Aula 14 - Método de Hartree

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Aula anterior
1
O Átomo de Hélio
O Átomo de Hélio
Do ponto de vista da Mecânica Quântica, o átomo de hélio é um sistema composto por duas partículas de carga negativa, o elétron, e uma conjunto de partículas de carga positiva, o núcleo.
Novamente, iremos desconsiderar o movimento translacional do núcleo e observar apenas o movimento das duas partículas.
Construção do Hamiltoniano
Obtenção da Função de Onda
O Átomo de Hélio
Solução aproximada: 
Desprezando o termo de repulsão eletrônica
Obtenção da Função de Onda
Obtenção da Função de Onda
Avaliação da Energia
Avaliação da Energia
O Átomo de Hélio
Solução aproximada: 
Repulsão eletrônica por Teoria da Perturbação
Construção do Hamiltoniano
Obtenção da Energia
Obtenção da Energia
Obtenção da Energia
Aula 14
Método de Hartree
Método Variacional
Princípio Variacional
O método variacional é um método de aproximação para a resolução problemas de autovalor se baseia em um princípio matemático conhecido como Princípio Variacional. É uma ideia geral para se obter funções que minimizem ou maximizem os valores de grandezas, descritas como funcionais, que são novas funções que dependem da função de interesse. 
Com esta abordagem é possível descrever o estado de um sistema que represente um extremo de uma função. Este princípio é aplicado à solução de diversos problemas em física, como em formulações da mecânica clássica e ótica.
Princípio Variacional
Princípio Variacional
Princípio Variacional
Método Variacional
Método Variacional
Exemplo: Oscilador Harmônico Unidimensional
Exemplo: Oscilador Harmônico Unidimensional
Exemplo: Oscilador Harmônico Unidimensional
Exemplo: Oscilador Harmônico Unidimensional
Exemplo: Oscilador Harmônico Unidimensional
Exemplo: Oscilador Harmônico Unidimensional
Exemplo: Oscilador Harmônico Unidimensional
Assim, o resultado obtido pelo método variacional, neste caso especial, é exatamente igual à solução exata, mostrando sua grande utilidade.
Não obtivemos esse resultado por acaso. A função de onda de partida que utilizamos, uma gaussiana, tem a forma idêntica à solução do estado fundamental do oscilador harmônico. Uma vez se selecionando uma função que é a própria solução, já vimos anteriormente que o valor esperado será igual ao valor exato para ela naquele estado.
A principal diferença do tratamento que fizemos aqui para a resolução exata que estudamos anteriormente é que, neste caso, obtivemos a função de onda apenas para o estado fundamental, enquanto no outro obtínhamos o conjunto completo das funções para todos os estados possíveis. Essa é uma limitação do método variacional: só permite obter a função de um estado de cada vez.
O Átomo de Hélio
Solução aproximada: 
Método de Hartree
Proposta de Função de Onda
Proposta de Função de Onda
Proposta de Função de Onda
Proposta de Função de Onda
Aplicação do Método Variacional
Aplicação do Método Variacional
Aplicação do Método Variacional
Aplicação do Método Variacional
Aplicação do Método Variacional
Aplicação do Método Variacional
Aplicação do Método Variacional
Método do Campo Autoconsistente
Método do Campo Autoconsistente
NÃO
SIM
Modelo de Partículas Independentes
O método de Hartree, assim como o de Hartree-Fock, que veremos adiante, são modelos de partículas independentes. Este nome é dado pois consideramos que o movimento de cada elétron do sistema é independente. 
Utilizamos, então, uma função de onda para descrever o movimento de cada elétron separadamente, chamada de orbital. Esta consideração é chamada de Aproximação Orbital.
O movimento pode ser considerado independente pois tratamos o potencial de interação entre os elétrons como um potencial médio. Isto acontece uma vez que utilizamos o método variacional e o valor da energia deste termo é obtido através de um valor médio desta interação. Dessa maneira, neste tratamento aproximado, não conseguimos contabilizar exatamente a interação entre os elétrons.
Comparação entre os Métodos
O Átomo de Lítio
Exemplo da Aplicação do Método de Hartree
Proposta de Função de Onda
Construção do Hamiltoniano
Equações de Hartree
Equações de Hartree
Aplicação do Método Variacional
Aplicação do Método Variacional
Conclusões da aula de hoje
Conclusões
Na aula de hoje continuamos o estudo de átomos polieletrônicos, com o estudo de caso do átomo de hélio. Vimos que a presença do termo de repulsão coulombiana entre os elétrons impossibilita a resolução exata da equação de Schroedinger. Assim, se fazem necessários métodos aproximado, como o método variacional, para a sua solução.
A aplicação deste método foi dada através do método de Hartree, que propõem a função de onda na forma de um produtório de funções de um elétron. A solução deste problema no leva a um processo iterativo chamado de campo auto consistente.
Próximas aulas
Próximas aulas
Na próxima aula, veremos outro método para se tratar sistemas de muitos elétrons, originado das ideias de Hartree mostradas hoje, chamado método de Hartree-Fock. Neste, incluiremos o efeito do spin na forma da função de onda.
57
Até a próxima aula!