SL_Lab11_2015_Filtro_RC

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Prof. Cláudio Afonso Mai-2009 1 
SISTEMAS LINEARES 
 
FILTRAGEM ANALÓGICA 
 
 
1. Introdução 
 
FILTRAGEM: alteração da das componentes frequenciais de um sinal. 
 
1.1 Filtros Ideais 
 
 São sistemas não causais que deixam passar integralmente um conjunto de 
frequências e rejeitam completamente as demais frequências. 
 
Tipos de Filtros Ideais: 
 
• Passa-Baixas (FPB): 
 
 
• Passa-Altas (FPA): 
 
 
• Passa-Faixa (FPF): 
 
 
• Filtro Rejeita-Faixa (FRF): 
 
 
As fases destes filtros são lineares, ou seja: θH(ω) = -ω.td onde td é uma constante e 
representa o atraso temporal imposto pelo filtro ao sinal de entrada. 
 
 
1.2 Filtros Reais 
 
O circuito RC série mostrado a seguir é um exemplo de filtro analógico passivo do tipo 
Passa-Baixas (FPB): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As equações do circuito elétrico nos dão: 
Adotando como entrada do filtro, x(t), o sinal dt
tdvCtitvtiRtv ccs
)()( e )()(.)( =+=




>
<
=
C
CH
ωω
ωω
ω
,0
,1)(




>
<
=
C
CH
ωω
ωω
ω
,1
,0)(


 <<
=
contráriocaso
H
,0
,1)( 21 ωωωω


 <<
=
contráriocaso
H
,1
,0)( 21 ωωωω
R 
C vc(t) vs(t) 
)()()( ty
dt
tdyRCtx +=
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da fonte de tensão vs(t), e como sinal de saída do filtro, y(t), a tensão sobre o capacitor vc(t), 
então podemos reescrever a equação acima como: 
 
 
 
 
Aplicando a Transformada de Fourier em ambos os lados da equação, podemos calcular a 
Resposta em Frequência do FPB-RC (o módulo de H(ω) é o ganho de tensão Av): 
 
 
Exemplo: FPB analógico de primeira ordem, com fc = 100 Hz e C = 1µF: 
 Como ωc = 1/(R.C), logo: R = 1/(100.2pi.10-6) = 1,591 KΩ 
 
 Resposta em Frequência do FPB: H(ωωωω) = 1 / (1 + j ωωωω.1,591x10-3) 
0 500 1000 1500 2000
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
FPB – Módulo
20
lo
g 1
0(A
v) 
(dB
)
freq (Hz)
0 500 1000 1500 2000
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
FPB – Fase
Fa
se
(H
( ω
)) 
(ra
d)
freq (Hz)
 
 
f = 0:2000; % variação de frequência linear (Hz) 
w = 2*pi*f; % frequência angular (rad/s) 
C = 1.0e-6; % C = 1 uF 
R = 1/(200*pi*C); % R (Ohm) 
H = 1./(1+j*w*R*C); % função complexa 
subplot(1,2,1); plot(f,20*log(abs(H))); title('FPB – Módulo') 
ylabel('20log_{10}(A_v) (dB)'); xlabel('freq (Hz)'); grid 
subplot(1,2,2); plot(f,angle(H)); title('FPB – Fase') 
ylabel('\teta_H(\omega) (rad)'); xlabel('freq (Hz)'); grid 
RCjRCjX
YHYYjRC c
c
1
 ,
/1
1
1
1
)(
)()()()(..)(X =
+
=
+
==⇒+= ω
ωωωω
ω
ωωωωω
( ) ( ) ( ) 




==∠
+
=
+
==
cc
v arctgRCarctgHFase
RC
AHMódulo
ω
ω
ωω
ωωω
ω )(:
1
1
1
1)(:
22
Matlab 
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# coding: utf-8 
from numpy import arange, pi, abs, angle, log10 
from matplotlib.pylab import subplot,plot,xlabel,ylabel,title 
 
f = arange(0,2000) # variação de frequência linear (Hz) 
w = 2*pi*f # frequência angular (rad/s) 
C = 1.0e-6 # C = 1 uF 
R = 1/(200*pi*C) # R (Ohm) 
H = 1./(1. + 1j*w*R*C) # função complexa 
subplot(1,2,1); plot(f,20*log10(abs(H))); title(u'FPB - Módulo') 
ylabel('$20.log_{10}(A_v)$(dB)');xlabel('freq (Hz)'); grid('on') 
subplot(1,2,2); plot(f,angle(H)); title('FPB - Fase') 
ylabel('$\t_H(\omega)$ (rad)'); xlabel('freq (Hz)'); grid('on') 
 
 
 
1.3 Largura de Faixa dos Filtros (Bandwidth) 
 
• Absoluta, WB : 
o FPB: WB = ωc 
o FPF: WB = ωc2 - ωc1 
o FRF e FPA: WB indefinido 
 
Obs.: Um FPF é considerado faixa estreita (narrow bandwith) se WB << ω0, onde ω0 é a 
frequência central do filtro: ω0 = (ωc1 + ωc2) / 2 
 
• Freq. de Meia Potência (ou de 3 dB), W3dB : esta medida é mais usada com filtros 
causais (práticos), e é definida como sendo a frequência positiva para a qual a 
magnitude do espectro se torne |H(ωc)| = |H(0)|/√2, ou seja, tem sua magnitude 
(potência) caindo pela metade (-3 dB). 
 
 
 
1.4 Largura de Faixa do Sinal 
 
 É definida como sendo o intervalo de frequências positivas dentro do qual se situa a 
“maior parte” da energia (ou potência) do sinal. 
 
• Largura de Faixa 3 dB: idem à definição de largura de faixa 3 dB para filtros. 
 
 
• Largura de Faixa de 90% do conteúdo de energia do sinal (W90): 0,9 E 
 
 
 
 
 
 
 
∫
∫
=
=
∞
90
0
2
0
2
)(19,0
)(1
W
x
x
dXE
dXE
ωω
pi
ωω
pi
Python 
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Obs.: Um sinal x(t) é chamado de sinal de faixa limitada se |X(ω)| = 0 para |ω| > ωM onde ωM 
é a frequência máxima do sinal. 
 
 Para um sinal de faixa limitada, costuma-se definir ωM como sendo a largura de faixa 
do sinal. 
 
 
 
2. Procedimento (simulação) 
 
1 Considere o filtro analógico mostrado no circuito dado a seguir. Encontre a resposta em 
frequência H(ω) desse filtro e classifique-o quanto a banda de passagem. Trace os 
gráficos da magnitude (ganho de tensão) e fase do espectro. Os componentes passivos 
R e C têm os mesmos valores do filtro usado no exemplo anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 Calcule a magnitude e a fase desse filtro para o ponto de meia potência. 
 
3 No circuito anterior, troque o capacitor por um indutor e avalie a resposta em frequência do 
novo circuito, considerando que a frequência de corte não deve ser alterada. 
 
 
 
 
3. Questões 
 
1 Pesquise sobre a técnica de acesso à Internet Banda Larga ADSL e projete um filtro 
passivo de 2ª ordem que permita a passagem apenas do sinal de voz. 
 
2 Qual é o principal fator de qualidade do filtro projetado no item anterior, em termos de 
inteligibilidade da voz? Dica: considere os seguintes fatores: decaimento (dB/década), 
atenuação mínima na banda de rejeição, dependência da carga. 
 
 
R 
C 
vR(t) = y(t) vs(t) = x(t) 
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4. Apêndice 
 
Fator de Qualidade: Q = 2pi. Energia Armazenada / Energia Dissipada por ciclo 
 
Para um oscilador amortecido: Q = f0 / ∆f 
 
onde f0 é a freq. de ressonância e ∆f é a largura de banda do sinal (largura de faixa da 
resposta em frequência do oscilador). 
 
• Q < ½ Sistema sobreamortecido 
• Q > ½ Sistema subamortecido 
• Q = ½ Sistema criticamente amortecido (filtro Sallen-Key) 
 
Filtros de segunda ordem com resposta em frequência mais plana na banda passante, como 
os filtros Butterworth, têm Q = 1/√2 = 0,707. E os filtros de segunda ordem com atraso de 
grupo mais plano, como os filtros Bessel, têm Q = 1/√3 = 0,577.