PERFIL DE TEMPERATURA EM SÓLIDOS

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CAMPUS DE TOLEDO
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
PRÁTICA 07 – PERFIL DE TEMPERATURA EM SÓLIDOS
GABRIELA JULIANI MOREIRA
LUÍSA ROBERTO MARTINS
MARJHORIE THAIS MENEGUZZO DEON
ROBERTA GONÇALVES BENETTI
TOLEDO– PR,
OUTUBRO – 2015.
GABRIELA JULIANI MOREIRA
LUÍSA ROBERTO MARTINS
MARJHORIE THAIS MENEGUZZO DEON
ROBERTA GONÇALVES BENETTI
PRÁTICA 07 – PERFIL DE TEMPERATURA EM SÓLIDOS
Relatório entregue como requisito parcial de avaliação da disciplina de Laboratório de Engenharia Química I do curso de Engenharia Química da Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Campus Toledo.
Prof. Me. Lucas Maycon Hoff Zeni
TOLEDO – PR,
OUTUBRO – 2015.
1. EXPOSIÇÃO DO PROBLEMA 
Deseja-se determinar os coeficientes médios de transferência de calor de três barras metálicas cilíndricas de materiais e diâmetros distintos. Além disso, determinar o calor trocado entre essas barras e o ambiente. Para isto montou-se um módulo experimental, no qual obtiveram-se os perfis de temperatura em regime permanente para cada barra. 
2. SOLUÇÃO DO PROBLEMA
Para que fosse possível obter os perfis de temperatura de cada barra fez-se o uso de um módulo de aletas, termopares, paquímetro e régua. O módulo de aletas era composto de uma caixa de vapor, linha de distribuição de vapor, purgador e três aletas: a primeira de alumínio e a segunda e terceira de aço inoxidável AISI 304. Essas aletas possuíam diferentes diâmetros e mesmo comprimento. Ao longo de cada uma havia locais específicos e não igualmente espaçados, para as tomadas de temperatura. O vapor gerado na caldeira era conduzido até a caixa de vapor. A partir de um manômetro mediu-se a pressão de vapor no interior da caixa e determinou-se a temperatura do vapor da água. O condensado foi removido através do purgador.
Inicialmente, mediu-se com o paquímetro o diâmetro das três aletas e as posições dos 15 primeiros pontos, nos quais eram tomadas as temperaturas. Então, abriu-se a válvula da tubulação de vapor, para que o vapor fosse inserido na caixa. Após o sistema atingir regime permanente, foram medidas as temperaturas nos 15 primeiros pontos de referência em cada barra, sendo que apenas na aleta 1 havia 14 pontos. A temperatura ambiente foi medida em triplicata e os dados obtidos no decorrer do experimento foram anotados para cálculos posteriores.
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os dados obtidos experimentalmente para as três aletas, referentes as posições e temperatura de cada ponto estão dispostos na Tabela 1.
Tabela 1 – Valores de temperatura referentes aos comprimentos x coletados ao longo das aletas.
	Aleta 1
	Aleta 2
	Aleta 3
	T(°C)
	x (m)
	T(°C)
	x (m)
	T(°C)
	x (m)
	56
	0
	82
	0
	70
	0
	46
	0,02
	78
	0,02
	62
	0,02
	41
	0,04
	73
	0,04
	55
	0,04
	33
	0,08
	69
	0,06
	50
	0,06
	30
	0,12
	62
	0,10
	42
	0,10
	28
	0,16
	56
	0,14
	36
	0,14
	26
	0,22
	50
	0,18
	33
	0,18
	25
	0,28
	44
	0,24
	29
	0,24
	25
	0,34
	40
	0,30
	27
	0,30
	25
	0,40
	36
	0,36
	26
	0,36
	25
	0,50
	33
	0,42
	25
	0,42
	25
	0,60
	31
	0,52
	24
	0,52
	25
	0,70
	29
	0,62
	24
	0,62
	25
	0,80
	28
	0,72
	24
	0,72
	-
	-
	27
	0,82
	24
	0,82
A pressão manométrica do vapor d’gua no interior da caixa de vapor medida foi 0,8 kgf/cm2 , a temperatura de 110 °C e a temperatura ambiente era de 23,7 °C.
Para a descrição do comportamento de uma barra submetida a diferentes variações de temperatura em um dos seus extremos admite-se que a temperatura da barra é uniforme ao longo da mesma, uma vez que seja considerado um fluxo de calor unidimensional. Além disso, despreza-se a variação das propriedades físicas dos matérias (k, ρ, Cp) com a temperatura e supõe-se um regime estacionário, afim de obter a equação (01) do balanço diferencial de energia (INCROPERA et al., 2014).
 (01)
A temperatura adimensional θ é definida pela equação (02):
 (02)
Sendo assim, relacionando com a equação (01) tem-se (03):
 (03)
A partir da Tabela 1 determinou-se θ para cada ponto utilizando-se da Equação (02). Os dados obtidos estão expostos na Tabela 2.
Tabela 2 – Posições na aleta e temperaturas adimensionais.
	Aleta 1
	Aleta 2
	Aleta 3
	x (m)
	Θ1
	x (m)
	Θ2
	x (m)
	Θ3
	0
	1,0000
	0
	1,0000
	0
	1,0000
	0,02
	0,6904
	0,02
	0,9314
	0,02
	0,8272
	0,04
	0,5356
	0,04
	0,8456
	0,04
	0,6760
	0,08
	0,2879
	0,06
	0,7770
	0,06
	0,5680
	0,12
	0,1950
	0,10
	0,6569
	0,10
	0,3952
	0,16
	0,1331
	0,14
	0,5540
	0,14
	0,2657
	0,22
	0,0712
	0,18
	0,4511
	0,18
	0,2009
	0,28
	0,0402
	0,24
	0,3482
	0,24
	0,1145
	0,34
	0,0402
	0,30
	0,2796
	0,30
	0,0713
	0,40
	0,0402
	0,36
	0,2110
	0,36
	0,0497
	0,50
	0,0402
	0,42
	0,1595
	0,42
	0,0281
	0,60
	0,0402
	0,52
	0,1252
	0,52
	0,0065
	0,70
	0,0402
	0,62
	0,0909
	0,62
	0,0065
	0,80
	0,0402
	0,72
	0,0738
	0,72
	0,0065
	-
	-
	0,82
	0,0566
	0,82
	0,0065
O parâmetro m da Equação (03) é definido por (04):
 (04)
Onde é o coeficiente médio de transferência de calor, P é o perímetro da seção da barra, k é a condutividade térmica do material e A é a área da seção transversal da barra. 
Para cálculos posteriores, fez-se necessário calcular a área da seção transversal das aletas cilíndricas e seus respectivos perímetros. Os diâmetro das aletas 1, 2 e 3 são 0,01282 m, 0,01286 m e 0,02537 m, respectivamente. A aleta 1 era de alumínio e as aletas 2 e 3 de aço inoxidável AISI 304, a condutividade térmica (k) destas foram obtidas da literatura (INCROPERA, 2012). Esses valores estão dispostos na Tabela 3.
Tabela 3 – Áreas, perímetros e condutividade térmica das aletas 1, 2 e 3.
	Aleta
	Área (m2)
	Perímetro (m)
	K (W/m-1.K-1)
	1
	0,0001
	0,0403
	237
	2
	0,0001
	0,0404
	14,9
	3
	0,0005
	0,0797
	14,9
Com a finalidade de determinar o coeficiente médio de transferência de calor (, utiliza-se duas principais condições de contorno para a solução da E.D.O da Equação (03). Sendo elas:
 - Condição de contorno 01 (C.C.01):
Quando x=0 a temperatura a ser avaliada é a inicial (T=T0)
- Condição de contorno 02 (C.C.02), a qual possui duas formulações (A e B):
C.C.02a: Quando (barra semi-infinita), a temperatura a ser avaliada é a temperatura ambiente ().
C.C.02b: Quando x=L e a barra possui as extremidades isoladas e dT/dx=0.
Partindo dessas condições de contorno, tem-se a Equação (05) e (06), para a formulação A e B, respectivamente.
 (05)
 (06)
3.1 Determinação do parâmetro m pela formulação A
Da Equação (05) tem-se (07):
ln = - m.x (07)
Então, foi necessário calcular ln (dipostos na Tabela 4) para posteriormente plotar o gráfico ln versus posição na aleta (x). Os gráficos estão representados nas Figuras 1, 2 e 3.
Tabela 4 – Posições na aleta e logaritmo das temperaturas adimensionais.
	Aleta 1
	Aleta 2
	Aleta 3
	x (m)
	ln Θ1
	x (m)
	ln Θ2
	x (m)
	ln Θ3
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0,02
	-0,3705
	0,02
	-0,0711
	0,02
	-0,1897
	0,04
	-0,6244
	0,04
	-0,1677
	0,04
	-0,3915
	0,08
	-1,2451
	0,06
	-0,2523
	0,06
	-0,5656
	0,12
	-1,6345
	0,10
	-0,4202
	0,10
	-0,9282
	0,16
	-2,0165
	0,14
	-0,5905
	0,14
	-1,3255
	0,22
	-2,6422
	0,18
	-0,7960
	0,18
	-1,6051
	0,28
	-3,2127
	0,24
	-1,0550
	0,24
	-2,1674
	0,34
	-3,2127
	0,30
	-1,2744
	0,30
	-2,6412
	0,40
	-3,2127
	0,36
	-1,5560
	0,36
	-3,0022
	0,50
	-3,2127
	0,42
	-1,8356
	0,42
	-3,5728
	0,60
	-3,2127
	0,52
	-2,0777
	0,52
	-5,0391
	0,70
	-3,2127
	0,62
	-2,3979
	0,62
	-5,0391
	0,80
	-3,2127
	0,72
	-2,6070
	0,72
	-5,0391
	-
	-
	0,82
	-2,8717
	0,82
	-5,0391Figura 1: Logarítmo da temperatura adimensional versus a posição na aleta 1.
Figura 2: Logarítmo da temperatura adimensional versus a posição na aleta 2.
Figura 3: Logarítmo da temperatura adimensional versus a posição na aleta 3.
No caso da aleta 1, eliminou-se os últimos seis pontos coletados, uma vez que a temperatura permaneceu constante a partir de 8 posições. Assim, fez-se o ajuste somente desses 8 primeiros pontos.
Os valores do parâmetro m (coeficiente angular) resultantes do ajuste linear e os respectivos coeficientes de determinação (R2) para cada aleta estão dispostos na Tabela 5.
Tabela 5 - Parâmetro m e coeficiente de determinação dos ajustes lineares da Formulação A.
	Aleta
	Parâmetro m (m-1)
	R2
	1
	11,2512 ± 0,4566
	0,9886
	2
	3,6436 ± 0,1178
	0,9856
	3
	7,0094 ± 0,4751
	0,9393
3.2 Determinação do parâmetro m pela formulação B.
Plotou-se os gráfico de θ versus posição na aleta (x), representados pelas Figuras 4, 5 e 6, para as três aletas e fez-se um ajuste não-linear dos dados segundo a equação (06).
Figura 4: Temperatura adimensional versus a posição na aleta 1.
 Figura 5: Temperatura adimensional versus a posição na aleta 2.
 Figura 6: Temperatura adimensional versus a posição na aleta 3.
Os valores do parâmetro m resultantes do ajuste não-linear e os respectivos coeficientes de determinação (R2) para cada aleta estão dispostos na Tabela 6.
Tabela 6 - Parâmetro m e coeficiente de determinação dos ajustes não-lineares da Formulação B.
	Aleta
	Parâmetro m (m-1)
	R2
	1
	14,8005 ± 0,7856
	0,9863
	2
	4,2448 ± 0,0510
	0,9987
	3
	9,2604 ± 0,0925
	0,9994
Determinação do coeficiente médio de transferência de calor experimental
Utilizando-se dos valores do perímetro, área da seção e condutividade térmica de cada aleta (dispostos na Tabela 3) e, ainda, dos parâmetros m definidos pelas formulações A e B foi possível determinar o coeficiente médio de transferência de calor de cada aleta isolando-se da equação (04), obtendo-se (08). Os valores de estão apresentados na Tabela 7.
 (08)
Tabela 7 – Valores determinados de coeficiente médio de transferência de calor para cada aleta.
	Aleta
	Formulação
	Parâmetro m (m-1)
	Coeficiente (W.m-2.K-1)
	1
	A
	11,2512
	74,4460
	
	B
	14,8005
	128,8238
	2
	A
	3,6436
	0,4896
	
	B
	4,2448
	0,1565
	3
	A
	7,0094
	4,5926
	
	B
	9,2604
	8,0160
Comparando-se os valores obtidos para o coeficiente para as formulações A e B, têm-se uma discrepância de 42,21%, 68,03%, 42,71% para as aletas 1, 2 e 3, respectivamente. O que indica que a aleta 1 e 3 apresentaram maior precisão nos resultados do que a aleta 2.
3.3 Determinação do coeficiente médio de transferência de calor teórico por meio de correlações empíricas.
É necessário avaliar em qual situação esta ocorrendo convecção, para calcular o coeficiente de transferência de calor teórico (). Uma vez que adotou-se o fluxo de calor unidimensional, deve-se considerar a aleta como sendo uma placa horizontal com troca de calor para baixo. Segundo Incropera (2012), o coeficiente de transferência de calor teórico nesse caso é descrito pela Equação (09).
 (09)
Onde é a soma entre as diferenças de temperatura de cada ponto da aleta com a temperatura da superfície, dividida pelo número de pontos usados da aleta; D é o diâmetro da aleta. Os coeficientes teóricos determinados estão apresentados na Tabela 8.
Tabela 8- Coeficientes teóricos para cada aleta.
	Aleta
	Diâmetro (m)
	
	 (W.m-².K-1)
	1
	0,01282
	7,9385
	6,5847
	2
	0,01286
	27,3214
	8,9616
	3
	0,02537
	13,9643
	6,3936
Comparando-se os valores do coeficiente médio de transferência de calor obtidos experimentalmente com os valores teóricos, fica evidente uma significativa discrepância. Essa discrepância deve-se ao fato de que na determinação pelo modelo experimental considerou-se as variações de temperatura ponto a ponto da aleta, enquanto que na determinação teórica, utilizou-se a temperatura média da superfície. De fato, percebe-se que a aleta 1 obteve uma maior discrepância já que o primeiro ponto considerado não estava exatamente na extremidade da aleta. 
A condutividade térmica do material possui uma grande influência na distribuição de temperatura ao longo da aleta, o que implica no resultado da taxa de transferência de calor. Isso explica os valores de obtidos experimentalmente para a aleta 1, de alumínio, serem maiores do que os das aletas 2 e 3, as quais eram de aço. Percebe-se também que as aletas do mesmo material – 2 e 3 – apresentaram resultados divergentes, isso se deve ao diâmetro influenciar no coeficiente de troca térmica, uma vez que a aleta 3 com o maior diâmetro apresentou um maior valor de . Uma vez que o diâmetro é maior, a área de troca térmica entre a aleta e o ar é maior, o que implica em uma maior transferência de calor. Além disso, as discrepâncias também podem ser justificadas pelo termopar não ter apresentado total estabilidade durante a realização da prática. 
3.4 Determinação da taxa de calor transferido pelas aletas 
O calor dissipado por convecção, em regime permanente, em uma barra pode ser determinado pelas Equações (10) e (11).
 (10)
 (11)
No caso da Equação (10), a integral da variação de temperatura em função da posição por meio da integração numérica foi determinada utilizando-se do método do trapézio, explicado no Apêndice A. 
Para a Equação (11), a derivada da temperatura em função da posição na aleta avaliada na posição x=0 foi determinada pelo método das diferenças finitas, o qual está descrito no Apêndice B.
A partir dos valores obtidos para a integral e para a derivada das Equações (10) e (11) respectivamente, foi possível calcular a taxa de calor transferido para cada aleta por ambas as equações utilizando-se dos coeficientes de transferência de calor obtidos pela formulação A e B. Os valores de estão dispostos na tabela 9.
Tabela 9 – Valores de taxa de calor transferido para as três aletas.
	Aleta
	 (10) (W)
	 (11) (W)
	1
	8,9405
	11,85
	
	15,4710
	
	2
	0,2708
	0,30
	
	0,0866
	
	3
	1,9034
	2,98
	
	3,3221
	
Analisando-se os valores, percebe-se uma divergência entre os calculados pelas Equacoes (10) e (11). Isso se deve ao fato de que na Equação (10) considera-se o calor dissipado apenas por convecção, enquanto que pela Equação (11) todo o calor que sai da aleta por condução e transferido por convecção. Alem disso, a significativa diferença entre os valores de da aleta 1 para as aletas 2 e 3 se justifica devido a condutividade térmica do alumínio ser consideravelmente maior do que a do aço inoxidável. 
A partir dos cálculos realizados foi possível solucionar o problema proposto, uma vez que obtiveram-se os valores experimentais e teóricos do coeficiente médio de transferência de calor, partindo dos perfis de temperatura medidos para três aletas com materiais e diâmetros distintos. Pôde-se determinar também o calor trocado entre as aletas e o ambiente.
Comparando-se os valores do coeficiente médio de transferência de calor experimentais com os teóricos, pode-se concluir que os obtidos experimentalmente não se comportaram de maneira esperada. Essa divergência pode ser justificada pela falta da calibração do termopar e falhas do operador. Além disso, provou-se a influência do diâmetro e do material das aletas nos resultados obtidos para e .
APÊNDICES
Apêndice A – Integração numérica pelo método do trapézio.
Aplica-se o método do trapézio, conforme a Equação A, partindo dos dados da Tabela 1, para que seja possível calcular a integral da variação da temperatura em função da posição na aleta.
 (A)
Onde h é o tamanho de cada trapézio individual e é determinado pela diferença entre uma posição xn na aleta e a posição anterior xn-1. Para a integral proposta na Equação (10), tem-se a Equação B.
 (B)
Os valores da integral obtidos pelo método do trapézioforam 2,98, 13,69 e 5,20 m.K para as aletas 1, 2 e 3 respectivamente.
Apêndice B – Derivada numérica pelo método das diferenças finitas.
O método das diferanças finitas consiste em aproximar o valor da derivada a uma variação entre dois pontos próximos, segundo a Equação C.
 (C) 
Sendo assim, para calcular a derivada no ponto x=0 foram utilizados os dois pontos próximos de x=0, ou seja, os dois primeiros pontos medidos na aleta, conforme a Equação D.
 (D)
Os valores obtidos da derivada foram -500 K.m-1 para a aleta 1, -200 K.m-1 para a 2 e -400 K.m-1 para a 3.