Grátis: 9. Considere a função f(x, y) = 4x2 − 3y2 + 2xy no quadrado unitário 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. (a) Encontre os valores máximo e mı́nimo de f em cad...

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9. Considere a função f(x, y) = 4x2 − 3y2 + 2xy no quadrado unitário 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. (a) Encontre os valores máximo e mı́nimo de f em cada aresta do quadrado. (b) Encontre os valores máximo e mınimo de f no quadrado inteiro.

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1. Encontre a equação do plano tangente à superf́ıcie z2 = 3x2 + y3 no ponto P = (1, 1, 2).

2. Considere a superf́ıcie 2x2 + y2 + z2 = 9. Encontre uma equação do plano tangente à superf́ıcie no ponto P = (2,−1, 0).

3. Apresente uma equação do plano tangente à superf́ıcie de ńıvel da função f(x, y, z) = ln(y2 e xz) pelo ponto P = (0, 1, 1).

4. Considere a função f(x, y) = x2y − ln(5x− 3y) e o ponto P = (2, 3). (a) Determine a equação do plano tangente à superf́ıcie z = f(x, y) no ponto P. (b) Utilizando a aproximação linear local de f em P, determine o valor aproximado de f(1,98; 3,01).

5. Considere a função F (x, y, z) = zexy + x2 e o ponto Q = (−1, 0, 2). Obtenha um valor aproximado para F (−1,05; 0,02; 2,01) utilizando a aproximação linear local de F em Q.

6. Encontre e classifique todos os pontos cŕıticos da função f(x, y) = xy − 1/3x^3 − 1/2y^2 + 3.

7. Encontre e classifique o(s) ponto(s) cŕıtico(s) da função f(x, y) = x2 + xy − 2x− 2y + 1.

8. Se uma função cont́ınua de uma variável tem exatamente um extremo relativo em um intervalo, então esse extremo relativo é um extremo absoluto no intervalo. Este exerćıcio mostra que esse resultado não se estende a funções de duas variáveis. (a) Mostre que f(x, y) = 3xey − x3 − e3y tem apenas um único ponto cŕıtico e que nele ocorre um máximo relativo. (b) Mostre que f não tem máximo absoluto. (c) Use um recurso computacional para esboçar o gráfico z = f(x, y).

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1. Encontre a equação do plano tangente à superf́ıcie z2 = 3x2 + y3 no ponto P = (1, 1, 2).

2. Considere a superf́ıcie 2x2 + y2 + z2 = 9. Encontre uma equação do plano tangente à superf́ıcie no ponto P = (2,−1, 0).

3. Apresente uma equação do plano tangente à superf́ıcie de ńıvel da função f(x, y, z) = ln(y2 e xz) pelo ponto P = (0, 1, 1).

4. Considere a função f(x, y) = x2y − ln(5x− 3y) e o ponto P = (2, 3). (a) Determine a equação do plano tangente à superf́ıcie z = f(x, y) no ponto P. (b) Utilizando a aproximação linear local de f em P, determine o valor aproximado de f(1,98; 3,01).

5. Considere a função F (x, y, z) = zexy + x2 e o ponto Q = (−1, 0, 2). Obtenha um valor aproximado para F (−1,05; 0,02; 2,01) utilizando a aproximação linear local de F em Q.

6. Encontre e classifique todos os pontos cŕıticos da função f(x, y) = xy − 1/3x^3 − 1/2y^2 + 3.

7. Encontre e classifique o(s) ponto(s) cŕıtico(s) da função f(x, y) = x2 + xy − 2x− 2y + 1.

10. Encontre o ponto do plano x + 2y + z = 1 que está mais próximo da origem.

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