Derivação das Transformações de Lorentz

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1 Derivação simples das transformações de Lorentz
O texto abaixo é de um apêndice do livro de Einstein ’A Teoria da Relatividade
Especial e Geral’. Verifiquem a clareza dos argumentos.
Na orientação relativa dos sistemas de coordenadas indicada na figura 2, os
eixos dos x dos dois sistemas coincidem permanentemente. Aqui, nós podemos
dividir o problema, considerando de início apenas os eventos localizados sobre
o eixo dos . Um tal evento, em relação ao sistema de coordenadas , é dado
pela abscissa  e pelo tempo , e em relação a 0 pela abscissa 0 e o tempo 0.
Trata-se de encontrar 0 e 0 quando são dados  e . Um sinal luminoso que
avança ao longo do eixo positivo dos  se propaga segundo a equação
 = 
ou
−  = 0 (1)
Como o mesmo sinal luminoso deve propagar-se também em relação a 0
com a velocidade , a propagação em relação a 0será descrita pela fórmula
análoga
0 − 0 = 0 (2)
Os pontos do espaço-tempo (eventos) que satisfazem à equação (1) também
devem satisfazer à equação (2). Isto manifestamente há de ocorrer se, de maneira
geral, a relação
(0 − 0) = (− ) (3)
for satisfeita, onde  designa uma constante; pois, de acordo com (3), o fato de
−  ser nulo acarreta que também 0 − 0 será nulo.
Uma consideração inteiramente análoga aplicada a raios luminosos que se
propagam ao longo do eixo  negativo fornece a condição:
0 + 0 = (+ ) (4)
1
Somando e subtraindo as equações (3) e (4), onde por razões de comodidade
introduzimos as constantes
 = + 
2
 = − 
2
em lugar das constantes  e , obtemos
0 = − 
0 = −  (5)
Com isso, nosso problema estaria resolvido, se as constantes  e  fossem
conhecidas; estas resultam das seguintes considerações.
Para a origem de 0 temos permanentemente que 0 = 0, e por conseguinte,
de acordo com a primeira das equações (5):
 =  
Designando por  a velocidade com que a origem de 0 se
movimenta em relação a , temos que
 =  (6)
Obtém-se o mesmo valor  da equação (5) quando calculamos a velocidade,
em relação a , de um outro ponto de 0, ou então a velocidade (dirigida
segundo o eixo  negativo) de um.ponto de  em relação a 0. Em resumo,
podemos considerar  como a velocidade relativa dos dois sistemas.
Além disso, de acordo com o princípio da relatividade, é claro que o com-
primento (observado a partir de ) de uma régua unitária que está em repouso
em relação a 0 deve ser exatamente o mesmo que o comprimento (observado
de 0) de uma régua unitária em repouso relativamente a . Para ver como os
pontos do eixo  0 se apresentam quando observados de K, basta fazermos um
"instantâneo" de 0 a partir de ; isto significa que devemos introduzir para
 (tempo de ) um valor determinado, por exemplo,  = 0. Para este valor,
obtemos da primeira das equações (5):
0 = 
Em nosso instantâneo, dois pontos do eixo  0 que medidos em 0 estão
separados por uma distância 0 = 1 têm, por conseguinte, a distância
∆ = 1 (7)
2
Mas se fizermos o instantâneo a partir de 0(0 = 0),obtemos de (5), quando
eliminamos t e levando em conta (6):
0 = 
µ
1− 
2
2
¶

Concluímos daí que dois pontos do eixo  que (em relação a ) estão
separados pela distância igual a 1 têm em nosso instantâneo a distância
∆0 = 
µ
1− 
2
2
¶
(7a)
Como, pelo que já ficou dito, as duas fotografias instantâneas têm que ser
iguais, ∆ em (7) tem que ser igual a ∆0 em (7a), de modo que temos:
2 = 1
1− 22
(7b)
As equações (6) e (7b) determinam as constantes  e . Introduzindo em
(5), obtemos a primeira e a quarta das equações indicadas no item 11 do livro
de Einstein.
0 = −
1− 22
0 = − 2 
1− 22
(8)
Com isto obtivemos as transformações de Lorentz para eventos sobre o eixo
. Elas satisfazem à condição
02 − 202 = 2 − 22 (8a)
Para estender este resultado aos eventos que ocorrem fora do eixo , con-
servamos as equaçoes (8) e acrescentamos as relações
0 = 
0 =  (9)
Com isto satisfazemos ao postulado da constância da velocidade da luz no
vácuo para raios luminosos de direção arbitrária, tanto para o sistema 0 como
também para o sistema , como podemos ver da seguinte maneira.
Suponhamos que no tempo  = 0 seja emitido da origem de  um sinal
luminoso. Sua propagação se dá segundo a equação
 =p2 + 2 + 2 = 
3
ou, se elevamos esta equação ao quadrado, de acordo com a equação
2 + 2 + 2 − 22 = 0 (10)
A lei da propagação da luz, juntamente com o postulado da relatividade,
exige que a propagação do mesmo sinal — observado a partir de 0 — se dê de
acordo com a fórmula correspondente
0 = 0
ou
02 + 02 + 02 − 202 = 0 (10a)
Para que a equação (10a) seja uma conseqüência da equação (10), temos que
ter:
02 + 02 + 02 − 202 =  ¡2 + 2 + 2 − 22¢ (11)
Como a equação (8a) deve ser válica pontos sobre o eixo   deve ser igual
a um. Reconhecemos facilmente que as transformações de Lorentz satisfazem
à equação (11) com  = 1; com efeito, (11) é uma conseqüência de (8a) e (9),
portanto também de (8) e (9). Assim estão deduzidas as transformações de
Lorentz.
As transformações de Lorentz representadas por (8) e (9) ainda precisam
ser generalizadas. Evidentemente, não é importante que os eixos de 0 sejam
escolhidos paralelos aos de . Também não é importante que a velocidade
de translação de 0 em relação a  tenha a direção do eixo . Podemos
considerar as transformações de Lorentz, neste caso geral — como o mostra uma
consideração simples —, como compostas de transformações de duas espécies,
a saber, de transformações de Lorentz no sentido restrito e de transformações
puramente espaciais, o que corresponde a substituir o sistema de coordenadas
retangulares por outro cujos eixos tenham uma orientação diferente.
Do ponto de vista matemático as transformações generalizadas de Lorentz
podem ser caracterizadas da maneira seguinte: elas exprimem 0, 0, 0,  em
termos de funções lineares homogêneas de , , ,  tais que a relação
02 + 02 + 02 − 202 = 2 + 2 + 2 − 22 (11a)
seja identicamente satisfeita. Isto quer dizer: se no primeiro membro substi-
tuirmos 0 etc. por suas expressões em   ,  o primeiro membro de (11a),se
torna idêntico ao segundo.
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