Lista de Exercicios para a 2a da 1a NP de Algebra Linear - 2

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Lista de Exercícios para a 2
a
 da 1
a
 NP de Álgebra Linear – 2013.2 
 1 Dê uma matriz 2X2, que não seja a matriz identidade, tal que seu determinante é 1 e cuja matriz inversa é a sua matriz 
transposta. 
 2. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes e, justificando, indique se a referida matriz é inversível: 
(a) (aij)2x2 tal que aij = i + 2j – 2; (b) (aij)3x3 tal que aij = 3i – 2j; (c) 














1002
1413
0001
2130 ; (d) 














3100
0001
0243
1201
 
 3. (a) Dada a matriz A =






35
23
 determine: (i) cof(A); (ii) adj(A); (ii) A
-1
 , com o uso de determinante. 
(b) Considere a matriz M = 








102
754
321 . Determine: (i) detM; (ii) adjM; (ii) M
–1
(sem escalonar). 
(c) Resolva a equação det








x43
3x4
 = 0. 
(d) Calcule λ sabendo que B – λI é não inversível, onde B = 






21
10
. 
 4. (a) A é uma matriz 5X5 e seu determinante é 1/4. Determine det(2A). 
(b) P é uma matriz 5x5 e seu determinante é 3. Calcule det(2P) 
(c) O determinante de uma matriz A , de ordem 7x7 é 5. Qual é o determinante da matriz –2(At)–1 . 
(d) Q é uma matriz 4x4 tal que adjQ = Q. Calcule detQ. 
(e) Q é uma matriz anti-simétrica tal que adjQ = Q. Calcule detQ. 
(f) A é uma matriz 2x2, tal que 






01
32
adj(A)
. Determine det(A). 
 5. Usando a Regra de Cramer, se possível, resolva o sistema: 
(a) AX = B onde A =








122
754
301 e Β = . 
(b) AX = B, onde A=














1002
1413
0001
2130 e B
t
 = (1,0,0,0); 
(c) 





5y3x
3yx
 ; (d) 







12z2y2x
3zyx
2zyx ; (e) 







42z2y2x
3zyx
2zyx ; (f) ; (g) ; 
(h) 









32352
54zy
4z3yx
132z2yx
wzyx
w
w
w ;(i) 









12w3z5yx 
34wzyx 
2wz3yx 
13w2z2y ;(j) 









3wzy82x 
12wzy5x 
2w3yx 
13wz2y ; (k)
 






1zy
1yx
7zyx ; (l)





1yx
32yx
; 
 6. Matrizes quadradas gozam da propriedade: det(PQ) = detP detQ. Se P é uma matriz 2X2 e detP = 3, determine det(adjP). 
 7. R é uma matriz 2X2 tal que det(3R) = 5det(R) + 8. Qual é o valor de det(R)? 
 8. Matrizes quadradas gozam da propriedade: det(PQ) = detP detQ. Se P é uma matriz 2X2 e detP = 3, determine det(cofP). 
 9. A é uma matriz 4X4 com e detA = 2. Determine o valor de det[(adjA)(cofA)] 
10. O determine da matriz A a seguir é 5. Determine x e a matriz inversa da matriz A: A = 










1000
0001
0010
0x00 
11. (a) O determinante da matriz A = 










1000
000x
00x0
0x00 é – 8. Determine x e a matriz inversa da matriz A. 
(b) O determinante da matriz A = é 6. Determine x e a matriz inversa da matriz A. 
(c) O determinante da matriz A = 










1000
0001
0010
0x00 é 5. Determine x e a matriz inversa da matriz A. 
12. Considere a matriz A = . 
(a) Quais são os possíveis valores de x, para que A seja inversível? 
(b) Determine a inversa de A, quando possível 
13. Usando determinantes, justifique porque o sistema





0yax
1ayx
 é possível para todo número real a. 
14. Considerando A e B matrizes quadradas de mesma ordem, quais das seguintes afirmações são verdadeiras? 
(a) det(A – B) pode ser detA – detB; 
(b) Se det(A) = 5 e A tem ordem 3, então det(2A) = 40. 
(c) Se det(AB) = 0, então ou A não é inversível ou B não é inversível.