja cont´ınua em R
(b) Esboce o gra´fico de f .
3. Seja f definida por f(x) =

x3 + 2x2 + x
x3 + 5x2 + 7x + 3
se x 6= −3, x 6= −1
0 se x = −3
−1/2 se x = −1
(a) A func¸a˜o esta´ definida em R? Justifique.
(b) Deˆ os pontos onde f e´ cont´ınua. Justifique.
(c) Deˆ os pontos onde f e´ descont´ınua. Justifique.
(d) A func¸a˜o f e´ cont´ınua em R? Justifique.
4. Para cada func¸a˜o determine um intervalo de amplitude 1, no qual esta´ localizado pelo menos um
zero dessa func¸a˜o.
(a) f(x) = x3 + x− 1
(b) f(x) = x3 + 3x− 5
(c) f(x) = 1 + x cos(pix2 )
RESPOSTAS
1. (a) Na˜o, pois lim
x→1
f(x) =
1
2
6= 2 = f(1).
(b) Sim, e´ cont´ınua em R.
O denominador nunca se anula pois x6 + x2 ≥ 0 ⇒ x6 + x2 + 2 ≥ 2 > 0. Analogamente, o
radicando y = x2 +1 > 0. Logo o domı´nio de f e´ igual a R. Assim basta verificar se as func¸o˜es
do numerador e denominador sa˜o cont´ınuas para todo x ∈ R, pois sabemos que o quociente
de func¸o˜es cont´ınuas e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Verificando: A func¸a˜o do denominador e´ cont´ınua em R pois e´ uma func¸a˜o polinomial (qualquer
func¸a˜o polinomial e´ cont´ınua em R). A func¸a˜o do numerador e´ uma composic¸a˜o de duas
func¸o˜es: a func¸a˜o raiz e uma func¸a˜o polinomial. Como a func¸a˜o raiz e´ cont´ınua em [0,∞), em
particular e´ cont´ınua em (0,∞), isto e´, neste caso ∀x ∈ R, y = x2 + 1 > 0 ⇒ ∀x ∈ R, y ∈
(0,∞) ⇒ √y e´ cont´ınua em (0,∞). Como a composta de cont´ınuas e´ cont´ınua, a func¸a˜o do
numerador e´ cont´ınua.
(c) Na˜o, pois lim
x→0
f(x) = 0 6= 1 = f(0).
(d) Sim, pois lim
t→1
f(t) =
3
2
= f(1).
2. (a) a = 3 e b = −4
(b)
3. (a) Sim, pois a u´nica restric¸a˜o da expressa˜o e´ o denominador na˜o nulo, os u´nicos pontos que
anulam o denominador sa˜o x = −1 e x = −3 e nestes pontos a func¸a˜o foi definida por outras
expresso˜es, a saber f(−1) = −1/2 e f(−3) = 0.
(b) Em R−{−3,−1} a func¸a˜o e´ cont´ınua pois e´ o quociente de func¸o˜es polinomiais e toda func¸a˜o
polinomial e´ cont´ınua. Em x = −1 a func¸a˜o e´ cont´ınua pois lim
x→−1
f(x) = −1
2
= f(−1).
(c) A func¸a˜o e´ descont´ınua em x = −3 pois f(x) → +∞ se x → −3− (outra justificativa seria
f(x)→ −∞ se x→ −3+, basta na˜o ter um dos limites laterais).
(d) Na˜o, pois na˜o e´ cont´ınua em x = −3.
4. (a) f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1), f e´ cont´ınua em [0, 1]. Pelo Teorema do Valor Intermedia´rio
(TVI), existe um c; 0 < c < 1; f(c) = 0, isto e´, existe um zero da func¸a˜o no intervalo [0, 1].
(b) Idem ao exerc´ıcio anterior, para o intervalo [1, 2].
(c) Idem ao exerc´ıcio anterior, para o intervalo [ 12 ,
3
2 ].