Estudo das cônicas

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Geometria Analítica
Seção 7 – Estudo das Cônicas
Objetivos:
O aluno deverá conhecer as secções cônicas e suas representações através de suas equações.
Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano
Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano
Introdução
As figuras planas elipse, hipérbole e parábola recebem o nome geral de cônicas, pois são originárias de determinadas secções (cortes) em cones. 
Parábola
A parábola pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a uma reta fixa r e a um ponto fixo F são iguais. 
O ponto F chama-se foco da parábola e a reta r é a sua diretriz.
Equação reduzida 
da parábola
Considerando o eixo Oy como eixo da Parábola
Equação reduzida 
da parábola
Como 
ou 
(continuação)
Equação reduzida 
da parábola
Elevando os dois membros ao quadrado e simplificando temos a equação reduzida da parábola onde p é qualquer real diferente de zero (parâmetro da parábola)
Esta equação representa uma parábola com vértice na origem O(0,0) e concavidade para cima ou para baixo, dependendo do valor de p.
(continuação)
x² = 2py
Equação reduzida 
da parábola
Se p > 0 – concavidade para cima
Se p < 0 – concavidade para baixo
(continuação)
concavidade para cima
concavidade para baixo
Criação DI
Equação reduzida 
da parábola
Analogamente, considerando o eixo Ox como eixo da Parábola, temos: 
Esta equação representa uma parábola com vértice na origem O(0,0) e concavidade para esquerda ou para direita, dependendo do valor de p. 
(continuação)
y² = 2px
Equação reduzida 
da parábola
Se p > 0 – concavidade para direita
Se p < 0 – concavidade para esquerda
(continuação)
concavidade para direita
concavidade para esquerda
Criação DI
Translação de Eixos
Então:
(y – k)2 = 2p(x – h) ou
(x – h)2 = 2p(y – k) 
x = x’ + h
y = y’ + k
Translação de Eixos
(continuação)
Exemplo
x’2 = 4y’ e tivermos V(3, 2) então x’ = x – 3 e y’= y – 2.
A equação desta parábola fica: 
(x – 3)2 = 4(y – 2), desenvolvendo essa equação, temos: 
x2 – 6x – 4y +17 = 0
Elipse
Objetivo: Conhecer as representações da elipse através de suas equações.
É o lugar geométrico dos pontos de um plano que satisfaz a condição:
d(PF1) + d(PF2) é constante. 
Elipse
Considere: d(F1, F2) = 2c
(continuação)
Com 2a > 2c
P
F2
F1
Elipse
Elementos: 
Focos: são os pontos F1 e F2.
Distância Focal: é a distância 2c entre os focos.
Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2. 
Eixo maior: é o segmento A1A2 de comprimento 2a. 
Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b. 
Vértices: são os pontos A1, A2, B1 e B2.
Excentricidade: é o número dado por . 
Como c < a então 0 < e < 1
(continuação)
Elipse
Observação: Por Pitágoras temos a relação a2 = b2 + c2
(continuação)
Elipse
Equação da Elipse com centro na origem do Sistema Cartesiano (Eixo maior sobre o eixo das abscissas)
(continuação)
Elipse
(continuação)
Elipse
Elevando-se os dois membros ao quadrado e simplificando, temos:
 novamente elevando-se ao quadrado
como: 
então:
Dividindo ambos os membros da equação por a²b², temos a Equação Reduzida da Elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo das abscissas...
(continuação)
Elipse
(continuação)
Esta equação representa a elipse com centro na origem e eixo maior sobre os eixos das abscissas.
 
Analogamente, a Equação 
da Elipse com centro na 
origem e eixo maior 
sobre o eixo 
das ordenadas:
Elipse
Esta equação representa a elipse com centro na origem e eixo maior sobre os eixos das ordenadas.
Observações:
Sempre o maior dos denominadores na equação reduzida representa o número a², onde a é a medida do semi-eixo maior, ou seja se a² é denominador de x², a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo das abscissas.
Se a = b, então a equação representa uma circunferência.
(continuação)
Elipse com centro fora da origem do sistema
Considere uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y, tem centro C(4, -2), excentricidade e = ½ e eixo menor de medida 6. 
Qual a equação desta elipse?
Elipse com centro fora da origem do sistema
Resolução: 
 h = 4 e k = -2
2b = 6, logo b = 3
 , como a² = b² + c²
 
Resolvendo a equação, temos a² = 12. Portanto 
(continuação)
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