DistribuicaoMaxwellBoltzman

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE 
SERGIPE
ESTRUTURA DA MATÉRIA ‘B’
Distribuição de Maxwell-Boltzmann
Curso: 142 - Licenciatura em Física
Turma: N1
Turno: Noturno
Data: 22/03/2002
Professor: Flávio
Equipe:
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Introdução
A termodinâmica fornece a metodologia geral para a descrição das trocas de energia 
entre um sistema de partículas e as suas vizinhanças, sem considerar explicitamente as 
propriedades específicas das partículas que compõem o sistema. Como tal, várias 
grandezas físicas de natureza macroscópica (calor, entropia, capacidade calorífica, etc), 
que podem ser medidas em laboratório, são introduzidas sem se relacionarem 
diretamente com a estrutura interna do sistema. No entanto, as propriedades de um 
sistema dependem criticamente das propriedades dos seus constituintes. Por isso, é 
muito importante relacionar o comportamento macroscópico de um sistema com a sua 
estrutura microscópica. A mecânica estatística estabelece a ponte entre a ciência 
empírica da termodinâmica e a estrutura atômica da matéria. 
Considere um sistema “isolado” composto por um grande número N de partículas. 
Admita que cada partícula pode ser encontrada num dos vários estados de energia 
,, 321 EEE os estados de energia podem quantificar-se (como os estados de rotação 
ou de vibração de uma molécula), ou podem, em vez disso, formar um espectro 
praticamente contínuo (como acontece com a energia cinética de translação das 
moléculas de um gás). Num determinado instante, as partículas podem estar distribuídas 
de uma determinada maneira entre os diferentes estados, de modo que 1n partículas têm 
energia 21 , nE partículas têm energia 2E , etc. O número total de partículas é 
∑=
i
inN e a energia total do sistema é ∑=
i
iiEnU . A seqüência de números 
( ),,, 321 nnn constitui uma partição. Esta define um micro-estado do sistema 
consistente com o macro-estado ou condição física geral do sistema, que é determinado 
pelo número de partículas, a energia total, a estrutura de cada partícula e alguns 
parâmetros externos.
O problema chave da mecânica estatística é encontrar a partição mais provável (ou lei 
de distribuição) de um sistema isolado, dada a sua composição. Uma vez encontrada a 
partição mais provável, o problema seguinte é o de encontrar um método para deduzir, a 
partir dela, as propriedades macroscópicas observadas no sistema, tais como 
temperatura, energia média e entropia. Para determinar a lei de distribuição de um 
sistema, podemos tentar várias hipóteses plausíveis até obtermos uma lei de distribuição 
que esteja de acordo com os dados experimentais. Atualmente são usadas três leis de 
distribuição ou leis estatísticas. Vamos utilizar nessa experiência a lei de distribuição de 
Maxwell-Boltzmann, que é a base da mecânica estatística clássica.
Objetivos
Estudar a lei de distribuição de Maxwell-Boltzmann, envolvendo a definição da função 
de partição de um sistema e o conceito estatístico de temperatura.
Realizar o experimento explorando o jogo de dados, onde considera-se que cada dado 
corresponde a uma partícula com determinada energia (dada pela face superior) e 
podendo este sistema, constituído no nosso caso de 10 dados, assumir diversas 
configurações. 
O propósito é a verificação experimental dessa lei de distribuição e obterem os 
parâmetros relevantes envolvidos.
Material e procedimento experimental 
Considerar cada dado correspondente a uma partícula com energia igual ao valor da 
face superior do dado.
Para cada componente:
1. Lançar 10 dados pelo menos 300 vezes;
2. A partir dos resultados obtidos por todos os componentes, construir uma tabela com 
a energia total correspondente a 20, 25, 30 e 35;
3. Obter as médias das energias com seus respectivos desvios;
4. Construir os gráficos de N em função de E médios.
Discussão teórica 
Considere um sistema composto por um grande número de partículas idênticas, ou seja, 
partículas com a mesma estrutura e composição. É o que acontece com um gás 
composto de uma única espécie de moléculas, ou com os elétrons livres num metal. 
Suponha que as partículas podem ocupar os estados de energia ,,,, 321 EEE e que há 
,,, 321 nnn partículas em cada estado (Fig. 1). Então, o número total de partículas N e a 
energia total U são dadas pelas equações 1 e 2. Se o sistema estiver isolado as 
quantidades U e N são fixas.
A primeira tarefa da mecânica estatística é determinar a probabilidade P de uma 
partição ),,,,( 21  innn dadas algumas hipóteses acerca das partículas. Admitiremos 
que a probabilidade de uma partição particular é proporcional ao número de 
distribuições possíveis das partículas pelos estados de energia disponíveis, compatíveis 
com os valores fixos de N e de U. O segundo passo consiste em calcular a distribuição 
correspondente ao micro-estado de equilíbrio do sistema, o que implica determinar a 
distribuição para a qual a probabilidade P tem um valor máximo (para os valores dados 
de N e U).
Ao efetuar este programa de investigação admitiu-se para a estatística de Maxwell-
Boltzmann, que não há restrições quanto ao número de partículas que podem ocupar um 
determinado estado de energia. Contudo pode acontecer que haja estados de energia que 
têm maior probabilidade de ocupação do que outros. Em outras palavras, os estados de 
energia podem ter diferentes probabilidades intrínsecas, denotadas por ig , de serem 
ocupados. Isto é, quanto maior for ig ,maior é a probabilidade de o estado ser ocupado.
Em primeiro lugar, é lógico admitir que, quando se atinge o equilíbrio estatístico, e a 
probabilidade P é máxima, os números de ocupação in devem ser proporcionais às 
probabilidades intrínsecas ig , uma vez que, quanto maior for ig mais provável é que 
uma partícula esteja no estado iE . Também podemos admitir que as partículas em 
equilíbrio tendem a favorecer os estados de energia mais baixa; deste modo as partículas 
em estados de energia mais elevada podem tender a passar a estados de energia mais 
baixa. Em outras palavras, quanto maior for a energia iE , menos provável é que a 
∑=
i
inN (1)
∑=
i
iiEnU (2)
partícula esteja nesse estado quando se alcança o equilíbrio estatístico. Uma expressão 
exponencial negativa da forma iEe β− , onde β é um parâmetro positivo que está 
relacionado com a temperatura, satisfaz esta exigência. Portanto é plausível admitir que 
os números de ocupação da partição mais provável ou de equilíbrio deverá ser da 
forma:
iE
ii egZ
Nn β−=
onde Z é chamada de função de partição e é descrita como ∑ −=
i
E
i
iegZ β
e no nosso caso 1=ig , pois a probabilidade de uma partícula estar em um estado de 
energia qualquer é a mesma.
Para linearizar esta equação tomamos em ambos os termos, o logaritmo natural:
Z
NEnE
Z
Ne
Z
Nn iii
E
i
i lnlnlnlnlnln +−=⇒−=+= − βββ (3)
onde β é o coeficiente angular e o 
Z
Nln é o coeficiente linear da equação (3).
Discussão prática 
A partir dos dados obtidos pelos componentes da equipe montamos as tabelas abaixo:
Wagner Tiago
SEQ 1 2 3 4 5 6 U 1 2 3 4 5 6 U
1 1 0 3 1 3 2 41 1 3 2 2 1 1 32
2 1 0 2 3 2 2 41 1 2 3 1 2 1 34
3 1 1 1 3 1 3 41 2 1 3 2 2 0 31
4 1 0 0 1 1 7 52 0 5 0 1 4 0 34
5 3 1 3 1 0 2 30 5 0 0 2 2 1 29
6 0 0 2 2 2 4 48 2 1 2 2 1 2 35
7 1 3 1 1 1 3 37 0 0 3 1 3 3 46
8 2 1 2 4 1 0 31 1 0 1 4 2 2 42
9 1 3 2 2 1 1 32 0 3 1 3 1 2 38
10 1 0 21 4 2 43 1 2 1 3 1 2 37
11 0 4 1 3 0 2 35 4 2 0 2 1 1 27
12 3 0 1 1 0 5 40 1 4 3 0 2 0 28
13 0 4 1 3 0 2 35 4 1 0 1 2 2 32
14 0 2 2 1 3 2 41 1 1 3 2 3 0 35
15 2 4 2 0 0 2 28 1 2 2 2 1 2 36
16 1 2 2 2 2 1 35 2 2 0 3 2 1 34
17 0 0 1 6 0 3 45 1 2 0 1 2 4 43
18 4 2 0 2 1 1 27 1 1 1 1 3 3 43
19 2 2 0 2 3 1 35 1 3 1 0 2 3 38
20 3 2 1 3 0 1 28 2 0 2 3 2 1 36
21 0 2 2 0 2 4 44 2 2 1 2 2 1 33
22 0 1 3 1 2 3 43 0 1 2 2 1 4 45
23 0 2 0 0 5 3 47 1 2 3 1 2 1 34
24 2 0 1 1 4 2 41 2 1 0 4 1 2 37
25 2 1 3 2 1 1 32 1 0 2 3 3 1 40
26 0 1 1 1 2 5 49 2 0 3 0 3 2 38
27 2 2 1 4 0 1 31 1 2 1 0 3 3 41
28 0 2 1 2 4 1 41 2 3 1 1 1 2 32
29 1 2 0 5 1 1 36 2 2 1 3 1 1 32
30 1 1 1 3 2 2 40 1 2 2 2 2 1 35
31 1 3 0 3 1 2 36 2 1 1 2 1 3 38
32 3 1 1 3 0 2 32 2 1 2 2 1 2 35
33 2 2 2 1 2 1 32 1 2 4 0 3 0 32
34 2 2 2 1 1 2 33 4 1 3 0 1 1 26
35 2 1 1 2 0 4 39 1 4 1 1 1 2 33
36 2 1 1 1 2 3 39 1 0 0 4 3 2 44
37 1 4 2 0 1 2 32 0 2 2 4 2 0 36
38 2 3 2 1 1 1 29 2 2 0 2 1 3 37
39 2 2 0 2 1 3 37 2 3 4 0 0 1 26
40 3 2 0 3 2 0 29 3 1 2 1 1 2 32
41 4 2 0 0 1 3 31 2 1 2 1 3 1 35
42 2 1 3 2 2 0 31 3 1 2 2 1 1 30
43 1 2 3 1 2 1 34 4 0 0 1 2 3 36
44 0 0 2 2 2 4 48 0 2 2 2 3 1 39
45 3 0 3 3 1 0 29 1 4 2 2 1 0 28
46 0 4 3 1 2 0 31 0 0 3 1 2 4 47
47 3 1 3 1 2 0 28 2 1 0 4 2 1 36
48 1 2 4 0 1 2 34 3 1 2 1 0 3 33
49 2 3 1 3 0 1 29 0 2 2 1 3 2 41
50 1 3 1 2 2 1 34 3 1 2 1 2 1 31
51 2 0 2 2 3 1 37 1 2 2 1 1 3 38
52 4 3 0 0 0 3 28 1 1 3 3 2 0 34
53 3 2 1 0 2 2 32 1 2 0 2 4 1 39
54 1 3 2 1 1 2 34 3 3 2 1 1 0 24
55 4 0 1 1 4 0 31 2 1 3 2 1 1 32
56 1 0 2 4 0 3 41 3 1 3 0 1 2 31
57 2 4 2 1 1 0 25 1 3 1 2 2 1 34
58 0 3 6 1 0 0 28 2 2 3 2 1 0 28
59 2 2 1 1 1 3 36 2 2 0 3 1 2 35
60 1 2 2 1 3 1 36 2 3 0 2 0 3 34
61 0 2 2 3 2 1 38 2 2 1 3 1 1 32
62 0 2 2 1 2 3 42 3 0 1 1 1 4 39
63 3 0 1 0 2 4 40 3 0 3 0 1 3 35
64 2 2 1 1 2 2 35 2 1 2 2 1 2 35
65 3 2 1 2 2 0 28 0 2 4 0 2 2 38
66 2 2 2 1 1 2 33 2 3 3 1 0 1 27
67 2 2 0 1 3 2 37 2 1 3 2 0 2 33
68 1 1 4 1 1 2 36 0 1 2 2 1 4 45
69 0 0 6 0 2 2 40 0 1 3 1 2 3 43
70 1 1 2 1 2 3 41 2 2 1 1 2 2 35
71 3 2 0 1 1 3 34 3 1 2 0 0 4 35
72 2 0 3 1 2 2 37 1 1 1 1 4 2 42
73 1 2 1 4 0 2 36 0 0 6 0 2 2 40
74 1 2 1 3 2 1 36 2 2 0 3 2 1 34
75 0 1 2 2 1 4 45 3 1 2 1 1 2 32
76 2 0 1 1 2 4 43 2 0 0 1 3 4 45
77 0 2 1 2 0 5 45 2 3 1 2 2 0 29
78 2 1 1 0 2 6 53 1 1 0 4 1 3 42
79 1 0 2 3 0 4 43 0 2 3 3 2 0 35
80 3 1 0 2 4 0 33 0 1 4 3 2 0 36
81 0 1 2 3 2 2 42 4 1 1 0 3 1 30
82 1 2 2 3 2 0 33 2 1 2 0 1 4 39
83 0 2 2 1 5 0 39 2 3 1 1 1 2 32
84 4 2 0 2 1 1 27 1 3 3 2 1 0 29
85 0 1 3 4 2 0 37 1 0 2 3 3 1 40
86 0 3 0 3 4 0 38 0 2 1 3 2 2 41
87 2 0 0 3 1 4 43 2 2 0 2 2 2 36
88 3 1 1 3 1 1 31 2 0 0 3 3 2 41
89 3 2 0 1 4 0 31 3 2 1 1 1 2 31
90 1 0 1 2 3 3 45 2 0 4 1 0 3 36
91 3 2 3 1 0 1 26 1 2 3 2 1 1 33
92 2 4 0 1 1 2 31 2 0 1 3 4 0 37
93 1 1 2 2 2 2 39 0 2 2 3 1 2 39
94 1 1 2 3 0 3 39 2 1 1 5 1 0 32
95 4 3 0 2 1 0 23 4 2 0 2 1 1 27
96 1 3 3 1 1 1 31 1 2 1 1 5 0 37
97 1 1 2 2 2 2 39 1 1 3 2 2 1 36
98 3 1 2 1 2 1 31 3 2 3 0 2 0 26
99 1 1 3 0 2 3 40 1 3 3 1 0 2 32
100 2 3 1 0 1 3 34 1 1 3 3 1 1 35
101 2 3 1 1 1 0 20 2 0 2 2 2 2 38
102 1 0 3 0 1 5 45 3 1 2 0 0 4 35
103 3 1 2 0 2 2 33 2 2 3 2 0 1 29
104 2 0 3 3 2 0 33 1 0 2 2 0 5 45
105 1 2 3 3 0 1 32 2 2 2 1 0 3 34
106 0 0 2 4 3 1 43 2 2 1 1 3 1 34
107 3 0 1 2 2 2 36 0 3 2 3 1 1 35
108 4 0 1 0 5 0 32 2 1 1 2 3 1 36
109 1 4 3 0 1 1 29 1 2 0 1 3 3 42
110 3 1 3 0 1 1 25 4 1 1 4 0 0 25
111 2 3 0 1 1 3 35 1 1 1 1 2 4 44
112 2 2 2 2 1 1 31 2 1 0 2 3 2 39
113 1 3 1 2 1 2 35 1 1 3 0 1 4 41
114 1 0 3 3 2 1 38 0 2 0 4 4 0 40
115 0 0 1 3 2 4 49 1 3 0 4 2 0 33
116 1 3 3 2 0 1 30 2 1 3 1 1 2 34
117 0 2 4 1 1 2 37 2 0 1 2 0 5 43
118 0 1 3 0 1 5 46 1 0 1 3 3 2 43
119 2 1 1 1 3 2 38 3 0 3 2 1 1 31
120 0 2 1 1 2 4 45 1 3 0 2 2 2 37
121 3 2 0 1 2 2 33 2 1 0 2 3 2 39
122 3 1 0 2 1 3 36 4 1 1 0 1 3 32
123 0 2 1 2 5 0 40 0 3 2 2 2 1 36
124 1 0 1 4 0 4 44 2 1 3 0 2 2 35
125 2 0 1 4 1 2 38 3 3 1 2 1 0 25
126 0 2 2 4 1 1 37 4 1 1 1 2 1 29
127 0 3 2 2 1 2 37 4 1 2 2 0 1 26
128 1 2 1 1 0 5 42 1 2 2 4 1 0 32
129 1 2 1 2 2 2 38 1 1 4 0 2 2 37
130 3 1 2 2 2 0 29 2 4 1 0 1 2 30
131 3 1 2 3 0 1 29 1 3 1 2 2 1 34
132 1 0 4 2 2 1 37 1 3 1 1 1 3 37
133 1 1 2 3 3 0 36 2 2 1 3 1 1 32
134 1 1 3 3 0 2 36 2 1 3 1 0 3 35
135 2 0 1 2 2 3 41 2 1 1 2 2 2 37
136 0 2 2 0 4 2 42 2 1 1 1 2 3 39
137 2 3 0 1 0 4 36 2 1 1 1 1 4 40
138 0 2 1 2 3 2 42 0 2 4 2 1 1 35
139 2 1 1 2 3 1 36 0 2 2 3 0 3 40
140 2 1 2 3 1 1 33 0 2 3 1 2 3 45
141 1 1 3 2 1 2 37 2 1 2 0 2 3 38
142 1 2 0 3 2 2 39 1 1 1 2 4 1 40
143 1 2 3 3 1 0 31 0 2 4 2 2 0 34
144 1 2 1 1 1 4 41 1 3 3 1 1 1 31
145 1 2 1 1 4 1 38 1 2 1 2 3 1 37
146 1 2 1 2 2 2 38 1 2 0 3 1 3 40
147 4 0 3 0 2 1 29 2 1 3 2 1 1 32
148 1 2 2 3 1 1 34 1 1 2 2 3 1 38
149 1 0 0 3 2 3 41 2 0 2 2 2 2 38
150 1 0 1 1 4 3 46 1 1 2 2 1 3 40
151 1 2 2 1 0 4 39 1 4 0 2 3 0 32
152 1 2 2 2 0 3 37 1 3 1 2 2 1 34
153 2 3 0 1 0 4 36 3 1 0 2 3 1 34
154 0 1 4 2 1 2 39 2 1 2 1 3 1 35
155 1 3 4 0 2 0 29 2 0 3 0 1 4 40
156 1 1 0 1 5 2 44 2 2 0 2 1 3 37
157 0 1 6 2 0 1 34 2 2 0 2 2 2 36
158 1 1 4 1 2 1 35 2 1 3 1 1 2 34
159 1 1 1 3 2 2 40 1 2 2 3 1 1 34
160 2 1 1 2 3 1 36 3 3 0 1 1 2 30
161 2 2 3 0 2 1 31 1 1 3 0 3 2 39
162 2 2 2 2 1 1 31 0 2 2 2 1 3 41
163 2 2 3 0 1 2 32 1 0 0 6 0 3 43
164 6 1 0 1 1 1 23 1 4 3 1 1 0 27
165 3 3 1 1 0 2 28 2 2 3 3 0 0 27
166 2 0 2 3 1 2 37 2 2 1 0 3 2 36
167 1 1 2 2 2 2 39 1 3 1 1 2 2 36
168 4 2 0 2 1 1 27 2 0 1 4 1 2 38
169 0 1 0 6 2 1 42 2 0 1 2 4 1 39
170 1 0 4 2 2 1 37 1 4 2 2 0 1 29
171 0 5 0 0 4 1 36 1 3 1 0 2 3 38
172 2 1 1 4 0 2 35 2 3 0 1 2 2 34
173 1 2 4 0 1 2 34 1 1 2 2 1 3 40
174 2 2 1 0 3 2 36 0 3 1 2 2 2 39
175 1 3 2 0 1 3 36 1 3 2 3 1 0 30
176 1 0 0 1 2 6 51 1 2 1 1 3 2 39
177 1 2 2 3 0 2 35 2 2 1 3 2 0 31
178 2 0 2 2 3 1 37 2 0 2 0 5 1 39
179 0 2 3 3 1 1 36 1 3 2 2 0 2 33
180 2 2 1 1 1 3 36 1 1 3 0 2 3 40
181 1 1 2 4 2 0 35 2 1 1 6 0 0 31
182 3 0 2 2 2 1 33 1 2 1 2 2 2 38
183 1 1 0 1 3 4 46 4 0 0 1 2 3 36
184 0 1 2 1 3 3 45 1 2 1 0 2 4 42
185 4 1 0 4 0 1 28 2 0 1 2 2 3 41
186 3 2 2 0 1 2 30 0 2 2 1 2 3 42
187 3 0 1 3 1 2 35 0 0 6 2 1 1 37
188 0 2 4 0 1 3 39 2 3 0 0 3 2 35
189 2 0 3 2 1 2 36 1 3 1 1 0 4 38
190 0 2 3 2 1 2 38 2 2 1 1 2 2 35
191 2 2 2 2 0 2 32 1 1 0 3 3 2 42
192 2 2 1 2 1 2 34 2 1 4 2 0 1 30
193 1 2 2 1 1 3 38 1 3 0 4 1 1 34
194 2 0 2 2 2 2 38 2 1 3 1 3 0 32
195 1 1 2 3 2 1 37 1 2 0 2 4 1 39
196 2 1 2 2 3 0 33 0 1 3 2 4 0 39
197 2 1 2 2 2 1 34 3 1 1 2 1 2 33
198 2 3 0 2 0 3 34 1 2 1 1 3 2 39
199 1 0 4 2 2 1 37 2 2 1 0 2 3 37
200 1 2 4 2 0 1 31 1 2 4 0 0 3 35
201 1 3 1 0 3 2 37 1 1 2 2 4 0 37
202 1 3 0 2 1 3 38 1 0 3 3 1 2 39
203 3 1 3 0 3 0 29 2 1 1 2 3 1 36
204 1 1 5 1 1 1 33 2 1 4 1 2 0 30
205 1 0 0 2 5 2 46 3 1 4 2 0 0 25
206 2 0 1 3 1 3 40 2 0 5 2 1 0 30
207 5 2 2 0 1 0 20 2 0 2 2 0 4 40
208 2 1 3 0 2 2 35 1 2 1 4 2 0 34
209 2 4 0 2 0 2 30 2 0 1 2 2 3 41
210 1 1 1 3 2 2 40 1 2 2 2 0 3 37
211 0 3 1 2 3 1 38 0 2 4 2 1 1 35
212 1 2 3 0 1 3 37 2 2 2 3 0 1 30
213 2 1 1 3 2 1 35 2 2 1 1 3 1 34
214 2 1 1 0 3 3 40 2 1 0 2 2 3 40
215 2 2 1 2 2 1 33 3 2 2 1 1 1 28
216 2 3 0 2 0 3 34 2 1 1 1 4 1 37
217 2 1 2 2 3 0 33 1 0 1 1 3 4 47
218 0 2 1 3 3 1 40 3 1 1 1 2 2 34
219 2 1 3 1 1 2 34 1 2 1 2 3 1 37
220 1 2 1 1 3 2 39 0 2 2 1 4 1 40
221 3 2 2 0 1 2 30 4 3 2 0 0 1 22
222 3 1 1 2 1 2 33 2 2 3 2 1 0 28
223 2 0 3 1 2 6 61 1 0 1 2 4 2 44
224 3 1 1 2 1 2 33 2 3 1 2 1 1 30
225 2 4 1 1 1 1 28 0 0 3 5 2 0 39
226 1 1 1 3 0 4 42 2 3 1 1 2 1 31
227 1 3 0 3 2 1 35 2 0 2 0 5 1 39
228 1 1 2 2 3 1 38 1 2 0 2 3 2 40
229 0 4 0 2 3 1 37 1 1 1 1 2 4 44
230 1 1 2 1 1 4 42 3 3 1 1 2 0 26
231 1 3 0 2 1 3 38 1 2 1 4 1 1 35
232 1 1 0 1 6 1 43 1 1 1 1 4 2 42
233 2 3 2 2 1 0 27 2 4 0 1 2 1 30
234 2 1 0 4 0 3 38 5 0 1 1 2 1 28
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236 2 4 0 3 0 1 28 1 1 2 2 0 4 41
237 5 0 2 1 1 1 26 2 4 1 2 0 1 27
238 3 1 2 1 1 2 32 6 2 0 1 1 0 19
239 1 1 1 3 3 1 39 0 3 3 1 2 1 35
240 3 1 0 1 4 1 35 2 1 4 1 2 0 30
241 1 0 3 3 1 2 39 1 2 1 2 0 4 40242 2 3 2 1 0 2 30 2 3 0 1 3 1 33
243 1 2 0 1 3 3 42 0 5 2 1 0 2 32
244 1 1 1 2 3 2 41 1 4 0 2 1 2 34
245 2 2 1 2 1 2 34 3 2 1 1 3 0 29
246 2 2 2 2 1 1 31 1 3 2 0 2 2 35
247 0 4 0 2 0 4 40 1 0 3 4 0 2 38
248 4 1 1 0 2 2 31 1 1 1 2 1 4 43
249 0 2 3 2 2 1 37 1 1 3 2 3 0 35
250 0 2 3 3 1 1 36 3 0 4 1 1 1 30
251 2 0 2 3 2 1 36 2 2 2 1 1 2 33
252 2 2 0 1 3 2 37 0 1 2 3 1 3 43
253 3 1 1 5 0 0 28 1 1 2 1 3 2 40
254 1 1 3 3 0 2 36 2 1 3 1 0 3 35
255 1 1 2 3 2 1 37 1 1 0 4 1 3 42
256 0 2 1 3 2 2 41 4 2 0 1 1 2 29
257 3 1 0 2 1 3 36 1 3 2 1 0 3 35
258 3 3 0 2 1 1 28 3 1 3 0 2 1 30
259 3 4 1 0 0 2 26 0 5 2 2 1 0 29
260 0 2 2 2 1 3 41 0 2 2 1 3 2 41
261 3 2 2 0 1 2 30 3 3 1 1 2 0 26
262 0 3 1 0 1 5 44 1 4 0 2 3 0 32
263 0 1 0 2 2 5 50 2 1 3 0 1 3 36
264 3 2 1 1 1 2 31 1 2 0 5 2 0 35
265 0 0 3 0 1 6 50 1 2 1 3 3 0 35
266 3 2 1 2 1 1 29 0 0 5 0 2 3 43
267 0 2 2 0 1 5 45 1 2 1 3 2 1 36
268 0 0 2 2 3 3 47 3 2 1 0 3 1 31
269 2 2 0 1 3 2 37 1 1 3 0 3 2 39
270 3 0 2 2 2 1 33 2 3 3 1 0 1 27
271 1 1 1 1 1 5 45 1 2 3 1 1 2 35
272 3 0 1 4 2 0 32 1 2 2 1 4 0 35
273 3 1 2 0 2 2 33 1 4 3 0 1 1 29
274 2 1 2 1 1 3 37 3 0 3 0 3 1 33
275 1 4 2 2 0 1 29 2 2 3 0 2 1 31
276 1 0 4 3 2 0 35 3 1 0 3 1 2 34
277 2 3 1 1 1 2 32 3 1 1 2 1 2 33
278 1 1 1 0 4 3 44 2 2 3 1 1 1 30
279 0 6 0 1 3 0 31 3 2 0 3 1 1 30
280 3 0 2 1 3 1 34 1 3 0 3 3 0 34
281 3 0 1 2 0 4 38 2 0 3 1 2 2 37
282 4 1 2 1 1 1 27 3 0 2 1 0 4 37
283 2 2 2 2 1 1 31 0 2 1 2 2 3 43
284 2 2 1 2 1 2 34 0 0 2 2 2 4 48
285 2 3 1 2 1 1 30 2 1 2 1 2 2 36
286 0 1 2 1 5 1 43 3 3 2 0 0 2 27
287 2 4 0 0 2 2 32 1 2 1 3 2 1 36
288 1 3 0 3 1 2 36 2 1 1 1 1 4 40
289 1 0 2 3 2 2 41 2 3 1 1 1 2 32
290 1 1 1 5 0 2 38 2 0 2 2 2 2 38
291 2 1 2 3 2 0 32 2 0 2 2 1 3 39
292 1 2 2 3 1 1 34 3 1 2 1 0 3 33
293 1 4 1 2 2 0 30 0 2 3 3 2 0 35
294 3 1 2 1 0 3 33 3 1 3 1 1 1 29
295 0 1 0 1 5 3 49 2 3 1 2 1 1 30
296 0 1 2 3 0 4 44 2 1 3 1 1 2 34
297 1 2 2 1 2 2 37 1 1 3 3 2 0 34
298 0 1 2 2 3 2 43 2 1 3 0 3 1 34
299 2 2 1 1 3 1 34 2 1 4 0 1 2 33
300 1 1 0 1 5 2 44 3 0 0 3 2 2 37
Cícero Romualdo
SEQ 1 2 3 4 5 6 U 1 2 3 4 5 6 U
1 2 0 0 3 3 2 41 4 0 0 3 1 2 33
2 1 2 1 0 3 3 41 1 2 3 3 0 1 32
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4 1 2 0 1 2 4 43 1 0 1 1 1 6 49
5 0 3 3 2 2 0 33 2 2 2 1 1 2 33
6 0 3 1 2 3 1 38 2 2 1 2 2 1 33
7 0 2 3 0 4 1 39 2 1 3 2 2 0 31
8 0 3 4 1 2 0 32 1 3 1 2 0 3 36
9 0 2 2 4 1 1 37 3 1 0 4 2 0 31
10 4 2 0 1 1 2 29 3 1 1 1 2 2 34
11 1 1 2 1 2 3 41 5 2 0 1 2 0 23
12 0 0 5 0 4 1 41 0 0 2 4 2 2 44
13 1 1 3 1 3 1 37 3 0 2 2 2 1 33
14 0 0 5 0 5 2 52 1 0 2 4 2 1 39
15 2 0 3 4 1 1 38 4 0 0 2 3 1 33
16 0 1 2 4 2 1 40 2 1 3 3 2 0 35
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18 1 2 0 1 3 3 42 3 2 0 2 0 3 33
19 2 3 1 1 3 0 30 2 2 3 0 0 3 33
20 0 1 2 2 2 3 44 1 2 0 4 1 2 38
21 2 0 4 0 2 2 36 1 2 3 1 1 2 35
22 3 1 0 4 2 0 31 2 1 2 1 2 2 36
23 1 1 2 1 4 1 39 3 0 3 1 1 2 33
24 1 2 2 0 3 2 38 2 1 2 2 1 2 35
25 2 1 3 1 2 1 33 3 1 5 0 1 0 25
26 2 1 4 2 0 1 30 3 4 3 0 0 0 20
27 1 3 4 1 0 2 35 4 1 2 2 0 1 26
28 0 3 1 2 0 4 41 2 2 3 1 1 1 30
29 1 4 1 2 1 1 31 2 2 1 2 2 1 33
30 3 2 2 0 1 2 30 2 1 3 2 1 1 32
31 2 1 0 1 1 0 13 1 1 3 0 3 2 39
32 1 0 4 1 1 3 28 3 2 0 3 2 0 29
33 3 0 2 1 4 0 33 2 2 1 1 3 1 34
34 1 1 3 3 1 1 35 1 0 3 3 2 1 38
35 1 0 1 2 3 3 45 3 3 1 0 1 2 29
36 4 2 1 3 0 1 29 2 2 0 1 4 1 36
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39 0 1 0 4 2 3 46 0 0 6 0 4 0 38
40 1 1 3 1 2 2 38 1 0 1 1 4 3 46
41 0 2 1 2 4 1 41 0 1 3 0 2 4 45
42 0 2 2 4 1 1 37 1 2 1 1 3 2 39
43 0 4 1 4 0 1 33 2 1 2 3 0 2 34
44 2 0 3 3 1 1 34 0 4 1 3 1 1 34
45 3 4 2 0 0 1 23 1 1 3 1 2 2 38
46 0 2 1 1 3 3 44 3 1 1 0 4 1 34
47 0 3 3 1 1 2 36 0 2 5 1 0 2 35
48 5 0 3 1 0 1 24 3 3 2 0 0 2 27
49 1 1 2 1 4 1 39 0 1 3 2 3 1 40
50 1 1 4 2 1 1 34 3 1 1 3 0 2 32
51 0 1 2 4 1 2 41 3 1 2 2 2 0 29
52 2 2 1 1 3 1 34 2 3 2 1 1 1 29
53 0 7 1 1 0 1 27 3 1 0 2 2 2 35
54 3 2 2 2 1 0 26 2 1 2 5 0 0 30
55 1 2 3 2 0 2 34 3 2 1 2 1 1 29
56 1 3 0 3 1 2 36 3 0 1 1 1 4 39
57 1 1 0 0 3 5 48 1 1 1 1 3 3 43
58 1 4 0 0 2 3 37 2 2 2 1 0 3 34
59 0 1 1 4 1 3 44 0 2 3 2 1 2 38
60 0 1 2 1 2 4 46 2 3 1 1 1 2 32
61 0 3 1 1 2 3 41 3 2 4 0 1 0 24
62 4 1 2 0 2 1 28 3 2 0 2 1 2 32
63 2 2 2 1 3 0 31 0 2 1 3 2 2 41
64 2 3 2 1 1 1 29 1 3 0 0 2 4 41
65 0 2 3 2 0 3 39 2 2 2 1 2 1 32
66 2 1 0 3 1 3 39 3 2 3 0 0 2 28
67 2 3 0 3 1 1 31 0 2 2 2 1 3 41
68 1 1 5 1 0 2 34 1 0 3 1 4 1 40
69 2 1 1 1 3 2 38 2 1 2 2 2 1 34
70 1 2 2 1 2 2 37 2 4 1 1 1 1 28
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72 2 0 2 2 3 1 37 1 2 1 2 2 2 38
73 3 2 0 1 4 0 31 4 1 0 2 2 1 30
74 1 2 1 0 3 3 41 1 1 3 2 2 1 36
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77 0 1 4 2 1 2 39 1 1 3 2 1 2 37
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79 0 1 4 2 1 2 39 2 1 2 1 1 3 37
80 0 2 2 1 1 3 37 3 1 0 2 2 2 35
81 2 4 0 2 1 1 29 2 1 1 1 4 1 37
82 1 2 3 0 2 2 36 4 1 1 3 0 1 27
83 1 1 2 3 1 2 38 3 2 3 0 1 1 27
84 1 1 1 4 2 2 44 2 1 4 2 0 1 30
85 1 1 1 3 1 3 41 3 1 1 3 1 1 31
86 1 2 2 2 2 1 35 3 1 2 0 1 3 34
87 2 2 0 6 0 0 30 1 3 1 3 1 1 33
88 4 2 0 0 3 0 23 0 3 1 2 2 2 39
89 2 2 1 1 1 1 24 1 0 2 0 4 3 45
90 2 1 1 2 2 2 37 1 2 5 0 0 2 32
91 5 2 1 1 1 0 21 0 3 1 2 3 1 38
92 1 3 3 1 2 0 30 1 1 3 3 1 1 35
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94 3 0 0 2 3 2 38 1 3 2 1 2 1 33
95 0 2 5 2 1 0 32 1 1 4 3 1 0 32
96 3 2 2 1 1 1 28 2 3 1 3 0 1 29
97 1 3 2 3 1 0 30 1 1 3 2 2 1 36
98 3 2 1 1 3 0 29 1 4 1 2 1 1 31
99 1 2 0 4 1 2 38 1 2 2 0 3 2 38
100 1 2 1 1 2 3 40 0 0 2 4 2 2 44
101 3 1 1 1 2 2 34 2 0 4 3 1 0 31
102 3 0 1 4 1 0 27 1 1 1 2 2 3 42
103 1 1 1 1 2 4 44 2 3 2 2 1 0 27
104 2 1 3 2 1 1 32 1 2 4 2 0 1 31
105 0 4 1 1 2 2 37 3 1 2 3 0 1 29
106 1 1 1 1 3 3 43 2 1 2 3 1 1 33
107 2 1 2 1 2 2 36 0 3 2 1 2 2 38
108 2 1 1 2 2 2 37 2 1 1 0 1 5 42
109 0 1 2 1 4 2 44 0 0 2 2 4 2 46
110 0 3 1 3 0 3 39 3 0 2 3 0 2 33
111 1 1 3 3 1 1 35 2 1 1 1 3 2 38
112 3 2 1 1 1 2 31 1 1 1 3 3 1 39
113 2 1 2 3 0 2 34 1 2 0 2 2 3 41
114 3 1 1 1 4 0 32 2 2 2 1 3 0 31
115 3 0 3 3 1 0 29 0 4 1 2 2 1 35
116 0 4 0 3 2 1 36 3 2 1 1 2 1 30
117 3 1 0 4 1 1 32 1 1 2 3 2 1 37
118 4 1 3 2 0 0 23 1 2 3 2 0 2 34
119 2 1 1 3 1 2 36 1 4 1 0 3 1 33
120 2 1 3 1 1 2 34 1 1 0 2 4 2 43
121 0 2 3 2 0 3 39 3 0 1 1 2 3 38
122 1 1 3 1 2 2 38 1 1 2 1 2 3 41
123 0 2 2 2 2 2 40 4 1 2 0 0 3 30
124 0 3 2 2 1 2 37 0 4 2 0 2 2 36
125 1 1 1 1 4 2 42 0 2 3 2 0 3 39
126 2 1 2 1 1 3 37 1 1 4 1 0 3 37
127 1 1 1 3 2 2 40 1 2 1 4 1 1 35
128 2 1 0 2 2 3 40 3 3 2 0 2 0 25
129 4 0 1 1 2 2 33 1 3 1 2 3 0 33
130 4 1 0 2 1 2 31 1 3 2 2 1 1 32
131 0 3 1 3 2 1 37 2 1 2 1 2 2 36
132 1 1 2 2 2 2 39 1 1 2 2 2 2 39
133 1 2 3 2 0 2 34 0 2 2 2 2 2 40
134 2 1 2 2 1 2 35 3 1 2 2 0 2 31
135 1 0 4 1 3 1 38 1 3 2 2 1 1 32
136 1 2 4 1 1 1 32 2 1 0 2 3 2 39
137 0 1 3 1 4 1 41 1 0 1 3 2 3 44
138 1 3 1 1 3 1 35 1 2 0 3 1 3 40
139 2 0 1 3 4 0 37 2 1 1 0 3 3 40
140 2 2 1 3 1 1 32 1 1 1 2 2 3 42
141 0 3 1 3 2 1 37 0 1 3 2 2 2 41
142 1 1 2 2 3 1 38 2 1 0 6 0 1 34
143 0 3 0 1 3 3 43 1 1 2 2 1 3 40
144 1 2 1 2 2 1 32 1 0 2 0 5 2 44
145 2 1 3 2 0 2 33 1 1 1 3 2 2 40
146 2 1 1 1 3 2 38 3 1 1 2 2 1 32
147 3 1 2 1 2 1 31 2 4 1 0 2 1 29
148 2 0 4 2 2 0 32 1 2 2 4 0 1 33
149 0 3 2 1 1 3 39 1 2 3 2 0 2 34
150 0 2 3 4 1 1 40 3 2 0 0 2 3 35
151 1 2 3 0 1 3 37 1 2 0 2 3 2 40
152 1 2 3 4 5 6 91 2 0 2 1 2 3 40
153 2 2 0 1 4 1 36 1 2 2 1 4 0 35
154 3 2 1 3 1 0 27 0 2 1 5 0 2 39
155 2 3 2 1 0 2 30 2 0 2 3 1 2 37
156 1 0 1 4 2 2 42 4 1 1 3 0 1 27
157 1 1 2 1 2 3 41 3 4 2 0 0 1 23
158 2 1 1 0 2 4 41 1 2 2 2 1 2 36
159 2 0 1 3 1 3 40 0 2 2 1 4 1 40
160 1 0 2 1 2 4 45 2 3 1 2 1 1 30
161 1 0 2 3 3 1 40 1 2 2 2 1 2 36
162 2 4 1 1 1 0 22 2 2 0 0 4 2 38
163 2 2 2 2 0 2 32 1 0 2 3 1 3 42
164 1 0 1 3 2 3 44 3 0 2 2 1 2 34
165 1 2 0 1 2 4 43 1 2 1 2 0 4 40
166 2 1 1 4 0 2 35 1 2 2 2 0 3 37
167 1 2 4 1 1 1 32 3 3 1 0 2 1 28
168 2 2 0 1 4 1 36 3 1 1 1 2 2 34
169 1 3 2 3 0 1 31 0 2 0 1 0 7 50
170 4 1 1 2 1 1 28 1 0 2 3 2 2 41
171 2 1 2 2 2 1 34 1 2 3 2 1 1 33
172 3 0 0 0 3 4 42 4 12 0 1 2 29
173 1 2 1 4 0 2 36 3 2 1 1 2 1 30
174 0 2 3 1 3 1 38 2 2 1 1 0 4 37
175 4 1 2 1 0 2 28 1 1 1 3 0 4 42
176 1 1 4 1 2 1 35 0 1 4 1 2 2 40
177 3 3 1 1 2 0 26 1 2 3 1 2 1 34
178 1 2 1 2 2 2 38 0 4 4 0 1 1 31
179 2 1 0 1 1 5 43 1 0 5 3 1 0 33
180 2 0 3 1 2 2 37 3 5 1 0 0 1 22
181 0 0 2 3 5 0 43 0 0 2 3 2 3 46
182 0 2 3 1 3 1 38 0 2 2 1 0 5 44
183 1 3 2 3 0 1 31 2 1 3 1 0 3 35
184 3 2 1 1 1 2 31 2 1 3 2 0 2 33
185 2 1 2 0 3 3 43 3 1 1 1 2 2 34
186 3 0 2 0 3 2 36 1 2 0 2 3 2 40
187 0 0 1 6 1 2 44 2 2 3 1 1 1 30
188 2 3 2 2 0 1 28 1 2 3 2 1 1 33
189 0 1 4 3 1 1 37 1 2 1 1 3 2 39
190 2 2 2 1 1 2 33 1 2 2 2 1 2 36
191 3 2 1 1 1 2 31 2 2 2 0 3 1 33
192 2 1 1 4 0 2 35 1 2 2 3 0 2 35
193 0 0 1 6 1 2 44 1 2 4 0 3 0 32
194 0 3 2 1 3 1 37 0 4 2 3 1 0 31
195 0 1 3 2 3 1 40 0 2 1 2 5 0 40
196 2 0 3 3 2 0 33 2 2 0 2 3 1 35
197 1 1 1 2 2 3 42 1 0 3 0 3 3 43
198 1 2 3 2 0 2 34 0 2 2 1 2 3 42
199 2 1 0 5 0 2 36 2 3 1 1 1 2 32
200 3 2 1 2 1 1 29 0 3 4 0 2 1 34
201 3 2 2 1 1 1 28 2 0 2 4 0 2 36
202 2 0 2 2 2 2 38 2 1 0 3 2 2 38
203 1 2 0 2 4 1 39 2 1 2 1 1 3 37
204 0 1 4 1 2 2 40 1 1 3 0 1 4 41
205 3 1 0 2 2 2 35 1 1 3 1 2 2 38
206 2 1 3 1 1 2 34 2 1 3 1 2 1 33
207 3 0 2 1 0 4 37 1 2 4 0 3 0 32
208 1 5 0 2 1 1 30 0 2 4 1 0 3 38
209 1 2 4 1 1 1 32 1 0 2 3 1 3 42
210 1 2 3 0 2 2 36 3 2 1 0 3 1 31
211 3 0 1 1 4 1 36 2 2 2 4 0 0 28
212 0 3 0 2 1 4 43 3 1 2 3 1 0 28
213 1 2 3 4 5 6 91 1 2 2 0 2 3 39
214 0 2 4 2 1 1 35 3 0 1 1 3 2 37
215 2 1 3 0 2 2 35 3 0 2 1 2 2 35
216 2 3 1 2 0 2 31 2 4 0 3 0 1 28
217 2 1 2 0 4 0 30 0 1 1 3 3 2 44
218 1 2 1 1 2 2 34 1 3 2 3 0 1 31
219 2 1 1 1 3 1 32 1 0 1 3 2 3 44
220 1 3 0 0 2 3 35 1 3 3 1 0 2 32
221 1 1 1 3 2 1 34 2 3 2 2 0 1 28
222 4 1 1 1 1 2 30 1 2 1 3 2 1 36
223 4 2 2 2 0 0 22 3 1 1 1 1 3 35
224 1 1 1 4 1 2 39 2 2 1 1 1 3 36
225 2 2 3 1 2 0 29 1 1 3 3 1 1 35
226 0 3 3 1 1 2 36 1 2 1 2 3 1 37
227 0 0 2 2 2 4 48 2 2 1 2 3 0 32
228 0 5 1 1 0 3 35 1 0 4 3 2 0 35
229 2 1 2 2 0 3 36 0 5 1 0 1 3 36
230 0 5 1 1 2 1 33 0 2 3 3 1 1 36
231 4 2 0 0 3 1 29 2 2 0 3 1 2 35
232 3 1 1 3 2 0 30 2 0 2 2 2 2 38
233 2 3 2 1 0 2 30 2 2 0 2 2 2 36
234 1 2 2 1 2 2 37 0 2 1 3 2 2 41
235 0 1 2 1 3 3 45 2 5 1 0 2 0 25
236 1 1 0 4 3 1 40 2 1 2 3 1 1 33
237 1 0 2 2 4 1 41 0 0 2 4 2 2 44
238 2 1 1 2 4 0 35 1 2 1 2 3 1 37
239 1 3 1 2 2 1 34 2 4 0 3 1 0 27
240 1 4 3 1 0 1 28 1 1 3 3 2 0 34
241 1 2 0 3 2 2 39 0 1 3 3 3 0 38
242 0 3 2 3 0 2 36 0 6 1 0 1 2 32
243 0 0 3 3 2 2 43 2 2 1 3 0 2 33
244 1 3 1 1 2 2 36 0 1 2 2 3 2 43
245 1 1 2 2 3 1 38 1 0 1 5 0 3 42
246 0 3 3 3 0 1 33 0 4 1 2 2 1 35
247 4 2 1 0 0 3 29 0 0 2 2 3 3 47
248 2 0 2 3 1 2 37 2 2 2 3 1 0 29
249 0 1 3 1 3 2 42 5 0 3 1 0 1 24
250 0 2 6 2 1 5 65 1 1 3 2 2 1 36
251 2 0 3 2 2 1 35 1 1 3 1 3 1 37
252 1 3 1 3 2 0 32 0 2 2 1 3 2 41
253 3 0 4 1 1 1 30 1 2 2 2 0 3 37
254 1 1 4 1 1 2 36 0 1 0 3 3 3 47
255 0 1 2 1 3 3 45 2 1 1 3 2 1 35
256 3 1 3 0 3 0 29 1 1 0 1 3 4 46
257 2 0 1 3 4 0 37 1 3 2 0 1 3 36
258 0 3 3 3 1 0 32 2 3 2 2 1 0 27
259 1 1 3 2 3 0 35 0 1 2 4 1 2 41
260 0 3 0 4 2 1 38 3 0 1 3 0 3 36
261 1 3 0 0 5 1 38 0 0 4 3 1 2 41
262 1 2 3 2 0 2 34 1 4 3 0 2 0 28
263 2 1 4 2 0 1 30 0 5 1 0 2 2 35
264 0 0 1 2 5 2 48 1 2 1 4 2 0 34
265 1 2 3 1 1 2 35 2 0 2 0 5 1 39
266 1 0 4 2 2 1 37 2 2 2 1 1 2 33
267 3 1 4 0 1 1 28 0 2 3 2 1 2 38
268 2 2 2 1 2 1 32 3 0 0 3 4 0 35
269 2 2 2 0 3 1 33 1 0 2 3 2 2 41
270 1 1 1 3 4 0 38 3 0 3 1 1 2 33
271 1 1 1 2 1 4 43 2 1 4 2 1 0 29
272 2 0 1 0 2 5 45 0 4 0 1 3 2 39
273 1 1 3 2 2 1 36 0 1 2 2 3 2 43
274 0 2 1 2 0 5 45 3 1 0 2 4 0 33
275 2 3 1 2 1 1 30 1 1 2 3 0 3 39
276 2 2 3 0 2 1 31 1 2 0 3 1 3 40
277 2 2 0 0 5 1 37 2 1 0 3 0 4 40
278 2 3 0 1 2 2 34 2 2 1 3 1 1 32
279 0 2 1 2 4 1 41 3 0 2 1 0 4 37
280 4 1 1 1 1 2 30 3 2 1 3 1 0 27
281 1 1 4 0 1 3 38 1 3 1 3 2 0 32
282 0 3 2 1 2 2 38 3 1 2 0 1 3 34
283 2 2 4 0 1 1 29 2 3 2 0 1 2 31
284 0 1 1 5 0 3 43 4 1 2 0 3 0 27
285 2 0 5 0 1 2 34 2 1 2 0 3 2 37
286 3 1 1 0 2 3 36 0 3 1 2 0 4 41
287 3 0 1 2 3 1 35 3 2 1 0 3 1 31
288 1 1 4 1 1 2 36 3 2 2 1 1 1 28
289 2 2 3 0 2 1 31 5 1 1 1 1 1 25
290 0 1 3 2 2 2 41 4 2 1 1 2 0 25
291 2 3 1 0 2 2 33 4 0 3 0 1 2 30
292 2 3 3 0 0 2 29 2 0 3 1 2 2 37
293 1 2 4 2 1 0 30 1 4 0 1 3 1 34
294 2 0 2 2 2 2 38 3 1 2 1 2 1 31
295 3 0 3 1 3 0 31 1 1 1 2 2 3 42
296 1 1 2 2 2 2 39 2 3 0 3 0 2 32
297 2 3 2 2 1 0 27 1 0 3 3 0 3 40
298 1 2 3 2 1 1 33 3 1 0 0 3 3 38
299 2 0 1 1 3 1 30 2 1 4 0 3 0 31
300 0 1 0 2 2 3 38 0 3 1 0 3 3 42
A energia total U é o somatório da quantidade de vezes que saiu a face multiplicado 
pela face, por exemplo, na jogada de número 300 saiu para a face 2, 1 vez, para a face 4, 
2 vezes, para a face 5, 2 vezes e para a face 6, 3 vezes, fazendo o somatório da 
multiplicação temos: [(2x1) + (4x2) + (5x2) + (6x3)] = 38.
Selecionaremos agora todas as configurações que tenham somente o valor da energia 
total U igual a 20, 25, 30 e faremos os gráficos monologs.
U = 20
Face 1 2 3 4 5 6
2 3 1 1 1 0
5 2 2 0 1 0
3 4 3 0 0 0
Média 3,33 ± 0,88 3,00 ± 0,58 2,00 ± 0,58 0,33 ± 0,33 0,67 ± 0,33 0,00
U = 25
Face 1 2 3 4 5 6
2 4 2 1 1 0
3 1 3 0 1 1
4 1 1 4 0 0
3 3 1 2 1 0
3 1 4 2 0 0
3 1 5 0 1 0
3 3 2 0 2 0
2 5 1 0 2 0
5 1 1 1 1 1
4 2 1 1 2 0
Média 3,20 ± 0,29 2,20 ± 0,47 2,10 ± 0,46 1,10 ± 0,41 1,10 ± 0,23 0,20 ± 0,13
U = 30
Face 1 2 3 4 5 6
3 1 3 1 0 2
1 3 3 2 0 1
3 2 2 0 1 2
2 4 0 2 0 2
3 2 2 0 1 2
2 3 2 1 0 2
3 2 2 0 1 2
2 3 1 2 1 1
1 4 1 2 2 0
3 1 2 2 1 1
4 1 1 0 3 1
2 4 1 0 1 2
3 3 0 1 1 2
1 3 2 3 1 0
2 1 4 2 0 1
2 1 4 1 2 0
2 0 5 2 1 0
2 2 2 3 0 1
2 3 1 2 1 1
2 4 0 1 2 1
2 1 4 1 2 0
3 0 4 1 1 1
3 1 3 0 2 1
2 2 3 1 1 1
3 2 0 3 1 1
2 3 1 2 1 1
2 3 1 1 3 0
2 1 4 2 0 1
3 2 2 0 1 2
2 2 0 6 0 0
1 3 3 1 2 0
1 3 2 3 1 0
2 3 2 1 0 2
1 5 0 2 1 1
2 1 2 0 4 0
4 1 1 1 1 2
3 1 1 3 2 0
2 3 2 1 0 2
3 0 4 1 1 1
2 1 4 2 0 1
2 3 1 2 1 1
4 1 1 1 1 2
1 2 4 2 1 0
2 0 1 1 3 1
2 2 3 1 1 1
2 1 2 5 0 0
4 1 0 2 2 1
2 1 4 2 0 1
3 2 1 1 2 1
4 1 2 0 0 3
2 3 1 2 1 1
3 2 1 1 2 1
2 2 3 1 1 1
4 0 3 0 1 2
Média 2,35 ± 0,12 1,96 ± 0,16 2,00 ± 0,18 1,48 ± 0,16 1,09 ± 0,12 1,06 ± 0,10
Obs: A incerteza da média foi calculada da seguinte maneira:
• O desvio ( )id é calculado com a fórmula nnd ii −= .
• O desvio médio 
N
d
d
N
i∑
±= 1 O desvio padrão n
d i∑
=
2
σ
• O erro presumível da média 
n
Em
σ
=
1 2 3 4 5 6
0,01
0,02
0,05
0,14
0,37
1,00
2,72
Energia (E)
N
úm
er
o 
m
éd
io
 d
e 
pa
rtí
cu
la
s 
(N
)
Energia Total U = 20
Número médio de partículas x Energia
640,0921,1
196,0541,0
±=
±−=
blineareCoeficient
aangulareCoeficient
Com esses valores calculados a partir do gráfico, verificaremos se esses valores estão de 
acordo com a teoria:
Sabemos que na discussão teórica abordada anteriormente que a equação linear 
Z
NEn ii lnln +−= β , tem como coeficiente angular β−=a e coeficiente linear 
Z
Nb ln=
Portanto, 541,0=β e as energias são ,6,5,4,3,2,1 654321 ====== EEEEEE 
poderemos agora calcular o valor teórico de Z:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6541,05541,04541,03541,02541,01541,0 ×−×−×−×−×−×−− +++++== ∑ eeeeeeeZ
i
Eiβ
342,1=Z
Sabemos também que N = 10 (total de partículas), então o valor teórico do coeficiente 
linear é:
011,2
342,1
10lnln ===
Z
Nb 
Com este valor calcularemos agora o valor teórico do coeficiente angular:
i
i
E
n
Z
N lnln −
=β
Calculando para 1n , temos 808,0
1
33,3ln
342,1
10ln
1 =
−
=β
Fazendo o mesmo para os outros in , obtivemos:
593,0482,0780,0439,0456,0 5432 =⇒==== βββββ
0 1 2 3 4 5 6 7
0,14
0,37
1,00
2,72
Energia (E)
N
úm
er
o 
m
éd
io
 d
e 
pa
rtí
cu
la
s 
(N
)
Energia Total U = 25
Número médio de partículas x Energia
668,0115,2
130,0578,0
±=
±−=
blineareCoeficient
aangulareCoeficient
Fazendoa mesma verificação teórico-prática como no gráfico U=20, temos:
553,1=Z
481,0579,0353,0442,0373,0537,0699,0 654321 =⇒====== βββββββ
0 1 2 3 4 5 6 7
1,00
2,72
Energia Total U = 30
Número médio de partículas x Energia
Energia (E)
N
úm
er
o 
m
éd
io
 d
e 
pa
rtí
cu
la
s 
(N
)
081,0040,1
019,0169,0
±=
±−=
blineareCoeficient
aangulareCoeficient
Fazendo a mesma verificação teórico-prática como no gráfico U=20, temos:
420,3=Z
183,0169,0197,0170,0127,0200,0219,0 654321 =⇒====== βββββββ
Conclusão
Com os dados das tabelas acima, elaboramos em um mesmo gráfico todas as energias 
totais para podermos analisar o seu comportamento.
1 2 3 4 5 6
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
U=30
U=25
U=20
Lei estatística de Maxwell-Boltzmann
para várias energias totais
Energia (E)
N
úm
er
o 
m
éd
io
 d
e 
pa
rtí
cu
la
s 
(N
)
Podemos ver no gráfico que à medida que a energia total aumenta, aumentam a 
ocupação dos estados de mais alta energia, isto significa que quando há um aumento na 
energia total, a temperatura também aumenta, já que a mesma está relacionada com a 
energia cinética das partículas.
Pelos gráficos anteriores podemos verificar uma diminuição do valor de β , provando 
que a temperatura está relacionada também com o valor de β pela equação
KT
1
=β onde K é a constante de Boltzmann.
Chegamos a conclusão que os resultados práticos tirados desta experiência está em 
conformidade com a teoria estatística da lei de distribuição de Maxwell-Boltzmann.
 Bibilografia 
Alonso Finn, Física, Ed. Addison-Wesley, 1999
http://www.hyperphysics.com, Data Analysis and Statistics.
	UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
	ESTRUTURA DA MATÉRIA ‘B’
	Distribuição de Maxwell-Boltzmann
	Curso:
	Turma:
	Flávio
	U = 20
	Face
	Média
	U = 25
	Face
	U = 30
	Face