Material Complementar sobre o Método da Bisseção - Cálculo Numérico

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MÉTODO DA BISSEÇÃO 
O método consiste em, a partir de um intervalo [a,b] localizado inicialmente 
onde encontra-se uma possível raiz 
x
, que pode ser verificada através do Teorema do 
Valor Intermediário, determinar uma sequência de intervalos 
 ,i ir s
, i = 0, 1, 2,... onde 
0r a
 e 
0s b
 de forma que a amplitude do intervalo anterior numa iteração é a metade 
da amplitude do intervalo anterior e que sempre contenha a raiz 
x
. A sequência de 
intervalos será calculada até que a amplitude do intervalo seja menor que uma tolerância 

 preestabelecida. 
Este método possui um problema relacionado ao esforço computacional que 
cresce demasiadamente quando se aumenta a precisão ou tolerância exigida. Uma das 
formas de resolver tal problema é tomar como um dos critérios de parada certo número 
de iterações. 
 
Exemplo 
Determinar um valor aproximado para 
5
, com erro inferior 
210
. 
 
Solução 
 
Observe que o problema é equivalente a determinar a raiz de 
2( ) 5f x x 
, com erro 
inferior a
210
, pois 
2 2( ) 0 5 0 5 5f x x x x       
 
Então, 
Testamos o teorema do valor intermediário, encontrando possíveis valores tais que 
( ) ( ) 0f a f b 
. Portanto, fazendo x = 2 e x = 2,5, temos: 
2 2( ) 5 (2) 2 5 (2) 1f x x f f       
 
 
22( ) 5 (2,5) 2,5 5 (2,5) 1,25f x x f f      
 
Ao multiplicarmos, 
(2) (2,5) 0f f 
 o que demonstra nossa hipótese. 
A partir deste ponto podemos calcular quantas etapas ou iterações mínimas serão 
necessárias para determinar a raiz. 
 
   0 0 2 2 2 2 2
1
2,5 2 0,5 1 1 1
10 10 10 10 10
2 2 2 2 2 2n n n n n
s r     

 
         
 
 
       1 2 1 2
2ln10
2 10 ln 2 ln 10 1 ln 2 2ln10 1
ln 2
n n n n          
 
 1 6,64 6,64 1 5,64n n n      
 
Logo, serão necessários um valor próximo de 6 iterações para obtermos a raiz dentro da 
tolerância exigida no enunciado. 
Neste ponto do problema utilizaremos o Algoritmo do Método da Bisseção para 
montarmos a tabela e encontrarmos o valor da raiz. 
 
 
Dados de entrada E = 0.01 r0 = 2 i = 0 
 
 
F(x) = x
 2
-5 s0 = 2.5 
 
 Se f(ri)f(xi) < 0 Se f(ri)f(xi) > 0 Crit. de Parada 
i ri si xi = (ri+si)/2 f(ri)f(xi)<0 ri+1 = ri si+1 = xi ri+1 = xi si+1 = si |xi+1-xi|/|xi+1| 
0 2.00000 2.50000 2.25000 -0.06250 2.00000 2.25000 
1 2.00000 2.25000 2.12500 0.48438 2.12500 2.25000 0.05882 não serve 
2 2.12500 2.25000 2.18750 0.10406 2.18750 2.25000 0.02857 não serve 
3 2.18750 2.25000 2.21875 0.01657 2.21875 2.25000 0.01408 não serve 
4 2.21875 2.25000 2.23438 0.00058 2.23438 2.25000 0.00699 ok 
5 2.23438 2.25000 2.24219 -0.00021 2.23438 2.24219 0.00348 ok 
6 2.23438 2.24219 2.23828 -0.00007 2.23438 2.23828 0.00175 ok 
 
 
 
As iterações 5 e 6 são desnecessárias, pois a precisão solicitada no enunciado foi atingida na 
quarta iteração, cujo valor grifado em verde é o valor obtido pelo método para o problema. 
 
Podemos verificar se o valor obtido realmente é coerente verificando os erros absoluto e relativo 
do valor encontrado comparando-o com o valor aproximado para a raiz, 2,23607. 
Calculando o erro absoluto, temos: 
2,23607 2,23438 0,00169AE   
 
 
Calculando o erro relativo, temos: 
0,00169
100% 0,08%
2,23607
R RE E   
 
 
Tal resultado nos mostra que o método possui uma boa aproximação do valor sugerido.