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APROXIMAÇÕES AO FILTRO IDEAL
INTRODUÇÃO
No capÌtulo 1 estudaram-se v·rios tipos de funÁıes de transferÍncia de primeira e de segunda ordem,
que s„o necess·rias para realizar qualquer funÁ„o de transferÍncia. Neste capÌtulo determinar-se-„o as
funÁıes de transferÍncia que satisfazem condiÁıes prÈ-determinadas de respostas de amplitude, de fase ou
de atraso de grupo. Como se viu, o filtro passa-baixo ideal teria uma atenuaÁ„o nula e uma caracterÌstica
de fase linear com a frequÍncia, desde a frequÍncia nula atÈ ‡ sua frequÍncia de corte, ωC, e uma
atenuaÁ„o infinita para frequÍncias maiores do que ωC, ver Fig. 1.1. Este filtro n„o È realiz·vel na pr·tica,
mas h· diversas formas de obter caracterÌsticas aproximadas a este ideal. Estas formas podem separar-se
em duas grandes classes: aproximaÁıes ‡ resposta de amplitude ideal e aproximaÁıes ‡ resposta de fase
ideal.
Suponha que quer aproximar a resposta inversa do filtro pelo cociente de dois polinÛmios, sendo o
do numerador de grau n e o do denominador de grau m ≤ n.
1)()(
)()( −== STSY
SXSH
( 1.1)
O quadrado da resposta em frequÍncia inversa de um filtro passa-baixo, sendo uma funÁ„o par da
frequÍncia, ser· descrita pelo cociente de dois polinÛmios pares, isto È, por
APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL 2
[ ] ...)()()(1...1
...1)().()( 41122222124
2
2
1
24
2
2
12 +Ω−−−+Ω−+=
Ω++Ω+Ω+
Ω++Ω+Ω+=Ω−Ω=Ω babbababbb
aaajHjHjH m
m
n
n
( 1.2)
Ω1
A
(dB)
0
passagem atenuaÁ„oBanda de:
φ(Ω)
τ(Ω)
ideal = 0
ideal = 0
ideal com
atraso
ideal com
atraso
ideal = 0
Ω
Ωs
1
A
(dB)
Am·x
Amin
0
6dB/oit.
As
passagem atenuaÁ„otransiÁ„o
Bandas de:
Ap
φ(Ω)
τ(Ω)
Fig. 1.1- Filtro ideal passa-baixo e filtro real.
No caso de um filtro passa-baixo, sÛ com pÛlos, os coeficientes bi s„o nulos, vindo:
224
2
2
1
2 )(1...1)().()( Ω+=Ω++Ω+Ω+=Ω−Ω=Ω jkaaajHjHjH nn
( 1.3)
em que |K(jΩ)| È a chamada funÁ„o caracterÌstica do filtro.
1.1 APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL
A funÁ„o |K(jΩ)|, na banda de passagem, representa o erro do filtro em relaÁ„o ‡ funÁ„o ideal |H(jΩ)|
= 1. Os mÈtodos de aproximaÁ„o ao filtro ideal pretendem impor v·rias condiÁıes sobre a variaÁ„o do
erro na banda de passagem ou na banda de atenuaÁ„o. Na secÁ„o seguinte desenvolver-se-„o mÈtodos que
permitem obter erros nulos em Ω = 0 e cuja caracterÌstica de atenuaÁ„o È a que mais se aproxima do filtro
ideal para frequÍncias muito baixas.
1.2 Respostas de amplitude maximamente planas
No caso da resposta ( 1.2), para um filtro passa-baixo, com pÛlos e com zeros, m < n, poder-se-ia
desenvolver esta resposta numa sÈrie de termos da frequÍncia Ω, atravÈs de uma sÈrie de Mac-Laurin e
obter:
0
22''
'2 )()0(queem!
).0(...!2
).0().0()0()(
=Ω
Ω
Ω
=Ω++Ω+Ω+=Ω n
n
n
nn
d
jHdDn
DDDDjH .
APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL 3
( 1.4)
Para obter uma funÁ„o de atenuaÁ„o maximamente plana em Ω = 0, deve ser D(0) = 1 e todas as
derivadas nulas, com a excepÁ„o da de ordem n, vindo:
.0be1;n1,...,mi0,bm;2,...,1,i,ba n2ii ≠−+====
( 1.5)
Ou seja, os filtros dotados de atenuaÁ„o com aplanamento m·ximo em Ω = 0 tÍm o polinÛmio do
numerador de |H(jΩ)|2 igual ao do denominador somado com o termo bnΩ2n.
1.3 Aproximação de Butterworth
A aproximaÁ„o de Butterworth pressupıe que a funÁ„o de transferÍncia T(S) sÛ tem pÛlos e que o
filtro tem uma funÁ„o caracterÌstica que È um polinÛmio de Butterworth, Bn(S), da frequÍncia S, com grau
n. A frequÍncia S est· normalizada ‡ frequÍncia de corte ωC, pretendida para o filtro, isto È: S = s/ωC,
vindo
n
n
1
10n
1 Sb...Sbb)S(B)S(T)S(Y
)S(X)S(H +++==== − .
( 1.6)
Nos filtros de Butterworth a funÁ„o caracterÌstica È proporcional a um polinÛmio de Butterworth,
atravÈs da constante ε cujo significado ser· analisado mais adiante,
( )Ω=Ω nBjK .)( ε .
( 1.7)
As funÁıes de Butterworth satisfazem quatro condiÁıes importantes: Bn(Ω) È um polinÛmio de grau
n; Bn(0) = 0; Bn(Ω) È maximamente plano em Ω = 0; Bn(1) = 1.
A aproximaÁ„o de Butterworth conduz ao aplanamento m·ximo da caracterÌstica de atenuaÁ„o do
filtro, em Ω = 0 e, por isso, |H(jΩ)|2 , tendo em conta ( 1.4) e ( 1.5), ser· do tipo
222 )(11)().()( Ω+=Ω+=Ω−Ω=Ω jKjHjHjH n .
( 1.8)
Raízes dos polinómios de Butterworth
As raÌzes da funÁ„o H(S), que s„o os pÛlos do filtro, podem obter-se notando que
jSj
SjS jHSHSHSH −==ΩΩ= Ω=−=
22 )()().()( .
( 1.9)
De ( 1.8) obtÈm-se:
APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL 4
nnn SjSSHSH 22 .)1(1)(1)().( −+=−+=− ,
( 1.10)
cujas raÌzes satisfazem a condiÁ„o Sk2n = -1, para n par, e +1 para n Ìmpar, isto È, tÍm mÛdulo unit·rio e
‚ngulo θk, (argumento), dados por:
2n2,...,0,para
Ìmparn,2
2
parn,2
)21(
1
=
⎭
⎬
⎫
±=
±=
=
k
n
k
n
k
S
k
k
π
πθ .
( 1.11)
Regra Mnemónica:
As raÌzes (pÛlos do filtro) est„o situadas sobre uma circunferÍncia com raio unit·rio1, e, atendendo a
( 1.11), est„o separados entre si de π/n radianos; os filtros de ordem Ìmpar tÍm um pÛlo real negativo em
S = -1. Cada par de pÛlos conjugados origina uma funÁ„o de transferÍncia quadr·tica com a forma
11..21cos2
)cos).(cos()).(()(
1222
21
++=++=++=
++−+=−−=
SSSSS
jsenSjsenSSSSSSH
kQkk
kkkk
ξθ
θθθθ
( 1.12)
que depende do factor de amortecimento dos pÛlos, ξk, ou do seu factor de qualidade, Qk, pois ξk = 2.cos
θk= 1/(2.Qk).
A partir desta condiÁ„o podem calcular-se os polinÛmios de Butterworth, que se encontram
representados na Tab. 1.1, bem como os factores de qualidade dos pÛlos complexos conjugados.
Por exemplo, os pÛlos do filtro de 3™ ordem ser„o: S1= -1; S2,3= -cos 60∫ ± j.sen60∫, o que conduz a
)1).(1(
)∫60∫60cos).(∫60∫60cos).(1(
)).().(()(
2
321
SSS
jsenSjsenSS
SSSSSSSH
+++=
++−++=
−−−=
,
( 1.13)
como est· representado na Tab. 1.1. Nesta tabela encontram-se listados tambÈm os valores do factor de
qualidade dos pÛlos.
Tab. 1.1- PÛlos dos filtros de Butterworth.
n Pólos dos filtros Butterworth Qp1 Qp2 Qp3
1 (1+S)
2 (1+1,414S+S2) 0,71
3 (1+S) (1+S+S2) 1,00
1 - o mÛdulo dos pÛlos È unit·rio.
APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL 5
4 (1+0,765S+S2) (1+1,848S+S2) 1,31 0,54
5 (1+S) (1+0,618S+S2) (1+1,618S+S2) 1,62 0,62
6 (1+0,518S+S2) (1+1,414S+S2) (1+1,932S+S2) 1,93 0,71 0,52
7 (1+S) (1+0,445S+S2) (1+1,247S+S2) (1+1,802S+S2) 2,25 0,80 0,55
A atenuaÁ„o de um filtro de Butterworth, em Ω = 1, dada por ( 1.8), È de 3 dB, ou seja (Ω-1/2). Se
pretendermos uma atenuaÁ„o AP, diferente de Ω-1/2, na frequÍncia de corte ΩíC, diferente de 1, deve fazer-
se a seguinte correspondÍncia, ou escalamento de frequÍncia, Sí= α.S, isto È: ΩC = α.1. Fazendo α = ε1/n,
vem
P
nn sSS
ω
εε ..'
11
==
( 1.14)
pelo que a atenuaÁ„o de um filtro de Butterworth ser·, finalmente,
( )njHA 222 .1log.10)(log.10)( Ω+=Ω=Ω ε .
( 1.15)
Determinação dos parâmetros de um filtro de Butterworth
O filtro deve satisfazer a especificaÁ„o de atenuaÁ„o A(Ω) < AP na banda de passagem e A(Ω) > AS
para Ω > ΩS. Pode-se observar de ( 1.15), que qualquer que seja a ordem n do filtro, a atenuaÁ„o È sempre
a mesma para Ω = 1. Isto permite calcular o par‚metro ε e atribuir-lhe um significado. Tendo o valor de ε,
pode impor-se o valor da atenuaÁ„o AS desejada em ΩS e calcular a ordem n necess·ria para o filtro. De
facto vem:
( )
( ) nAA
AA
S
n
SSS
P
⇒≥Ω+=Ω→Ω=Ω
⇒=+=→=Ω
22
2
.1log.10)(
1log.10)1(1
ε
εε ,
( 1.16)
o que permite obter,
( ) ( )S
AP
A
S
A
A
SS
P
n
Ω
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
=
Ω
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
≥
−=
log.2
110
110log
log.2
110log
110
.1,0
.1,0
2
.1,0
.1,0
ε
ε
( 1.17)
a ordem n deve ser, evidentemente, aproximada ao n˙mero inteiro superior ao resultado obtido.
Lei de atenuação assintótica de um filtrode Butterworth
Define-se a lei de atenuaÁ„o assintÛtica como sendo a lei de variaÁ„o da atenuaÁ„o com a frequÍncia,
quando s→∞. A atenuaÁ„o assintÛtica de um filtro de Butterworth pode obter-se fazendo Ω >> 1, vindo,
APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL 6
( ) Ω+=Ω≅Ω→>>Ω log..20log.20.log.10)(1 2 nA n εε
( 1.18)
Esta caracterÌstica de atenuaÁ„o tem uma inclinaÁ„o de 20.n dB por dÈcada e varia ligeiramente com
a ondulaÁ„o ε escolhida para a banda de passagem.
Exercício 1.1- Relação entre a frequência de corte e a atenuação na banda de passagem.
Calcule a frequÍncia de corte, a 0,25 dB, 0,5 dB, 1 dB, 2 dB e 3 dB, de erro na banda de passagem de um filtro de
Butterworth de 2™ ordem.
Resolução:
A atenuaÁ„o de um filtro de Butterworth, de uma dada ordem, È apenas funÁ„o da frequÍncia e pode estimar-se pelas
equaÁıes ( 1.14) e ( 1.16), vindo:
Ω¥= ε1/2 .Ω
Exercício 1.2- Determinação da ordem de um filtro de Butterworth.
Qual a ordem de um filtro de Butterworth que satisfaz AP = 0,1 dB, AS = 30 dB, ωS/ωP = 1,3?
Solução:
A soluÁ„o È n = 20,3 ou seja n =21, a que corresponde AS = 31,5 dB, que È superior ao valor desejado.
Exercício 1.3- Escalamento de frequência.
Mostre que a operaÁ„o de escalamento de frequÍncia n„o altera o factor de qualidade das raÌzes dos filtros de
Butterworth.
Exercício 1.4- Factores de qualidade das raízes de polinómios de Butterworth.
Mostre que quando a ordem do filtro aumenta, o factor de qualidade das raÌzes tambÈm aumenta.
1.4 Aproximação de Chebychev
Como j· foi visto, a aproximaÁ„o de Butterworth de ordem n conduz ao melhor polinÛmio em Ω que
maximiza o aplanamento da caracterÌstica de atenuaÁ„o na frequÍncia Ω = 0. O erro de atenuaÁ„o,
relativamente ao filtro ideal passa-baixo, È nulo em Ω = 0, sendo progressivamente crescente na banda de
passagem. A aproximaÁ„o de Chebychev2 conduz a um polinÛmio em Ω que minimiza o erro na banda de
passagem, segundo um critÈrio de erro oscilante entre um certo n˙mero de valores m·ximos e mÌnimos.
Polinómios de Chebychev
Os polinÛmios de Chebychev s„o funÁıes do tipo sinusoidal da frequÍncia, do tipo:
2 - O matem·tico russo Tchebychev estudou estes polinÛmios, mas no ocidente aceitou-se o nome Chebychev, por ter sido um
francÍs que primeiro traduziu os seus trabalhos.
AP 0,25 0,5 1 2 3
ε 0,243 0,348 0,501 0,764 1
ΩC 0,493 0,591 0,708 0,875 1
APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL 7
( )
( ) 1)(coshncosh
10)(cosncos)(C
1
1
n
>ΩΩ=
≤Ω≤Ω=Ω
−
−
.
( 1.19)
Embora estas expressıes n„o aparentem tratar-se de um polinÛmio, o c·lculo das expressıes
trigonomÈtricas permite obter as seguintes relaÁıes recorrentes3:
nCCC
CC
nnn 2);()(2)(
;)(;1)(
21
10
≥Ω−ΩΩ=Ω
Ω=Ω=Ω
−−
.
( 1.20)
As funÁıes de Chebychev, Cn(x), satisfazem as seguintes condiÁıes: i)- Cn È um polinÛmio de ordem
n que È par se n for par e È impar se n for Ìmpar; ii)- Cn tem todas as raÌzes no intervalo ñ1 < x <+1; iii)-
Cn tem valores que oscilam entre ± 1 no intervalo ñ1 < x < +1; iv)- Cn(1) = 1.
Os filtros de Chebychev tÍm como funÁ„o caracterÌstica um polinÛmio de Chebychev escalado em
amplitude por um factor ε, isto È:
( )Ω=Ω nCjK .)( ε
( 1.21)
A funÁ„o de resposta em frequÍncia inversa de um filtro de Chebychev ser·, ent„o, dada por:
[ ]2n2 ))(C.(1log.10)j(Hlog.10)(A Ωε+=Ω=Ω
( 1.22)
Determinação dos parâmetros de um filtro de Chebychev
A constante de escala, ε, permite controlar o erro m·ximo ou ondulaÁ„o da funÁ„o de transferÍncia
na banda de passagem. De facto, basta ver que, para Ω = 1, se tem, para qualquer n, |Cn(1)| = 1, donde se
obtÈm, por um modo semelhante ao que se fez nos filtros de Butterworth,
( ) ( )S
A
A
S
A
A
P
SS
P
n
Ω
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
=
Ω
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
≥
−=
−
−
−
−
1
2
1
.1,0
.1,0
12
1
1
.1,0
1
.1,0
cosh
110
110cosh
cosh
110cosh
110
ε
ε
.
( 1.23)
Compromissos de atenuação de um filtro Chebychev
A largura de banda ωP e o factor de escalamento ε, est„o relacionados entre si. De facto, de ( 1.22),
para Ω = (ω/ωP) = 1, a atenuaÁ„o È 10 log 2, isto È :
3 - Basta considerar a seguinte relaÁ„o trigonomÈtrica: cos[(n+1)]a = 2.cos(na).cos(a)-cos[(n-1)a].
APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL 8
( )
2
.1,02
1.1,0 )1(110vem110sendoe,1)(.)(.
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+=−===Ω
P
n
AA
P
nn CCC PP ωεω
ωεε
( 1.24)
Esta equaÁ„o mostra que existe um compromisso entre ε, a ordem n e a frequÍncia de corte ωP. Se
para uma ordem n fixa, se pretender uma ondulaÁ„o pequena, a banda de passagem deve ser pequena. Se
se pretender uma ondulaÁ„o pequena e uma largura de banda grande, ent„o a ordem n deve ser maior.
De ( 1.22), obtÍm-se para Ω >> 1, a aproximaÁ„o, baseada na aproximaÁ„o (v·lida para x >>1),
Cn(x) ≅2 n-1. xn,
[ ] [ ]
Ω+−+=
Ω≅Ω≅Ω −
log..20)1.(2log.20log20
.2.(log.10)(.(log.10)( 212
nn
CA nnn
ε
εε
( 1.25)
Esta express„o permite verificar que ao reduzir-se ε (menor ondulaÁ„o na banda de passagem),
tambÈm se reduz a atenuaÁ„o na banda de atenuaÁ„o. Como era de esperar, a inclinaÁ„o assintÛtica da
atenuaÁ„o È de 20 n dB por dÈcada, mas a atenuaÁ„o obtida com a aproximaÁ„o de Chebychev È sempre
superior ‡ do filtro de Butterworth com a mesma ordem, numa quantidade pelo menos de 6 (n-1) dB,
como se pode observar comparando as expressıes ( 1.18) e ( 1.25).
Na Fig. 1.2 pode observar-se a variaÁ„o com a frequÍncia de um polinÛmio de ordem par, 4, e um de
ordem Ìmpar, 5. Pode ainda observar-se as curvas de atenuaÁ„o dos correspondentes filtros de Chebychev.
Fig. 1.2- PolinÛmios de Chebychev de ordem 4 e 5 e correspondentes filtros de Chebychev.
Pode concluir-se o seguinte:
Os filtros de ordem par tÍm erro m·ximo em Ω = 0, enquanto os de ordem Ìmpar tÍm erro nulo;
APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL 9
O filtro de ordem n tem n +1 extremos (m·ximos ou mÌnimos) de atenuaÁ„o no intervalo 0 ≤ Ω ≤ 1, ver
pontos assinalados na Fig. 1.2.
Determinação dos pólos do filtro de Chebychev
Sendo,
22 )(1)().()( Ω+=Ω−Ω=Ω jKjHjHjH ,
( 1.26)
os zeros Sk, da funÁ„o H(S), podem obter-se usando a teoria da continuaÁ„o analÌtica, que j· foi usada na
determinaÁ„o dos pÛlos dos filtros de Butterworth, substituindo Ω por ñjS e impondo a seguinte equaÁ„o:
0)(.1)().( 22 =−+=− jSCjSHSH nε .
( 1.27)
Na soluÁ„o desta equaÁ„o atribuem-se os zeros com parte real negativa a H(S) e os zeros com parte
real positiva a H(-S).
Usando ( 1.19) e as vari·veis intermÈdias u e v, vem:
jvuj +=Ω−− )(cosh 1
ε
jsenhjvsenhnujnvnujCn ±=+=Ω− .cos.cosh)(
lembrando que cosh(ju) = cos(u) e senh(ju) = j.sen(u), resulta
ε
1)().(
0cos.cosh
±=
=
nvsenhnusenh
nvnu
A soluÁ„o conduz aos 2n ‚ngulos θk nos quais sen nv = ±1;
.12,...,2,1,0para2
)21( −=±= nkn
k
k
πθ
e ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= −
ε
11 1senhnuk .
( 1.28)
Os zeros ser„o:
vujsenhvsenujvujjS kkkkkk cosh.cos.)cos( +=+=Ω+Σ= ,
( 1.29)
donde se obtÈm
1cosh2
2
2
2
=Ω+Σ vvsenh
kk ,
( 1.30)
APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL 10
que È a equaÁ„o de uma elipse e que ilustra o facto de os pÛlos de T(S) estarem sobre uma elipse com
semi-eixo maior dado por b = cosh(v) e o semi-eixo menor dado por a = senh(v), com focos localizados
em Ω = ±1.
Na Fig. 1.3 pode observar-se, sobre uma elipse, o pÛlo real (PC0) e um dos pÛlos complexos conjugados
(PC1) de um filtro de Chebychev de 3™ ordem. Estes pÛlos podem ser calculados a partir dos
correspondentes pÛlos (PB0 e (PB1)) de um filtro de Butterworth atravÈs da construÁ„o geomÈtrica
apresentada na Fig. 1.3. Por exemplo, o pÛlo PC1 pode determinar-se a partir do pÛlo PB1 , traÁando a recta
bissectriz a 45∫ (‚ngulo θ do pÛlo de Butterworth) e as duas rectas R1 e R2 que passam no ponto de
intersecÁ„o da bissectriz com as duas circunferÍncias de raio a e b dados por:( )[ ] n/112/12 1 −− ++= εεγ ( )
( )1
1
2
1
2
1
−
−
+=
−=
γγ
γγ
b
a
.
Fig. 1.3- C·lculo dos pÛlos de um filtro de Chebychev a partir dos pÛlos de um
filtro de Butterworth.
Os pÛlos dos filtros de Chebychev dependem do par‚metro ε
e, portanto, da atenuaÁ„o AP na banda de passagem, pelo que È necess·rio ter uma tabela para cada valor
de ε. Na Tab. 1.2 encontram-se os pÛlos e factores de qualidade de filtros de Chebychev para v·rios
valores de ordem n e de AP. No anexo 1 pode encontrar mais valores tabelados.
Tab. 1.2- PÛlos de filtros de Chebychev para AP = 0,5 dB.
n Pólos dos Filtros Chebychev Qp1 Qp2
1 (2,863+S)
2 (1,516+1,426S+S2) 0,86
3 (0,626+S) (1,412+0,626S+S2) 1,71
4 (1,064+0,351S+S2) (0,356+0,847S+S2) 0,71 2,94
5 (0,362+S) (1,036+0,224S+S2) (0,447+0,586S+S2) 1,18 4,54
Exercício 1.5- Cálculo de um filtro de Chebychev.
Determine a ordem de um filtro de Chebychev que satisfaz as especificaÁıes: AP = 0,1 dB, AS = 30 dB; fC = 1000 Hz,
FS = 1300 Hz.
Resolução:
ΩS = fS/fc = 1,3. De ( 1.23), obtÍm-se n = 7,9. Como n deve ser inteiro, ser· n = 8. Para ΩS = 1,3 A(Ω8) = 30,22 que
satisfaz o valor pretendido de 30 dB.
Exercício 1.6- Cálculo de um filtro de Chebychev.
Determine a ordem de um filtro de Chebychev que satisfaz as especificaÁıes: AP = 0,1 dB, AS = 50 dB; fC = 1000 Hz,
FS = 1300 Hz.
- b - a
θ = 45∫
R1
R
2
PC1
-1
1
PB1
PB0 PC0
APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL 11
1.5 Aproximação de Chebychev Inversa
Quer os filtros de Butterworth quer os de Chebychev s„o filtros polinomiais, isto È, sÛ tÍm pÛlos na
sua funÁ„o de transferÍncia. Os zeros de transmiss„o sÛ acontecem para Ω infinito. A introduÁ„o de zeros
de transmiss„o numa frequÍncia finita conduz a uma variaÁ„o da atenuaÁ„o muito mais abrupta do que
aquilo que se consegue usando sÛ pÛlos. A invers„o da caracterÌstica de atenuaÁ„o de um filtro de
Chebychev, dado que este tem igual ondulaÁ„o da atenuaÁ„o na banda de passagem, conduzir· a uma
atenuaÁ„o com igual ondulaÁ„o na banda de atenuaÁ„o e originar· atenuaÁıes infinitas nalgumas
frequÍncias, uma vez que o filtro de Chebychev tem atenuaÁ„o nula nalgumas frequÍncias, como se pode
ver na Fig. 1.4. ObtÍm-se, assim, zeros de transmiss„o. Os filtros de Chebychev inversos tÍm a
propriedade de aplanamento m·ximo na banda de passagem, tal como os filtros de Butterworth, mas s„o
mais selectivos que estes na banda de transiÁ„o.
Fig. 1.4- CorrespondÍncia entre atenuaÁıes de um filtro de Chebychev e do filtro de Chebychev inverso.
A funÁ„o H(jΩ) do filtro de Chebychev inverso est· relacionada com a do filtro de Chebychev por:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Ω
+=
Ω
−+=Ω 1.
11)1(1)(
22
2
2
nC
CI C
jHjH
ε
( 1.31)
Esta transformaÁ„o garante que os filtros inversos de Chebychev tÍm aplanamento m·ximo na
origem, tal como os filtros de Butterworth, e tÍm igual ondulaÁ„o na banda de atenuaÁ„o, conseguida ‡
custa da introduÁ„o dos zeros de transmiss„o provocada pela invers„o da caracterÌstica. Assim, para
frequÍncias pouco maiores do que Ω = 1, a selectividade dos filtros inversos de Chebychev È maior do
que a dos filtros de Chebychev e de Butterworth, devido ao efeito dos zeros de transmiss„o. Os pÛlos e os
zeros de transmiss„o do filtro inverso de Chebychev calculam-se muito facilmente a partir dos
correspondentes pÛlos do filtro normal de Chebychev.
APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL 12
Assim, os mÌnimos de atenuaÁ„o na banda de atenuaÁ„o ocorrem nas frequÍncias inversas daquelas
em que o filtro de Chebychev tem a atenuaÁ„o m·xima na banda de passagem, ou seja, onde Cn(1/Ω)= ±
1/ε, o que, de ( 1.19) conduz a:
( ) .2
)12(/1cosdado,,...,2,1,0para2
)12(sec 1 ππ +=Ω=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=Ω − knnkn
k
zz
( 1.32)
As frequÍncias de atenuaÁ„o mÌnima na banda de atenuaÁ„o s„o:
sec ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=Ω n
k
SA
π .
( 1.33)
Pólos e zeros do filtro inverso de Chebychev
Para obter os pÛlos e zeros do filtro inverso de Chebychev deve comeÁar-se por calcular o par‚metro
ε, a partir da atenuaÁ„o mÌnima AS requerida, atravÈs de:
( )S
A
A
S
S
n
Ω
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
≥
−
=
−
−
1
.1,0
1
.05,0
cosh
110cosh
110
1
1
ε
ε
.
( 1.34)
Depois calculam-se os pÛlos do correspondente filtro de Chebychev, com a mesma ordem e o ε j·
calculado. Os pÛlos do filtro inverso s„o os recÌprocos do filtro de Chebychev normal, e os zeros s„o os
existentes nas frequÍncias ΩAS, acima referidas.
Os filtros inversos de Chebychev e os filtros de Chebychev satisfazem as mesmas especificaÁıes de
atenuaÁ„o com a mesma ordem, n„o trazendo nenhuma vantagem pr·tica do ponto de vista de atenuaÁ„o.
AtÈ a realizaÁ„o dos primeiros È mais complexa, pois necessitamos de introduzir n zeros (para n par) e n-1
zeros, (para n Ìmpar). Todavia estes filtros introduzem o efeito dos zeros de transmiss„o que pode ser
muito mais bem explorado, do ponto de vista da amplitude da resposta em frequÍncia, nos filtros
elÌpticos, cujo estudo se segue.
Exercício 1.7- Cálculo do factor de qualidade dos pólos Chebychev inverso.
A partir dos pÛlos do filtro de Chebychev referido no
ExercÌcio 1.5, calcule o factor de qualidade destes pÛlos e os do filtro de Chebychev inverso.
Resolução:
O factor de qualidade das raÌzes ser„o: i) Chebychev- 0,59, 1,18, 2,45 e 8,08; ii)- Chebychev inverso: 0,54, 0,86, 1,64 e
5,27.
APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL 13
O factor de qualidade dos pÛlos do filtro de Chebychev inverso È menor do que o factor de qualidade
dos filtros do correspondente filtro de Chebychev (ver ExercÌcio 1.7), pelo que o atraso de grupo tambÈm
ser· mais plano que o do filtro de Chebychev, sendo semelhante ao do filtro de Butterworth.
1.6 Aproximação de Cauer-Chebychev
Os filtros elÌpticos ou de Cauer-Chebychev tÍm a propriedade de ter igual ondulaÁ„o na banda de
passagem e tambÈm na banda de atenuaÁ„o. De certo modo, s„o semelhantes aos filtros de Chebychev na
banda de passagem e aos filtros de Chebychev Inversos, na banda de atenuaÁ„o. A determinaÁ„o destes
filtros È muito complexa e baseia-se na utilizaÁ„o de integrais elÌpticos.
Na pr·tica È preferÌvel usar tabelas ou programas de computador que calculam estes filtros em vez de
obter expressıes para o c·lculos dos pÛlos e dos zeros da funÁ„o de transferÍncia destes filtros.
O livro de Zeverev apresenta tabelas destes filtros desde ordem 2 a 7 em termos de 2 par‚metros, um
‚ngulo, θ (∫) e o factor de reflex„o ρ (%), definidos da seguinte forma:
pm
S
S
e
ecsen
.2
1-
1
cos1ou1sen
−−=
==Ω⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
Ω
=
ρ
θ
θ
θ
( 1.35)
em que mp (nepper) =AP (dB) / 8,69 = 0,115 AP (dB).
APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL 14
1.7 APROXIMAÇÕES A ATRASO DE GRUPO CONSTANTE
Como vimos, a resposta em frequÍncia com atraso de grupo constante È uma das condiÁıes
para que um filtro n„o introduza grande distorÁ„o na resposta no domÌnio do tempo. TambÈm
aqui se procura, de modo semelhante ao que foi obtido para a aproximaÁ„o ‡ resposta em
amplitude ideal, obter comportamentos do atraso de grupo, do tipo constante com aplanamento
m·ximo em Ω = 0 ou com igual ondulaÁ„o no erro do atraso de grupo constante. Os filtros de
Bessel-Thomson seguem o critÈrio de aplanamento m·ximo. Tem tambÈm interesse pr·tico
determinar um filtro cuja resposta ao impulso seja uma resposta do tipo de funÁ„o gaussiana do
tempo, que tambÈm aproxima um filtro com atraso de grupo constante4.
1.8 Aproximação de Gauss
O filtro gaussiano ideal deve ter a seguinte funÁ„o de transferÍncia que corresponde ‡
transformada de uma funÁ„o gaussiana no tempo.
2.347,0)( Ω=Ω ejH ,
( 1.36)
tendo a frequÍncia de corte a 3 dB em Ω = 1, isto È: |H(j1)|2 = 2. Por continuaÁ„o analÌtica, pode
obter-se:
2.694,02)()().( S
jS
ejHSHSH =Ω=−
−=Ω
( 1.37)
expandindo o termo exponencialem sÈrie de Mac-Laurin, obtÈm-se,
...62.1!lim)()().(
6342
2
0
22 2 +−+−≅=Ω=− ∑
=
∞→
−=Ω
SaSaSai
SaejHSHSH n
i
ii
n
aS
jS
( 1.38)
supondo a = 0,694, podem obter-se os pÛlos da tabela seguinte.
4 - Na transmiss„o digital de pulsos a um ritmo 1/T, atravÈs de um sistema com rsposta em frequÍncia do tipo
gaussiano, a interferÍncia entre sÌmbolos resultante da filtragem, anula-se sempre nos instantes m˙ltiplos do perÌodo
de amostragem.
APROXIMAÇÕES À RESPOSTA DE AMPLITUDE IDEAL 15
A identificaÁ„o dos pÛlos de |H(S)|2 do semi-plano complexo esquerdo d· os pÛlos do filtro
de Gauss, de ordem n s„o os descritos na tabela
Tab. 1.3- PÛlos de filtros de Gauss normalizados a Ω = 1 com AP= 3 dB.
n ΩΩΩΩP1 Qp1 ΩΩΩΩP2 Qp2 ΩΩΩΩP3 Qp3 ΩΩΩΩP4
2 1,3908 0,5411
3 1,661 0,6059 1,5116 R
4 1,9086 0,6747 1,6768 0,5144
5 2,1309 0,7358 1,8498 0,5427 1,7765 R
6 2,3373 0,7968 2,0211 0,5755 1,9022 0,5074
7 2,5384 0,8548 2,1953 0,6098 2,0436 0,5234 1,9998
Em que R significa que o pÛlo apenas tem parte real.
1.9 Aproximação de Bessel-Thomson
A aproximaÁ„o d Bessel-Thomson visa obter atraso de grupo constante na banda de
passagem, com uma caracterÌstica de aplanamento m·ximo em Ω = 0, normalizado para um
atraso de grupo τ0 unit·rio, vem
)cosh()()( 100 SSsenheeSH
SS +===
=τ
τ ,
( 1.39)
podem obter-se os pÛlos representados na Tab. 1.4.
Tab. 1.4- PÛlos dos filtros de Bessel normalizados a Ω = 1 com AP = 3 dB.
n ΩΩΩΩP1 Qp1 ΩΩΩΩP2 Qp2 ΩΩΩΩP3 Qp3 ΩΩΩΩP4
2 1,2723 0,5774
3 1,4494 0,8252 1,3243 R
4 1,6043 0,8055 1,4310 0,5219
5 1,7573 0,9164 1,5581 0,5636 1,5040 R
6 1,9070 1,0233 1,6911 0,6112 1,6058 0,5103
7 2,0529 1,1264 1,8254 0,6609 1,7192 0,5324 1,6871