4 lista de exercicio EXA 704

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
DEPARTAMENTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - EXA 705
IV Lista de Exerc´ıcio
1. Enuncie e comente todos os teoremas sobre sequeˆncias.
2. Defina formalmente quando uma sequeˆncia e´ convergente.
3. Mostre que a sequeˆncia
{
1
n
}
∞
n=1
converge para o nu´mero zero.
4. Para quais valores positivos de b a sequeˆncia 0, b, 0, b2, 0, b3, 0, b4, . . . converge? Jus-
tifique sua resposta.
5. Determine se a sequ¨eˆncia converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a) {n(n− 1)}∞
n=1
b)
{
n+ 1
3n− 1
}
∞
n=1
c)
{
3 + 5n2
n+ n2
}
d)
{ √
n
1 +
√
n
}
e)
{
(−1)n−1n
1 + n2
}
f) {sin(npi/2)}
g)
{√
n+ 2−√n
}
h) {ln(n+ 1)− lnn} i)
{(
1 +
1
3n
)
n
}
j)
{(
1 +
2
n
)
n
}
SUGESTA˜O: lim
x→0
(1 + x)1/x = e
6. Demonstre que se a sequ¨eˆncia {an} e´ convergente e se lim
n→+∞
an = L, enta˜o a
sequ¨eˆncia {|an|} tambe´m converge e lim
n→+∞
|an| = L
7. Demonstre que se a sequ¨eˆncia {an} e´ convergente e se lim
n→+∞
an = L, enta˜o a
sequ¨eˆncia {a2
n
} tambe´m converge e lim
n→+∞
a2
n
= L2
8. Discuta a convergeˆncia da sequ¨eˆncia an = n!/n
n, onde n! = 1 · 2 · 3 · · · · · n.
9. Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua
soma.
a)
∞∑
n=1
5
(
2
3
)
n−1
b)
∞∑
n=1
(−3)n−1
4n
c)
∞∑
n=1
3−n8n+1 d)
∞∑
n=1
n
5 + n
e)
∞∑
n=1
(n+ 1)2
n(n+ 2)
f)
∞∑
n=1
ln
(
n
2n+ 5
)
e)
∞∑
n=1
(n+ 1)2
n(n+ 2)
f)
∞∑
n=1
ln
(
n
2n+ 5
)
1
10. O que esta´ errado com o seguinte ca´lculo?
0 = 0 + 0 + 0 + · · ·
= (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + · · ·
= 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·
= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · ·
= 1 + 0 + 0 + 0 + · · ·
= 1.
( Guido Ubaldo pensou que isso provava a existeˆncia de DEUS, porque ”alguma
coisa tinha sido criado do nada”)
11. Se ambas
∑
an e
∑
bn sa˜o divergentes,
∑
(an + bn) e´ necessa´riamente divergente?
12. Determine se a se´rie diverge ou converge.
a)
∞∑
n=1
1
n2 + n+ 1
b)
∞∑
n=1
5
2 + 3n
c)
∞∑
n=1
3
n2n
d)
∞∑
n=1
1√
n(n+ 1)(n+ 2)
e)
∞∑
n=2
n2 + 1
n3 − 1 f)
∞∑
n=1
sen
(
1
n
)
13. Se
∑
an e
∑
bn forem ambas se´ries convergentes com termos positivos, e´ verdade
que
∑
anbn tambe´m e´ convergente?
14. Teste a convergeˆncia ou divergeˆncia das se´ries.
a)
∞∑
n=1
n2 − 1
n2 + n
b)
∞∑
n=1
1
n2 + n
c)
∞∑
n=1
(−1)n lnn√
n
d)
∞∑
n=1
n
en
e)
∞∑
n=2
sinn f)
∞∑
n=1
2n
(2n+ 1)!
g)
∞∑
n=1
(−1)n+1
4n2 + 1
f)
∞∑
n=2
(−1)n n
lnn
15. (a)Mostre que
+∞∑
n=0
xn/n! converge para todo x.
(b)Deduza que lim
n→∞
xn/n! = 0 para todo x.
16. Determine se a se´rie e´ absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou
divergente.
a)
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
√
n
b)
∞∑
n=1
(−3)n
n3
c)
∞∑
n=1
(−1)n
5 + n
d)
∞∑
n=1
(−1)n n
5 + n
e)
∞∑
n=2
1
(2n)!
f)
∞∑
n=1
e−nn!
2
DEUS os abenc¸oe
3