CDI II Lista 12- Integrais de Linha

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Preceptores: Cesar Postingel Ramos e Juniormar Organista.
Co´digo da mate´ria: CDI II
Cursos atendidos: Estat´ıstica, F´ısica e Qu´ımica.
Lista XII
1. Calcule a integral de linha
∫
C
y
x
dS, onde C : x = t4, y = t3, e 1
2
≤ t ≤ 1.
2. Calcule a integral de linha
∫
C
F · dr, onde F (x, y, z) = yzi + xzj + xyk e C e´ dada pela
func¸a˜o vetorial r(t) = ti + t2j + t3k e 0 ≤ t ≤ 2.
3. Determine uma func¸a˜o f tal que F = ∇f e a use para calcular
∫
C
F · dr, sobre a curva C
dada:
(a) F (x, y) = x3y4i + x4y3j, onde C : r(t) =
√
ti + (1 + t3)j e 0 ≤ t ≤ 1.
(b) F (x, y, z) = yzi + xzj + (xy + 2z)k, onde C e´ o segmento de reta de (1, 0,−2) a
(4, 6, 3).
4. Calcule a integral de linha diretamente e depois utilizando o Teorema de Green:
(a)
∮
ydx− xdy, onde C e´ o c´ırculo centrado na origem e raio igual a 1.
5. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva com orientac¸a˜o
positiva:
(a)
∫
C
eydx + 2xeydy, C e´ o quadrado de lados x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1.
6. Determine a a´rea da superf´ıcie:
(a) A parte do plano com equac¸a˜o vetorial r(u, v) = 〈1 + v, u − 2v, 3 − 5u + v〉 que e´
dada por 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.
(b) A superf´ıcie com equac¸a˜o parame´trica x = uv, y = u + v, z = u− v e u2 + v2 ≤ 1.
1
7. Calcule a integral de superf´ıcie
∫∫
S
ydS, S e´ a superf´ıcie z = 2
3
(
x
3
2 + y
3
2
)
, 0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ y ≤ 1.
8. Use o Teorema da Divergeˆncia para calcular a integral de superf´ıcie
∫∫
S
F · dS, ou seja,
calcule o fluxo de F atrave´s de S.
(a) F (x, y, z) = exsen(y)i+ex cos(y)j+yz2k, S e´ a superf´ıcie da caixa delimitada pelos
planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 2.
2