Exercícios de Análise de estruturas

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- Simétrico 50kN 165,0 109,0 = 20kN/m 40,0 25,0 + 25,0 3m 3m 25,0 90,5 56,0 85 kN 85 kN Viga auxiliar para o traçado DV(kN) - Antissimétrico do diagrama da barra BC. 85,0 73,5 13,5 25,0 + + 40,0 36,5 96,5 Figura E6.4d. Exemplo 6.5 - O pórtico plano da próxima figura tem barras horizontais com o dobro do módulo de rigidez de flexão que as barras inclinadas. Determinam-se os diagramas dos esforços seccionais. Modelo reduzido. 40,0kN 20kN 20,0kN/m 20kN/m A EI B EI 6,0m EI/2 7,2111 m D 4,0m 4,0m 4,0m 4,0m Sistema principal. d₁ 1 2 3 Figura E6.5a.sistema principal. E para o Estado E₀ mostrado na próxima figura, calculam-se os momentos: Na figura anterior está também representado o modelo reduzido com o correspondente pe² 8 = 20.4² 8 = 3 + Pl 2 = 20.4² 3 + 20.4 2 m 6 Pl 2 20.4² 6 2 Esses valores de momento estão escritos nas extremidades das correspondentes barras. Na parte direita da mesma figura está mostrada a composição do Estado E₁, cujos coeficientes de rigidez são calculados com base na Figura 6.10: k₁ 3EI l = 3EI 4 = 0,75EI , EI = EI 4 0,25EI , k₃ 4(EI/2) e 7,2111 2EI =0,27735EI Esses coeficientes estão escritos nas extremidades das barras do Estado com a indicação externa de que são multiplicados por EI. 20kN 20kN/m k₂ 2 k₂ 2 1rad 20kN/m 1 k₁ 1 k₃ =106,67 =1,2774 -40,0 146,67 0,75 93,333 0,27735 EI 3 0,13868 Estado E₀. Estado E₁: d₁=1. Figura E6.5b. Logo, escrevem-se a equação de equilíbrio e a respectiva solução: = -106,67 Com esse resultado e a combinação linear obtêm-se os momentos fletores finais nas extremidades das barras, como está mostrado na próxima figura.Nessa figura, observa-se que há equilíbrio de momento no ponto de encontro das três barras: 125,79-102,63-23,160=0. 20kN 20 kN/m C Hc A 102,63 125,79 114,21 23,160 = 146,67+0,25(-83,506)= 125,79 D 11,581 0,27735(-83,506)=-23,160 0,13865(-83,506)=-11,581 Figura E6.5c. Com base na figura anterior, faz-se o cálculo das reações de apoio: =14,342kN -116,23kN Verificação de equilíbrio: OK! Logo, constroem-se os diagramas dos esforços seccionais mostrados a seguir. Simétrico DV(kN) Antissimétrico DN(kN) Simétrico 125,79 102,63 100,0 40,0 14,342 + 20,0 23,160 65,658 116,23 40,0 114,21 4,8176 202,31 11,581 -165,66-0,83205-116,23-0,5547 Figura E6.5d.módulo de rigidez de flexão. Determinam-se os diagramas do momento fletor e do esforço de mesmo 80kN 40kN/m 40kN/m 20kN/m A C D 7,2kN/m 4,0m 9,6kN/m E F 5,0m a 2,0m 4,0m 3,0m 4,0m 3,0m Sistema principal. d₁ 1 2 3 4 Figura E6.6a. Na parte direita da figura anterior está representado o pórtico sem o balanço e com a decomposição da força que atua sobre a barra DF, além da representação do sistema principal. Logo, para estado E₀ mostrado na próxima figura, calculam-se os momentos de engastamento: M pe² 80 40.3² 2 8 2 8 Esses valores estão escritos nas extremidades das correspondentes barras do Estado E₀ para evidenciar o cálculo dos momentos de restrição das rotações nodais em C e D, e e para facilitar a determinação dos momentos fletores finais. Na Figura E6.5c estão mostradas as composições dos Estados E₁ e cujos coeficientes de rigidez são calculados com base na Figura 6.10: 3EI 3EI , 4EI 4EI 4 EI ,cálculo dos coeficientes de rigidez (k₂₁=k₂/2), e Esses coeficientes estão escritos nas representações dos Estados e 0 40kN/m 40kN/m MD₂ 1 2 7,2kN/m =48,333 =-38,333 4 80 -5,0 53,333 -53,333 15,0 -15,0 Estado E₀. Figura E6.6b. k₂ k₂/2 2 1rad 2 k₂ 1 k₁ k₂/2 k₁₁=1+1+0,8 =2,8 k₂₁=0,5 k₁₂=0,5 1,8 1 1 0,5 0,5 1 0,8 0,8 k₃ 1rad k₄ 0,4 0,4 3 4 k₃/2 Estado E₁: d₁=1 e d₂=0. Estado E₂: d₁=0 e d₂=1. Figura E6.6c.Logo, escrevem-se o sistema de equações de equilíbrio e a correspondente solução: 27,453/EI Com esses resultados de rotações e a combinação linear obtêm-se os momentos fletores nas extremidades das barras, como indicado na figura seguinte. Observa-se que há equilíbrio de momento no ponto C: 40kN/m 20kN/m HB 44,896 36,962 17,731 36,962 RB 4,0188 0,4(-22,164)=-8,8656 Figura E6.6d. Com base na figura anterior, faz-se o cálculo das reações de apoio: Verificação de equilíbrio: OK! Com os resultados anteriores, constroem-se os diagramas mostrados na figura seguinte.DV(kN) 80,0 77,610 81,980 44,896 80,0 36,962 + 45 + 24,589 + 17,731 22,5 42,390 27,164 39,127 80,0 5,3212 78,020 4,0188 11,411 8,8656 Figura E6.6e. Exemplo 6.7 Determinam-se os diagramas dos esforços seccionais do pórtico esquematizado na figura abaixo, que tem todas as barras com o mesmo módulo de rigidez de flexão. 10kN Sistema principal. 20kN/m d₁ 5kN d₂ C 1 2 3 A D 6,0m 4 5 E F 4,0m 5,0m 5,0m 3,0m Figura E6.7a. Na parte direita da figura precedente está representado o sistema principal. E para o estado E₀ mostrado na próxima figura, calculam-se os momentos de engastamento: = 8 20.4² 8 = 40,0kN m = pe² 12 + Pl 8 20.10² 12 + 10.10 8 = 179,17kN m Esses valores de momento estão escritos nas extremidades das correspondentes barras do Estado E₀, com a indicação do cômputo das forças nodais f₁ e 254Capítulo 6 Método dos Deslocamentos Em caso de material elástico não linear e de apenas forças externas nodais, escreve-se o primeiro teorema de Castigliano com a notação: (6.14) Isto é, a derivada da energia de deformação elástiva linear em termos dos deslocamentos nodais é equação de equilíbrio do MD. Contudo, essa equação não é prática de ser utilizada, porque é simples escrever a expressão da referida energia. Em análise com material nãol linear é usual não procedimento incremental (por vezes, também iterativo), em que se supõe material de comportamento adotar linear em cada incremento das forças externas, e considerar alterações das propriedades de material, incremento a incremento. Com material elástico linear, escreve-se a partir das Equações 6.8 e 6.14: (6.15) Logo, chega-se ao coeficiente de rigidez sob a forma: (6.16) Além disso, como a energia de deformação elástica linear é uma forma quadrática dos deslocamentos nodais, a derivada segunda dessa energia atende à propriedade: au (6.17) o que confirma a simetria da matriz de rigidez expressa por: (6.18) 6.3 Estruturas sob ação de temperatura Na Seção 4.3, a ação de temperatura em barra foi decomposta na parcela denominada variação uniforme (de notação e em outra de lei linear com a qual se definiu gradiente de temperatura (de notação Essas grandezas estão reproduzidas na figura seguinte, em que e denotam as variações de temperatura, respectivamente, na borda inferior e na borda superior da barra. Eixo geométrico X h = + d e Figura 6.12 Variações de temperatura em barra prismática.) 2l 2l 2 2 2l Figura 6.13 Esforços de engastamento de barras prismáticas sob gradiente de Exemplo 6.11 Reconsidera-se a estrutura utilizada no Exemplo 5.6, reapresentada na próxima figura. Trata-se de uma ponte aporticada de de módulo de elasticidade, de momento de inércia da seção transversal da superestrutura, 0,42020m⁴ de momento de inércia da seção transversal do pilar e 10⁻⁵/°C de coeficiente de dilatação térmica. Determinam-se os diagramas dos esforços seccionais em razão do gradiente de temperatura de -6,6667°C/m na superestrutura, com o sistema principal mostrado na figura. Sistema principal. 20,0m 25,0m d₁ d₂ 1 6,0m 2 3 Figura E6.11a.A superestrutura tem o módulo de rigidez de flexão: Os momentos de engastamento são calculados com fórmulas apresentadas na Figura 6.13: 2 = 2 = 2 Esses momentos estão representados no Estado E₀ esquematizado na próxima figura, em que se tem e (f₂=0). Consequentemente, os momentos calculados anteriormente são os momentos fletores finais. 2 1 f₁=0 f₂=0 7062,0 -7062,0 Estado E₀. Figura E6.11b. A conclusão anterior confirma os diagramas dos esforços obtidos no Exemplo 5.6, que estão reproduzidos na figura abaixo. DV(kN) DN(kN) 353,10 + + + 282,48 + 7062,0 7062,0 635,58 Figura E6.11c.representado na seguinte tem Exemplo 6.12 O barras de flexão as barras de horizontais pórtico estão e coeficiente sob o gradiente de dilatação de térmica temperatura de de -10°C/m. Além módulo das forças de rigidez de diagramas dos esforços seccionais. Os 2,0m 90kN 10kN 40kN/m Sistema 40kN/m d₁ A 1 4,0m 2 C 5,0m 3,0m Figura E6.12a. está também representado o pórtico sem o balanço, além de esquematizado sistema Na principal. figura Logo, para estado E₀ mostrado na parte esquerda da próxima figura, calcula-se momento de engastamento: 40.5² = = 2 8 2 gradiente 8 de temperatura não causa esforços na barra em balanço. 40kN/m 1 k₁ gT 1 k₂ f₁=-65,0 =5,60 2,4 2 -65,0 3,2 10⁵ 1,6 Estado E₀. Estado E₁.Logo, escrevem-se a equação de equilíbrio e a correspondente solução: Com esse resultado e a combinação linear obtêm-se os momentos fletores nas extremidades das barras, como indicados na figura seguinte e que verificam o equilíbrio de momento no ponto B: 10kN 40kN/m HA 80,0 20,0 RA Hc Figura E6.12c. Com base na figura anterior, faz-se o cálculo das reações de apoio: 1470kN Hc=147,0kN Verificação de equilíbrio: OK! Momento fletor máximo na barra AB: Com os resultados anteriores, constroem-se os diagramas mostrados na figura seguinte. DV(kN) DN(kN) 84,0 90,0 125 + + 10,0 + 88,20 20,0 2,1m 116,0 147,0 10,0 6,0 253,0 Figura E6.12d.