7. Operações de Desconto

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CAD 045 – Investimento e 
Cálculo Financeiro
Faculdade de Ciências Econômicas - UFMG 1
Aula 07 – Operações de Desconto
Prof. Bruno Pérez Ferreira
Tópicos desta seção
� Descontos:
� Definição;
� Títulos sujeitos às operações de desconto;
� Classificação das operações de desconto;
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� Classificação das operações de desconto;
� Desconto simples, comercial ou bancário;
� Descontos em série;
� Taxa efetiva de operações de desconto.
Descontos: Introdução
� Procedimento comum em operações comerciais 
e bancárias, pode ser definido como a diferença 
entre o valor de resgate de um título e o seu 
valor presente na data da operação:
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� Entre os principais títulos utilizados nesta 
operação, destacam-se as notas promissórias, 
duplicatas, letras de câmbio e cheques pré-
datados
PSD −=
Títulos sujeitos a operações de 
desconto
� Notas promissórias: títulos que 
correspondem a uma promessa de 
pagamento de certo valor no futuro;
� Duplicatas: títulos emitidos por uma empresa 
contra seu cliente, pela venda a crédito;
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contra seu cliente, pela venda a crédito;
� Letras de câmbio: títulos emitidos por 
financeiras em operações de crédito.
� Cheque pré-datado: bastante utilizado no 
mercado, embora não previsto 
expressamente na legislação.
Tipos de operações de Desconto
� Desconto Simples, Comercial ou Bancário
� Também denominado desconto “por fora”, é o 
desconto que ocorre sobre o montante (valor 
futuro) utilizando o regime de juros simples;
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� Desconto Racional
� Também denominado desconto “por dentro”, 
aplica-se para casos em que a incógnita é o valor 
presente da duplicata, descontada utilizando o 
regime de juros simples.
Desconto Simples
� Muito utilizado no Brasil em operações 
de desconto de duplicatas.
� Equivale ao juro cobrado antecipada-
mente sobre o valor nominal (S) do 
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mente sobre o valor nominal (S) do 
título, a uma determinada taxa de 
desconto (d), pelo prazo que decorre 
desde a negociação até o vencimento:
ndSD ⋅⋅=
Descontos Simples
� onde D é o valor do desconto a ser aplicado
sobre o título, de forma a levantar o valor
líquido creditado (P) na fórmula básica
abaixo:
DSPDPS −=⇒+=
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� Ou seja:
DSPDPS −=⇒+=
)1( ndSndSSP ⋅−=⋅⋅−=
Descontos Simples: Características
� O valor liquido creditado tem seu valor 
calculado de acordo às normas da 
capitalização simples
� Vale ressaltar que estas são operações 
sobre as quais incidem, além dos juros:
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sobre as quais incidem, além dos juros:
� Imposto sobre Operações Financeiras (IOF)
IOF = 0,0082% ao dia sobre o valor S
� Taxa de Serviços Bancários (TSB) a qual visa 
cobrir despesas operacionais dos bancos.
Descontos Simples: Características
� Ou seja, é necessário incluir, no valor líquido 
liberado, a dedução de IOF e TSB (quando 
esta existir), fazendo então com que:
P = S - D - IOF - TSB
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� Os valores de IOF e TSB incidem sobre o 
valor nominal S.
� O exemplo a seguir ilustra o procedimento 
básico.
Desconto Simples - Exemplo
Exemplo: Um empresário descontou uma nota 
promissória (NP) no banco Delta S.A. para 46 
dias antes do vencimento. Se o banco cobra 
2,7% a.m. de taxa de desconto e o valor da NP 
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2,7% a.m. de taxa de desconto e o valor da NP 
é de R$ 70.000,00, qual é o valor do desconto 
e quanto é creditado líquido para o empresário 
em sua C/C, considerando o IOF sobre a 
operação e uma TSB de 1,5% sobre o 
montante?
Exemplo - Continuação
Tem-se:
S = valor do título = $70.000
n = prazo de vencimento = 46 dias
d = taxa de desconto = 2,7% ao mês
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Então: 
D = 70.000 x 0,027 x 46/30 = R$ 2.898,00
IOF = 70.000 x 0,000082 x 46 = R$264,04
TSB= 70.000 x 0,015 = R$ 1.050,00
P = S - D - IOF - TAC = 65.787,96
Desconto em série 
� Muitas vezes, empresas levam uma série de 
títulos para desconto, os quais são 
descontados simultaneamente.
� Caso os valores dos títulos sejam iguais e se 
os prazos de vencimentos dos mesmos 
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os prazos de vencimentos dos mesmos 
acontecerem com uma dada frequência, 
podemos então lançar mão da fórmula
( )nd
P
S
⋅−
=
1
Desconto em série - Exemplo
Uma empresa desconta 4 títulos no valor de 
$90.000 cada um, com vencimento em 15, 30, 45 
e 60 dias, respectivamente. Sabendo-se que a 
taxa de desconto cobrada pelo banco é de 2,50% 
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taxa de desconto cobrada pelo banco é de 2,50% 
ao mês, calcular o valor do desconto total e o 
valor líquido obtido pela empresa. Tem-se então:
Exemplo - Continuação
A fórmula de desconto apresentada no exercício
1 pode ser aplicada a cada título individualmente,
resultando em:
Dt = desconto total = D1+ D2 + D3+ D4
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Dt = desconto total = D1+ D2 + D3+ D4
onde Di = S x d x ni. Então:
60
30
025,0
000.9045
30
025,0
000.90
30
30
025,0
000.9015
30
025,0
000.90
⋅




 ⋅+⋅




 ⋅+
⋅




 ⋅+⋅




 ⋅=
t
D
Exemplo - Continuação
Colocando em evidência os termos
tem-se: 30
0250
00090
,
. ⋅
( )60453015
30
0250
00090 +++⋅⋅=
,
.
t
D
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onde o termo entre parênteses corresponde a
uma progressão aritmética cuja soma é dada por:
30
( )
2
1 n
TPA
TTN
S
+⋅
=
Onde:
N = número de termos
T1 = 1° termo;
Tn = último termo
Relembrando séries aritméticas (1 de 3)
Propriedades das Progressões Aritméticas
Propriedade 1: Numa PA, cada termo (a partir do segundo) 
é a média aritmética dos termos vizinhos deste.
Exemplo: 
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2 
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Propriedade 2: Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes 
dos extremos é constante.
Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r
Estas propriedades facilitam significativamente a solução de 
problemas.
Relembrando séries aritméticas (2 de 3)
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an). 
A soma dos n primeiros termos Sn =a1 +a2 +a3 +...+ an-
1 + an, pode ser deduzida facilmente a partir da prop. 
2. 
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2. 
Temos: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
a qual pode ser escrita também como sendo:
Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1
Somando membro a membro estas duas igualdades:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)
Relembrando séries aritméticas (3 de 3)
Logo, pela segunda propriedade, as n parcelas entre 
parênteses possuem o mesmo valor, ou seja, são 
iguais à soma dos termos extremos (a1 + an) , de onde 
concluímos inevitavelmente que:
2.S = (a + a ).n , onde n é o número de termos da 
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2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da 
PA. 
Daí então, vem finalmente que:
( )
2
1 n
n
aan
S
+⋅
=
( )
2
1 n
TPA
TTN
S
+⋅
=ou
Voltando ao exemplo...
N = 4 ; T1= 15 ; Tn = 60
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N = 4 ; T1= 15 ; Tn = 60
Aplicando esta nova equação na fórmula para DT,
teremos:
( )
( )
25011
2
6015
4
30
0250
00090
60453015
30
0250
00090
.
,
.
,
.
=


 +⋅⋅⋅=
+++⋅⋅=
t
t
D
D
Exemplo - resultado final
Intuitivamente, temos que, se S = P + D,
ST = PT + DT
SxN = PT + DT
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onde o subscrito “T” denota o total de títulos
descontados, e “N” o número de títulos. Então, no
exemplo:
90.000x4 = PT + 11.250
PT = 360.000 - 11.250 = R$ 348.750
Desconto em série: fórmula geral
Podemos, a partir do resultado anterior,
deduzir uma fórmula geral para o desconto
em série:
( )1 nTTN +⋅⋅⋅=
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lembrando que a mesma se aplica a séries
uniformes, ou seja, a descontos em
períodos regulares no tempo.
( )
2
1 n
T
TTN
dSD
+⋅
⋅⋅=
Taxa Efetiva de Operações de 
Desconto
� Procedimento útil para comparar o custo 
efetivo do desconto – em termos de taxa 
composta – com o custo de outras operações 
de financiamento.de financiamento.
� Deve considerar o IOF, TRC e demais taxas 
eventualmente incidentes.
� Compara o valor creditado com o valor da 
duplicata pelo prazo do desconto, utilizando 
o regime composto.
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Exercícios
� Vieira Sobrinho, páginas 61-62, exercícios 1-
13 (descontos simples).
� Samanez, página 85, exercícios 1-5.
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Leitura Sugerida:
� Básica:
� VIEIRA SOBRINHO, J.D. Matemática Financeira. 
7. ed. São Paulo: Atlas , 2000. Capítulo 3.
� Complementar:
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� Complementar:
� SECURATO, J.R. Cálculo Financeiro das 
Tesourarias. 3. Ed. São Paulo: Editora Saint 
Paul, 2005. Páginas 108-110. 
� SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: 
Aplicações à Análise de Investimentos. 4. ed. São 
Paulo: Prentice Hall, 2004. páginas 67-76.