05. INTEGRAIS TRIPLAS

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Teoria Exercícios
Definição
Até aqui você já viu integrais simples (definidas para
funções de uma variável) e integrais duplas (para
funções de duas variáveis). Agora vamos expandir
mais ainda esse conceito: vamos definir as integrais
triplas para funções de três variáveis . E
você achou que não dava pra piorar, né? Calma, não
é tão complicado quanto parece : )
Enquanto para as integrais simples o intervalo de
integração infinitesimal era (um comprimento) e
para as duplas era (uma área), para as triplas
teremos um volume infinitesimal , que
é representado assim:
Sendo assim, a integral tripla de é definida
dessa forma:
Esse termo dentro do limite é a Soma Tripla de
Riemann, muito semelhante com o que vimos para
as integrais simples e para as duplas. E assim como
vimos para as duplas, o método prático de calcular
integrais triplas é através de integrais iteradas.
Temos, então, o Teorema de Fubini para integrais
triplas:
05. INTEGRAIS TRIPLAS
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CÁLCULO 3
Guia Provas
1. O Que São Integrais Duplas
2. Integrais Duplas Sobre
Regiões Gerais
3. Mudança de Variáveis
4. Coordenadas Polares
5. Integrais Triplas
Teoria Exercícios
6. Coordenadas Cilíndricas
7. Coordenadas Esféricas
8. Integrais de Linha - Caso
Escalar
9. Integrais de Linha - Caso
Vetorial
10. Teorema de Green
11. Campos Conservativos
12. Parametrização de
Superfícies
13. Áreas de Superfícies
14. Integrais de Superfície -
Caso Escalar
15. Integrais de Superfície -
Caso Vetorial
16. Teorema de Stokes
17. Teorema de Gauss
Ou seja, vamos integrar por etapas, em relação a , 
e .
Da mesma forma que tínhamos mais de uma ordem
de integração para as integrais duplas ( ou 
), as triplas também podem ser escritas em
mais de uma maneira. Na verdade, em seis
maneiras! Você pode usar a que for mais
conveniente para o exercício.
Mas como calcular essas integrais? Seguindo o
mesmo raciocínio que usamos para as integrais
duplas: quando integramos em relação a uma
variável, as outras serão tomadas como constantes.
Exemplo: James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da
6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE
learning, 2010, pp. 941
Calcule a integral tripla , onde é a
caixa retangular dada por:
Passo 1: Podemos usar qualquer uma das seis
ordens de integração, vamos escolher . Como
já temos os intervalos de cada variável, é só jogar
isso ai na integral. Nesse caso, a integral iterada
passa a ser:
Repare que varia de a , como escrevemos na
integral de fora, varia de a , como está na
integral do meio e varia de a , como na integral
de dentro. Você tem que tomar muito cuidado para
não confundir os intervalos!
Passo 2: Começaremos integrando em relação a 
(integral de dentro):
Passo 3: Agora vamos integrar em relação a :
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Passo 4: Finalmente, integraremos em relação a :
Viu? É muito parecido com o que você fez até agora
calculando integrais duplas!
Tipos de regiões
Tudo muito tranquilo até agora, né? É, lamento
informar, mas dificilmente o volume em que você
vai ter que integrar vai ser um bloco bonitinho como
o do exercício anterior.
Você precisa, então, aprender a integrar em regiões
mais gerais e, para isso, é muito importante que você
saiba como escrevê-las. Novamente, assim como
fizemos para as integrais duplas, vamos definir
alguns tipos de regiões de integração e mostrar como
montar a integral em cada uma delas. Chamaremos
essas regiões de .
Regiões do Tipo I: são limitadas no plano por um
uma área e em variam entre duas funções 
. Veja a figura abaixo:
Em outras palavras, esse sólido tem como
projeção em e é limitado em cima e embaixo por
duas superfícies. Tais regiões podem ser escritas
dessa forma:
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As integrais sobre esse tipo de região são montadas
assim:
A região é uma área que pode ser escrita tanto
como tipo I ou II, como vimos nas integrais duplas.
Por isso, não separamos a integral dupla em integral
iterada, dependendo do exercício, esse será
substituído por ou por .
Regiões do Tipo II: são limitadas no plano por
uma área e em variam entre duas funções 
, como na figura abaixo:
Matematicamente, essas regiões podem se escritas
assim:
As integrais serão montadas dessa forma:
Regiões do Tipo III: são limitadas no plano por
uma área e em variam entre duas funções 
, como podemos ver na figura:
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Seguindo o mesmo raciocínio dos itens anteriores,
esses sólidos podem ser descritos dessa forma:
E as integrais sobre essas regiões serão feitas assim:
Talvez você esteja achando isso um pouco abstrato
por enquanto, vamos ver um exemplo para entender
melhor!
Exemplo: James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da
6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE
learning, 2010, pp. 943
Calcule , onde é o tetraedro sólido
delimitado pelos quatro planos , , e
.
Passo 1: Vamos começar fazendo um esboço da
figura, para visualizar melhor.
Dica: desenhe o plano fazendo sua interseção com os
três eixos coordenados (temos , 
 e ) depois
ligue esses pontos.
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Se você reparar, essa região pode ser escrita como
qualquer um dos 3 tipos, pois o domínio pode ser
o triângulo retângulo em , ou mesmo em .
Vamos optar por escrevê-la como tipo I.
Mas quem são e ? Vamos
com calma aqui.
Embaixo, o sólido é limitado pelo plano , ou seja,
por . Em cima, temos a equação do plano, que
deve ser escrita em função de e , isolando o “ ”.
Teremos: .
Passo 2: Ótimo, agora só falta descobrir quem é 
.Quando você for escrever integrais triplas, é uma
boa fazer dois esboços, um do sólido em , como já
fizemos e outro em apenas do domínio. Essa é a
“base” do sólido:
Mas como descobrir a equação dessa reta em
vermelho? Perceba que essa reta é onde o plano 
 corta o plano , representado por 
. Então, basta substituir na equação do
plano! Teremos . Agora, da mesma
forma que você fez com integrais duplas, precisamos
escrever essa área como tipo I ou II. Vamos optar
pelo tipo I.
Teremos, então:
Passo 3: A integralpassa a ser, então:
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Cuidado com a ordem dos diferenciais! Ela tem que
estar de acordo com os limites de integração.
Passo 4:Vamos integrar primeiro em relação a :
Passo 5: Agora, em relação a :
Passo 6: E, finalmente, em relação a :
Percebeu que a parte mais chata é montar a integral,
né? Depois fica mais tranquilo!
Algumas superfícies importantes
De agora em diante, vamos trabalhar muito com
equações de superfícies, então, se você não se
lembra muito bem dessa matéria, é uma boa ideia
dar uma revisada! Você deve saber reconhecer pelo
menos as mais comuns em questões de integrais
triplas. De qualquer forma, vamos te dar aqui umas
dicas do que é mais importante para essa matéria.
Planos
Você sabe reconhecer um plano? Vamos relembrar
sua equação geral:
Portanto, quando a superfície é dada por uma
equação com termos , e elevados a , temos
um plano. Nós já vimos na questão acima como
desenhar um plano encontrando os pontos onde ele
corta os eixos coordenados. Mas, em alguns casos,
você não vai encontrar esses pontos porque o
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plano não corta todos os eixos. Isso acontece quando
temos algum coeficiente , ou igual a zero. Por
exemplo, . Nesse caso, você deve fazer
o seguinte:
desenhe a reta pertencente ao plano 
;
como a equação não tem o termo , quer dizer que
ela vale para qualquer valor dessa variável, então “repita”
essa reta ao longo de (para cima e para baixo), formando
um plano.
Cilindros
Um cilindro nada mais é do que uma curva que se
repete ao longo de um eixo. Vamos explicar! O
cilindro mais conhecido é o de base circular, que é a
repetição de uma circunferência ao longo do seu
eixo de simetria, seja , ou . Mas também
podemos ter outros tipos de cilindros, quando uma
equação do “não possui” uma das variáveis , 
ou .
Por exemplo: . Essa expressão representa
uma parábola do , não é? No , como não existe
o termo na equação, temos essa parábola
“repetida” ao longo do eixo , a mesma ideia que
acabamos de ver para os planos. Então, sempre que
alguma variável estiver ausente na equação da
superfície, temos um cilindro!
Esferas
Você encontrara muito essa superfície! Só para
lembrar, a equação geral da esfera é essa:
Esse é o raio da esfera. Então, sempre que tivermos
as três variáveis elevadas ao quadrado e com o
coeficientes positivos, temos uma esfera. Se esses
coeficientes não forem iguais entre si, temos um
elipsoide, que é uma esfera “deformada”, como um
ovo.
Cones
Também vamos encontrar muito com eles! A sua
equação geral é essa:
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Portanto, temos novamente as três variáveis
elevadas ao quadrado, mas dessa vez os sinais dos
coeficientes não são iguais, também não temos
nenhum número independente, como o . Lembre-
se disso: o eixo de simetria é sempre o termo
“diferente”, no caso desse cone é o , o único que
está do outro lado da equação (pois está
multiplicado por um termo negativo). Poderíamos
ter também um cone ao longo do eixo , por
exemplo, .
Paraboloides elípticos
Os paraboloides são mais fáceis de reconhecer, pois
temos só alguns termos elevados ao quadrado. A
equação de um paraboloide elíptico com eixo de
simetria em é:
Ou seja, temos duas variáveis elevadas ao quadrado
com o mesmo sinal. Sabemos que o eixo de simetria
é o porque esse é o único termo que não está
elevado ao quadrado.
Importante!
Muitas vezes você não vai encontrar as superfícies
nessas formas que vimos aqui, nesses casos, você
deve “arrumar” a equação de alguma forma que
você consiga reconhecer, passando termos para o
outro lado da equação, elevando raízes ao quadrado,
etc. Pode acontecer de você encontrar algo assim: 
. Nesse caso, o primeiro passo que
você deve tomar é reescrever a equação, não tente
adivinhar que superfície é essa antes de fazer isso.
Quando temos um termo elevado ao quadrado 
e outro elevado a da mesma variável,
quer dizer que a superfície está deslocada da
origem, então, você deve completar esse quadrado
para achar o seu centro. Dessa forma:
Veja que, quando escrevemos o termo 
, acrescentamos esse termo 
 ao lado direito da equação, portanto, fizemos o
mesmo no lado esquerdo. A superfície é, então, um
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paraboloide centrado em .
Agora vamos para os exercícios de fixação!
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