Matematica Financeira

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FACULDADE ÚNICA 
DE IPATINGA 
MATEMÁTICA FINANCIEIRA 
 
Felipe Chaves Inácio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Felipe Chaves Inácio 
 
Possui graduação em Economia pela Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) (2000) 
e Mestrado em Estatística pela Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) (2004). Atual-
mente é gerente da Seção de Estatística e Indicadores Municipais na Prefeitura Municipal 
de Ipatinga e professor tutor na Faculdade Única de Ipatinga. Tem experiência na área de 
Economia, com ênfase em Métodos e Modelos Matemáticos, Econométricos e Estatísticos. 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
1ª edição 
Ipatinga – MG 
2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
FACULDADE ÚNICA EDITORIAL 
 
Diretor Geral: Valdir Henrique Valério 
Diretor Executivo: William José Ferreira 
Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Cristiane Lelis dos Santos 
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira 
Revisão Gramatical e Ortográfica: Izabel Cristina da Costa 
Revisão/Diagramação/Estruturação: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Carla Jordânia G. de Souza 
 Rubens Henrique L. de Oliveira 
Design: Brayan Lazarino Santos 
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Luiza Filgueiras 
 
 
 
 
 
 
 
© 2020, Faculdade Única. 
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização 
escrita do Editor. 
 
 
I373m 
 
 
Inácio, Felipe Chaves. 
Matemática Financeira. / Felipe Chaves Inácio. – 1. ed. Ipatinga, MG: Editora 
Única, 2021. 
91 p. il. 
 
Inclui referências. 
 
ISBN: 978-65-89764-16-8 
 
1. Juros. 2. Amortização. 3. Investimentos. 4. Empréstimos. 5. Pagamento. I. Iná-
cio, Felipe Chaves. II. Título. 
 
CDD: 513.93 
CDU: 51:336 
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920. 
 
 
 
 
 
NEaD – Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA 
Rua Salermo, 299 
Anexo 03 – Bairro Bethânia – CEP: 35164-779 – Ipatinga/MG 
Tel (31) 2109 -2300 – 0800 724 2300 
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http://www.faculdadeunica.com.br/
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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tões citadas em cada unidade, associando-o a suas 
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ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
SUMÁRIO 
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS ................................................................ 7 
1.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 7 
1.2 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO ..................................................................................... 9 
1.2.1 Capitalização Simples .......................................................................................... 9 
1.2.2 Equivalência de taxas ........................................................................................ 18 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................ 21 
DESCONTOS ............................................................................................ 24 
2.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 24 
2.2 DESCONTO SIMPLES ................................................................................................... 25 
2.3 DESCONTO COMPOSTO ............................................................................................ 30 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................ 33 
SÉRIES DE PAGAMENTOS ........................................................................ 36 
3.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 36 
3.2 FLUXO DE CAIXA ........................................................................................................ 36 
3.3 SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES ......................................................................... 38 
3.3.1 Séries uniformes com parcelas vencidas ....................................................... 38 
3.3.2 Séries uniformes com parcelas antecipadas................................................. 45 
3.4 SÉRIE DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS .......................................................................... 47 
3.4.1 Gradientes em progressão aritmética crescente ......................................... 48 
3.5 SÉRIE DE PAGAMENTOS INFINITA .............................................................................. 50 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................ 53 
EMPRÉSTIMOS .......................................................................................... 56 
4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 56 
4.2 DESCONTO DE DUPLICATAS ...................................................................................... 56 
4.3 NOTAS PROMISSÓRIAS .............................................................................................. 58 
4.4 FOMENTO COMERCIAL (FACTORING) ...................................................................... 59 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................ 63 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ................................................................. 66 
5.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 66 
5.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS ..................................................................... 66 
5.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE ................................................................. 72 
5.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO .......................................................................... 75 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................ 78 
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS .................................... 81 
6.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 81 
6.2 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) ............................................................................... 81 
6.3 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) ............................................................................. 83 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................ 87 
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO ............................................... 90 
REFERÊNCIAS ........................................................................................... 91 
 
UNIDADE 
01 
 
UNIDADE 
01 
UNIDADE 
02 
 
UNIDADE 
01 
UNIDADE 
03 
 
UNIDADEatravés de prestações, de tal modo que o empréstimo seja liqui-
dado ao final do período estipulado. Em cada uma das prestações há dois compo-
nentes: amortização, que é o pagamento do principal, e o pagamento dos juros in-
cidentes sobre o saldo ainda não amortizado. Um bom exemplo disso são os financi-
amentos de imóveis que podem durar 20 anos e são pagos em prestações mensais 
em que uma parte amortiza o empréstimo e outra parte corresponde ao pagamento 
dos juros. 
Outro conceito importante quando se trata de financiamentos é o conceito 
de “carência” que representa o tempo decorrente entre a concessão do emprés-
timo e a data do pagamento da primeira prestação. Este período normalmente é 
negociado entre credor e o tomador do empréstimo. É importante ressaltar, entre-
tanto que um sistema de amortização qualquer pode ter ou não um período de ca-
rência. 
Nesta unidade, iremos abordar os principais sistemas de amortização adota-
dos no país: o Sistema de Amortização Francês, o Sistema de Amortização Constante 
e o Sistema de Amortização Misto. 
 
5.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS 
Este sistema é também conhecido como “Tabela Price” pelo fato de ter sido 
criado pelo matemático Richard Price no século XVIII e ter sido desenvolvido na 
França no século seguinte. 
 
De acordo com o Professor Mario Geraldo Pereira, a denominação 
"Tabela Price" se deve ao nome do matemático, filósofo e teólogo in-
glês Richard Price, que viveu no Século XVIII e que incorporou a teoria 
dos juros compostos às amortizações de empréstimos (ou financia-
mentos). A denominação "Sistema Frances", de acordo como autor 
UNIDADE 
05 
UNI-
DADE0
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
citado, deve-se ao fato de o mesmo ter-se efetivamente desenvolvido 
na França no Século XIX (SOBRINHO, 2018, p. 138). 
 
Este sistema se caracteriza pelo pagamento do empréstimo em prestações 
periódicas, iguais e sucessivas segundo o conceito de parcelas vencidas. Assim, o 
valor das parcelas é calculado da forma que já conhecemos, ou seja: 
 
 
R = C ∙ [
(1 + i)t ∙ i
(1 + i)t − 1
] (31) 
 
A parcela dos juros é calculada multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo 
existente no período anterior e, como cada prestação é composta por juros mais 
amortização, esta será calculada subtraindo-se o valor da prestação pelos juros. 
Sendo assim, teremos: 
 
 A = R − J (32) 
 
Onde “A” representa o componente da amortização e “J” representa o com-
ponente dos juros. 
Exemplo: Considere um financiamento de $50.000,00 a ser pago em 10 prestações 
iguais a uma taxa de juros de 3%. Neste caso, qual seria o valor das prestações, a 
parcela dos juros e a parcela da amortização na primeira prestação? 
Solução: O valor das prestações seria: 
 
R = C ∙ [
(1 + i)t ∙ i
(1 + i)t − 1
] 
R = 50.000 ∙ [
(1 + 0,03)10 ∙ 0,03
(1 + 0,03)10 − 1
] 
R = 50.000 ∙ [
(1,03)10 ∙ 0,03
(1,03)10 − 1
] 
R = 50.000 ∙ [
0,04317
0,34392
] 
R = 50.000 ∙ (0,12552) 
R = 6.276,00 
 
Como na primeira prestação ainda não houve amortização alguma, o saldo 
da dívida será o próprio valor do financiamento. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
J = i ∙ C 
J = 0,03 ∙ 50.000 
J = 1.500,00 
 
Assim, a parcela da amortização na primeira prestação será: 
 
A = R − J 
A = 6.276 − 1.500 
A = 4.776,00 
 
 
 
Exemplo: Considere um financiamento de $35.000,00 a ser pago em 5 prestações 
iguais e mensais a uma taxa de juros de 1,5% ao mês. Calcule o valor de cada pres-
tação, a parcela dos juros e da amortização em cada período. 
Solução: Vamos primeiramente calcular o valor das prestações: 
 
R = C ∙ [
(1 + i)t ∙ i
(1 + i)t − 1
] 
R = 35.000 ∙ [
(1 + 0,015)5 ∙ 0,015
(1 + 0,015)5 − 1
] 
R = 35.000 ∙ [
(1,015)5 ∙ 0,015
(1,015)5 − 1
] 
R = 35.000 ∙ (0,20909) 
R = 7.318,13 
 
Devemos lembrar que este valor será constante ao longo de todos os períodos. 
A parcela de juros da primeira prestação será: 
 
J1 = 0,015 ∙ 35.000 
J1 = 525,00 
 
A partir de agora, vamos representar a parcela dos juros em cada período por J1, J2, J3 e 
assim sucessivamente. Da mesma forma, chamaremos de A1, A2, A3, ... a parcela de 
amortização em cada período e de C1, C2, C3, ... o saldo devedor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
 
A parcela da amortização também na primeira prestação será: 
 
A1 = 7.318,13 − 525 
A1 = 6.793,13 
 
Ao final do primeiro mês, o saldo devedor será o saldo no período anterior me-
nos o valor da amortização: 
 
C1 = C − A 
C1 = 35.000 − 6.793,13 
C1 = 28.206,87 
 
Ao final do segundo mês, teremos os seguintes valores: 
 
J2 = i ∙ C1 
J2 = 0,015 ∙ 28.206,87 
J2 = 423,10 
 
Amortização: 
 
A2 = R − J2 
A2 = 7.318,13 − 423,10 
A2 = 6.895,03 
 
Saldo devedor: 
 
C2 = C1 − A2 
C2 = 28.206,87 − 6.895,03 
C2 = 21.311,84 
 
Prosseguindo com os cálculos para os outros períodos e apresentando os re-
sultados em uma tabela contendo os juros e a amortização de cada período bem 
como o valor das prestações e o saldo devedor, teremos o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
 
Tabela 5: Tabela Final com os dados do financiamento 
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor 
0 - - - 35.000 
1 7.318,13 525 6.793,13 28.206,87 
2 7.318,13 423,10 6.895,02 21.311,85 
3 7.318,13 319,68 6.998,45 14.313,40 
4 7.318,13 214,70 7.103,42 7.209,98 
5 7.318,13 108,15 7.209,98 0,00 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Quando conhecemos o valor do financiamento, a taxa de juros e o número 
de prestações, podemos utilizar outras fórmulas importantes. Vejamos, por exemplo, 
como calcular o saldo devedor após um determinado período que chamaremos de 
“n”: 
 
 
Cn = R ∙ [
(1 + i)t−n − 1
(1 + i)t−n ∙ i
] (33) 
 
Exemplo: Considerando os dados do exemplo anterior, qual será o saldo devedor ao 
final do 3° mês? 
Solução: Neste caso, temos n = 3. Substituindo na fórmula com os outros valores que 
já conhecemos, teremos: 
 
Cn = R ∙ [
(1 + i)t−n − 1
(1 + i)t−n ∙ i
] 
C3 = 7.318,13 ∙ [
(1 + 0,015)5−3 − 1
(1 + 0,015)5−3 ∙ 0,015
] 
C3 = 7.318,13 ∙ [
(1,015)2 − 1
(1,015)2 ∙ 0,015
] 
C3 = 7.318,13 ∙ [1,955883] 
C3 = 14.313,40 
 
Este valor confere com aquele encontrado na tabela, como era de se esperar. 
 
Exemplo: Considere um financiamento de $70.000,00 a ser pago em 240 prestações 
mensais e iguais. Se a taxa de juros da operação é de 2% ao mês, qual será o saldo 
devedor após 120 meses? 
Solução: Primeiramente, precisamos calcular o valor das prestações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
 
R = C ∙ [
(1 + i)t ∙ i
(1 + i)t − 1
] 
R = 70.000 ∙ [
(1,02)240 ∙ 0,02
(1,02)240 − 1
] 
R = 70.000 ∙ (0,020174) 
R = 1.412,18 
 
Agora podemos calcular o valor do saldo devedor no período desejado. 
 
Cn = R ∙ [
(1 + i)t−n − 1
(1 + i)t−n ∙ i
] 
C120 = 1.412,18 ∙ [
(1 + 0,02)240−120 − 1
(1 + 0,02)240−120 ∙ 0,02
] 
C120 = 1.412,18 ∙ [
(1,02)120 − 1
(1,02)120 ∙ 0,02
] 
C120 = 1.412,18 ∙ [45,35539] 
C120 = 64.049.97 
 
De forma semelhante, também podemos calcular as parcelas de juros e amor-
tização em um determinado período da seguinte forma: 
 
 
Jn = i ∙ R ∙ [
(1 + i)t−n+1 − 1
(1 + i)t−n+1 ∙ i
] (34) 
 An = A1 ∙ (1 + i)n−1 (35) 
 
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual será a parcela dos juros e a parcela 
da amortização no período 120? 
Solução: A parcela de juros será: 
 
Jn = i ∙ R ∙ [
(1 + i)t−n+1 − 1
(1 + i)t−n+1 ∙ i
] 
J120 = 0,02 ∙ 1.412,18 ∙ [
(1,02)240−120+1 − 1
(1,02)240−120+1 ∙ 0,02
] 
J120 = 28,2436 ∙ [
(1,02)121 − 1
(1,02)121 ∙ 0,02
] 
J120 = 28,2436 ∙ [45,44664] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
 
J120 = 1.283,58 
 
Para calcular a parcela de amortização no período n = 120através da fórmula 
anterior, devemos primeiro calcular essa parcela na primeira prestação (A1). 
 
A1 = R − (i ∙ C) 
A1 = 1.412,18 − (0,02 ∙ 70.000) 
A1 = 12,18 
 
Assim, A120 será: 
 
A120 = 12,18 ∙ (1,02)120−1 
A120 = 12,18 ∙ (1,02)119 
A120 = 128,60 
 
5.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTEO sistema de amortização constante (SAC) é um plano em que as parcelas de 
amortização são todas iguais ou constantes ao longo do período. Neste ponto, ela 
difere da Tabela Price onde as prestações é que são constantes como foi visto (na 
Tabela Price, as amortizações crescem exponencialmente ao longo do tempo). No 
sistema de amortização constante, as prestações serão decrescentes, ou seja, elas 
diminuem ao longo do tempo. Para dar início ao processo, devemos primeiro calcular 
o valor da amortização da seguinte forma: 
 
 
A =
C
t
 (36) 
 
A parcela dos juros continua sendo calculada sobre o saldo devedor no perí-
odo anterior e o valor da prestação será a soma destas duas parcelas, ou seja: 
 
 R = J + A (37) 
 
Exemplo: Suponha um financiamento de $65.000,00 a ser pago em 5 prestações men-
sais a uma taxa de juros de 3% ao mês. Quais seriam os valores das prestações e as 
parcelas de juros e amortização em cada período? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
 
Solução: Calculando primeiramente o valor da amortização, temos: 
 
A =
C
t
 
A =
65.000
5
 
A = 13.000 
 
No primeiro mês, teremos os seguintes valores: 
 
J1 = 0,03 ∙ 65.000 
J1 = 1.950 
R1 = 1.950 + 13.000 
R1 = 14.950 
C1 = 65.000 − 13.000 
C1 = 52.000 
 
Seguindo este processo, podemos montar uma tabela como na seção ante-
rior. 
 
Tabela 6: Tabela Final com os dados do financiamento 
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor 
0 - - - 65.000 
1 14.950,00 1.950,00 13.000,00 52.000 
2 14.560,00 1.560,00 13.000,00 39.000 
3 14.170,00 1.170,00 13.000,00 26.000 
4 13.780,00 780,00 13.000,00 13.000 
5 13.390,00 390,00 13.000,00 0,00 
Total 70.850,00 5.850,00 65.000,00 - 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
No sistema de amortização constante, podemos calcular o saldo devedor no 
momento “n” da seguinte forma: 
 
 Cn = A ∙ (t − n) (38) 
 
O valor da parcela de juros e da prestação no período “n” pode ser calculado 
através das seguintes fórmulas, respectivamente: 
 Jn = i ∙ A ∙ (t − n + 1) (39) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
 
 
 Rn = A[1 + i ∙ (t − n + 1)] (40) 
 
Exemplo: Suponha um financiamento de $100.000,00 a ser pago em 60 prestações 
mensais sob o sistema de amortização constante. Considerando uma taxa de juros 
de 1,2% ao mês, qual será o saldo devedor ao final de dois anos? 
Solução: Desejamos saber o saldo devedor no 24° mês, mas antes precisamos calcu-
lar o valor da amortização. Assim: 
 
A =
C
t
 
A =
100.000
60
 
A = 1.666,67 
 
Assim, o valor do saldo devedor ao final de dois anos será: 
Cn = A ∙ (t − n) 
C24 = 1.666,67 ∙ (60 − 24) 
C24 = 60.000,00 
 
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual será o valor da prestação e a par-
cela de juros ao final de dois anos? 
Solução: O valor da prestação será: 
 
Rn = A ∙ [1 + i ∙ (t − n + 1)] 
R24 = 1.666,67 ∙ [1 + 0,012 ∙ (60 − 24 + 1)] 
R24 = 1.666,67 ∙ (1,444) 
R24 = 2.406,67 
 
A parcela de juros: 
 
Jn = i ∙ A ∙ (t − n + 1) 
J24 = 0,012 ∙ 1.666,67(60 − 24 + 1) 
J24 = 740,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
 
5.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO 
O sistema de amortização misto (SAM), assim como o SAC, costuma ser utili-
zado, principalmente, no financiamento de imóveis. Como o próprio nome sugere, 
ele se baseia nos dois tipos de amortização vistos anteriormente, sendo as prestações 
calculadas como uma média aritmética das prestações dos outros sistemas. No início 
da operação, essas prestações são maiores quando comparadas à Tabela Price. En-
tretanto, elas diminuem substancialmente a partir da metade do período total do 
financiamento. Neste sistema, a primeira prestação pode ser calculada da seguinte 
forma: 
 
 
R1 = [C ∙
(1 + i)t ∙ i
(1 + i)t − 1
+
C ∙ (1 + i ∙ t)
t
] ∙
1
2
 (41) 
 
Como se pode ver, a prestação é uma média aritmética da prestação da Ta-
bela Price com a primeira prestação do sistema de amortização constante. Há, en-
tretanto, outra maneira de calcular o valor desta prestação. Introduzindo uma variá-
vel “q” que pode assumir os valores 0; 0,5 e 1, temos a seguinte fórmula: 
 
 
R1 = [C ∙ (1 − q) ∙
(1 + i)t ∙ i
(1 + i)t − 1
] + [C ∙ q ∙ (
1
t
+ i)] (42) 
 
Dessa forma, quando q = 0, temos exatamente a prestação da Tabela Price. 
Quando q = 1, temos o valor da prestação do sistema de amortização constante e, 
quando q = 0,5, temos a prestação do sistema misto. 
É importante notar que as prestações, no sistema misto, decrescem segundo 
uma progressão aritmética cuja razão (r) é dada por: 
 
 
r = q ∙ (
C ∙ i
t
) (43) 
 
Exemplo: Qual o valor da primeira prestação mensal de um financiamento de 
$300.000,00 a ser pago em quatro prestações mensais a uma taxa de 5% ao mês, 
considerando os três sistemas de amortização (Price, SAC e SAM)? 
Solução: Vamos, primeiramente, considerar a Tabela Price. Para isso, precisamos de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 
q = 0. 
 
R1 = [C ∙ (1 − q) ∙
(1 + i)t ∙ i
(1 + i)t − 1
] + [C ∙ q ∙ (
1
t
+ i)] 
R1 = [300.0000 ∙ (1 − 0) ∙
(1 + 0,05)4 ∙ 0,05
(1 + 0,05)4 − 1
] + [300.000 ∙ 0 ∙ (
1
4
+ 0,05)] 
R1 = [300.0000 ∙ (1) ∙
(1,05)4 ∙ 0,05
(1,05)4 − 1
] 
R1 = 84.603,55 
 
Para calcular o valor da prestação no SAC, precisamos de q = 1. Assim: 
 
 
R1 = [300.0000 ∙ (1 − 1) ∙
(1 + 0,05)4 ∙ 0,05
(1 + 0,05)4 − 1
] + [300.000 ∙ 1 ∙ (
1
4
+ 0,05)] 
R1 = [300.0000 ∙ (0) ∙
(1 + 0,05)4 ∙ 0,05
(1 + 0,05)4 − 1
] + [300.000 ∙ 1 ∙ (
1
4
+ 0,05)] 
R1 = [300.000 ∙ 1 ∙ (
1
4
+ 0,05)] 
R1 = [300.000 ∙ (0,3)] 
R1 = 90.000,00 
 
Por fim, para calcular o valor da parcela no sistema misto, fazemos q = 0,5. 
 
R1 = [300.0000 ∙ (1 − 0,5) ∙
(1 + 0,05)4 ∙ 0,05
(1 + 0,05)4 − 1
] + [300.000 ∙ 0,5 ∙ (
1
4
+ 0,05)] 
R1 = [300.0000 ∙ (0,5) ∙
(1 + 0,05)4 ∙ 0,05
(1 + 0,05)4 − 1
] + [300.000 ∙ 0,5 ∙ (
1
4
+ 0,05)] 
R1 = 42.301,77 + 45.000 
R1 = 87.301,77 
 
Exemplo: Considerando os dados do exemplo anterior, qual seria o plano completo 
de amortização sob o sistema misto? 
Solução: Uma vez que já conhecemos o valor da primeira prestação, devemos cal-
cular a razão de decrescimento das prestações para conhecermos as demais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
 
r = q ∙ (
C ∙ i
t
) 
r = 0,5 ∙ (
300.000 ∙ 0,05
4
) 
r = 1.875 
 
Assim, sabemos que a segunda prestação será: 
 
R2 = R1 − r 
R2 = 87.301,77 − 1.875 
R2 = 85.426,77 
 
Lembrando que a parcela de juros é sempre calculada sobre o saldo devedor 
do período anterior e a parcela de amortização será o valor da prestação menos a 
parcela de juros, podemos construir a tabela que representa o plano completo de 
amortização. 
 
Tabela 7: Tabela Final com os dados da amortização 
Período Juros Amortização Prestação Saldo devedor 
0 - - - 300.000 
1 15.000 72.301,77 87.301,77 227.698,23 
2 11.384,91 74.041,86 85.426,77 153.656,36 
3 7.682,82 75.868,96 83.551,77 77.787,40 
4 3.889,37 77.787,40 81.676,77 0,00 
Total 37.957,10 300.000 337.957,10 - 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Percebam que a diferença entre uma prestação e a anterior é sempre igual a 
$1.875,00, ou seja, a valor de “𝑟”. 
 
 
 
Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos de Carlos Patrício 
Samanez (2007) você encontrará mais detalhes sobre este conteúdo com muitos exem-
plos e exercícios. Disponível em: https://bit.ly/3gIpQEt
https://bit.ly/3gIpQEt
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Considere um financiamento no valor de $30.000,00 a ser liquidado em 5 presta-
ções mensais. Sendo a taxa de juros 2% ao mês e o sistema de amortização é a 
Tabela Price, calcule o valor da amortização no segundo mês. 
 
a) $5.880,05. 
b) $6.117,60. 
c) $6.239,95. 
d) $4.285,00. 
e) $5.500,00. 
 
2. Considerando ainda a Tabela Price, calcule o valor do saldo devedor, ao final de 
24 meses, de um financiamento de $150.000,00 pelo prazo de 48 meses, conside-
rando uma taxa de juros de 1,8% ao mês. 
 
a) $135.269,69. 
b) $121.093,79. 
c) $108.064,25.d) $90.815,06. 
e) $50.249,45. 
 
3. Calcule o valor da prestação no 5° mês de um empréstimo de $350.000,00 a ser 
amortizado pela Tabela Price em 60 prestações, considerando uma taxa de juros 
de 3,5%. 
 
a) $15.725,00. 
b) $5.833,33. 
c) $14.031,02. 
d) $10.527,80. 
e) $12.954,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
 
4. Considerando a Tabela Price, calcule o valor da parcela de juros, no 15° mês, de 
um financiamento de $100.000,00 a ser amortizado em 30 prestações a uma taxa 
de juros de 2,9% ao mês. 
 
a) $2.718,00. 
b) $2.426,75. 
c) $1.029,56. 
d) $1.462,50. 
e) $1.848,65. 
 
5. Considerando os dados do exercício anterior, calcule o valor da parcela de amor-
tização no 25° mês. 
 
a) $4.628,35. 
b) $3.125,23. 
c) $4.242,39. 
d) $2.240,00. 
e) $5.995,23. 
 
6. Considerando o sistema de amortização constante, calcule o valor da amortiza-
ção de um financiamento de $250.000,00 a ser amortizado em 24 prestações men-
sais a uma taxa de juros de 1,9% ao mês. 
 
a) $10.416,67. 
b) $15.951,23. 
c) $8.725,00. 
d) $7.239,52. 
e) $7.850,81. 
 
 
 
 
 
7. Uma pessoa financia $350.00,00 para a aquisição de um imóvel, pretendendo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
 
amortizar em 120 prestações sob o sistema de amortização constante. Sabendo 
que a taxa de juros é de 2,5% ao mês, calcule o saldo devedor ao final do 60° mês. 
 
a) $145.500,00. 
b) $123.718,75. 
c) $145.833,00. 
d) $175.000,00. 
e) $200.000,00. 
 
8. Considerando o sistema de amortização misto, calcule o valor da segunda presta-
ção de um financiamento de $200.000,00 a ser amortizado em 50 prestações men-
sais a uma taxa de juros de 1,5% ao mês. 
 
a) $8.351,25. 
b) $6.327,17. 
c) $5.150,00. 
d) $5.285,35. 
e) $4.724,17. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
 
 
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE 
INVESTIMENTOS 
 
 
 
 
6.1 INTRODUÇÃO 
Os métodos de análise de investimentos ou análise de fluxo de caixa consistem 
em comparar o valor atual de vários fluxos de pagamento/recebimento futuros com 
o valor do pagamento/recebimento realizado “hoje”. 
 
As alternativas de investimento podem ser comparadas somente se as 
consequências monetárias forem medidas em um ponto comum no 
tempo e, como as operações de investimento ou financiamento têm 
por característica um espaçamento dos fluxos de caixa ao longo do 
tempo, os critérios de avaliação econômica devem considerar sua 
atualização (SAMANEZ, 2007, p. 54). 
 
Dentre os métodos de avaliação mais utilizados, destacam-se o método do 
valor presente líquido (VPL) e o método da taxa interna de retorno (TIR), que são muito 
utilizadas nas análises de aplicações financeiras e de projetos de investimento. 
 
6.2 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) 
O valor presente é uma técnica que consiste em calcular o valor presente de 
uma série de pagamentos/recebimentos a uma determinada taxa de juros e subtrair 
o valor do fluxo inicial que pode ser um investimento, financiamento ou empréstimo. 
Dito de outra forma, esta técnica visa calcular o valor presente dos fluxos de caixa 
futuros que serão gerados por um projeto ao longo de sua vida útil. 
Representando o fluxo de caixa no período “j” por FCJ e o fluxo de caixa inicial 
(investimento/financiamento) por I0, podemos escrever a seguinte fórmula para o va-
lor presente líquido: 
 
 
VPL = 
FC1
(1 + i)1
+
FC2
(1 + i)2
+
FC3
(1 + i)3
+ ⋯ +
FCt
(1 + i)t
− I0 (44) 
 
 
UNIDADE 
06 
UNI-
DADE0
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
 
 
Esta técnica foi desenvolvida inicialmente para análise de projetos de investi-
mento. Neste caso, pode-se fixar uma taxa de retorno mínima desejada e calcular, 
com base nela, o valor presente das receitas estimadas para os próximos meses ou 
anos. Caso o valor presente líquido seja positivo, ou seja, se o valor presente das re-
ceitas futuras for maior que o valor do investimento inicial, deve-se optar por realizar 
o investimento, pois, neste caso, a taxa de retorno do investimento será maior que a 
taxa mínima desejada. Dito de outra forma, se o VPL for positivo, o investimento vale 
mais do que custa. 
 
Exemplo: Suponha que uma empresa esteja analisando a viabilidade de adquirir um 
equipamento por $5.000.000,00. Sabe-se que este equipamento irá gerar receitas de 
$1.500.00,00 no primeiro ano, $1.510.000,00 no segundo ano, $900.000,00 e $790.000,00 
no terceiro e quarto ano, respectivamente. Sabendo que o equipamento será ven-
dido por $1.000.000,00 ao final do quarto ano, qual deve ser a decisão da empresa, 
considerando uma taxa de retorno de 15% ao ano? 
Solução: Como o equipamento será vendido ao final do quarto ano, o fluxo gerado 
neste ano será FC4 = 790.000 + 1.000.000 = 1.790.000. Esquematicamente, temos a se-
guinte situação: 
 
 
 
Calculando o valor presente líquido destes fluxos, temos: 
 
VPL = 
FC1
(1 + i)1
+
FC2
(1 + i)2
+
FC3
(1 + i)3
+
FC4
(1 + i)4
− I0 
5.000.00
0 
1.500.00
0 
1.510.0
00 
790.000 
1.790.00
0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
 
VPL = 
1.500.000
(1 + 0,15)1
+
1.510.000
(1 + 0,15)2
+
900.000
(1 + 0,15)3
+
1.790.000
(1 + 0,15)4
− 5.000.000 
VPL = 
1.500.000
(1,15)1
+
1.510.000
(1,15)2
+
900.000
(1,15)3
+
1.790.000
(1,15)4
− 5.000.000 
VPL = 1.304.347,83 + 1.141.776,94 + 591.764,61 + 1.023.438,31 − 5.000.000 
VPL = 4.061.327,68 − 5.000.000 
VPL = − 938.672,32 ⇒ VPL negativo 
 
Portanto, considerando a taxa de retorno de 15% ao ano, a empresa não 
deve realizar a aquisição deste equipamento. Dito de outra forma, a aquisição do 
equipamento não é um investimento economicamente viável. 
Exemplo: Seguindo o exemplo anterior, qual deveria ser a decisão da empresa se ela 
considerasse uma taxa de retorno de 5% ao ano: 
Solução: Neste caso, teríamos o seguinte VPL: 
 
VPL = 
FC1
(1 + i)1
+
FC2
(1 + i)2
+
FC3
(1 + i)3
+
FC4
(1 + i)4
− I0 
VPL = 
1.500.000
(1,05)1
+
1.510.000
(1,05)2
+
900.000
(1,05)3
+
1.790.000
(1,05)4
− 5.000.000 
VPL = 1.428.571,43 + 1.396.614,51 + 777.453,84 + 1.472.637,43 − 5.000.000 
VPL = 5.048.277,21 − 5.000.000 
VPL = 48.277,21 ⇒ VPL positivo 
 
Assim, se a taxa de retorno desejada fosse 5% ao ano, o investimento seria 
economicamente viável e a empresa deveria adquirir o equipamento. 
 
6.3 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 
O método da taxa interna de retorno tem como objetivo encontrar uma taxa 
intrínseca de rendimento em um investimento, empréstimo ou financiamento. Dito de 
outra forma, a taxa interna de retorno é aquela que equaliza o valor presente de um 
ou mais recebimentos futuros com o valor do investimento inicial, ou seja, é a taxa 
que faz com que o VPL seja nulo. Dessa forma, a equação que nos dá a TIR pode ser 
escrita da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84 
 
 
 
I0 =
FC1
(1 + i)1
+
FC2
(1 + i)2
+
FC3
(1 + i)3
+ ⋯ +
FCT
(1 + i)t
 (45) 
 
Ou, de forma similar: 
 
 
I0 −
FC1
(1 + i)1
+
FC2
(1 + i)2
+
FC3
(1 + i)3
+ ⋯ +
FCT
(1 + i)t
= 0 (46) 
 
Onde “𝑖”, neste caso, representa a taxa interna de retorno. 
Exemplo: Qual é a taxa interna de retorno de um investimento de $10.000,00 a ser 
liquidado em três prestações mensais de $3.000,00, $5.000,00 e $4.000,00? 
Solução: Esquematicamente, temos a seguinte situação: 
 
 
 
Sendo assim, devemos resolver a seguinte equação: 
 
10.000 =
3.000
(1 + i)1
+
5.000
(1 + i)2
+
4.000
(1 + i)3
 
 
Esta equação, entretanto, só pode ser resolvida por tentativa e erro (método 
interativo). Para isso, devemos escolher uma taxa interna que acreditamos estar pró-
xima da taxa procurada. Escolheremos, por exemplo, 11%. Assim, a soma abaixo 
deve ser igual a 10.000: 
 
3.000
(1 + 0,11)1
+
5.000
(1 + 0,11)2
+
4.000
(1 + 0,11)3
 
=
3.000
(1,11)1
+
5.000
(1,11)2
+
4.000
(1,11)3
= 2.702,70 + 4.58,11 + 2.924,77 
= 9.658,58 
 
10.00
0 
3.000 
5.000 
4.000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
85 
 
 
Como resultado não foi o que desejávamos,devemos tentar outra taxa. Para 
que o resultado seja maior que aquele encontrado, a taxa deve ser menor. Tentare-
mos, então, 9%. 
 
3.000
(1 + 0,09)1
+
5.000
(1 + 0,09)2
+
4.000
(1 + 0,09)3
 
=
3.000
(1,09)1
+
5.000
(1,09)2
+
4.000
(1,09)3
 
= 2.752,29 + 4.208,40 + 3.088,73 
= 10.049,43 
 
Como ainda não encontramos o valor procurado, tentaremos com uma taxa 
um pouco maior. Uma técnica que podemos utilizar para isso é a interpolação linear. 
Como procuramos um valor entre 9% e 11%, procederemos da seguinte forma: 
 
(10.049,43 − 9.658,58) ∶ (9% − 11%) 
 
(10.000 − 9.658,58) ∶ (x − 11%) 
 
Onde x é a taxa que procuramos. Assim: 
 
x − 11% =
−2%(341,42)
390,85
= −1,75% 
x = −1,75% + 11% 
x = 9,25% 
 
Usando, então 9,25% como taxa, teremos: 
 
3.000
(1 + 0,0925)1
+
5.000
(1 + 0,0925)2
+
4.000
(1 + 0,0925)3
 
 
=
3.000
(1,0925)1
+
5.000
(1,0925)2
+
4.000
(1,0925)3
 
= 2.746 + 4.189,16 + 3.067,58 
= 10.002,74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
86 
 
 
A rigor, a taxa ainda não é esta, devendo ser ligeiramente maior. Procedendo 
com uma nova interpolação, obteremos uma taxa igual a 9,2647%. Teremos, então: 
 
3.000
(1 + 0,092647)1
+
5.000
(1 + 0,092647)2
+
4.000
(1 + 0,092647)3
 
=
3.000
(1,092647)1
+
5.000
(1,092647)2
+
4.000
(1,092647)3
 
2.754,63 + 4.188,03 + 3.066,34 
= 10.000 
 
Portanto, a taxa interna de retorno deste financiamento é 9,2647%. 
 
 
 
 
 
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87 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Suponha que uma empresa esteja analisando a viabilidade de adquirir um equi-
pamento por $950.000,00. Sabe-se que este equipamento irá gerar receitas de 
$350.000,00 no primeiro ano, $500.000,00 no segundo ano e $300.000,00 no terceiro 
ano. Sabendo que o equipamento será vendido por $800.000,00 ao final do ter-
ceiro ano, calcule o valor presente líquido deste investimento, considerando uma 
taxa de retorno de 15% ao ano. 
 
a) $950.000,00. 
b) $455.687,51. 
c) $900.000,00. 
d) $2.345.728,75. 
e) $2.587.325,83. 
 
2. Calcule o valor presente líquido de um investimento de $150.000,000 que rende 
uma receita de $50.000,00 no primeiro ano, $45.000,00 no segundo ano e 
$30.000,00 no terceiro ano. Considere uma taxa de juros de 10% ao ano e sabendo. 
 
a) -$44.815,94. 
b) $105.184,06. 
c) $44.325,21. 
d) $50.248,00. 
e) -$68.429,35. 
 
3. Suponha que uma pessoa deseja adquirir uma franquia no valor de $150.000,00. O 
franqueador afirma que este investimento irá gerar receitas anuais de $50.000,00 
no primeiro ano, $55.000,00 no segundo ano, $60.000,00 no terceiro ano, $75.000,00 
no quarto ano e $65.000,00 no quinto ano. Calcule o valor presente líquido deste 
investimento considerando uma taxa de juros de 12% ao ano. 
 
a) $106.745,60. 
b) $43.254,40. 
c) -$52.487,20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
 
d) -$106.745,60. 
e) $65.741,94. 
 
4. Considerando o exercício anterior, calcule o valor presente líquido a uma taxa de 
30% ao ano. 
 
a) -$7.918,14. 
b) -$142.081,86. 
c) $7.918,14. 
d) $142.081,86. 
e) -$2.156,15. 
 
5. Suponha que uma empresa deseja realizar a aquisição de um equipamento por 
$120.000,00. Sabendo que este equipamento irá gerar uma receita de $35.000,00 
no primeiro ano, $50.000,00 no segundo ano, $45.000,00 no terceiro ano e 
$28.000,00 no quarto ano, calcule o valor presente líquido a uma taxa de 10% ao 
ano. 
 
a) -$6.074,04. 
b) -$126.074,04. 
c) $126.074,04. 
d) $6.074,04. 
e) $12.274,04. 
 
6. Considerando os dados do exercício anterior, calcule a taxa interna de retorno do 
investimento. 
 
a) 15,25%. 
b) 12,38%. 
c) 18,53%. 
d) 14,28%. 
e) 10,5%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
 
 
7. Calcule a taxa interna de retorno de um investimento de $200.000,00 que gerará 
receitas de $90.000,00 no primeiro ano, $75.000,00 no segundo ano e $80.000,00 no 
terceiro ano. 
 
a) 15,5%. 
b) 22,15%. 
c) 9,25%. 
d) 11,13%. 
e) 8,75%. 
 
8. Uma pessoa deseja comprar uma franquia por $320.000,00. Sabendo que tal fran-
quia irá gerar uma receita de $110.000,00 por ano nos primeiros cinco anos, calcule 
a taxa interna de retorno deste investimento. 
 
a) 15,3512%. 
b) 10,2708%. 
c) 12,2561%. 
d) 13,7854%. 
e) 14,2356%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
90 
 
 
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO 
 
UNIDADE 01 
 
 
 
UNIDADE 02 
 
QUESTÃO 1 C QUESTÃO 1 A 
QUESTÃO 2 A QUESTÃO 2 B 
QUESTÃO 3 B QUESTÃO 3 A 
QUESTÃO 4 B QUESTÃO 4 B 
QUESTÃO 5 C QUESTÃO 5 A 
QUESTÃO 6 E QUESTÃO 6 D 
QUESTÃO 7 A QUESTÃO 7 E 
QUESTÃO 8 D QUESTÃO 8 C 
 
 
UNIDADE 03 
 
 
 
 
UNIDADE 04 
 
QUESTÃO 1 A QUESTÃO 1 B 
QUESTÃO 2 B QUESTÃO 2 D 
QUESTÃO 3 E QUESTÃO 3 A 
QUESTÃO 4 B QUESTÃO 4 C 
QUESTÃO 5 A QUESTÃO 5 A 
QUESTÃO 6 B QUESTÃO 6 B 
QUESTÃO 7 E QUESTÃO 7 D 
QUESTÃO 8 C QUESTÃO 8 A 
 
 
UNIDADE 05 
 
 
 
UNIDADE 06 
 
QUESTÃO 1 A QUESTÃO 1 B 
QUESTÃO 2 D QUESTÃO 2 A 
QUESTÃO 3 C QUESTÃO 3 E 
QUESTÃO 4 E QUESTÃO 4 A 
QUESTÃO 5 C QUESTÃO 5 D 
QUESTÃO 6 A QUESTÃO 6 B 
QUESTÃO 7 D QUESTÃO 7 D 
QUESTÃO 8 B QUESTÃO 8 B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
91 
 
 
REFERÊNCIAS 
GIMENES, C. M. Matemática financeira com HP 12c e Excel. São Paulo : Pearson 
Prentice Hall, 2006. 
NETO, A. A. Matemática financeira e suas aplicações. 14. ed. São Paulo: Atlas, 2019. 
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 4. ed. 
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 
SOBRINHO, J. D. V. Matemática financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2008.01 UNIDADE 
04 
 
UNIDADE 
01 
UNIDADE 
05 
 
UNIDADE 
01 
UNIDADE 
06 
 
UNIDADE 
01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
CONFIRA NO LIVRO 
 
 
Nesta unidade serão apresentados os conceitos básicos de 
juros, capital e montante, além dos regimes de capitalização 
simples e composto. 
Nesta unidade será apresentado o conceito de desconto que 
é uma operação muito utilizada na prática. Serão vistos o des-
conto simples e o desconto composto que tem uma questão 
conceitual muito importante. 
 
 
Nesta unidade será introduzido o conceito de fluxo de caixa 
e será visto como ocorre o fluxo de pagamentos e recebimen-
tos futuros sob os diferentes regimes de capitalização. 
Nesta unidade serão apresentados diferentes instrumentos uti-
lizados no mercado por empresas que buscam formas de fi-
nanciar seu capital de giro. 
 
 
Nesta unidade serão estudados os principais sistemas de 
amortização que são vastamente utilizados na prática como 
em financiamentos de imóveis, por exemplo. 
Nesta unidade serão apresentados os principais métodos de 
avaliação de investimentos utilizados: o VPL e a TIR. Estes mé-
todos nos permitem avaliar a viabilidade econômica e a taxa 
de retorno de um investimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 
 
 
 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
A matemática financeira é um ramo da matemática que trata, basicamente, 
da relação que existe entre dinheiro e tempo. Receber um determinado valor em 
dinheiro hoje ou receber após seis meses, obviamente, não são a mesma coisa. Da 
mesma forma, adquirir um produto hoje e adquiri-lo após seis meses também não são. 
Dessa forma, abrir mão de um consumo imediato (que é preferível) para consumir 
posteriormente, deve render à pessoa algum tipo de “prêmio” e os juros podem ser 
entendidos como esse prêmio. Assim, são os juros que levam ao adiamento do con-
sumo, e à consequente formação de poupanças que são tão úteis à economia. Os 
juros também podem ser entendidos de outras formas: 
 
 Remuneração do risco: ao conceder um empréstimo, por exemplo, o credor 
corre o risco da inadimplência do tomador. Quanto maior o risco, maior será 
o “prêmio” exigido pelo credor, ou seja, maiores serão os juros. 
 Proteção contra a perda do poder de compra: ao longo do tempo, a moeda 
perde, paulatinamente, o seu poder de compra, ou seja, sua capacidade de 
comprar produtos. Obviamente, não se compra hoje com $100 tudo o que se 
comprava há 20 anos. Isso se deve ao processo de inflação. Os juros podem 
anular ou, pelo menos, minimizar esta perda. 
 Remuneração do capital: de forma simplificada, os juros podem ser entendi-
dos também como um “aluguel” que deve ser pago pelo uso do dinheiro por 
terceiros. 
 
Além dos juros (J), há também outros conceitos que precisamos entender para 
estudar a relação do dinheiro com o tempo. São eles: 
 
 Capital (C): do ponto de vista da matemática financeira, capital se refere a 
qualquer valor, expresso em moeda, disponível em determinado momento. 
Também pode ser chamado de “principal” ou “valor presente”. 
UNIDADE 
01 
 
UNI-
DADE0
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 Montante (M): também chamado de “valor futuro”, é o valor obtido após a 
adição dos juros ao final de um período específico. Assim, o montante será 
igual ao principal mais os juros. 
 Taxa de juros (i): é o quociente entre os juros recebidos e o capital aplicado. 
Dito de outra forma é a remuneração do capital aplicado e se refere sempre 
a um determinado período de tempo. A taxa de juros pode ser representada 
de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária. A taxa percentual é aquela 
apresentada em porcentagem e a taxa unitária será a taxa percentual divi-
dida por 100. Por Exemplo: 
 
Tabela 1: Taxa de Juros 
Taxa percentual Taxa unitária 
15% 0,15 
7,5% 0,075 
2% 0,02 
1,5% 0,015 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Dessa forma, expressando matematicamente as relações acima, temos o se-
guinte: 
 
 M = C + J (1) 
 
 
i =
J
C
 (2) 
 
Exemplo: Qual é a taxa de juros cobrada em um empréstimo de $100, sabendo 
que, após um mês, serão pagos $125? 
Solução: Neste caso, o capital é igual a $100 e o montante, igual a $150. Então 
temos: 
 
M = C + J 
J = M − C 
J = 125 − 100 = 𝟐𝟓 
i =
J
C
 
i =
25
100
= 𝟎, 𝟐𝟓 𝐨𝐮 𝟐𝟓% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
Assim, a taxa de juros cobrada é igual a 25% ao mês, que é o período da ope-
ração. 
 
1.2 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
Na matemática financeira, um regime de capitalização dos juros representa a 
forma como os juros são formados e incorporados ao capital ao longo do tempo. 
Nesse sentido, podemos destacar dois regimes de capitalização: a capitalização sim-
ples e a capitalização composta. 
 
1.2.1 Capitalização Simples 
Popularmente chamada de “juros simples”, a capitalização simples é o regime 
de capitalização onde a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial e nunca 
sobre os juros acumulados. Neste regime, os juros crescem linearmente com o tempo 
ou, dito de outra forma, a relação que existe entre juros e tempo pode ser expressa 
por uma função de primeiro grau. Vejamos o seguinte Exemplo: suponha que uma 
pessoa faça um empréstimo de $1.000,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês para ser 
pago após 6 meses. O quadro abaixo ilustra essa situação com o valor da dívida a 
cada mês. 
 
Tabela 2: Taxa de juros (simples) 
Mês Juros Dívida 
0 - 1.000 
1 𝟎, 𝟎𝟑 ∙ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟎 1.030 
2 𝟎, 𝟎𝟑 ∙ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟎 1.060 
3 𝟎, 𝟎𝟑 ∙ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟎 1.090 
4 𝟎, 𝟎𝟑 ∙ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟎 1.120 
5 𝟎, 𝟎𝟑 ∙ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟎 1.150 
6 𝟎, 𝟎𝟑 ∙ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟎 1.180 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
No quadro acima, o mês “0” representa o exato momento em que a pessoa 
faz o empréstimo. Neste momento ainda não há juros a pagar. Ao fim do primeiro 
mês, a dívida será igual aos $1.000,00 acrescidos dos juros que foram $30,00. Assim, o 
valor da dívida neste momento é de $1.030,00 e assim sucessivamente. Reparem que, 
para obter o valor dos juros em cada mês foi utilizada a taxa unitária (0,03) e não a 
taxa percentual (3%). Também é importante perceber que os juros são constantes ao 
longo do tempo, ou seja, a dívida é acrescida sempre do mesmo valor. É isso que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
significa dizer que os juros são uma função linear do tempo. A cada mês, a taxa de 
variação da dívida é sempre a mesma (constante). Obviamente, não é necessário 
construir sempre um quadro como este o que pode ser trabalhoso especialmente 
quando o tempo da operação é muito extenso. Felizmente, existem fórmulas que nos 
permitem calcular as variáveis envolvidas em uma operação financeira. Vejamos al-
gumas que se referem à capitalização simples. 
 
 Juros: O juro de uma operação financeira sob o regime de capitalização simples 
pode ser calculado através da seguinte expressão: 
 
 J = C ∙ i ∙ t (3) 
 
Onde “t” é o tempo ou prazo da operação. 
 
Exemplos: Considerando o exemplo representado no quadro anterior, qual será o 
valor dos juros ao final da operação? 
Solução: Analisando o quadro, já podemos afirmar que os juros ao final da operação 
(no sexto mês) serão iguais a $180,00 (J=1.180-1.000). Entretanto, se não tivéssemos o 
quadro, deveríamos calcular através da fórmula do seguinte modo: 
 
J = ? 
C = 1.000 
i = 3% ao mês 
t = 6 meses 
 
Como a taxa é mensal e o período da operação está medido em meses, não 
é necessário fazer nenhuma conversão (veremos mais adiante quando é necessário 
e como fazer). Assim, utilizando a taxa unitária e substituindo na fórmula, temos: 
 
J = C ∙ i ∙ t 
J = 1.000 ∙ 0,03 ∙ 6 
J = $180 
 
Ou seja, os juros gerados na operação são de $180,00 como esperávamos. 
Qual é a taxa de juros cobrada em um empréstimo de $1.500,00 que deve ser 
pago por $1.950,00 após 12 meses? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
Solução:Neste caso, temos os seguintes valores: 
 
C = 1.500 
M = 1.950 
t = 12 meses 
i = ? 
Para usar a fórmula, vamos primeiramente calcular o valor dos juros. 
 
J = M − C 
J = 1.950 − 1.500 
J = 450 
 
Agora, podemos substituir estes valores na outra fórmula. 
 
J = C ∙ i ∙ t 
450 = 1.500 ∙ i ∙ 12 
450 = 18.000 ∙ i 
i =
450
18000
 
i = 0,025 ou 2,5% 
 
Assim, a taxa de juros da operação é de 2,5% ao mês, uma vez que o prazo 
está medido em meses. 
 
Sabe-se que um capital de $2.300,00 aplicados a uma taxa de 5% ao mês renderam 
$800,00 de juros. Qual foi o prazo desta operação? 
Solução: Neste caso, temos os seguintes dados: 
 
C = 2.300 
J = 800 
i = 5% (ou 0,05) ao mês 
t = ? 
 
Substituindo na fórmula, temos: 
 
J = C ∙ i ∙ t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
800 = 2300 ∙ 0,05 ∙ t 
800 = 115 ∙ t 
t = 800/115 
t ≈ 6,96 
 
Dessa forma, o prazo da operação é de aproximadamente sete meses, uma 
vez que a taxa de juros é mensal. 
Qual o capital que, aplicado a uma taxa de 7,5% ao ano, gera $4.000,00 de 
juros em 5 anos? 
 
Solução: Neste caso, os dados do problema são: 
 
i = 7,5% ao ano 
t = 5 anos 
J = 4.000 
 
Substituindo na fórmula, temos: 
 
J = C ∙ i ∙ t 
4000 = C ∙ 0,075 ∙ 5 
4000 = C ∙ 0,375 
C = 4000/0,375 
C ≈ 10.666,67 
 
Então, o capital é igual a $10.666,67. 
 
 Montante: Vimos, anteriormente, que o montante é a soma do capital com os 
juros acumulados no período, ou seja, M=C+J. Vimos também que J=C∙i∙t. Sendo 
assim, podemos deduzir uma outra fórmula para o montante de uma operação 
da seguinte forma: 
Sabemos que M = C + J (1) e J = C ∙ i ∙ t (2). Então, substituindo a equação (2) na 
equação (1), temos o seguinte: 
M = C + C ∙ i ∙ t 
 
Colocando “C” em evidência, temos: 
 M = C ∙ (1 + i ∙ t) (4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
 
E essa é a nova fórmula para o cálculo do montante de uma operação. 
 
 
 
Exemplo: Se um capital de $10.000,00 for aplicado a uma taxa de 1,5% ao mês qual 
será o montante após 12 meses? 
Solução: Neste caso, temos os seguintes dados: 
 
C = 10.000 
i = 1,5% ao mês 
t = 12 meses 
M = ? 
 
Como M = C ∙ (1 + i ∙ t), então: 
 
M = 10000 ∙ (1 + 0,015 ∙ 12) ⇒ A multiplicação deve ser feita primeiro 
M = 10000 ∙ (1 + 0,18) 
M = 10000 ∙ (1,18) 
M = 11.800 
 
Portanto, o montante desta operação é $11.800,00. 
 
 Conversão de taxas: Como vimos acima, a taxa de juros e o período (tempo) 
devem sempre se referir à mesma unidade (dias, meses, ano, etc.). Entretanto, 
em muitas situações isso não acontece. Nestes casos, devemos converter a taxa 
de juros para que seja medida na mesma unidade do período (ou transformar 
o período na mesma unidade da taxa). No regime de capitalização simples, a 
conversão da taxa de juros é feita simplesmente multiplicando ou dividindo pelo 
valor necessário. Assim, quando temos uma taxa anual, por exemplo, podemos 
obter a taxa mensal simplesmente dividindo-a por 12. Ou, se temos uma taxa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
diária, podemos obter a taxa mensal multiplicando-a por 30 e assim sucessiva-
mente. Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo: Suponha que uma pessoa faça uma aplicação de $2.500,00 em um fundo 
que rende 3% ao mês. Quanto essa pessoa terá após 2 anos? 
Solução: Reparem que a taxa é mensal e o período está medido em anos. Assim, 
temos que converter a taxa para uma taxa anual da seguinte forma: 
 
ia = im ∙ 12 
ia = 0,03 ∙ 12 
ia = 0,36 
 
Aqui, “i_a” é a taxa anual e “i_m” é a taxa mensal. Agora, podemos utilizar a 
fórmula do montante: 
 
M = C ∙ (1 + i ∙ t) 
M = 2500 ∙ (1 + 0,36 ∙ 2) 
M = 2500 ∙ (1 + 0,72) 
M = 2500 ∙ (1,72) 
M = 4.300 
 
Então, após 2 anos, a pessoa terá $4.300,00. 
 
 Capitalização composta: Popularmente chamada de “juros compostos”, a ca-
pitalização composta é aquele regime de capitalização onde a taxa de juros 
incide sobre o capital inicial acrescidos dos juros acumulados até o período an-
terior, sendo, por este motivo, também chamado de “juros sobre juros”. Na prá-
tica, esse é o regime utilizado em todas as operações de capitalização. É im-
portante notar ainda que, neste regime, os juros variam exponencialmente 
como o tempo. Ou seja, o capital “cresce” muito mais rapidamente se compa-
rado ao regime de capitalização simples. Vejamos um Exemplo: suponha que 
uma pessoa faça um empréstimo de $1.000,00 a uma taxa de juros de 3% ao 
mês para ser pago após 6 meses. Notem que se trata do mesmo exemplo utili-
zado no início da seção de capitalização simples. O quadro abaixo ilustra essa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
situação com o valor da dívida a cada mês. 
 
Tabela 3: Taxa de juros (compostos) 
Mês Juros Dívida 
0 - 1.000 
1 0,03 ∙ 1.000 = 30 1.030 
2 0,03 ∙ 1030 = 30,9 1.060,9 
3 0,03 ∙ 1.060,9 = 31,83 1.092,73 
4 0,03 ∙ 1.092,73 = 32,78 1.125,51 
5 0,03 ∙ 1.125,51 = 33,77 1.159,28 
6 0,03 ∙ 1.159,28 = 34,78 1.194,06 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Assim, ao final de seis meses, o valor da dívida será de $1.194,06. Reparem que, 
quando adotamos a capitalização simples este valor era menor ($1.180,00). Essa di-
ferença será tanto maior quanto maior for o período entre o início e o fim da opera-
ção. O gráfico 1 abaixo ilustra a diferença ente os dois tipos de capitalização. Pode-
mos ver, através do gráfico, que ao final de 60 meses, a dívida sob o regime de ca-
pitalização composta é praticamente o dobro do que seria sob o regime de capita-
lização simples. 
 
Figura 1: Capitalização simples X Capitalização composta 
 
Fonte: Elaborado pelos Autores (2020) 
 
Também no caso da capitalização composta, não é necessário que façamos 
os cálculos como na tabela acima. Existem também algumas fórmulas que são muito 
úteis. Vejamos: 
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Capitalização Simples Capitalização Composta
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 Montante: O montante de uma operação sob o regime de capitalização com-
posta pode ser calculado através da seguinte fórmula: 
 
 M = C ∙ (1 + i)t (5) 
 
Da mesma forma, temos que: 
 
M = montante; 
C = capital; 
i = taxa de juros; 
t = período (ou tempo). 
 
A partir desta fórmula, podemos também obter uma fórmula para o capital, 
“passando” o termo (1 + i)t para “o outro lado da igualdade”. Assim, temos: 
 
 
C =
M
(1 + i)t
 (6) 
 
Exemplo: Imagine que uma pessoa faça uma aplicação de $1.500,00 em um fundo 
que renda 2% de juros ao mês. Quanto essa pessoa terá após 12 meses? 
 
Solução: Os dados do problema são: 
 
M = ? 
C = 1.500 
i = 2% ao mês 
t = 12 meses 
 
Substituindo esses valores na fórmula, temos o seguinte: 
 
M = C ∙ (1 + i)t 
M = 1500 ∙ (1 + 0,02)12 
M = 1500 ∙ (1,02)12 
M = 1500 ∙ 1,268 
M = 1.902 
 
Assim, após 12 meses, essa pessoa terá $1.902,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
Exemplo: Qual é o capital que, aplicado a 1,5% ao mês, rende um montante de 
$3.200,00 após 15 meses? 
Solução: Os dados do problema são os seguintes: 
 
C = ? 
M = 3.200 
i = 1,5% ao mês 
t = 15 meses 
 
Substituindo na fórmula, temos: 
 
M = C ∙ (1 + i)t 
3200 = C ∙ (1 + 0,015)12 
3200 = C ∙ (1,015)12 
3200 = C ∙ (1,25) 
C =
3200
1,25
 
C = 2.560 
 
Portanto, o capital procurado é $2.560,00. 
 
Exemplo: Após quanto tempo um capital de $1.300,00 aplicado a uma taxa de 4% 
ao mês rende um montante de $2.600,00? 
Solução: Neste caso, como o período aparece como um expoente na fórmula do 
montante precisou utilizar uma propriedade dos logaritmos. Essa propriedade diz o 
seguinte: 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛𝐜 = 𝐜 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 
 
Assim, substituindo os valores na fórmula do montante, temos o seguinte: 
 
M = C ∙ (1 + i)t 
2600 = 1300 ∙ (1 + 0,04)t 
2600 = 1300 ∙ (1,04)t 
2600
1300
= (1,04)t 
log(1,04)t = log 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
t =
log 2
log 1,04
 
t =
0,30103
0,017033
 
t = 17,7 
 
Assim, após17,7 meses (uma vez que a taxa é mensal), o capital de $1.300,00 
irá gerar um montante de $2.600,00 a uma taxa de 4% ao mês. 
 
Exemplo: Qual é a taxa de juros que faz um capital de $5.000,00 gerar um montante 
de $8.000,00 após 12 meses? 
Solução: Substituindo os valores na fórmula do montante, temos o seguinte: 
 
M = C ∙ (1 + i)t 
8000 = 5000 ∙ (1 + i)12 
8000
5000
= (1 + i)12 
1,6 = (1 + i)12 
1,6 = (1 + i)12 
(1 + i) = √1,6
12
 
1 + i = 1,0399 
i = 1,0399 − 1 
i = 0,0399 ou 3,99% 
 
Assim, a taxa de juros procurada é 3,99% ao mês (uma vez que o período está 
em meses). 
 
1.2.2 Equivalência de taxas 
Da mesma forma como fizemos na capitalização simples, no regime de capi-
talização composta, a taxa e o período devem corresponder à mesma unidade (dia, 
mês, ano, etc.). Entretanto, a transformação das taxas não é feita do mesmo jeito. 
Porém, antes de vermos como transformar as taxas sob o regime de capitalização 
composta, vamos ver um conceito importante da matemática financeira: o conceito 
de equivalência de taxas. Duas ou mais taxas referenciadas a períodos unitários dis-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
tintos são equivalentes quando produzem o mesmo montante no final de determi-
nado tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial (SOBRINHO, 2008). 
Dito de outra forma, duas taxas são equivalentes quando produzem o mesmo 
montante, quando aplicadas ao mesmo capital durante o mesmo tempo. Assim, 
uma taxa de 2% ao mês, por exemplo, é equivalente a uma taxa de 26,82% ao ano. 
Vejamos: considerando um capital de $1.000,00 aplicados a 2% ao mês durante 12 
meses, temos: 
 
M = 1.000 ∙ (1 + 0,02)12 
M = 1.000 ∙ (1,2682) 
M = 1.268,20 
 
Considerando, agora, o mesmo capital aplicado a 26,82% ao ano durante um 
ano (equivalente a 12 meses), temos: 
 
M = 1.000 ∙ (1 + 0,2682)1 
M = 1.000 ∙ (1,2682) 
M = 1.268,20 
 
Como podemos ver, as duas taxas geram o mesmo montante quando aplica-
das ao mesmo capital pelo mesmo período. Mas como transformar uma taxa mensal 
em uma taxa anual? Para isso, utilizamos a seguinte fórmula: 
 
ia = (1 + im)12 − 1 
 
Onde “i_a” é a taxa anual e “i_m” é a taxa mensal. De forma análoga, para 
calcular a taxa mensal conhecendo a taxa anual, utilizamos a seguinte fórmula: 
 
 im = (1 + ia)
1
12 − 1 
 
Exemplo: Qual é a taxa mensal equivalente a 32% ao ano? 
Solução: 
 im = (1 + 0,32)
1
12 − 1 
im = (1,32)0,0833 − 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
im = 1,0234 − 1 
im = 0,0234 ou 2,34% 
 
 
 
 
 
Nos links abaixo, vocês encontrarão esses assuntos de forma bem detalhada e com muitos 
exemplos diferentes. 
 Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos de Carlos Patrício Sa-
manez, (2007). Disponível em: https://bit.ly/3fb75J. Acesso em: 08 maio 2020. 
 Matemática financeira, de José Dutra Vieira Sobrinho (2008). Disponível em: 
https://bit.ly/2PoxtI7. Acesso em: 08 maio 2020. 
https://bit.ly/3fb75J
https://bit.ly/2PoxtI7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Calcule a taxa de juros de um empréstimo de $1.000,00 que rendeu $120,00 de 
juros ao longo de 12 meses. 
 
a) 30% ao mês. 
b) 24% ao mês. 
c) 12% ao mês. 
d) 36% ao mês. 
e) 0,12% ao mês. 
 
2. Calcule os juros de um financiamento de $150.000,00 que rendeu um montante de 
$190.000,00 após 12 meses. 
 
a) $40.000,00. 
b) $30.000,00. 
c) $50.000,00. 
d) $25.000,00. 
e) $12.000,00. 
 
3. Calcule a taxa de juros de um empréstimo de $5.000,00 que, após 6 meses, gerou 
um montante de $5.200,00. 
 
a) 0,3% ao mês. 
b) 0,66% ao mês. 
c) 3% ao mês. 
d) 4% ao ano. 
e) 0,4% ao mês. 
 
4. Calcule a taxa unitária de juros de equivalente a 12% ao ano. 
 
a) 0,012 ao ano. 
b) 0,12 ao ano. 
c) 0,0012 ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
d) 0,12% ao ano. 
e) 0,012% ao ano. 
 
5. Calcule o montante de um empréstimo de $15.000,00 a ser liquidado após 12 me-
ses, considerando uma taxa de 3% ao mês sob o regime de capitalização simples. 
 
a) $19.200,00. 
b) $24.000,00. 
c) $20.400,00. 
d) $18.750,00. 
e) $19.820,00. 
 
6. Calcule a taxa de juros de um empréstimo de $2.000,00 que deve ser pago por 
$2.350,00 após 6 meses, considerando a capitalização simples. 
 
a) 2,92% ao ano. 
b) 0,029% ao mês. 
c) 0,029% ao ano. 
d) 1,03% ao mês. 
e) 2,92% ao mês. 
 
7. Considerando o regime de capitalização composta, qual será o montante de uma 
aplicação de $10.000,00 durante 20 meses a uma taxa de 1,8% ao mês? 
 
a) $14.287,48. 
b) $14.000,00. 
c) $13.800,00. 
d) $4.287,48. 
e) $5.728,53. 
 
8. Qual é o capital que, aplicado por 24 meses a uma taxa de 2% ao mês sob o 
regime de capitalização composta gera um montante de $20.000,00? 
 
a) $19.000,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
b) $17.500,00. 
c) $15.204,70. 
d) $12.434,43. 
e) $18.452,25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
DESCONTOS 
 
 
 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
A operação de desconto pode ser entendida como o “inverso” da capitaliza-
ção. Nos regimes de capitalização, nós conhecemos o valor presente (capital) e de-
sejamos conhecer o valor futuro (montante) após a aplicação de uma taxa de juros 
ao longo de um determinado período. Por outro lado, na operação de desconto, nós 
conhecemos o valor futuro de um título e desejamos conhecer seu valor presente em 
uma data específica após a aplicação de uma taxa de desconto. Em ambos os ca-
sos, a operação depende do tempo decorrido. 
 
 
 
A liquidação (pagamento) um título antes da sua data de vencimento, nor-
malmente exige uma “recompensa” ou um desconto pelo pagamento antecipado. 
Assim, o desconto é entendido como a diferença entre o valor de resgate de um 
título e o valor presente (valor pago) na data da operação, ou seja: 
 
 D = M − C (7) 
 
Onde “D” é o valor do desconto, “M” é o valor de resgate do título na sua data 
de vencimento e “C” é o valor pago pelo título na data da operação. 
 
Exemplo: Um título de $2.500,00 foi liquidado por $2.275,00 dois meses antes da sua 
data de vencimento. Neste caso, qual foi o valor do desconto? 
Solução: Neste caso, temos as seguintes informações: 
 
UNIDADE 
02
02 
 
UNI-
DADE0
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
M = 2.500 
C = 2.275 
D =? 
 
Substituindo na fórmula, temos: 
 
D = M − C 
D = 2.500 − 2.275 
D = 225 
 
Assim, o valor do desconto nesta operação foi $225,00. 
 
Da mesma forma que acontece na capitalização, também temos aqui, os re-
gimes de desconto simples e desconto composto. O primeiro envolve cálculos linea-
res e o segundo, cálculos exponenciais. 
 
2.2 DESCONTO SIMPLES 
Também chamado de “desconto bancário” ou “desconto comercial”, é uma 
operação largamente utilizada pelo sistema bancário. Neste tipo de operação, o 
desconto é obtido pela multiplicação do valor de resgate pela taxa de desconto e 
pelo tempo a decorrer até a data de vencimento do título. Assim: 
 
 D = M ∙ d ∙ t (8) 
 
Onde “d” é a taxa de desconto da operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
Para obter o valor presente, ou valor descontado, basta subtrair o valor futuro 
pelo desconto, ou seja: 
 
 C = M − D (9) 
 
Exemplo: Qual o valor do desconto de um título de $900,00 com vencimento em 3 
meses, considerando uma taxa de desconto de 2,5% ao mês? 
Solução: Os dados do problema são os seguintes: 
 
M = 900 
d = 2,5% ao mês 
t = 3 meses 
D =? 
 
Substituindo estes valores na fórmula do desconto, temos: 
 
D = M ∙ d ∙ t 
D = 900 ∙ 0,025 ∙ 3 
D = 67,50 
 
Então, o valor do desconto nesta operação é $67,50. 
Exemplo: Considerando os dados do exemplo anterior, qual será o valor descontado 
(valor pago) deste título? 
Solução: Sabemos que C=M-D, então: 
 
C = 900 − 67,50 
C = 832,50 
 
Assim, o valor descontado é $832,50. 
Exemplo: Um título cujo valor de resgate é $1.550,00 foi liquidado 20 dias antes do 
vencimento por $1.470,00. Qual foi a taxa de descontoutilizada na operação? 
Solução: Neste caso, os dados são os seguintes: 
 
M = 1.550 
C = 1.470 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
t = 20 dias 
d =? 
 
Neste caso, primeiro precisamos conhecer o valor do desconto. 
 
D = M − C 
D = 1.550 − 1.470 
D = 80 
 
Substituindo estes valores na fórmula do desconto, temos o seguinte: 
 
D = M ∙ d ∙ t 
80 = 1.550 ∙ d ∙ 20 
80 = 31000 ∙ d 
80/31000 = d 
d = 0,0026 ou 0,26% 
 
Assim, a taxa de desconto da operação é 0,26% ao dia. 
Exemplo: Um título de $5.200,00 é liquidado por $4.950,00. Considerando uma taxa de 
desconto de 3% ao mês, o título foi liquidado quanto tempo antes da data de venci-
mento? 
Solução: Neste caso, temos os seguintes dados: 
 
M = 5.200 
C = 4.950 
d = 3% ao mês 
t =? 
 
 Calculando, primeiramente, o valor do desconto, temos: 
 
D = M − C 
D = 5.200 − 4.950 
D = 250 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
Substituindo na fórmula do desconto: 
 
D = M ∙ d ∙ t 
250 = 5.200 ∙ 0,03 ∙ t 
250 = 156 ∙ t 
250/156 = t 
t = 1,6 
 
Assim, o tempo decorrido entre a liquidação e o vencimento do título é de 1,6 
meses. Se quiséssemos saber exatamente quantos meses e dias decorreram, poderí-
amos transformar este tempo. Sabemos que se trata de 1 mês mais 0,6 mês. Então, 
precisamos saber quantos dias equivalem a 0,6 mês. Para isso, basta fazermos uma 
regra de três simples, da seguinte forma: 
 
 
 
𝟏 𝐦ê𝐬 ↔ 𝟑𝟎 𝐝𝐢𝐚𝐬 
 
𝟎, 𝟔 𝐦ê𝐬 ↔ 𝐱 𝐝𝐢𝐚𝐬 
𝐱 ∙ 𝟏 = 𝟑𝟎 ∙ 𝟎, 𝟔 
𝐱 = 𝟏𝟖 𝐝𝐢𝐚𝐬 
 
Dessa forma, o prazo da operação é de um mês e 18 dias. 
Exemplo: Suponha que uma pessoa deseje liquidar, 15 dias antes do vencimento, um 
título cujo valor de resgate é $850,00. Sabendo que a taxa de desconto oferecida 
pelo credor é de 3,5% ao mês, qual será o valor descontado (valor pago antes do 
vencimento)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
Solução: Primeiramente, devemos converter a taxa de desconto (ou o período) uma 
vez que esta se encontra em dias e o período em meses. Como se trata de desconto 
simples, a conversão é linear, ou seja: 
 
 
dd =
dm
30
 (10) 
 
Onde “dd” é a taxa de desconto diária e “dm” é a taxa de desconto mensal. 
Então: 
 
dd =
0,035
30
 
dd = 0,0012 
 
Substituindo na fórmula do desconto, temos: 
 
D = M ∙ d ∙ t 
D = 850 ∙ 0,0012 ∙ 15 
D = 15,30 
 
Agora podemos calcular o valor descontado. 
 
C = M − D 
C = 850 − 15,30 
C = 834,70 
 
Também é possível calcular o valor descontado diretamente, através de uma 
única fórmula obtida através das duas anteriores. Como sabemos que D = M ∙ d ∙ t e 
C = M − D, então podemos substituir uma fórmula na outra da seguinte forma: 
𝐂 = 𝐌 − 𝐌 ∙ 𝐝 ∙ 𝐭 ⇒ Colocamos o “M” em evidência. 
 
 C = M(1 − d ∙ t) (11) 
 
Refazendo, então, o exemplo anterior com a nova fórmula temos o seguinte: 
 
C = M(1 − d ∙ t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
C = 850(1 − 0,0012 ∙ 15) 
C = 850(1 − 0,018) 
C = 850(0,982) 
C = 834,70 
 
 
 
Naqueles casos em que o período da operação for muito longo, é comum 
utilizar uma taxa crescente de desconto, considerando o que chamamos de “taxa 
de desconto efetiva”. 
 
 
 
2.3 DESCONTO COMPOSTO 
O desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o 
valor de resgate de um título menos os descontos acumulados até o período anterior. 
Esta operação dificilmente é utilizada na prática e resulta em um valor descontado 
muito menor (desconto maior) ao final da operação. Como os cálculos aqui são ex-
ponenciais (e não lineares), o valor descontado é calculado da seguinte forma: 
 
 C = M(1 − d)t (12) 
 
Neste caso, se a taxa de desconto e o prazo não estiverem na mesma uni-
dade, será sempre mais simples transformar o prazo. Vejamos o seguinte: 
 
 
Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos de Carlos Patrício 
Samanez, (2007) você 
Disponível em: https://bit.ly/3fb75J. 
Acesso em: 08 maio 2020. 
https://bit.ly/3fb75J
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
Exemplo: Uma pessoa resolve liquidar, 120 dias antes do vencimento, um título de 
$20.000,00. Sabendo que a taxa de desconto é de 2,3% ao mês, qual será o valor 
descontado, considerando o sistema de desconto composto? 
Solução: Como o prazo e a taxa de desconto estão em unidades diferentes, 
vamos, primeiramente, transformar o prazo da operação. Como sabemos, 120 dias 
corres- ponde a quatro meses. Então, substituindo na fórmula, temos: 
 
𝐶 = 𝑀(1 − 𝑑)t 
𝐶 = 20.000(1 − 0,023)4 
𝐶 = 20.000(0,977)4 
𝐶 = 20.000(0,9111) 
𝐶 = 18.222 
Assim, o valor descontado é $18.222,00 
 
Exemplo: Suponha que uma pessoa tenha liquidado um título 90 dias antes do seu 
vencimento, gerando um desconto de $1.379,77. Considerando uma taxa de des-
conto de 3% ao mês, calcule o valor de resgate do título. 
Solução: Os dados deste problema são: 
 
D = 1.379,77 
t = 90 dias ou três meses 
d = 3% ao mês 
M = ? 
 
Percebam que não temos o valor descontado (C) nem o valor de resgate (M). 
Assim, vamos deduzir uma nova fórmula de cálculo: 
 
D = M − C 
 
D = M − [M(1 − d)t] 
 
 D = M[1 − (1 − d)t] (13) 
 
Assim, substituindo os valores nesta fórmula, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
1.379,77 = M[1 − (1 − 0,03)3 
1.379,77 = M[1 − (0,97)3] 
1.379,77 = M[1 − 0,9127] 
1.379,77 = M(0,0873) 
M =
1.379,77
0,0873
 
M = 15.804,92 
 
Assim, o valor de resgate do título é $15.804,92. 
 
 
 
 
 
https://bit.ly/3ecSZWP
https://bit.ly/3iKdiOE
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Suponha que um título com valor de resgate de $15.350,00 seja liquidado 20 dias 
antes de seu vencimento por $15.000,00. Calcule o valor do desconto. 
 
a) $350,00. 
b) $450,00. 
c) $300,00. 
d) $225,00. 
e) $280,00. 
 
2. Calcule o valor do desconto de um título de $5.500,00 com vencimento em dois 
meses, considerando uma taxa de desconto de 2% ao mês. 
 
a) $500,00. 
b) $220,00. 
c) $320,00. 
d) $250,00. 
e) $450,00. 
 
3. Um título com valor de resgate de $1.000,00 foi descontado um mês antes do seu 
vencimento por $900,00. Calcule a taxa de desconto da operação. 
 
a) 10% ao mês. 
b) 15% ao mês. 
c) 20% ao mês. 
d) 10% ao dia. 
e) 15% ao dia. 
 
4. Calcule o valor descontado de um título cujo valor de resgate é $1.300,00 e foi 
liquidado 35 dias antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 0,25% ao 
dia. 
 
a) $1.250,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
b) $1.186,25. 
c) $320,75. 
d) $113,75. 
e) $1.224,80. 
 
5. Uma pessoa deseja liquidar um título de $800,00 vinte dias antes do seu venci-
mento. Considerando uma taxa de desconto de 2% ao mês, qual será o valor des-
contado? 
 
a) $789,33. 
b) $12,33. 
c) $652,23. 
d) $425,00. 
e) $782,35. 
 
6. Um título com valor de resgate de $10.000,00 é descontado dois meses antes de 
seu vencimento por $9.250,00. Qual foi a taxa de desconto da operação? 
 
a) 5,75% ao mês. 
b) 4% ao mês. 
c) 2,25% ao mês. 
d) 3,75% ao mês. 
e) 4,25% ao mês. 
 
7. Qual é o valor de resgate de um título que foi liquidado por $3.250,00 três meses 
antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 1,5% ao mês? 
 
a) $3.900,00. 
b) $3.750,38. 
c) $4.000,00. 
d) 3.895,32. 
e) $3.403,14. 
 
8. Considerando o regime de desconto composto, calcule o valor descontado de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
um título cujo valor de resgate é $15.000,00 e que foi liquidado 3 meses antes de 
seu vencimento a uma taxa de desconto de 2% ao mês. 
 
a) $13.125,36. 
b) $12.500,00. 
c) $14.117,88. 
d) $13.458,23. 
e) $12.753,55. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
SÉRIES DE PAGAMENTOS 
 
 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
As séries de pagamentos constituem-se em vários pagamentos ou recebimen-
tos periódicos de valores (constantes ou variáveis) com vencimentos sucessivos. Exis-
tem muitas classificações para as séries de pagamentos, dependendo do fato das 
prestações (pagamentos ourecebimentos) serem constantes ou variáveis; do prazo 
ser finito ou infinito e do vencimento das prestações são antecipados ou postecipa-
dos. Entretanto, em todos estes casos, precisaremos de um conceito de fundamental 
importância: o conceito de fluxo de caixa. 
 
3.2 FLUXO DE CAIXA 
Segundo Sobrinho (2008), “o fluxo de caixa pode ser entendido como uma su-
cessão de recebimentos ou de pagamentos, em dinheiro, previstos para determi-
nado período de tempo”. Este fluxo é, normalmente, representado de forma gráfica 
onde uma linha horizontal representa o tempo e linhas verticais, orientadas para cima 
ou para baixo, representas as entradas e saídas de caixa, respectivamente. Vejamos 
o seguinte Exemplo: 
 
Tabela 4: Fluxo de Caixa 
Dia Recebimento previsto Pagamento previsto 
07 $1.200,00 - 
08 - $800,00 
09 - $300,00 
10 $1.500,00 - 
Fonte: Elaborado pelos Autores (2020) 
 
Figura 2: Gráfico representativo do fluxo de caixa 
 
 
Fonte: Elaborado pelos Autores (2020) 
UNIDADE 
03
03 
 
UNI-
DADE0
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
Como se pode perceber, as entradas são representadas por setas orientadas 
para cima e as saídas, por setas orientadas para baixo. Também o tamanho de cada 
seta deve ser proporcional ao valor que ela representa. Assim, uma entrada de 
$1.500,00 deve ser representada por uma seta maior que uma entrada de $1.200,00. 
Por outro lado, a linha horizontal que representa o tempo deve ser orientada para a 
direita, de forma que períodos futuros estejam mais distantes do ponto zero (a origem 
da reta). Caso haja pagamento (entrada no caixa) e recebimento (saída do caixa) 
em um mesmo ponto, podemos representar somente a diferença. Neste caso, a seta 
será orientada para cima se a diferença for positiva e será orientada para baixo se a 
diferença for negativa. 
Exemplo: Suponha que uma pessoa faça um empréstimo pessoal de $30.000,00 em 
banco para pagamento em cinco prestações mensais de $7.000,00 cada uma. Do 
ponto de vista da pessoa, a representação do fluxo de caixa desta operação será 
da seguinte forma: 
 
 
Há, primeiramente, uma entrada de caixa no valor de $30.000,00 no início da 
operação e, depois, cinco saídas de caixa no valor de $7.000,00 em intervalos regu-
lares. Do ponto de vista do banco credor, a situação é inversa porque, primeira-
mente, há uma saída de caixa e, depois, cinco entradas. Assim: 
 
 
30.000,00 
7.000,00 7.000,00 7.000,00 7.000,00 7.000,00 
30.000,00 
7.000,00 7.000,00 7.000,00 7.000,00 7.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
3.3 SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES 
As séries de pagamento uniformes são aquelas em que as parcelas (entra-
das/saídas de caixa) são constantes ao longo do período da operação. Como em 
toda série de pagamentos, estas parcelas podem ser antecipadas ou postecipadas 
(vencidas), sendo que as primeiras são pagas/recebidas no início de cada período e 
as segundas, são pagas/recebidas no final de cada período. De agora em diante, 
vamos usar as notações com as quais já estamos acostumados além de uma nota-
ção para o valor das parcelas. Assim: 
 
R = Valor das parcelas; 
C = Capital ou valor presente; 
M = Montante ou valor futuro; 
i = Taxa de juros; 
t = Períodos unitários da operação (quantidade de parcelas). 
 
3.3.1 Séries uniformes com parcelas vencidas 
Como dito anteriormente, parcelas vencidas (ou postecipadas) são aquelas 
pagas ou recebidas ao final de cada período. Como exemplo, temos as faturas do 
cartão de crédito ou aquelas compras a prazo cuja primeira parcela vence 30 ou 45 
dias após a compra. Vejamos o seguinte Exemplo: suponha que uma pessoa faça 
depósitos mensais no valor de $1.000,00 em um fundo que rende juros de 1,5% ao 
mês. Sabendo que o primeiro depósito acontece um mês após o momento inicial 
(momento em que a pessoa “decide” fazer a aplicação), quanto essa pessoa terá 
ao final de 4 meses? Esta operação pode ser representada da seguinte forma: 
 
 
 
1.000 1.000 1.000 1.00 
𝑀 = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
Assim, temos os seguintes dados: 
 
R = 1.000 
i = 1,5% ao mês 
t = 4 meses 
 
Utilizando os conceitos vistos até aqui, vamos calcular o montante de cada 
prestação individualmente até o quarto mês. Dessa forma, temos o seguinte: 
1ª prestação: M = C(1 + i)t ⇒ M1 = 1000(1,015)3 ⇒ M1 = 1.045,68 
 
 
 
2ª prestação: M = C(1 + i)t ⇒ M2 = 1000(1,015)2 ⇒ M2 = 1.030,22 
3ª prestação: M = C(1 + i)t ⇒ M3 = 1000(1,015)1 ⇒ M3 = 1.015,00 
4ª prestação: M = C(1 + i)t ⇒ M4 = 1000(1,015)0 ⇒ M4 = 1.000,00 
 
Sendo assim, o montante total (Mt) ao final de quatro meses será: 
 
Mt = 1.045,68 + 1.030,22 + 1.015 + 1.000 
Mt = 4.090,90 
 
Entretanto, esta não é a única (nem a melhor) forma de fazermos estes cálcu-
los. Imagine se tivéssemos 50 ou 100 prestações, por exemplo. Dessa forma, é natural 
buscarmos uma maneira de obter este valor de forma mais direta. Para isso, vamos 
buscar por uma fórmula somando, primeiramente, os montantes sem efetuarmos os 
cálculos. 
 
Mt = M1 + M2 + M3 + M4 
Mt = 1000(1,015)3 + 1000(1,015)2 + 1000(1,015)1 + 1000(1,015)0 
 
0 1 2 3 4 
3 me-
ses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
Colocando 1.000 em evidência, temos: 
 
Mt = 1000[(1,015)0 + (1,015)1 + (1,015)2+(1,015)3] 
 
A sequência (1,015)3 + (1,015)2 + (1,015)1 + (1,015)0 representa a soma dos ter-
mos de uma progressão geométrica (PG) finita cuja razão é igual 1,015. Podemos, 
então, utilizar a fórmula da soma dos termos de uma PG: 
 
 
St = a1 ∙ (
qt − 1
q − 1
) (14) 
 
Onde “a1” é o primeiro termo da progressão e “q” é sua razão. Substituindo os 
valores na fórmula e lembrando que (1,015)0 = 1, temos o seguinte: 
 
Mt = 1000 [1 ∙ (
1,0154 − 1
1,015 − 1
)] 
Mt = 1000 (
1,0613635 − 1
0,015
) 
Mt = 1000(4,0909) 
Mt = 4.090,90 
 
Como R = 1000 e q = 1 + 0,015, podemos generalizar a fórmula acima e dessa 
maneira obtemos a fórmula que procuramos: 
 
 
Mt = R ∙ [
(1 + i)t − 1
i
] (15) 
 
Exemplo: Se uma pessoa aplica mensalmente $800,00 em um fundo que rende 2% ao 
mês, quanto essa pessoa terá ao final de 3 anos? 
Solução: Primeiramente, temos que observar que 3 anos são 36 meses. Assim, os da-
dos do problema são: 
 
R = 800 
i = 2% ao mês 
t = 36 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
Substituindo na fórmula, temos: 
 
M = 800 ∙ [
(1 + 0,02)36 − 1
0,02
] 
M = 800 ∙ (
2,0399 − 1
0,02
) 
M = 800 ∙ (51,995) 
M = 41.596 
 
 
Exemplo: Suponha que uma pessoa deseje ter $10.000,00 para uma viagem daqui a 
dois anos e queira saber quanto ela deve aplicar mensalmente, considerando um 
fundo que rende 1,75% ao mês. 
Solução: Os dados deste problema são: 
 
M = 10.000 
i = 1,75% ao mês 
t = 2 anos (24 meses) 
R = ? 
 
Substituindo na fórmula, temos: 
 
M = R ∙ [
(1 + i)t − 1
i
] 
10.000 = R ∙ [
(1 + 0,0175)24 − 1
0,0175
] 
10.000 = R ∙ [
1,51644 − 1
0,0175
] 
10.000 = R ∙ [
0,51644
0,0175
] 
10.000 = R ∙ (29,51086) 
R =
10.000
29,51086
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
R = 338,86 
 
Assim, esta pessoa deverá depositar mensalmente $338,86 para ter $10.000,00 
após dois anos. 
Exemplo: Quantas prestações mensais de $500,00 devo aplicar para ter $11.707,22 
considerando um fundo que rende 3% ao mês? 
Solução: Os dados são os seguintes: 
 
R = 500 
M = 11.707,22 
i = 3% ao mês 
t = ? 
Substituindo na fórmula: 
 
M = R ∙ [
(1 + i)t − 1
i
] 
11.707,22 = 500 ∙ [
(1,03)t − 1
0,03
] 
11.707,22 ∙ 0,03 = 500 ∙ [(1,03)t − 1] 
351,2166 = 500(1,03)t − 500 
351,2166 + 500 = 500(1,03)t 
8851,2166 = 500(1,03)t 
(1,03)t =
851,2166
500
 
(1,03)t = 1,70243 
 
Aqui, precisaremos usar novamente a propriedade dos logaritmos. 
 
log(1,03)t = log(1,70243) 
t ∙ log(1,03) = log(1,70243) 
t =
log(1,70243)
log(1,03)
 
t =
0,23107
0,01284
 
t ≈ 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
Assim, esta pessoa precisará aplicar 18 parcelas de $500,00 para ter o valor 
pretendido.Assim como temos uma fórmula para o cálculo do montante (valor futuro) de 
uma série de pagamentos uniforme, temos também uma fórmula para o capital (va-
lor presente). Essa fórmula é a seguinte: 
 
 
C = R ∙ [
(1 + i)t − 1
(1 + i)t ∙ i
] (16) 
 
Devemos usá-la quando há uma entrada de caixa no início da operação e, 
posteriormente, há as saídas periódicas (prestações). A fórmula do montante que vi-
mos anteriormente é usada na situação contrária. Ou seja, naquelas situações onde 
há, primeiro, as saídas periódicas (prestações) e, ao final da operação, uma entrada 
de caixa. 
 
Exemplo: Se uma pessoa deseja contrair um empréstimo para ser pago em 12 pres-
tações mensais de $350,00. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo credor é de 
4% ao mês, qual deve ser o valor deste empréstimo? 
Solução: Esquematicamente, temos a seguinte situação: 
 
 
 
Reparem que primeiro há uma entrada no caixa e, depois, saídas periódicas. 
Assim, devemos utilizar a fórmula acima com os seguintes dados: 
 
R = 350 
i = 4% ao mês 
t = 12 meses 
C = ? 
 
? 
350 350 350 350 
 12x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
Substituindo na fórmula, temos: 
 
C = R ∙ [
(1 + i)t − 1
(1 + i)t ∙ i
] 
C = 350 ∙ [
(1 + 0,04)12 − 1
(1 + 0,04)12 ∙ 0,04
] 
C = 350 ∙ [
(1,04)12 − 1
(1,04)12 ∙ 0,04
] 
C = 350 ∙ [
1,60103 − 1
1,60103 ∙ 0,04
] 
C = 350 ∙ [
0,60103
0,06404
] 
C = 350 ∙ (9,38523) 
C = 3.284,83 
 
Portanto, o valor do empréstimo deve ser $3.284,83. 
 
Exemplo: Suponha que uma pessoa deseje financiar um veículo no valor de 
$50.000,00 em 36 prestações. Suponha ainda que não haja taxas, impostos nem ou-
tros custos financeiros e que a taxa de juros cobrada pela financeira seja de 2,8% ao 
mês. Dessa forma, qual será o valor das prestações? 
Solução: Neste caso, também há uma entrada de caixa no início da operação e, 
depois, as saídas periódicas. Então, utilizaremos novamente a fórmula anterior com 
os seguintes dados: 
 
C = 50.000 
i = 2,8% ao mês 
t = 36 meses 
R = ? 
 
Substituindo, temos: 
C = R ∙ [
(1 + i)t − 1
(1 + i)t ∙ i
] 
50.000 = R ∙ [
(1 + 0,028)36 − 1
(1 + 0,028)36 ∙ 0,028
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
50.000 = R ∙ [
2,70241 − 1
2,70241 ∙ 0,028
] 
50.000 = R ∙ [
1,70241
0,07567
] 
50.000 = R ∙ [22,49782] 
R =
50.000
22,49782
 
R = 2.222,44 
 
3.3.2 Séries uniformes com parcelas antecipadas 
As séries de pagamento com parcelas antecipadas são aquelas em que o 
pagamento ou recebimento ocorrem no início de cada período. Dessa forma, a pri-
meira parcela deve ser paga ou recebida no “momento zero”. Bons exemplos deste 
tipo de operação são as compras parceladas em que há uma “entrada” e o restante 
é dividido em partes iguais. Neste caso, também teremos uma fórmula para o valor 
futuro da operação (montante) e outra para o valor presente (capital). Essas fórmulas 
podem ser deduzidas da mesma forma como fizemos no início da seção anterior e 
são as seguintes: 
 
 
M = R ∙ (1 + i) [
(1 + i)t − 1
i
] (17) 
 
C = R ∙ (1 + i) ∙ [
(1 + i)t − 1
(1 + i)t ∙ i
] (18) 
 
Percebam que somente foi acrescentado o termo (1 + 𝑖) às fórmulas que tí-
nhamos para séries com termos vencidos. 
 
Exemplo: Uma pessoa compra um aparelho de tv por $3.000,00 para ser paga em 6 
prestações mensais e iguais. Sabendo que a primeira prestação é paga como en-
trada e que a taxa de juros da operação é de 1,5% ao mês, qual será o valor das 
prestações? 
Solução: Esquematicamente, temos a seguinte situação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
 
 
Os dados deste problema são os seguintes: 
 
C = 3.000 
i = 1,5% ao mês 
t = 6 meses 
R = ? 
 
Substituindo estes valores na fórmula, temos: 
 
C = R ∙ (1 + i) ∙ [
(1 + i)t − 1
(1 + i)t ∙ i
] 
3.000 = R ∙ (1 + 0,015) ∙ [
(1 + 0,015)6 − 1
(1 + 0,015)6 ∙ 0,015
] 
3.000 = R ∙ (1,015) ∙ [
(1,015)6 − 1
(1,015)6 ∙ 0,015
] 
3.000 = R ∙ (1,015) ∙ [
0,09344
1,09344 ∙ 0,015
] 
3.000 = R ∙ (1,015) ∙ [
0,09344
0,01640
] 
3.000 = R ∙ (1,015) ∙ [5,69756] 
3.000 = R ∙ (5,78302) 
R =
3.000
5,78302
 
R = 518,76 
 
Dessa forma, o valor de cada prestação será $518,76. 
 
Exemplo: Suponha que uma pessoa deseja depositar mensalmente $600,00 em um 
fundo que rende 2% de juros ao mês. Quanto essa pessoa terá ao final de 24 meses, 
 3.000 
? ? ? ? ? ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
sabendo que o primeiro depósito é feito no início do primeiro mês? 
Solução: Esquematicamente, temos a seguinte situação: 
 
 
 
Temos, então, os seguintes valores: 
 
R = 600 
i = 2% ao mês 
t = 24 meses 
M = ? 
 
Substituindo na fórmula: 
 
M = R ∙ (1 + i) ∙ [
(1 + i)t − 1
i
] 
M = 600 ∙ (1 + 0,02) ∙ [
(1 + 0,02)24 − 1
0,02
] 
M = 600 ∙ (1,02) ∙ [
(1,02)24 − 1
0,02
] 
M = 600 ∙ (1,02) ∙ [
0,60844
0,02
] 
M = 600 ∙ (1,02) ∙ [30,422] 
M = 18.618,26 
 
3.4 SÉRIE DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS 
As séries de pagamentos variáveis são aquelas em que os pagamentos ou re-
cebimentos não são constantes ao longo da operação. Estes pagamentos/recebi-
mentos podem aumentar a cada período ou diminuir. Também há aqueles casos em 
600 600 600 600 
? 
 24x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
que estes valores não seguem uma tendência, seja de crescimento, seja de decres-
cimento. Nesta seção vamos ver o primeiro caso, ou seja, de pagamentos/recebi-
mentos crescentes e decrescentes. 
 
3.4.1 Gradientes em progressão aritmética crescente 
Em uma série em que os pagamentos/recebimentos variam de acordo com 
uma regra determinada, chamamos de gradiente (G) a diferença entre um paga-
mento e outro. Chamando de renda base (R) o primeiro pagamento, os pagamentos 
posteriores serão essa renda base mais os gradientes acumulados em cada período. 
O esquema abaixo ilustra essa situação. 
 
 
 
Neste caso, temos uma renda básica de $50,00 e gradiente igual a $100,00, ou 
seja, R = 50 e G = 100. 
 
 
 
Na série do gradiente, quando os pagamentos/recebimentos são postecipa-
dos (vencidos), a fórmula do montante (valor futuro) será a seguinte: 
 
 
M =
G
i
∙ {[
(1 + i)t − 1
i
] − t} (19) 
 
150 
250 
 350 
 450 
 
50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
Para o cálculo do capital (valor presente), usaremos a seguinte fórmula: 
 
 
C =
1
(1 + i)t
∙
G
i
∙ {[
(1 + i)t − 1
i
] − t} (20) 
 
Exemplo: Suponha que uma pessoa deseje realizar uma viagem dentro de 5 meses 
e, para isso, resolva fazer aplicações em um fundo que rende 2% ao mês. Sabe-se 
que o primeiro depósito ocorrerá ao final do primeiro mês e terá o valor de $200,00. 
Os depósitos seguintes aumentarão segundo um gradiente de $50,00. Dessa forma, 
quanto essa pessoa terá ao final do 5° mês? 
Solução: Esquematicamente, temos a seguinte situação: 
 
 
 
Assim, os dados do problema são: 
 
G = 50 
R = 200 
i = 2% ao mês 
t = 5 meses 
M = ? 
 
Substituindo na fórmula e chamando o montante da série do gradiente de 
“MG”, temos o seguinte: 
 
MG =
G
i
∙ {[
(1 + i)t − 1
i
] − t} 
MG =
50
0,02
∙ {[
(1 + 0,02)5 − 1
0,02
] − 5} 
200 250 
300 
350 
400 
? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
MG = 2.500 ∙ {[
(1,02)5 − 1
0,02
] − 5} 
MG = 2.500 ∙ {[
0,10408
0,02
] − 5} 
MG = 2.500 ∙ {[5,204] − 5} 
MG = 2.500 ∙ (0,204) 
MG = 510 
 
O montante da série da renda base (MR) é calculado da forma como já co-
nhecemos: 
 
MR = R ∙ [
(1 + i)t − 1
i
] 
MR = 200 ∙ [
(1 + 0,02)5 − 1
0,02
] 
MR = 200 ∙ (5,20404) 
MR = 1.040,81 
 
Somando os dois resultados, temos o montante total: 
 
MT = 510 + 1040,81 
MT = 1.550,81 
 
No caso em que a série em gradiente se dá com pagamentos/recebimentos 
antecipados, os cálculos são feitos da mesma forma, alterando somente as fórmulas 
que são as seguintes: 
 
 
M =
G
i
∙ {(1 + i) ∙ [
(1 + i)t − 1
i
] − t} (21) 
 
C =
G
i
∙ {(1 + i) ∙ [
(1 + i)t − 1
(1 + i)t ∙ i
] −
t
(1 + i)t} (22) 
 
3.5 SÉRIE DE PAGAMENTOS INFINITA 
Dizemos que uma série de pagamentos é infinita quando ela tem um grande51 
 
 
número de pagamentos ou recebimentos durante um tempo que não é possível es-
pecificar. Um bom exemplo são as rendas provenientes de fundos previdenciários, 
aquelas que recebemos após a aposentadoria. Não é possível determinar por 
quanto tempo uma pessoa aposentada receberá essa renda, podendo assim ser 
considerada infinita. Imagine a situação em que uma pessoa faça uma aplicação 
de $1.000,00 em um fundo que rende 3% ao mês. Essa pessoa poderá ter uma renda 
mensal infinita de $30,00, uma vez que um mês depois haverá a sua disposição 
$1.030,00. Se ela retirar $30,00 continuará tendo $1.000,00 que irá gerar mais $30,00 no 
próximo mês e assim sucessivamente. Assim, no caso de uma série infinita posteci-
pada é o resultado da aplicação de uma taxa de juros por um capital onde o número 
de períodos é muito grande e indeterminado. Dessa forma, o valor periódico desta 
série (R) é dado por: 
 
 R = C ∙ i (23) 
 
Sendo assim, se conhecemos o valor dos pagamentos/recebimentos, o capital 
pode ser calculado da seguinte forma: 
 
 
C =
R
i
 (24) 
 
Exemplo: Se uma pessoa deseja ter uma renda infinita de $1.200,00 quanto ela deve 
aplicar hoje considerando uma taxa de juros de 2,5%? 
Solução: Pela fórmula do capital temos: 
 
C =
R
i
 
C =
1.200
0,025
 
C = 48.000 
 
No caso de uma série infinita antecipada, a fórmula do capital seria: 
 
 
C = (1 + i) ∙
R
i
 (25) 
 
A fórmula para o valor da do pagamento seria, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
R = C ∙
i
1 + i
 (26) 
 
 
 
 
 
Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos de Carlos Patrício 
Samanez (2007) você 
https://bit.ly/2O422Pf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Suponha que uma pessoa deseja ter $5.000,00 para uma viagem dentro de 25 me-
ses. Para isso, ela pretende depositar mensalmente certa quantia em um fundo 
que rende 1,5% de juros ao mês. Considerando o sistema de parcelas vencidas, 
qual deve ser o valor mensal depositado por ela? 
 
a) $166,32. 
b) $225,41. 
c) $83,16. 
d) $332,63. 
e) $125,44. 
 
2. Se uma pessoa aplica mensalmente $1.500,00 em um fundo que rende 1,5% ao 
mês, quanto ela terá ao final de 24 meses, considerando prestações vencidas? 
 
a) $21.475,14. 
b) $42.950,28. 
c) $25.725,23. 
d) $37.428,70. 
e) $40.000,00. 
 
3. Suponha que uma pessoa faça um empréstimo de $25.000,00 para ser pago em 
24 prestações mensais e iguais. Sabendo que a uma taxa de juros é de 3,5% ao 
mês que a operação ocorre sob o sistema de parcelas vencidas, qual será o valor 
das prestações? 
 
a) $1.041,67. 
b) $2.561,32. 
c) $2.000,00. 
d) $2.464,25. 
e) $1.556,82. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
4. Suponha que uma pessoa compre um eletrodoméstico por $1.800,00 para ser 
pago em 18 prestações mensais e iguais. Sabendo que a taxa de juros cobrada é 
de 1,85% ao mês e a primeira prestação é paga como uma entrada (no momento 
da compra), calcule o valor das prestações. 
 
a) $223,41. 
b) $116,33. 
c) $100,00. 
d) $152,00. 
e) $125,45. 
 
5. Suponha que uma pessoa deseja depositar mensalmente $800,00 em um fundo 
que rende 1,2% de juros ao mês. Quanto essa pessoa terá ao final de 36 meses, 
sabendo que o primeiro depósito é feito no início do primeiro mês? 
 
a) $36.187,72. 
b) $40.125,87. 
c) $28.800,00. 
d) $43.850,00. 
e) $29.380,00. 
 
6. Suponha que uma pessoa deseja financiar $25.000,00 para a compra de um veí-
culo e pretenda pagar em 36 prestações mensais e iguais. Sabendo que é co-
brada uma taxa de juros de 2,15% ao mês e supondo que não haja nenhum outro 
custo envolvido, qual será o valor das prestações no regime de parcelas anteci-
padas? 
 
a) $851,24. 
b) $983,46. 
c) $750,00. 
d) $728,35. 
e) $568,21. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
7. Considerando a questão anterior, qual seria o valor das prestações sob o regime 
de parcelas vencidas? 
 
a) $983,46. 
b) $502,30. 
c) $2.009,21. 
d) $1.958,25. 
e) $1.004,60. 
 
8. Se uma pessoa pretende depositar mensalmente $500,00 em um fundo que rende 
1% ao mês, em quanto tempo ela terá $8.048,45? 
 
a) 12 meses. 
b) 36 meses. 
c) 15 meses. 
d) 18 meses. 
e) 25 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
EMPRÉSTIMOS 
 
 
 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
As várias modalidades de empréstimos constituem um importante instrumento 
para a capitalização das empresas e, consequentemente, para o desenvolvimento 
econômico de um país. Estes empréstimos podem ser de curto prazo, como capital 
de giro, ou de longo prazo, como aqueles destinados a investimentos produtivos, por 
exemplo. Neste contexto, a matemática financeira se apresenta como uma impor-
tante ferramenta na operacionalização destas operações e os conteúdos vistos até 
aqui serão muito úteis. Porém, precisaremos introduzir alguns novos conceitos com o 
objetivo de melhor compreender essas operações e a forma como elas acontecem 
na prática. 
 
4.2 DESCONTO DE DUPLICATAS 
Duplicatas são títulos de crédito em que o emissor se compromete a pagar 
certo valor ao final de um determinado período. Este valor é o já conhecido “valor 
de resgate” ou “valor de face” da duplicata e tem uma data específica para venci-
mento. Estes títulos são comumente descontados em instituições financeiras, sendo 
estipulada uma taxa de desconto e outros encargos financeiros que costumam ser 
cobrados à vista sobre o valor de resgate. Esta taxa de desconto geralmente se dá 
como vimos anteriormente e os principais encargos financeiros presentes neste tipo 
de operação são os seguintes: 
 
 Imposto sobre Operações Financeiras (IOF): Trata-se de um imposto federal 
cobrado sobre operações de crédito, câmbio e seguros, por exemplo. A alí-
quota é cobrada sobre o valor da operação e serve também como instru-
mento de controle das operações financeiras no país. 
 Taxa administrativa: Normalmente são cobradas pelas instituições financeiras 
para cobrir despesas de abertura, concessão e controle do crédito. Também 
UNIDADE 
04
0
4 
 
UNI-
DADE0
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
é calculada sobre o valor do título e deve ser paga no momento da liberação 
do crédito. 
Dessa forma, há um custo efetivo da operação que é maior que a taxa de 
desconto vista anteriormente. Introduzindo o IOF, este custo efetivo pode ser calcu-
lado da seguinte forma: 
 
 
CE =
d + IOF
1 − (d + IOF)
 (27) 
 
Onde “CE” representa o custo efetivo e “d”, como antes, representa a taxa de 
desconto da operação, considerando sempre o sistema de desconto simples. 
 
 
 
Exemplo: Qual é o custo efetivo de uma operação de desconto de duplicata cujo 
valor de resgate é $30.000,00 com vencimento em 60 dias, considerando uma taxa 
de desconto de 2,5% ao mês, uma alíquota de IOF de 0,041% ao dia? 
Solução: O custo efetivo será: 
 
 
CE =
d + IOF
1 − (d + IOF)
 
CE =
(0,025 ∙ 2) + (0,00041 ∙ 60)
1 − [(0,025 ∙ 2) + (0,00041 ∙ 60)]
 
CE =
(0,05) + (0,0246)
1 − [(0,05) + (0,0246)]
 
CE =
0,0746
0,9254
 
CE = 0,08061 ou 8,061 ao bimestre 
 
Obs.: Como a taxa de desconto é mensal, ela foi multiplicada por 2 para tê-la 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
em 60 dias. O mesmo foi feito com a alíquota de IOF que, por ser diária, foi multipli-
cada por 60. 
 
Exemplo: Na operação do exemplo anterior, qual será o valor descontado? 
Solução: Para calcular o valor descontado, devemos subtrair o valor de res-
gate pelo desconto mais IOF. Assim: 
 
C = M − (D + IOF) 
D = 30.000 ∙ 0,025 ∙ 2 
D = 1.500 
IOF = 30.000 ∙ 0,00041 ∙ 60 
IOF = 738 
 
Sendo assim temos, então: 
 
C = 30.000 − (1.500 + 738) 
C = 27.762,00 
 
Podemos também calcular o valor descontado diretamente através da se-
guinte fórmula: 
 
 C = M ∙ (1 − dt − IOFt) (28) 
 
Sendo “IOF” a alíquota do imposto sobre operações financeiras. 
De forma alternativa, o custo efetivo da operação também pode ser obtido 
dividindo-se o valorde resgate da duplicata pelo valor descontado, da seguinte 
forma: 
 
CE =
30.000
27.762
− 1 
CE = 0,08061 ou 8,061 ao bimestre 
 
4.3 NOTAS PROMISSÓRIAS 
As notas promissórias, também chamadas de “commercial papers”, são títulos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 
de curto prazo emitidos com o objetivo de captar recursos para capital de giro. Se-
gundo Neto (2019), trata-se de “uma alternativa às operações de empréstimos ban-
cários convencionais, permitindo uma redução nas taxas de juros pela eliminação da 
intermediação financeira bancária”. Os custos são constituídos pelos juros pagos, co-
missões de demais despesas de emissão. 
Exemplo: Suponha que uma empresa emita uma nota promissória com valor de res-
gate de $35.000,00 e com vencimento em 3 meses. Ela oferece uma taxa de des-
conto de 1,5% ao mês e os custos de emissão correspondem a 0,5% sobre o valor de 
resgate. Nestas condições, qual será o valor líquido recebido pela empresa? 
Solução: O valor líquido recebido será igual ao valor de resgate da nota menos o 
desconto e os custos de emissão. Dessa forma, temos o seguinte: 
 
Desconto: D = M ∙ d ∙ t 
D = 35.000 ∙ 0,015 ∙ 3 
D = 1.575 
Custos de emissão: C = 35.000 ∙ 0,005 
C = 175 
Assim, o valor líquido será: 
VL = 35.000 − 1.575 − 175 
VL = 33.250,00 
 
Exemplo: Considerando os dados do exemplo anterior, qual foi o custo efetivo da 
operação? 
Solução: Como vimos, o custo efetivo pode ser obtido dividindo-se o valor de resgate 
pelo valor líquido recebido. Então: 
 
CE =
35.000
33.250
− 1 
CE = 0,0526 ou 5,26% ao mês 
 
4.4 FOMENTO COMERCIAL (FACTORING) 
As operações de fomento comercial, também chamadas de “factoring”, não 
são propriamente empréstimos, embora sejam importantes instrumentos de capta-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
ção de recursos pelas empresas, especialmente as pequenas e médias. Estas opera-
ções não são realizadas por instituições financeiras e sim por empresas comerciais 
denominadas “factors” ou “fatorizadoras”. As fatorizadoras compram as duplicatas 
das empresas cedentes e passam a ser detentoras do crédito dos clientes. Neste e 
em outros pontos, esta operação difere essencialmente do desconto de duplicatas 
visto anteriormente. É também uma operação mais segura para as empresas ceden-
tes, uma vez que o risco pelo não pagamento da dívida pelo cliente passa a ser da 
fatorizadora. Obviamente, este risco é considerado na operação e irá refletir no valor 
pago pela fatorizadora. Este valor também dependerá de outros fatores, de forma 
que a operação é realizada através da aplicação de um fator ao valor de resgate 
do título de crédito que deve cobrir as despesas administrativas, impostos e ainda 
proporcionar um lucro à fatorizadora. Este fator pode ser calculado da seguinte 
forma: 
 
 
Fator =
Custo do dinheiro + Despesas + Lucro
1 − Tributos
 (29) 
 
 Custo do dinheiro: constitui-se no custo médio do capital de terceiros levan-
tado pela fatorizadora e no custo de oportunidade dos recursos próprios utili-
zados para realizar suas operações. 
 Despesas: são as despesas fixas e variáveis da fatorizadora. Normalmente é 
calculada como uma porcentagem das suas receitas mensais totais. 
 Lucro: representa o ganho que a fatorizadora espera obter de suas operações. 
Normalmente é calculada como um percentual do valor de resgate dos títu-
los. 
 Tributos: Normalmente incidem sobre essas operações o PIS (Programa de In-
tegração Social) e o COFINS (Contribuição para o Financiamento da Seguri-
dade Social). 
 
Exemplo: Imagine uma operação de fomento comercial sobre um título de $15.000,00 
com vencimento em 30 dias. Suponha que o custo do dinheiro seja 2,5% ao mês, as 
despesas da fatorizadora representem 2% e sua margem de lucro seja de 4,5%. Se o 
total de tributos representa 1%, qual será o fator da operação? 
Solução: A operação tem o seguinte custo total (CT): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
 
CT = 2,5% + 2% + 4,5% 
CT = 9% 
Assim, o fator será: 
Fator =
0,09
1 − 0,01
=
0,09
0,99
 
Fator = 0,091 ou 9,1% 
 
Exemplo: Considerando a situação do exemplo anterior, qual será o valor descon-
tado (capital)? 
Solução: Precisamos, primeiramente, calcular a taxa de desconto através do fator 
calculado. Para isso, podemos utilizar a seguinte fórmula: 
 
 
d =
fator
1 + fator
 (30) 
 
Assim, temos a seguinte taxa de desconto: 
 
d =
0,091
1,091
 
d = 0,08341 
 
Calculando, então, o valor descontado, teremos: 
 
C = M ∙ (1 − dt) 
C = 15.000 ∙ (1 − 0,08341 ∙ 1) 
C = 15.000 ∙ (0,91659) 
C = 13.748,85 
 
Exemplo: Considerando ainda o exemplo anterior, qual foi o custo efetivo da opera-
ção? 
Solução: 
 
CE =
Valor de resgate
Valor descontado
− 1 
CE =
15.000
13.748,85
− 1 
CE = 0,091 ou 9,1% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
Como se pode ver, o custo efetivo é igual ao fator calculado anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://bit.ly/3e9WUDP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Calcule o custo efetivo de uma operação de desconto de duplicata cujo valor de 
resgate é $5.000,00 com vencimento em 35 dias, considerando uma taxa de des-
conto de 0,02% ao dia e uma alíquota de IOF de 0,041% ao dia. 
 
a) 0,0002%. 
b) 0,06104%. 
c) 0,00041%. 
d) 0,035%. 
e) 0,0203%. 
 
2. Calcule o valor descontado de uma operação de desconto de duplicata cujo 
valor de resgate é $6.500,00 com vencimento em 60 dias, considerando uma taxa 
de desconto de 1,5% ao mês e uma alíquota de IOF de 0,0041% ao dia. 
 
a) $5.300,00. 
b) $5.890,00. 
c) $4.350,00. 
d) $6.289,00. 
e) $3.250,00. 
 
3. Calcule o valor descontado de uma operação de desconto de duplicata cujo 
valor de resgate é $10.780,00 com vencimento em 50 dias, considerando ma taxa 
de desconto de 1,9% ao mês e uma alíquota de IOF de 0,0041% ao dia. 
 
a) $10.416,50. 
b) $10.000,00. 
c) $10.650,00. 
d) $9.895,50. 
e) $8.900,00. 
 
4. Uma empresa emite uma nota promissória com valor de resgate de $15.000,00 e 
com vencimento em 2 meses. Ela oferece uma taxa de desconto de 2% ao mês e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
 
os custos de emissão correspondem a 0,7% sobre o valor de resgate. Sendo assim, 
qual será o valor líquido recebido pela empresa? 
 
a) $14.900,00. 
b) $14.000,00. 
c) $14.295,00. 
d) $13.950,00. 
e) $13.568,00. 
 
5. Calcule o custo efetivo de uma operação de desconto de uma duplicata com 
valor de resgate de $15.000,00 com vencimento em 2 meses, sabendo que há uma 
taxa de desconto de 2% ao mês e os custos de emissão correspondem a 0,7% sobre 
o valor de resgate. 
 
a) 4,93%. 
b) 3,27%. 
c) 5,5%. 
d) 2,75%. 
e) 1,55%. 
 
6. Calcule o valor de resgate de uma duplicata descontada 30 antes do seu venci-
mento, por $3.125,00 sabendo que o valor do desconto foi de $525,00 e os custos 
da operação foram de $150,00. 
 
a) $3.950,00. 
b) $3.800,00. 
c) $4.000,00. 
d) $4.250,00. 
e) $2.790,00. 
 
7. Imagine uma operação de fomento comercial sobre um título de $5.000,00 com 
vencimento em 60 dias. Suponha que o custo do dinheiro seja 3% ao mês, as des-
pesas da fatorizadora representem 2,5% e sua margem de lucro seja de 5%. Se o 
total de tributos representa 1%, qual será o fator da operação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
 
a) 0,106%. 
b) 0,61%. 
c) 12,45%. 
d) 10,61%. 
e) 11,54%. 
 
8. Uma fatorizadora realiza uma operação de fomento comercial sobre um título de 
$5.000,00 com vencimento em 60 dias. Supondo que o custo do dinheiro seja 3% 
ao mês, as despesas da fatorizadora 2,5%, sua margem de lucro 5% e os impostos 
1%, calcule o valor descontado. 
 
a) $4.040,77. 
b) $5.055,21. 
c) $3.950,00. 
d) $4.980,25. 
e) $3.780,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
 
 
 
5.1 INTRODUÇÃO 
Amortização é um processo que consiste no pagamento de uma dívida de 
forma progressiva,