Cálculo Diferencial e Integral

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CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL A VÁRIAS 
VARIÁVEIS 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Lemermeier Rodrigues 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula, são apresentados estudos das derivadas parciais, regra da 
cadeia, derivada implícita e derivadas parciais sucessivas. Esses conceitos são 
poderosas ferramentas que utilizaremos na análise de valores extremos, que 
logo serão abordados. 
Bons estudos nesse que é considerado um dos tópicos mais belos de uma 
matemática avançada. 
TEMA 1 − DERIVADAS PARCIAIS 
1.1 Definição 
Segundo Gonçalves (2007, p. 96), sejam: 
𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ² → ℝ 
𝓏 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 
uma função de duas variáveis e (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐴. Fixando 𝑦 = 𝑦0, podemos 
considerar a função 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦0). A derivada de g no ponto 𝑥 = 𝑥0, chamada 
derivada parcial de f em relação a x no ponto (𝑥0, 𝑦0), denominada 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) , é 
definida por 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥)−𝑔(𝑥0)
𝑥−𝑥0
= lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥,𝑦0)−𝑓(𝑥0,𝑦0)
𝑥−𝑥0
, se o limite existir. 
De forma análoga, 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) = lim
𝑦→𝑦0
𝑓(𝑥0,𝑦)−𝑓(𝑥0,𝑦0)
𝑦−𝑦0
, se o limite existir. 
Agora, pensando e expandindo o conceito de diferenciação visto 
anteriormente, podemos dizer de forma direta que a derivada parcial tomada de 
uma das variáveis considera a(s) outra(s) como constante(s). 
Exemplo 1 
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função 𝑓(𝑥, 𝑦) =
2𝑥²𝑦³ − 3𝑥 + 4𝑦. 
Resolução: 
a) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 4𝑥𝑦³ − 3 
b) 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 6𝑥²𝑦² + 4 
 
 
 
3 
Exemplo 2 
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥³ +
𝑦³ − 2𝑥 + 2𝑦. 
Resolução: 
a) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 3𝑥² − 2 
b) 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 3𝑦² + 2 
TEMA 2 − INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA DERIVADA PARCIAL 
Segundo a acepção de Gonçalves (2007, p. 101), supondo que 
𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ² → ℝ 
𝓏 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 
admite derivadas parciais em (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐴. 
Para 𝑦 = 𝑦0 temos que 𝑓(𝑥, 𝑦0) é uma função de uma variável cujo gráfico 
é uma curva 𝑐1, resultante da interseção da superfície 𝓏 = 𝑓(𝑥, 𝑦) com o plano 
𝑦 = 𝑦0, conforme demonstrado na Figura 1. 
Figura 1 – Gráfico da função 
 
A inclinação ou coeficiente angular da reta tangente à curva 𝑐1 no ponto 
𝑃 = (𝑥0, 𝑦0) é dada por: 
𝑡𝑔𝛼 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) 
 
 
4 
Em que 𝛼 pode ser visualizado na Figura 1, que acabamos de mostrar. 
De maneira análoga, temos que a inclinação da reta tangente à curva 𝑐2, 
resultante da interseção de 𝓏 = 𝑓(𝑥, 𝑦) com o plano 𝑥 = 𝑥0, é 𝑡𝑔𝛽 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0), 
conforme indicado na Figura 2. 
Figura 2 − Inclinação da reta 
 
Exemplo 3 
Em Rodrigues (2012, p. 39), seja 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦², encontre a inclinação 
da reta tangente à curva C, resultante da interseção de 𝓏 = 𝑓(𝑥, 𝑦) com 𝑥 = 1, 
no ponto P(1, 1, 2). 
Figura 3 − Representação gráfica da função 𝓏 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 
 
 
 
5 
Figura 4 − Representação gráfica do plano x = 1 e do ponto P (1, 1, 2) 
 
 
Resolução: 
No plano x = 1, a equação da curva C é dada por 𝑔(𝑦) = 𝑓(1, 𝑦) = 3 −
𝑦². Já a inclinação no ponto (1, 1, 2) é dada por 
𝑡𝑔𝛽 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(1, 𝑦0), 
Como 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −2𝑦² e 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(1, 1) = −2, temos 𝑡𝑔𝛽 = −2; logo 𝛽 = 116,56°. 
Graficamente, a Figura 5 mostra esse resultado. 
Figura 5 − Resultado 
 
 
 
6 
TEMA 3 − DIFERENCIAL 
A diferencial de 𝑦 é definida como 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥. Essa definição foi 
demonstrada e utilizada anteriormente no Cálculo Diferencial e Integral de uma 
Variável (Cálculo A), e para o Cálculo Diferencial e Integral de mais de uma 
Variável (Cálculo B) nós a expandiremos. 
Inicialmente, veremos como é a definição de Diferencial para uma função 
de duas variáveis, 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Consideramos que as diferenciais 𝑑𝑥 e 𝑑𝑦 são 
variáveis independentes, ou seja, podem ter qualquer valor. Então, a diferencial 
𝑑𝑧, também chamada de diferenciação total, é definida por 
𝑑𝑧 = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦 
Note que esse conceito pode ser expandido para 
𝑑𝑤 = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 + 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝑑𝑧 
Exemplo 4 
Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥³ + 4𝑥𝑦 − 𝑦², determine a diferencial 𝑑𝑧. 
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥³ + 4𝑥𝑦 − 𝑦2 
Pela definição: 
𝑑𝑧 = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦 
Temos: 
𝑑𝑧 = (3𝑥2 + 4𝑦)𝑑𝑥 + (4𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦 
Exemplo 5 
Calcule a diferencial total da função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧. 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 
Pela definição: 
𝑑𝑤 = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 + 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝑑𝑧 
Temos: 
𝑑𝑤 = (𝑦𝑧 + 2)𝑑𝑥 + (𝑥𝑧 − 3)𝑑𝑦 + (𝑥𝑦 + 1)𝑑𝑧 
 
 
 
7 
TEMA 4 − REGRA DA CADEIA 
4.1 Definição 
A ideia que usaremos na regra da cadeia neste tema pode ser entendida 
como uma expansão do conceito apresentado anteriormente em Cálculo 
Diferencial e Integral a uma Variável. 
Tomando a função como 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) , uma função diferenciável em 𝑥 e 𝑦, 
em que 𝑥 = 𝑔(𝑡) e 𝑦 = ℎ(𝑡) são funções diferenciáveis de 𝑡. Então, 𝑧 é uma 
função diferenciável de 𝑡 e: 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
Exemplo 6 
Se 𝑧 = 𝑥³𝑦 + 2𝑥𝑦², onde 𝑥 = 2𝑡 + 2 e 𝑦 = 3𝑡 + 2, determine 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
. 
Utilizando a definição 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
, temos que: 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= (3𝑥2𝑦 + 2𝑦2)(2) + (𝑥3 + 4𝑥𝑦)(3) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 6𝑥2𝑦 + 4𝑦2 + 3𝑥3 + 12𝑥𝑦 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 6(2𝑡 + 2)2(3𝑦 + 2) + 4(3𝑡 + 2)2 + 3(2𝑡 + 2)3 + 12(2𝑡 + 2)(3𝑡 + 2) 
Exemplo 7 
Note que nesse caso teremos um valor a substituir. 
Se 𝑧 = 𝑥²𝑦 + 𝑥𝑦², em que 𝑥 = 𝑒𝑡 e 𝑦 = 𝑡 + 1, determine 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 . 
Utilizando a definição 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
, temos que: 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= [2𝑥𝑦 + 𝑦2](𝑒𝑡) + [𝑥2 + 2𝑥𝑦](1) 
Substituindo os valores de x e y pelos valores dados no enunciado, 
 
 
8 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= [2𝑒𝑡(𝑡 + 1) + (𝑡 + 1)2](𝑒𝑡) + [(𝑒𝑡)2 + 2(𝑒𝑡)(𝑡 + 1)](1) 
Assim, 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= [2𝑡𝑒𝑡 + 2𝑒𝑡 + (𝑡2 + 2𝑡 + 1)](𝑒𝑡) + [𝑒2𝑡 + 2𝑡𝑒𝑡 + 2𝑒𝑡] 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2𝑡𝑒2𝑡 + 2𝑒2𝑡 + 𝑡2𝑒𝑡 + 2𝑡𝑒𝑡 + 𝑒𝑡 + 𝑒2𝑡 + 2𝑡𝑒𝑡 + 2𝑒𝑡 
Organizando pelo expoente 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= (2𝑡 + 2 + 1)𝑒2𝑡 + (𝑡2 + 2𝑡 + 1 + 2)𝑒𝑡 
Portanto, 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= (2𝑡 + 3)𝑒2𝑡 + (𝑡2 + 2𝑡 + 3)𝑒𝑡 
4.2 Generalizando a regra da cadeia 
De forma geral, podemos expandir a regra da cadeia. Como exemplo, 
temos que: 
𝑑𝑤
𝑑𝑟
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑟
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑟
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑟
 
Sendo assim, expansível sucessivamente. 
Exemplo 8 – exercício 
Use a regra da cadeia para calcular 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 quando 𝑧 = 𝑥³𝑦², onde 𝑥 = 𝑠𝑡 e 𝑦 =
𝑠𝑡². 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 3𝑥²𝑦²(𝑠) + 2𝑥³𝑦(2𝑠𝑡) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 3(𝑠𝑡)2(𝑠𝑡2)2𝑠 + 2(𝑠𝑡)³(𝑠𝑡2)(2𝑠𝑡) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 3𝑠5𝑡6 + 4𝑠5𝑡6 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 7𝑠5𝑡6 
 
 
9 
 
TEMA 5 − DERIVAÇÃO IMPLÍCITA E DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS 
A ideia que usaremos na regra da cadeia neste tema pode ser entendida 
como uma expansão do conceito apresentado anteriormente em Cálculo 
Diferencial e Integral a uma Variável. 
5.1 Derivação implícita 
Iniciamos os estudos desse conceito em Cálculo Diferencial e Integral de 
uma Variável quando vimos que uma função definida por 𝑓(𝑥) = 0 era 
conceituada de forma implícita como 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0. 
De maneira análoga, porém, estendida, neste tópico estudaremos 
funções do tipo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. 
Assim, da regra da cadeia temos que: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑦
 
Exemplo 9 
Determine 𝑦′ se 𝑥³ + 𝑦³ = 𝑥𝑦. 
Pela definição 𝐹(𝑥, 𝑦)= 0, portanto, 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥³ + 𝑦³ − 𝑥𝑦, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑦
= −
3𝑥² − 𝑦
3𝑦² − 𝑥
 
Exemplo 10 – exercício 
Determine 𝑦′ se 𝑥² + 𝑦² = 3𝑥𝑦. 
Sendo 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 𝑦² − 3𝑥𝑦, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑦
= −
2𝑥 − 3𝑦
2𝑦 − 3𝑥
 
 
 
 
 
10 
 
5.2 Derivadas parciais sucessivas 
Em síntese, são casos de continuidade das derivadas de forma 
sucessível, obviamente respeitando a existência de tal possibilidade, em que: 
• 𝐹𝑥𝑥 é a derivada parcial sucessiva primeiramente em relação a x e depois, 
novamente, em relação a x. 
• 𝐹𝑥𝑦 é a derivada parcial sucessiva primeiramente em relação a x e depois 
em relação a y. 
• 𝐹𝑦𝑥 é a derivada parcial sucessiva primeiramente em relação a y e depois 
em relação a x. 
• 𝐹𝑦𝑦 é a derivada parcial sucessiva primeiramente em relação a y e depois, 
novamente, em relação a y. 
Exemplo 11 
Dada a função 𝐹(𝑥, 𝑦) = 2𝑥³𝑦² + 𝑥²𝑦, determine suas derivadas parciais 
de segunda ordem. 
Cálculo das derivadas de primeira ordem: 
𝐹𝑥 =
𝜕𝐹
𝜕𝑥
= 6𝑥²𝑦² + 2𝑥𝑦 
𝐹𝑦 =
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= 4𝑥³𝑦 + 𝑥² 
Cálculo das derivadas de segunda ordem 
A partir de 𝐹𝑥: 
𝐹𝑥𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
(6𝑥²𝑦 + 2𝑥𝑦) = 12𝑥𝑦 + 2𝑦 
𝐹𝑥𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
(6𝑥²𝑦² + 2𝑥𝑦) = 12𝑥²𝑦 + 2𝑥 
A partir de 𝐹𝑦: 
𝐹𝑦𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
(4𝑥³𝑦 + 𝑥²) = 12𝑥²𝑦 + 2𝑥 
𝐹𝑦𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
(4𝑥³𝑦 + 𝑥²) = 4𝑥³ 
 
 
 
11 
Exemplo 12 – exercício 
Dada a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦² + 𝑥²𝑦, determine suas derivadas puras 
parciais de segunda ordem (𝐹𝑥𝑥 e 𝐹𝑦𝑦): 
Cálculo das derivadas de primeira ordem: 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑦² + 2𝑥𝑦 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 2𝑥𝑦 + 𝑥²: 
Cálculo das derivadas de segunda ordem: 
A partir de 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
, determinando a segunda derivada em relação a x, isso 
caracteriza a segunda derivada pura em x. 
𝐹𝑥𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
(𝑦² + 2𝑥𝑦) = 2𝑦 
A partir de 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
, determinando a segunda derivada em relação a y, isso 
caracteriza a segunda derivada pura em y. 
𝐹𝑦𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
(2𝑥𝑦 + 𝑥²) = 2𝑥 
A aplicação desse conteúdo acontece de forma direta, como é o caso do 
cálculo das derivadas, e está diretamente ligada à análise como otimização e 
formas. Essa aplicação é bem ampla na prática rotineira das ciências exatas nos 
ramos de engenharia e tecnologia. 
Em relação ao estudo das derivadas, podemos dizer até que, além das 
interpretações gráficas, esse ponto é uma grande ferramenta para diversas 
disciplinas do corpo técnico dos cursos na área das exatas. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, você teve acesso a um tópico relevante de uma matemática 
avançada. O estudo das derivadas é muito importante para as análises gráficas 
e de funções matemáticas que fazem o dia a dia das ciências exatas quando 
aplicadas a diversos campos. Isso é válido não somente dentro da academia, 
mas também da estatística e gestão empresarial 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B: funções de várias variáveis, 
integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. 2. ed. São Paulo: 
Pearson, 2007. 
RODRIGUES, G. L. Cálculo III. Curitiba: Intersaberes, 2012. 
STEWART, J. Cálculo 2. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. 
THOMAS, G. B.; HASS, J.; WEIR, M. D. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Pearson, 
2012. v. 2.