Equação Geral do 2°

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A equação geral do segundo grau. 
 
A equação polinomial do segundo grau mais geral nas variáveis e com coeficientes 
constantes e reais, tem a forma 
 
 (1) 
 
 
 Nosso objetivo é determinar o que esta equação representa no caso em que os coeficientes 
A
, 
B
 e 
C
 não são ao mesmo tempo iguais a zero. Do contrário, já sabemos que a 
equação representa uma reta. 
 
As equações canônicas, de translação e rotação das cônicas, estudadas nas seções 
anteriores, tem a forma dessa equação. Vejamos mais alguns exemplos. 
 
Exemplo. A equação
   
2 2
1 4 1 1x y   
representa uma elipse com translação. 
Desenvolvendo os termos quadráticos, obtemos 
 
 . (2) 
 
Da mesma forma, desenvolvendo a equação da parábola 
2( 1) 12( 2)y x  
 resulta 
 
 . (3) 
 
Consideremos, agora, um exemplo de hipérbole com rotação com a equação 
 
   
2 2
2 3 2 3
1
9 4
x y y x 
 
. 
 
Desenvolva os termos quadráticos. Resulta na equação 
 
 . (4) 
 
 
Observações importantes 
 
1) As equações de translação, ao serem desenvolvidas, não tem um termo misto . 
As equações (2) e (3) ilustram isso. 
 
2) As equações de rotação e de R-T (isto é, translação e rotação combinadas), ao serem 
desenvolvidas, tem, em geral, um termo misto . Isso pode ser observado na 
equação (4). No entanto, em alguns casos especiais o termo misto não ocorre. Por 
exemplo, no caso especial de uma rotação de 90 graus ou de 90 graus mais 
múltiplos de 180 graus. Os exercícios a seguir ilustram esses casos. 
 
 
Exercício 
 
Determine as equações de rotação da elipse, da hipérbole e da parábola no caso em que o 
ângulo de rotação é 90 graus. Lembre que e . 
 
Solução. A equação de rotação da elipse: 
 
2 2
2 2
( cos sen ) ( cos sen )
1
x y y x
a b
    
 
 
 
Para graus, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 (5) 
 
No caso da parábola: 
 
2( cos sen ) 4 ( cos sen )y x p x y      
 
Portanto, para , obtemos: 
 
 (6) 
 
No caso da hipérbole: 
 
1
)sencos()sencos(
2
2
2
2




b
xy
a
yx  
 
 
Portanto, para : 
 
 
 
 
 
 
 (7) 
 
 
 
Exercício 
 
Compare as equações (5), (6) e (7) com as equações canônicas da elipse, parábola e 
hipérbole. O que você observa? 
 
Solução. As equações (5), (6) e (7) são equações de rotação. Elas não apresentam um 
termo misto. As equações são bastante parecidas com as equações canônicas com uma 
diferença importante: e estão em posições trocadas. 
 
 
 
 
Exercício 
 
Determine as equações de T-R da elipse, da hipérbole e da parábola no caso em que o 
ângulo de rotação é 90 graus. Lembre que e . 
 
Solução. No caso da elipse, temos a equação de T-R combinadas: 
 
 
2 2
2 2
[( )cos ( )sen ] [( )cos ( )sen ]
1
x h y k y k x h
a b
        
 
 
 
Portanto, para , obtemos: 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 (8) 
 
 
No caso da parábola, a equação de T-R combinadas é a seguinte: 
 
2[( )cos ( )sen ] 4 [( )cos ( )sen ]y k x h p x h y k          
 
Para , ela se reduz à seguinte equação: 
 
( ) ( ) (9) 
 
No caso da hipérbole, a equação de T-R combinadas é a seguinte: 
 
2 2
2 2
[( )cos ( )sen ] [( )cos ( ) ]
1
x h y k y k x h sen
a b
        
 
 
 
Para , obtemos 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 , (10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 
 
Compare as equações (8), (9) e (10) com as equações de translação da elipse, parábola e 
hipérbole. O que você observa? 
 
Solução. As equações (8), (9) e (10) são equações de translação e rotação e não possuem 
um termo misto quando os quadráticos são desenvolvidos. As equações são muito 
parecidas com as equações de translação das cônicas com a diferença de que ( ) e 
( ) tiveram suas posições trocadas. 
 
Uma pergunta que se pode fazer é a seguinte: Toda equação do segundo grau em e 
representa uma cônica? A resposta é não. Os exemplos a seguir mostram que nem toda 
equação do segundo grau em e representa uma cônica e, às vezes, nada representa 
geometricamente. 
 
Exemplo. A equação 
2 24 2 1 0y x x   
 pode ser colocada na forma 
 
224 1 0y x  
. 
Essa equação admite somente a solução e que representa um único ponto no 
plano com coordenadas ( ). 
 
Exemplo. A equação
2 24 2 1 0y x x   
 que podemos escrever na forma 
 
224 1 0y x  
 tem como soluções as retas 
 
1
1
2
y x  
. 
 
Exemplo. Esta outra equação 
2 24 2 2 0y x x   
, equivalente a 
 
224 1 1y x   
, não 
tem solução, ou seja, não existem números reais e que a satisfaça. Dizemos, nesse 
caso, que a equação não representa um lugar geométrico; representa o conjunto vazio. 
 
Os exemplos acima deixam claro que uma equação da forma da (1) pode representar uma 
cônica, retas, um único ponto, ou nenhum lugar geométrico. 
 
Teorema fundamental das cônicas. O número 
2 4B AC  
 é chamado de 
discriminante da equação 
 
 . 
 
onde , B, C, D, E, e F são números reais. 
 
1) Se 

<0, a equação representa uma elipse, um único ponto ou nenhum lugar 
geométrico; 
2) Se 

>0, a equação representa uma hipérbole ou um par de retas concorrentes; 
3) Se

=0, a equação representa uma parábola, um par de retas paralelas, ou apenas 
uma reta. 
 
No primeiro caso, a equação é chamada de elíptica; no segundo, hiperbólica; no terceiro, 
parabólica. 
 
 
Observação 
 
O teorema afirma que os únicos lugares geométricos representados por uma equação do 
segundo grau nas variáveis e são aqueles discriminados nos três casos. O teorema 
também afirma que embora cônicas sejam representadas por equações do segundo grau, a 
recíproca não é verdadeira. No entanto, além das cônicas, a equação só pode representar 
um ponto, retas, ou o conjunto vazio. 
 
No que segue vamos apresentar o método de redução da equação acima. Como o nome 
sugere, o método almeja obter uma equação mais simples ou “reduzida” que permite 
identificar precisamente o lugar geométrico que a equação (1) representa, se este for o caso, 
ou se ela nada representa. O método de redução considera dois casos, o caso em que a 
equação não possui termo misto ( ) e o caso em que a equação possui termo misto 
( ). 
 
I - Caso 
 
Nesse caso, a equação pode ser reduzida completando-se, primeiro, o quadrado da soma 
dos termos que só dependem, por exemplo, da variável e, em seguida, dos termos que só 
dependem da variável . A equação que se obtém no final será uma das equações de 
translação ou uma equação de T-R com graus. 
 
II - Caso 
 
Uma importante propriedade da equação (1) é que o termo 
Bxy
 sempre pode ser eliminado 
mediante uma rotação. Substituindo as relações de rotação 
 
'cos 'senx x y  
 (11) 
e 
' sen 'cosy x y  (12) 
 
 
 
 na equação (1), obtemos 
 
2 2' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0A x B x y C y D x E y F     
 (13) 
 
onde 
 
2 2' cos cosA A B sen Csen      
 
2 2' (cos sen ) 2( )sen cosB B C A       
 
2 2' cos cosC Asen B sen C      
 
' cosD D Esen   
 
' cosE Dsen E    
 
'F F
 
 
Observe que 
 
' cos2 ( )sen2B B C A    (14) 
 
Queremos determinar o ângulo para o qual . Vamos considerar em separado dois 
subcasos: 
 
a) 
A C
. Portanto, . Nesse caso, 
' 0B 
 se, e somente se, 
2
é um 
múltiplo ímpar de 
2

, ou seja, 
3 5
2 , , ,...
2 2 2
      
. Como, por convenção, a 
rotação é sempre realizada no sentido horário, e neste sentido o ângulo é tomado 
positivo escolhemos um ângulo positivo. Mas qual destes ângulos devemos 
escolher? Escolha o menor. Estamos interessados apenas em obter . 
 
b) Se 
A C
, impondo 
' 0B 
, podemos dividir a equação (8) por 
cos2
 e 
A C
 e 
teremos 
 
 
 
 
 
 
 
Note que não precisamos saber exatamente o ângulo 

 mas sim os valores de 
sen
 e 
cos
. Estes podem ser obtidos mediante as seguintes fórmulas: 
 
 
2
1
cos 2
tg (2 ) 1





,  1 cos 2
cos
2



 
 e  1 cos 2
sen
2



 
 (15) 
 
Para escolher o sinal adequado nas relações acima proceda da seguinte forma. Escolha o 
ângulo de modo que 
0 2  
. Se 
2 0tg  
, tome 
2
no segundo quadrante. Nesse caso, 
cos2 0 
. Como 
2
2

  
, então 
4 2
 
 
. Logo, 
cos 0 
 e 
0sen 
. Se 
2 0tg  
, tome 
2
no primeiro quadrante. Nesse caso, 
cos2 0 
. Como 
0 2
2

 
, 
então 
0
4

 
 e, portanto, 
cos 0 
e 
0sen 
. 
 
 
Uma vez determinado o ângulo, devemos calcular os coeficientes A’, C’, D’, E’ e F’. 
Obtemos, assim, a equação (7) sem o termo misto. Em seguida, devemos proceder como 
no caso I para sabermos o que a equação representa. Se no final dos cálculos a equação 
estiver numa das formas (8), (9) ou (10), isso significa que a cônica (ou melhor, seu eixo 
focal) esta girada de um ângulo de 90 graus em relação ao eixo , a reta inclinada de 
4

 
 em relação ao eixo . 
 
Exemplo. Determine o que a equação 
2 24 4 2 14 7 0x xy y x y     
 representa. 
 
Solução. Nessa equação 
4A 
, 
4B  
, 
1C  e 0  . Pelo teorema fundamental, essa 
equação representa uma parábola, uma reta, ou um par de retas paralelas. Como 
A C
, e 
0B 
, escolhemos tal que 
 
4
tg2
3
B
A C
   
 
 
Tomando no segundo quadrante, 
cos2 0 
. Pela primeira das relações (10), 
 
3
cos 2
5
  
. Como 
2
2

  
, então, 
4 2
 
 
 e 
cos 0 
 e 
sen 0 
. Pelas 
segunda e terceira das relações (10), 
1
cos
5
 
 e 
2
sen
5
 
. As relações de rotação, 
nesse caso, são 
 
' 2 '
5
x y
x


 
 
2 ' '
5
x y
y


 
 
 
Quando substituídas na equação dada obtemos 
 
25 ' 6 5 ' 2 5 ' 7 0y x y   
 
 
 Completando os quadrados, encontramos a equação: 
 
 
2 6 5
'' ''
5
y x
 
 
 
onde 
 
 
√ 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
A equação representa uma parábola. 
 
Exemplo. Determine o que a equação 
3 1
2 1
x
y
x



, 
1
2
x  
, representa. 
 
Solução. Em primeiro lugar, multiplicamos a equação por 
2 1x
para obter a equação na 
forma 
 
2 3 1 0xy x y   
 
 
Como 
0A C 
 e 
2B 
, seu discriminante é 
4 
. Pelo teorema fundamental, a equação 
pode representar uma hipérbole ou um par de retas concorrentes. Faça
4

 
 nas relações 
de rotação. Nesse caso, obtemos: 
 
 
2
' '
2
x x y 
 
 
 
2
' '
2
y x y 
 
 
Substituindo estas relações na equação, resulta 
 
2 2' ' 2 ' 2 2 ' 1 0x y x y     
 
Para completar quadrados escrevemos esta equação na forma 
 
 √ (
√ 
 
)
 
 (
√ 
 
)
 
 ( √ (√ )
 
 (√ )
 
) 
 
o que fornece 
 
( 
√ 
 
)
 
 
 
 
 ( √ )
 
 
 
 
ou 
( √ )
 
 ( 
√ 
 
)
 
 
 
 
 
 
ou ainda 
( √ )
 
 
 
( 
√ 
 )
 
 
 
 
 Comparando este resultado com a equação (10) concluímos que ela representa uma 
hipérbole com √ . No sistema o centro tem coordenadas (
√ 
 
 √ ). Seu 
eixo focal faz um ângulo de 90 graus em relação à reta que tem inclinação de 45 graus com 
o eixo OX. 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Aplique o método de redução a cada uma das equações: 
 
a) 
0124 22  xyx
 
b) 
0413649 22  yxyx
 
c) 
01672249 2  yxx
 
d) 
2 2 1 0x y x y    
 
e) 
1xy 
 
f) 
g) 
2 22 0x xy y  
 
h) 
0291224245 22  yxyxyx
 
i) 
029122411244 22  yxyxyx
 
j) 
0121616443 22  yxyxyx
 
k) 
022622323 22  yxyxyx
 
 
2) Aplique o método de redução às seguintes equações. Sugestão: Primeiro, 
multiplique a equação pelo polinômio no denominador do membro à direita. 
 
a) 
 
 
 , , 
 
b) 
 
 
 , , 
 
c) 
 
 
 , 
 
 
,