Grandezas escalares e vetoriais

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SISTEMAS 
ESTRUTURAIS I
Mario Guidoux Gonzaga
Grandezas escalares 
e vetoriais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir grandezas escalares e vetoriais.
  Resolver operações aritméticas de adição e subtração de vetores.
  Demonstrar operações de multiplicação de escalas por vetor e pro-
priedades das operações vetoriais. 
Introdução
Neste capítulo, você aprenderá sobre grandezas escalares e vetoriais, dois 
tipos de grandezas considerados pela engenharia e a arquitetura. Após 
entender as propriedades dos vetores, você poderá explorar operações 
de soma e subtração de vetores e, ao fim do capítulo, aprenderá de que 
maneira pode ser realizada a multiplicação de grandezas vetoriais por 
escalares.
Grandezas escalares e vetoriais
Na arquitetura e na engenharia, assim como na física, existem dois tipos de 
quantidades físicas: os escalares, descritos apenas por um valor numérico, 
e os vetores, que necessitam, além do valor numérico, de direção e sentido 
(ANTON; BUSBY, 2007) para serem completamente especifi cados.
As dimensões de comprimento e área, essenciais para a arquitetura e a 
engenharia, são uma aplicação clara de grandezas escalares por serem descritas 
apenas pelo valor numérico. Para descrever a altura de um pilar, por exemplo, 
precisamos expressar apenas um valor – normalmente descrito em metros. 
A área de um ambiente, mesmo sendo calculada a partir da multiplicação de 
duas medidas, também é descrita com apenas um valor numérico, expresso 
normalmente em metros quadrados.
Os vetores, por outro lado, são utilizados para descrever atributos, como 
velocidade, força e deslocamento, uma vez que essas propriedades não podem 
ser descritas utilizando-se apenas um valor numérico. Para compreender cor-
retamente a velocidade de um objeto, por exemplo, você precisa saber, além da 
rapidez deste, a sua direção e seu sentido, ou seja, para onde está se deslocando.
O vetor, como você já sabe, é composto por três informações e sua re-
presentação geométrica é feita com uma seta. O comprimento dessa seta é 
equivalente ao módulo do vetor (a porção numérica) e a direção do vetor é 
dada pela inclinação da seta, ao passo que o sentido pode ser identificado 
pela posição da ponta da seta, onde está o chamado ponto final do vetor; na 
outra extremidade da seta, fica localizado o ponto inicial do vetor (Figura 1) 
(ANTON; BUSBY, 2007).
Figura 1. Representação de um vetor 
e suas partes.
Magnitu
de
Ponto inicial
Ponto �nal
A distância entre o ponto inicial e o ponto final é igual ao módulo, a 
inclinação da seta indica a direção e a ponta da seta indica o sentido do vetor. 
Imagine a seguinte situação: você precisa enviar um carregamento de tijolos 
que está no térreo para o sexto andar de uma obra utilizando o elevador monta-
-carga. A descrição desse movimento só é possível com um vetor, pois é necessário 
informar que o elevador se movimentará na vertical (direção), para cima (sentido) 
e por seis andares (módulo). Esse tipo de vetor é chamado de vetor deslocamento.
Nos projetos estruturais, você poderá utilizar vetores para representar as 
cargas de sua estrutura. A carga que um pilar exerce sobre as fundações de 
Grandezas escalares e vetoriais2
um edifício precisa ser expressa de maneira vetorial, uma vez que você precisa 
indicar quanta força será exercida (módulo), se essa força estará aplicada 
verticalmente ou com alguma inclinação (direção) e se as fundações são 
comprimidas ou tensionadas (sentido). Esse tipo de vetor é chamado de vetor 
força. Na Figura 2, você pode observar pilares de concreto apoiados sobre 
as fundações. No estado atual, o vetor força tem direção vertical, sentido de 
cima para baixo e módulo proporcional ao peso próprio do pilar.
Figura 2. Pilares de concreto.
Fonte: bogdanhoda/Shutterstock.com.
Mesmo que a representação dos vetores utilizando setas seja bastante clara, 
muitas vezes é necessário expressá-los algebricamente. Para isso, é utilizado 
um sistema de coordenadas tanto planares quanto espaciais.
Um sistema de coordenadas retangulares no plano consiste em duas retas 
posicionadas perpendicularmente entre si (Figura 3). A primeira é posicionada 
na horizontal e recebe o nome de eixo x; a segunda, na vertical, é chamada 
de eixo y (ANTON; BUSBY, 2007). O ponto de encontro entre as duas retas 
é chamado de origem.
3Grandezas escalares e vetoriais
Figura 3. Sistema de coordenadas retangulares, 
ou cartesianas.
Fonte: Yu_Peri/Shutterstock.com.
Dentro do sistema de coordenadas retangulares, os pontos são representados 
conforme a sua posição nos eixos x e y. Na Figura 4, você pode observar a 
representação do ponto P no plano, cuja posição pode ser descrita algebrica-
mente pelas suas coordenadas no eixo x e no eixo y, ou seja, P (4,3).
Figura 4. Marcação do ponto P (4,3) em um sistema 
de coordenadas retangulares, ou cartesianas. 
Fonte: Adaptada de Yu_Peri/Shutterstock.com.
P
Grandezas escalares e vetoriais4
Um sistema de coordenadas retangulares espacial parte do mesmo prin-
cípio do sistema planar, com a diferença da adição de um eixo, denominado 
eixo z. Na Figura 5, você pode observar um sistema de coordenadas espacial 
(ANTON; BUSBY, 2007). Neste caso, os pontos são representados utilizando 
três coordenadas, por exemplo, P (x, y, z).
Figura 5. Sistema de coordenadas espacial. 
Fonte: attaphong/Shutterstock.com.
Os vetores podem ser expressos algebricamente com apenas um ponto 
quando tiverem seu ponto inicial na origem, ou seja, um vetor V (3,1) tem seu 
ponto inicial na origem e seu módulo calculado pela distância entre a origem 
(0,0) e o ponto final (3,1).
Quando o ponto inicial não for na origem, é necessário expressar algebri-
camente os dois pontos, da seguinte maneira:
Onde P1 é o ponto inicial e P2 é o ponto final. Na Figura 6, você pode 
observar um vetor V com ponto inicial P1 (1,1) e ponto final P2 (4,3), ou, 
algebricamente:
5Grandezas escalares e vetoriais
Figura 6. Marcação do vetor V=(1,1), (4,3) em um sistema 
de coordenadas retangulares, ou cartesianas. 
Fonte: adaptada de Yu_Peri/Shutterstock.com. 
P2
P1
O cálculo do módulo desses vetores é feito utilizando-se o teorema de 
Pitágoras, em que desenhamos um triângulo retângulo cuja hipotenusa equivale 
ao módulo do vetor. Na equação a seguir, você pode visualizar o cálculo do 
módulo do vetor
Para calcular os catetos, você precisa calcular a distância entre as 
coordenadas iniciais e finais nos eixos x e y, como se pode observar na 
Figura 7.
Grandezas escalares e vetoriais6
Figura 7. Marcação do vetor V=(1,1), (4,3) e as distâncias 
entre seus pontos nos eixos X e Y para cálculo de seu 
modulo. 
Fonte: adaptada de Yu_Peri/Shutterstock.com.
(1,1)
(4,3)
2
3
O cálculo do módulo do vetor 
corresponde à distância entre os dois pontos, calculada com o teorema de 
Pitágoras da seguinte maneira:
7Grandezas escalares e vetoriais
Operações aritméticas de adição
e subtração de vetores
A adição de vetores pode ser resolvida de diversas maneiras. A seguir, você 
verá três exemplos dessa operação.
Regra do Paralelogramo para Adição Vetorial
Considerando os vetores V e W, cujos pontos iniciais são o mesmo, pode-se 
obter a soma a partir do desenho de um paralelogramo formado pelas retas 
dos vetores somados (Figura 8) (ANTON; BUSBY, 2007).
Figura 8. Representação gráfica de dois vetores, V e W. 
V
W
Grandezas escalares e vetoriais8
O módulo resultante é a reta entre o ponto inicial dos vetores somados e o 
vértice oposto do paralelogramo, conforme a Figura 9.
Figura 9. Representação gráfica da soma de dois vetores, 
V e W, utilizando-se a regra do paralelogramo. 
V
W
Regra do triângulo para adição vetorial
Considerando-se os vetores V e W, sendo que o ponto inicial de W é igual ao 
ponto fi nal de V, a soma dos vetores será igual à reta entre o ponto inicial de 
V e o ponto fi nal de W, conforme mostra a Figura 10.
9Grandezas escalares e vetoriaisFigura 10. Representação gráfica da soma de dois ve-
tores, V e W, utilizando-se a regra do triângulo. 
V
W
Além dos dois exemplos acima, você pode calcular a soma de dois vetores 
utilizando o método da translação, em que o ponto final da soma dos vetores V 
e W corresponde à translação do ponto terminal de V na direção e no sentido 
do vetor W. Ou ainda: a soma dos vetores corresponde à translação do ponto 
terminal de V na direção e no sentido do vetor W (ANTON; BUSBY, 2007). 
Observe, na Figura 11, a ilustração dessa soma.
Figura 11. Representação gráfica da soma de dois vetores, V e W, 
utilizando-se a regra da translação do ponto terminal. 
V
W
V
W
Grandezas escalares e vetoriais10
O valor negativo de um vetor (p. ex., �v para o vetor v) é igual a um vetor 
com mesmo módulo e direção que o vetor original, mas com o sentido oposto, 
conforme mostra a Figura 12.
Figura 12. Representação gráfica dos vetores V e –V.
V
–V
Para calcular a diferença ou a subtração de dois vetores pode ser utilizado 
o método do paralelogramo. Por exemplo, para calcular a subtração V � W, 
basta desenhar o paralelogramo delimitado pelo vetor V e pelo vetor �W, 
conforme mostra a Figura 13. 
Figura 13. Representação gráfica da subtração de dois veto-
res, V e W, utilizando-se a regra do paralelogramo.
–W
V–W
V
W
11Grandezas escalares e vetoriais
Uma alternativa mais simples para essa subtração é a ligação dos pontos 
finais dos dois vetores, que cria uma reta igual àquela do paralelogramo, 
conforme mostra a Figura 14 (ANTON; BUSBY, 2007).
Figura 14. Representação gráfica da subtração de dois veto-
res, V e W, utilizando-se a regra da distância entre os pontos 
terminais.
V–W
V
W
Operações de multiplicação de escalas
por vetor e propriedades das
operações vetoriais
Quando for necessário mudar o comprimento de um vetor ou mudar seu 
módulo e trocar o seu sentido, é preciso realizar uma operação, chamada de 
multiplicação de vetor por escalar, na qual multiplica-se uma grandeza vetorial 
por uma grandeza escalar (ANTON; BUSBY, 2007).
Na Figura 15, você pode observar o vetor 2V, obtido pela multiplicação 
do vetor V pelo escalar 2, que dobrou o seu módulo, mantendo o seu sen-
tido e a sua direção. Já o vetor �2w, obtido pela multiplicação do vetor W 
pelo escalar �2, dobra o módulo do vetor W, mantendo sua direção, mas 
invertendo seu sentido.
Grandezas escalares e vetoriais12
Figura 15. Representação gráfica da multiplicação dos vetores, V e 
W, pelos escalares 2 e –2, respectivamente.
–2w
w
v
2v
Com base nessas informações, é possível inferir algumas propriedades das 
operações de multiplicação de vetores por escalares, que seguem as regras da 
aritmética. Por exemplo, considerando-se que V e W são vetores não nulos e 
E e F são escalares, é possível afirmar que:
Propriedades das operações de multiplicação de vetores por escalares:
–1 v = –v
e v = f v 
logo e = f, se v for não nulo
e (v+w) = e v + e w
(e + f)v = e v + f v
Assim como na multiplicação de vetores por escalares, as propriedades das 
operações de soma e subtração de vetores obedecem às leis da aritmética. Na 
13Grandezas escalares e vetoriais
Figura 16, que utiliza a regra do triângulo para realizar a soma dos vetores V 
e W, é possível observar que esta operação obedece à propriedade cumulativa:
V + W = W + V
Figura 16. Representação gráfica da soma de dois vetores, V e W, 
utilizando-se a regra da translação do ponto terminal. 
V
W
V
W
Além da propriedade cumulativa, a soma de vetores obedece a outras 
propriedades.
Propriedades das operações de soma e subtração de vetores
Cumulativa: 
V + W = W + V
Associativa – quando é invertida a ordem de soma, válida para todos os vetores:
u + (v + w) = (u + v) + w
Elemento neutro – quando um vetor O=(0,0), não influenciando a soma dos demais 
vetores:
O + u = u
Elemento oposto – quando são somados vetores de mesmo módulo e direção com 
sentido oposto, o resultado é um vetor O=(0,0):
v + (-v) = O
Grandezas escalares e vetoriais14
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2007.
Referência
15Grandezas escalares e vetoriais