funcoesCrescentes.pdf Aula

Prévia do material em texto

Funções crescentes e decrescentes 
 
http://estvirtual.com.br 
 
 Definição (Funções crescentes) 
Dizemos que uma função f é crescente em um interval I se ao escolhermos 21 xx < 
tivermos )()( 21 xfxf < para quaisquer Ixx ∈21; . Em símbolos matemáticos 
)()( 2121 xfxfxx <⇒< 
 
 
 
 
 
Os gráficos acima são exemplos de funções crescentes. 
 Definição (Funções decrescentes) 
 
Dizemos que uma função f é decrescente em um interval I se ao escolhermos 21 xx < 
tivermos )()( 21 xfxf > para quaisquer Ixx ∈21; . Em símbolos matemáticos 
)()( 2121 xfxfxx >⇒< 
 
 
 
 
 
Os gráficos acima são exemplos de funções decrescentes. 
 Teorema do Valor Médio 
Seja [ ] Rbaf →,: uma função contínua em [ ]ba, e que possui derivada em todos os 
pontos do intervalo ( )ba, . Então existe um número ( )bac ,∈ tal que a reta tangente ao 
gráfico de f no ponto ( ))(, cfc é paralela à reta que passa por ( ))(, afa e ( ))(, bfb . Isso 
é o mesmo que dizer que 
ab
afbf
cf
−
−
=
)()()(' 
 
 
Observe graficamente 
o que significado do teorema ⇒ 
 
 
 
 
1x 2x 
)( 1xf 
)( 2xf 
1x 2x 
)( 1xf 
)( 2xf 
1x 2x 
)( 1xf 
)( 2xf 
1x 2x 
)( 1xf 
)( 2xf 
a b 
)(af 
)(bf 
c 
)(cf 
A reta tangente 
é paralela 
à reta secante 
 
 Funções crescentes e decrescentes 
 
http://estvirtual.com.br 
 
 Teste de crescimento e decrescimento 
 
Utilizando o Teorema do Valor Médio podemos mostrar que 
 
(a) Se 0)(' >xf em um intervalo, então f é crescente no intervalo 
(b) Se 0)(' <xf em um intervalo, então f é decrescente no intervalo 
(c) Se 0)(' =xf para todo x em um intervalo, então f é constante no intervalo 
 
 Exemplo 
 
Considere a função xxxf 4)( 2 −= . Vamos determinar os intervalos onde f é crescente e 
aqueles onde f é decrescente. 
 
Solução 
 
Calculando a derivada da função, encontramos 
42)(' −= xxf . 
Como a função é crescente nos pontos onde a derivada é maior que zero (positiva) e 
0420)(' >−⇒> xxf 
então a função será crescente quando 2
2
442042 >⇒>⇒>⇒>− xxxx 
Portanto a função é crescente no intervalo ( )∞+,2 
Para sabermos onde a função é decrescente basta resolvermos a desigualdade 0)(' <xf 
o que implica em 
2
2
442042 <⇒<⇒<⇒<− xxxx 
Portanto a função é decrescente no intervalo ( )2,∞− 
 
Observe que para 2=x temos 04442.2)2(' =−=−=f 
Ou seja o valor 2 do domínio da f anula a derivada. Esses pontos onde a derivada se 
anula são chamados de pontos críticos.