Integrais duplas

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integrais Integrais Iteradas Integrar Funções de e y teorema de Fubini: = Suponha uma real = e domínio R dy a (retângulo hachurado abaixo dela). A superficie, R Exemplo: x € 4 e 2 3 4 3 3 e planos laterais x=a, x=b, y=c e y=d, formam vma região xy dx dy xy dx dy dy = 2 0 2 3 3 8y dy 49 = 36 16 " 20 2 2 Integral dupla de f em R volume da região de xy dy= = JJR f(x,y) dxdy = A=áreo de R R Dominio # Para calcular volume da região preciso dividir a R em Integrais duplas sobre gerais varios sub- Divide-se x em n partes e y em m partes Para vm ponto de cada um desses sub- Suponha uma região fechada D R D retângulos temos valor de f correspondente representado acima de ela semple estara- dentro do retân- les. "colunas" no dominio R que se somadas apro gulo R= [a,b] x[c,d] do valor de V Cada coluna tem volume dado pelo valor da area da ba se (x,y) estiver dentro de D se dA vezes sua altura isto e; Somando se estiver Fora de mas dentro de R todos esses pequenos volumes tem-se Soma Dupla de Riemann = F(x,y) dydx m D R lim OBS: não pode ser escrita por de números a,b,c,d pois não limitada por retas e sim por curvas OBS Caso a seje negativa, a integral existe mas não como isto nos limites representa volume tipos Propriedades linearidade: dx dy = 01 Regiões continuas em 0 de integração de y dxdy cz dx dy será dado por duas de Se > g > dx dy aditividade: dxdy + x D f(x,y) dxdy pode ser dividida várias regiões. dx b a1 extrair intervalos y=2x y=2 tipo 2: Continuas y, em x, a região limitada por fun 2 esbocar essa região =1> {(x,y)| (y) x W hz (y)} dos temos y=2 N/E y= " 2x e 2 x=1 y d (y) dy OBS: Como ramos limi tar y entre sempre he(y) he(y) lar y nessas Calculo de areas 3 descrita como do tipo I. Colocar y entre Calcular area de região R. Temos y= 2x limitan do por cima e y=0 limitando por baixo Integral dupla representa volume V= Ab h y 2x e 0 ≤ 1 Se h = 1 temos volume coincidente com a area Basta considerar altura 1 para achar area A= dA de massa calculo de chapa massa densidade sem volume " A area LA densidade pode variar de ponto em ponto => = = (x,y)dxdy Inversão de ordem de integração Integrar 2 dxdy, por cos dx cos (x²) não tem primitiva OBS: em regioes retangulares so inverter dx e dy, em re- gioes gerais tem que reescrever intervalos de integração y Sabe-se que X ≤1 2 tipo entre números ex entie Inverter significa como tipo I