7. Encontre e classifique o(s) ponto(s) cŕıtico(s) da função f(x, y) = x2 + xy − 2x− 2y + 1.

Para encontrar e classificar os pontos críticos da função \( f(x, y) = x^2 + xy - 2x - 2y + 1 \), siga os passos abaixo: 1. Calcule as derivadas parciais: - Derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 2 \] - Derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x - 2 \] 2. Encontre os pontos críticos: - Igualar as derivadas a zero: \[ 2x + y - 2 = 0 \quad (1) \] \[ x - 2 = 0 \quad (2) \] - Da equação (2), temos \( x = 2 \). - Substituindo \( x = 2 \) na equação (1): \[ 2(2) + y - 2 = 0 \implies 4 + y - 2 = 0 \implies y = -2 \] - Portanto, o ponto crítico é \( (2, -2) \). 3. Classifique o ponto crítico usando a matriz Hessiana: - Calcule as segundas derivadas: \[ f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 \] \[ f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 \] \[ f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1 \] - A matriz Hessiana \( H \) é dada por: \[ H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \] - Calcule o determinante de \( H \): \[ \text{det}(H) = (2)(0) - (1)(1) = -1 \] 4. Classificação: - Como o determinante da matriz Hessiana é negativo, o ponto \( (2, -2) \) é um ponto de sela. Conclusão: O ponto crítico da função \( f(x, y) \) é \( (2, -2) \) e é um ponto de sela.