16. TEOREMA DE STOKES

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Teoria Exercícios
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Introdução
Basicamente, o
Teorema de Stokes é a
extensão do Teorema
de Green para três
dimensões. Como
assim? Lembra que o
Teorema de Green
relacionava uma
integral dupla sobre
uma área plana com a
integral de linha sobre
a sua fronteira? De
forma semelhante, o
Teorema de Stokes vai
nos dar uma relação
entre a integral de
superfície sobre uma
superfície com a
16. TEOREMA
DE STOKES
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CÁLCULO 3
Guia Provas
1. O Que São Integrais Duplas
2. Integrais Duplas Sobre
Regiões Gerais
3. Mudança de Variáveis
4. Coordenadas Polares
5. Integrais Triplas
6. Coordenadas Cilíndricas
7. Coordenadas Esféricas
8. Integrais de Linha - Caso
Escalar
9. Integrais de Linha - Caso
Vetorial
10. Teorema de Green
11. Campos Conservativos
12. Parametrização de
Superfícies
13. Áreas de Superfícies
14. Integrais de Superfície -
Caso Escalar
integral de linha sobre
a sua fronteira, que é
uma curva no espaço.
Antes de vermos
melhor o que isso
significa, precisamos
saber como orientar
essa curva que limita 
. Como já vimos, uma
superfície é orientada
por um campo de
vetores unitários ,
normais a ela. Com
base nessa orientação
de , podemos orientar
a sua fronteira
positivamente. Veja a
figura abaixo:
Imagine-se andando
sobre a curva com a
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Caso Escalar
15. Integrais de Superfície -
Caso Vetorial
16. Teorema de Stokes
Teoria Exercícios
17. Teorema de Gauss
cabeça na direção e no
sentido do vetor .
Você vê a superfície à
sua esquerda, não vê?
Pronto, a fronteira 
está orientada
positivamente em
relação a . Essa forma
de verificar a
orientação de uma
curva é bem parecida
com o que vimos para o
Teorema de Green.
Se você conhece a
Regra da Mão Direita,
muito utilizada na
Física, pode usá-la
aqui! O conceito é o
mesmo: quando seu
polegar direito apontar
no sentido da curva ,
seus outros dedos, que
vão “furar” a superfície
 devem estar no
sentido de . Dessa
forma, a curva estará
orientada
positivamente.
Teorema
Assim, sendo uma
superfície orientada, se
 é um
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campo vetorial de
classe (sua
primeira derivada é
contínua) e se a
fronteira de , que
chamaremos de 
está orientada
positivamente, pelo
Teorema de Stokes:
No lado esquerdo da
equação, temos uma
integral de superfície
de campo vetorial e no
direito, temos uma
integral de linha sobre
a fronteira dessa
superfície, como
havíamos falado
anteriormente. Perceba
que essa fronteira será
sempre uma curva
fechada!
Esse termo 
representa o campo
vetorial rotacional de 
, que chamamos
muitas vezes apenas de
rotacional de . Ele é
definido por:
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*
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Podemos obter essa
expressão fazendo o
produto vetorial:
Onde é o operador
de derivadas parciais:
Aplicando ao campo
vetorial, temos:
Você pode, então, fazer
esse produto vetorial
ou simplesmente
gravar a expressão do
vetor, a escolha é sua!
Quando você calcular o
rotacional e encontrar
uma expressão simples,
já sabe que pode ser
uma boa aplicar o
Teorema de Stokes em
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¼
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¼
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¼
¼6
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vez de calcular a
integral de linha pela
definição.
Observação: Já vimos
esse operador em
outro lugar, lembra?
Quando vimos o que
era o gradiente de uma
função escalar,
definido por 
.
Bem, no começo desse
capítulo, você leu que o
Teorema de Stokes era
a expansão do Teorema
de Green, agora vamos
ver por que isso é
verdade.
Falamos aqui de
superfícies no espaço,
mas o Teorema de
Green trata de um caso
especial, em que é
uma região do plano 
. Nesse caso, o vetor
normal a será
sempre paralelo ao
eixo e denotado por 
. Dessa
forma, temos:
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¼4
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¼�
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Chegamos exatamente
ao Teorema de Green,
viu? Vamos ver agora
um exemplo de como
aplicar o Teorema de
Stokes.
Exemplo: Sendo a
curva dada pela
interseção do
paraboloide 
 com
o semicone 
orientada no sentido
horário quando
observada a partir da
origem dos eixos
coordenados, calcule:
Passo 1: Fazer um
gráfico da região
Temos um semicone e
um paraboloide, ambos
com simetria no eixo ,
pois a variável é a
que possui sinal
diferente nas equações.
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A interseção entre as
superfícies é essa curva
em preto, que o
problema chama de .
Como as duas
superfícies tem
abertura circular, já
que os coeficientes de 
e de são iguais,
essa curva é uma
circunferência, como
vamos ver.
Já que o campo vetorial
tem uma expressão
complicada, vamos
optar pelo Teorema de
Stokes para calcular
essa integral.
Passo 2: Calcular 
E
4
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5
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¼� ¼�
Passo 3: Encontrar a
expressão de 
Fazendo a interseção
entre as equações das
superfícies:
As soluções dessa
equação são e 
, como a curva
está na parte positiva
do eixo , temos .
Substituindo em uma
das equações:
Temos, portanto, uma
circunferência paralela
ao plano em .
Passo 4: Escolher e
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parametrizá-la
Há infinitas superfícies
com fronteira , vamos
escolher a que
simplifique mais o
problema. Perceba que,
se escolhermos o
círculo contido no
plano , teremos
um vetor normal
paralelo a , com as
outras coordenadas
nulas, o que simplifica
muito nossas contas. É
o que faremos então.
Vamos parametrizar 
da seguinte forma:
Com 
Temos constante e 
e variando dentro da
circunferência.
Passo 5: Calcular 
E
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5
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¼X
¼4
¼X
¼6
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 ��
¼X
¼4
� ��
�
 ��
¼X
¼6
Agora precisamos
analisar a orientação
do vetor. Como deve
estar orientada no
sentido antihorário
quando vista da
origem, o vetor deve
apontar para 
positivo, como vemos
abaixo.
Portanto, o produto
vetorial que buscamos
é o oposto ao que
calculamos:
g �
¼X
¼4
¼X
¼6
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g � ��
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 ��
¼X
¼6
¼X
¼4
Passo 6: Aplicar o
Teorema
Como é um círculo
de raio , temos:
Campos
conservativos em 
Você aprendeu que,
quando tentasse
aplicar o Teorema de
Green e encontrasse 
 isso
significava que o
campo em questão era
conservativo. Você
podia, então, calcular a
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¼4
¼�
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¼5
integralde linha por
meio de uma função
potencial ou mesmo
escolher outra curva
mais simples que
ligasse os mesmos
pontos inicial e final da
sua integral, pois ela
não dependeria do
caminho. Aqui temos
algo muito semelhante.
Se um campo vetorial 
 do é
conservativo:
 para uma
curva fechada
Exemplo: Seja 
calcule , onde 
 é a curva
parametrizada por 
.
Passo 1: Como essa
integral não parece
muito simples de se
calcular pela definição,
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vamos calcular o
rotacional do campo
vetorial para tentar
simplificar o problema.
Logo, o campo é
conservativo.
Passo 2: Encontrar a
função potencial 
Comparando as
equações, vemos que:
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Pular para Próximo
Capítulo
, 
, 
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Passo 3: Aplicar a
função potencial nos
pontos inicial e final
Para , temos .
Substituindo na
parametrização da
curva:
Para , 
Logo,
Beleza? Vamos à
prática agora!
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